广东省肇庆市德庆县香山中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025-2026学年高三级12月月考数学科试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合，则(　　) A． B． C． D． 2.已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，－1] B．[－1，3] C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 4.等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为(　　) A． B． C． D． 5.已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（     ） A． B． C． D． 6. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 7.若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．0或2 8.已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.以下四个命题中，是真命题的是（ ） A．∀x∈R，x2－x＋1>0 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若命题：，，则的否定为：， D．若，则 10.已知椭圆：的两个焦点分别为，，是C上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最大值为16 D. 的最小值为3 11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（     ） A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN C．三棱锥P-MBN的体积为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知向量，若，则__________． 13.已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为_____________ 14.已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分) 已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的通项公式. 16.(本小题满分15分) 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 17. (本小题满分15分) 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且. （1）证明：； （2）若，， 求二面角的余弦值． 18. （本小题满分17分） 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）若存在极大值，求a的取值范围. 19. (本小题满分17分) 已知椭圆方程为（），离心率为且过点. （1）求椭圆方程； （2）动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值； （3）过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三级12月月考数学科试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合，则(　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析：，故，故选：D 2.已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【详解】由于复数，，则， 若为纯虚数，只需，解得.故选：A. 3.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，－1] B．[－1，3] C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 【答案】C　解析：由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，所以≤2，解得－3≤a≤1. 4.等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为(　　) A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】数列的首项，设公差为，则由成等比数列可得，所以，即，整理可得，因为，所以，所以，故选B． 5.已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：由圆柱侧面积，解得，因为圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，所以球心在圆柱高的中点处，设球半径为，则由， 所以,故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【详解】由可得， 所以， 又易知，因此可得， 即可得， 所以，解得. 7.若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．0或2 【答案】D 【详解】设直线与曲线的切点为，由，则， 则，，即切点为，所以直线为， 又直线与圆都相切，则有，解得或． 8.已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由是奇函数且在上单调递减，函数也是奇函数且在上单调递减，得在上单调递减，利用单调性解不等式. 【详解】定义在上的函数，因为是奇函数，也是奇函数，所以是奇函数.由.因为是增函数，所以是减函数.又因为是减函数，所以在上单调递减.因为，所以，解得. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.以下四个命题中，是真命题的是（ ） A．∀x∈R，x2－x＋1>0 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若命题：，，则的否定为：， D．若，则 【答案】AC 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为假命题； 对于C：由特称命题的否定可知：的否定为：，，故C选项为真命题； 对于选项D：若，则，，故D选项为假命题. 10.已知椭圆：的两个焦点分别为，，是C上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最大值为16 D. 的最小值为3 【答案】B C 【详解】由椭圆得则所以，故A错误; 易知的周长为故B正确； 由基本不等式得，当且仅当时取等，则取得最大值16，故C正确. 当在椭圆长轴的一个端点时，取得最小值，最小值为，故D错误； 11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（     ） A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN C．三棱锥P-MBN的体积为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为 【答案】ABC【详解】如图，在正方体中，连接，， 因为N，P分别是，的中点，所以，又因为，所以， 所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确； 连接PQ，，当Q是的中点时，因为，，所以， 因为平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确； 连接，，，因为， 所以， 故选项C正确； 分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN， 则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球， 设所求外接球的直径为2R， 则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径， 即， 所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知向量，若，则__________． 12.【答案】 解析：因为，所以由可得， ，解得． 13.已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为_____________ 【答案】 【详解】由椭圆定义得：，又因为，所以解得：，再由于，，结合勾股定理可得：，解得，所以椭圆的离心率为 14.已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是_______ 【答案】 【详解】由题意可得. 令，解得， 因为，所以. 因为在上恰有两个零点，所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分) 已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的通项公式. 解：（1）设等比数列的公比为， 由题意得，.....................2分 解得（舍去），.....................4分 所以......................6分 即数列的通项公式为. （2）由（1）知①，.....................8分 所以②......................9分 ①－②得.....................11分 .....................12分 所以......................13分 16.(本小题满分15分) 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 解：由余弦定理有，.....................1分 可得，.....................3分 因为，所以， 从而，....................4分 又因为，即，.....................5分 又因为，所以......................6分 （2）由（1）可得，，，从而，，.............7分 而，....................9分 由正弦定理有，....................10分 从而，....................12分 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ，....................13分 由已知的面积为，可得，...................14分 所以.....................15分 17. (本小题满分15分) 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且. （1）证明：； （2）若，，求二面角的余弦值． 解：（1）设，连接.因为侧面是菱形，所以，.............1分 又因为，所以.....................2分 又，.....................3分 所以，.....................4分 又，所以......................5分 (2)因为，所以，由(1)知，则....................6分 设.如图，以为原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，....................7分 则，，，，因为，易得. ，，. ...................9分 （或者不求的坐标，利用也可得出的坐标） 设是面的一个法向量，则 即，可取 ...................11分 设是面的一个法向量，则 即，可取 ...................13分 ，所以二面角的余弦值为 ...................15分 18. （本小题满分17分） 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）若存在极大值，求a的取值范围. 解：（1）由题可知的定义域为， 当时，，....................2分 令，解得....................3分 当时，，单调递增； 当时，，单调递减....................5分 所以当时，取极大值，也是最大值，故的最大值为....................6分 （2）....................7分 令，则....................8分 当时，，在上单调递减， 当时，；，根据零点存在定理，得在内存在唯一的零点， 在上，，，单调递增；在上，，，单调递减，存在极大值....................10分 当时，令，解得，（舍去）， 在上，，单调递减；在上，，单调递增. 所以当时，取极小值，也是最小值，..............13分 当，即时，由于当时，，此时，在上，必定存在唯一的零点.在上，，，单调递增；在，，，单调递减，存在极大值，...................15分 当时在上，，单调递增不存在极大值....................16分 综上所述，a的取值范围是....................17分 19. (本小题满分17分) 已知椭圆方程为（），离心率为且过点. （1）求椭圆方程； （2）动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值； （3）过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题得：，...................1分 ，所以， ...................2分 椭圆的方程为. ...................3分 （2）证明：设点，因为点P在椭圆上，所以，， ...............................5分 同理设点，则，， ...............................6分 因为直线AB过原点，所以关于原点对称，点， ...............................7分 . ...............................9分 （3），当直线MN斜率为零时，不妨设，， 则，，，， 存在，使成立， ...............................11分 当直线MN斜率不为零时，设直线方程为，，， 联立方程组，消去x得，易知， 所以，，， ...................13分 ， 又因为，， 所以，， ...................15分 又因为，当时，最小为3， ...................16分 综上，存在，使成立，最小为3. ...............................17分 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $