精品解析：河南省平顶山市鲁山县2025-2026学年上学期期末调研九年级数学试题

2025－2026学年上学期期末调研试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（ ） A. 这个游戏小刚获胜的可能性最大 B. 这个游戏小刚获胜的可能性最小 C. 这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D. 这个游戏对三人是公平 3. 如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（    ） A. 一直都在变短 B. 先变短后变长 C. 一直都在变长 D. 先变长后变短 4. 已知，y是x反比例函数，下表是x与y的几组对应值，则的值是（ ） x a 3 2 y 1 -2 b A. B. C. 9 D. 5. 关于x的一元二次方程的一个根是3，则它的另一个根是（ ） A. B. 1 C. D. 6. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A. B. 6 C. D. 12 8. 在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在边上，若，，且，则的长为（ ） A B. C. D. 9. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 如图，点E在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（ ） A 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的值为______． 12. 若，，则______． 13. 若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为______． 14. 已知直线和双曲线在坐标平面内交于两点和，则的值是______． 15. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算： 17. 我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 18. 九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有四个完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，2，3，4，游戏规则是：参加联欢会的48名同学，每人同时从盒子里一次摸出两个乒乓球，若两球上数字之和大于5就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至48名同学都摸完， （1）若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演节目的概率； （2）若参加联欢会的同学每人都有一次摸球的机会，请估计本次联欢会上大概有多少个同学表演节目？ 19. 小明有一根长为的铁丝，请按要求完成以下问题： （1）如图1，如果以这根铁丝长为周长做成一个正方形，面积是______； （2）如图2，如果把这根铁丝平均分成2段，分别做成正方形，这两个正方形的面积之和是______； （3）如图3，如果把这根铁丝分成2段，分别做成正方形，要使这两个正方形的面积之和等于，这两个正方形的边长分别是多少？ （4）他是否能够把这根铁丝剪成2段，分别做成2个正方形，并且使它们的面积之和是？请说明理由． 20. 在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在处用高为米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进30米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．求摩天轮的高度．（参考数据：，，，） 21. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点O与原点重合，均在反比例函数的图象上，点B在第四象限，与y轴相交于D． （1）求证：四边形是菱形； （2）求点D的坐标． 22. （1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 23. 问题背景：如图1，在正方形中，边长为．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点． （1）探索发现：如图1，探索线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）探索发现：如图2，若点，分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：如图3，延长至，连接，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期期末调研试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：主视图为： 故选：B． 2. 小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（ ） A. 这个游戏小刚获胜的可能性最大 B. 这个游戏小刚获胜的可能性最小 C. 这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D. 这个游戏对三人是公平的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小刚获胜的结果数、小明获胜的结果数、小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果， 其中小刚获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小明获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小红获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种， ∴小刚获胜的概率为，小明获胜的概率为，小红获胜的概率为． ∴小刚、小红、小明获胜的概率一样大， 故选：D． 3. 如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（    ） A. 一直都在变短 B. 先变短后变长 C. 一直都在变长 D. 先变长后变短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮从处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到处时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 4. 已知，y是x的反比例函数，下表是x与y的几组对应值，则的值是（ ） x a 3 2 y 1 -2 b A. B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 利用已知点求k，再求a和b即可． 【详解】解：∵y是x的反比例函数， ∴（k为常数）， 由，，得， 由表格可知，， ∴，， ∴． 故选：A． 5. 关于x的一元二次方程的一个根是3，则它的另一个根是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 设另一个根是，根据根与系数的关系作答即可． 【详解】解：设另一个根是， ∵关于x的一元二次方程的一个根是3， ∴， 解得：． 故选：C． 6. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 7. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A. B. 6 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，掌握菱形的性质、勾股定理是解本题的关键． 根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出的长，利用菱形面积为面积的两倍求出即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 于点E， ， ， ， ． 故选：A． 8. 在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在边上，若，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据矩形的性质，得到，，证明，列出比例式，设，则，，代入比例式，进行求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 设，则，． ∵， ∴， 解得． ∴， 故选：B． 9. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，根据反比例函数k的几何意义可知：，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∴， ∵点A为反比例函数图象上的一点，点B为反比例函数图象上的一点， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10. 如图，点E在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，由矩形的性质得，，，由勾股定理求出，可得，再证明得，进一步可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算． 先求出特殊角的三角函数值，再计算二次根式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质． 利用比例的性质，设公共比值为，得到，，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴可设公共比值为， 则，，， ∴． 故答案为：． 13. 若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数点的特征，求反比例函数的函数值．代入各点横坐标计算纵坐标后比较大小即可得出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 由于， 因此． 故答案为：． 14. 已知直线和双曲线在坐标平面内交于两点和，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程． 利用交点坐标得到等式，计算求出，求出k的值，代入点和点判断是否成立即可． 【详解】解：∵直线和双曲线在坐标平面内交于点和点， ∴，，，即， 将代入得：， 即， 解得：， ∵， ∴或． 当时，，即，，重合，不合题意； 当时，，即，，不重合，符合题意； ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算． （1）根据因式分解法求解即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘方和二次根式，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原方程可化为， ， ； （2）解： ． 17. 我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查投影，三视图，掌握知识点是解题的关键． 根据三视图的定义解答即可． 【详解】解：如图所示，即为所作的三视图． 18. 九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有四个完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，2，3，4，游戏规则是：参加联欢会的48名同学，每人同时从盒子里一次摸出两个乒乓球，若两球上数字之和大于5就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至48名同学都摸完， （1）若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演节目的概率； （2）若参加联欢会的同学每人都有一次摸球的机会，请估计本次联欢会上大概有多少个同学表演节目？ 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×部分相应概率． （1）根据画出的树状图得出所有等情况数和两个数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式即可得出答案； （2）表演即兴节目的同学数=学生总数×相应概率． 【小问1详解】 解：根据题意画图如下： 由表可知，共有12种等可能结果，其中两个数字之和大于5的有4种， 小朱同学表演节目的概率 【小问2详解】 解：根据题意得： （名） 答：估计本次联欢会上大概有16个同学表演节目． 19. 小明有一根长为的铁丝，请按要求完成以下问题： （1）如图1，如果以这根铁丝的长为周长做成一个正方形，面积是______； （2）如图2，如果把这根铁丝平均分成2段，分别做成正方形，这两个正方形的面积之和是______； （3）如图3，如果把这根铁丝分成2段，分别做成正方形，要使这两个正方形的面积之和等于，这两个正方形的边长分别是多少？ （4）他是否能够把这根铁丝剪成2段，分别做成2个正方形，并且使它们的面积之和是？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）和 （4）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的面积，列一元二次方程解决几何问题，根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的应用和求解． （1）求出边长，然后利用正方形的面积公式求解即可； （2）求出边长，然后利用正方形的面积公式求解即可； （3）设这两个正方形的边长分别是和，根据面积之和列出一元二次方程，然后求解即可； （4）设这段铁丝被剪成两段后，围成的两个正方形边长分别是和cm，根据面积之和列出一元二次方程，然后利用根的判别式进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据铁丝的长度可得正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故答案为：64； 【小问2详解】 解：每个正方形的边长为， 则两个正方形的面积之和为 故答案为：32； 【小问3详解】 解：设这两个正方形的边长分别是和，根据题意得： ， 解这个方程得：， 答：这两个正方形的边长分别是和； 【小问4详解】 解：不能，理由如下： 设这段铁丝被剪成两段后，围成的两个正方形边长分别是和cm，根据题意得： ， ， ， ∴此方程没有实数根， ∴这根铁丝剪成两段后不能围成面积是两个正方形． 20. 在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在处用高为米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进30米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．求摩天轮的高度．（参考数据：，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，延长交于点，根据题意得四边形和都是矩形，则，米，然后分别在中，，在中，，代入数值化简得，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：延长交于点，根据题意得四边形和都是矩形 ∴，米，，米 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴（米） 答：摩天轮的高度大约是米． 21. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点O与原点重合，均在反比例函数的图象上，点B在第四象限，与y轴相交于D． （1）求证：四边形是菱形； （2）求点D的坐标． 【答案】（1） 证明：∵均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 把代入， ∴， ∴． 则， 即， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， （2） 【解析】 【分析】（1）先把代入，求出反比例函数的解析式，再求出，运用勾股定理算出，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，进行作答即可． （2）先求出的解析式为，结合菱形的性质得的解析式为，再把把代入，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 由（1）得四边形是菱形， ∴ 则设的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 当时，则， 即． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. （1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，角平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用平行线分线段成比例进行求解即可； （2）根据角平分线和平行线的性质得出相等的角，再利用等角对等边，最后利用平行线分线段成比例进行证明即可； （3）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，利用同高（等高）的三角形面积比等于底的比，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 问题背景：如图1，在正方形中，边长为．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点． （1）探索发现：如图1，探索线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）探索发现：如图2，若点，分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：如图3，延长至，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1），且，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是构造三角形从而使用中位线定理、作构造直角三角形． （1）证，得出，，再证即可； （2）连并延长交于G，求出长，再根据中位线的性质求出即可； （3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：，且， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且； 【小问2详解】 解：连接并延长交于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵正方形的边长为3，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，过点B作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $