精品解析：江苏省苏州市昆山市娄江实验中学2025-2026学年上学期七年级12月月考数学试卷

初一年级数学学科课堂练习试卷 注意事项： 本试卷共4页，全卷满分130分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题纸上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据“只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式叫做一元一次方程”逐项进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，故不是一元一次方程，本选项不符合题意； B、是分式方程，故不是一元一次方程，本选项不符合题意； C、，未知数次数是2，故不是一元一次方程，本选项不符合题意； D、 是一元一次方程，本选项符合题意． 故选：D． 2. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向；据此逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可得，原式不成立，不符合题意； B、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意； C、由，可得，原式一定成立，符合题意； D、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意； 故选：C． 3. 把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成（ ） A. 圆锥 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键． 【详解】解：由图可知：折叠后，可以围成三棱锥， 则该几何体为三棱锥， 故选：C． 4. 如果与是同类项，那么、的值分别为（  ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类项的概念及求解，熟练掌握同类项的概念是解题的关键； 根据同类项的定义：所含字母相同且相同字母指数也相同的项，据此进行求解即可． 【详解】解：根据同类项的概念可得：与是同类项， 即，， ，， 故选：B 5. 若，，，则下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. ，，互不相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查比较角度的大小，据观察题中的角表示方法，只要把转化为度的形式，即可比较三个角的大小． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 6. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．何人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出八钱，则多了三钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？设共有人，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有人，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设共有人，根据题意得，， 故选：B． 7. 如图，，，垂足分别为． 下列说法正确的个数是（ ） ①点到线段的距离为线段的长度； ②； ③； ④将三角形绕线段所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，解题关键是熟练掌握点到直线的距离，余角的性质．①根据点到直线的距离的定义，结合已知条件进行判断即可；②③均根据已知条件，直角三角形的性质和余角的性质进行解答即可；④根据已知条件，找出旋转后的几何体，进行判断即可． 【详解】解：①点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度，， 点到线段的距离为线段的长度， 故①说法正确； ②， ， ， ， ， ， 故②说法正确； ③， ， ， ， ， ， 故③说法正确； ④是由和组成， 将三角形绕线段所在直线旋转一周得到的几何体是同一个底面的两个圆锥叠在一起的纺锤体， 故④的说法错误； 综上可知，说法正确的是①②③，共3个， 故选：C 8. 如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9. 已知∠＝25°，那么∠的余角等于________度. 【答案】65 【解析】 【详解】试题解析：∵∠α=25°， ∴∠α的余角=90°-∠α=90°-25°=65°． 10. 如图，将图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，任意相对面上两个数之积为6，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，有理数的加减运算，根据正方体表面展开图的特征，判断相对的面，求出y的值即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “y”与“”是对面， 又因为相对面上两个数之积为6， 所以， 故答案为：． 11. 若是关于的方程的解，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据方程的解的概念，直接代入求解即可． 【详解】由题意可得，将代入，即，解得 故答案为：3 【点睛】此题考查一元一次方程的解，解题关键是直接代值计算． 12. 某商场把进价为500元的商品按照8折出售，仍可获利12%，则该商品的标价为______元． 【答案】700 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该商品的标价为x元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该商品的标价为x元， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：700． 13. 已知一个角的补角比这个角的三倍多20°，则这个角的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设这个角的度数为x，根据补角的定义可求它的补角，再根据题意可列方程，解出x即可． 【详解】设这个角的度数为x，则它的补角为， 根据题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查补角的定义和列方程，熟知补角的定义“若两个角互补，则它们的和是”是解题关键． 14. 如图，，点D是的中点．若，则的长度是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据已知易得：，从而可得，然后利用线段的中点定义可得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，直线相交于点，平分为平面上一点，且，若，则_________． 【答案】或##65或115 【解析】 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，根据题意画出满足条件的图形是解题关键． 【详解】解：由题意得：， ∵平分 ∴ 若在内部，如图所示： 则； 若在内部，如图所示： 则； 故答案为：或 16. 如图，将一张白纸一角折过去，使角的顶点A落在处，为折痕，再将另一角斜折过去，使边落在内部，折痕为，点D的对应点为，设，则的大小为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查折叠中的角度计算，根据折痕是角平分线，结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，， ∴，即：， ∴； 故答案为：20． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算，解题关键是熟练掌握有理数运算法则． 先乘方，再乘除，最后加减； 先算括号内分数加减，再算括号外． 【小问1详解】 解：原式， ， ． 【小问2详解】 解：原式， ， ． 18. （1）解方程：； （2）求不等式的解集，并将解集表示在数轴上： 【答案】（1）； （2）， 解集表示在数轴上为： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式；解答的关键是相应的知识的掌握与运用． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可求解； （2）直接求该不等式的解集，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：（1）去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）去分母得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 即不等式的解集为 19. 先化简，再求值：，其中，； 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，正确化简是解答的关键． 先根据整式的加减运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． （1）过点画直线，垂足为点；画直线，与相交于点； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）如图所示 （2）3 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，掌握三角形的面积的求法是解题的关键． （1）直接利用网格结合垂线与平行线的判定方法得出作图方法； （2）利用梯形的面积减去周围两个三角形面积可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，观察线段在正方形的对角线上，故过点P朝直线的一侧亦作正方形的对角线，与直线交求点E，则满足．观察线段位于矩形的对角线上，故自点P同样做相同方向的矩形的对角线，与直线交于点F，则满足． 【小问2详解】 如上图． ， 即，三角形的面积是3． 21. 已知关于的方程的解为负数． （1）求的取值范围； （2）已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了方程与不等式． （1）先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可， （2）变形，把第一问的结果代入，即可． 【小问1详解】 解：解得， 因为解为负数， 所以， 解这个不等式，得， 所以a的取值范围是； 【小问2详解】 ， ， ∴， ， ∴， ， ． 22. 定义：满足的一对有理数，称为“和谐数对”，记作． 例如：因为，，所以，都是“和谐数对”． （1），中，是“和谐数对”的是__________； （2）若是“和谐数对”，求的值； （3）若是“和谐数对”，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）直接根据新定义计算，并判断即可； （2）先根据新定义得出，再解一元一次方程即可； （3）先根据新定义得出，再整体代入所求的代数式，求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴不是“和谐数对”， ∵， ∴是“和谐数对”， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得； 【小问3详解】 ∵是“和谐数对”， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘法运算，解一元一次方程，整式的加减，代数式求值，熟练掌握知识点，正确理解题意，并运用整体代入的思想是解题的关键． 23. 如图,直线与相交于点， ,垂足为． （1）若，则_____； （2）若，试说明平分． 【答案】（1） （2） 解：由题意知，， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，角度计算，角平分线等知识，熟练掌握对顶角相等，角度计算，角平分线是解题的关键． （1）由题意知，则，计算求解即可； （2）由题意知，，则，由，结论得证． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 24. 如图，是线段上不与点重合的两个动点，且点在点左侧． （1）图1中共有______条线段； （2）如图2，若，，点分别是线段的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了与线段中点有段的计算、线段的和差、线段的数量问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据线段的定义解答即可； （2）由点分别是线段的中点，得出，，再由进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示的图形中，共有线段10条，分别是、、、、、， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点分别是线段的中点， ，， ，， ． 25. 如图，将一个直角三角尺的直角顶点落在直线上，平分． （1）如图①，当点，在的同侧时，若，求的度数； （2）如图②，当点，在的异侧时，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了补角和余角，角平分线的意义， （1）先根据平角的意义得出的度数，再根据角平分线的意义得出的度数，再求一个角的余角即可； （2）先设，，再根据角平分线的意义得出，求出x的值，再求一个角的补角即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 ， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 （2）， ∴设，， 平分， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 已知，O是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，则______． （2）在图1中，若，则______°（用含a的代数式表示）； （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：①，理由： 设，则， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； ②． 理由：∵，， ∴， 即， ∵，， ∴，又， ∴． 化简，得． 【解析】 【分析】本题考查角的计算、角平分线的定义、角的和与差，解题的关键是根据题目中的信息，建立各个角之间的关系，然后找出所求问题需要的条件． （1）利用邻补角定义、角平分线的定义和角的和差的意义解答即可； （2）由第（1）问的求法，可以直接写出的度数； （3）①首先写出和的度数之间的关系，由是直角，平分，，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到和的度数之间的关系； ②首先得到与的度数之间的关系，由，是直角，平分，和的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到与的度数之间的关系． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； 故答案是：； 【小问3详解】 略 27. 如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、10，满足，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4?请说明理由． 【答案】（1），； （2）4或； （3）当点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，、两点之间的距离为4． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质解答即可； （2）先由题意得出点表示的数是，再列出，即可求出的值，从而求出点对应的数； （3）分类讨论：当点在点的右侧，且点还没追上点时；当点在点的左侧，且点追上点后时；当点到达点后，且点在点左侧时； 当点到达点后，且点在点右侧时；分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ，， ，； 【小问2详解】 解：由题意得，点表示的数是， 点到点的距离是点到点的距离的2倍， ， 即， 解得或， 当时，； 当时，； 点对应的数为4或； 【小问3详解】 解：设在点开始运动后第秒时，、两点之间的距离为4， 当点在点的右侧，且点还没追上点时，， 解得； 当点在点的左侧，且点追上点后时，， 解得； 当点到达点后，且点在点左侧时，， 解得； 当点到达点后，且点在点右侧时，， 解得； 综上，当点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，、两点之间的距离为4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一年级数学学科课堂练习试卷 注意事项： 本试卷共4页，全卷满分130分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题纸上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成（ ） A. 圆锥 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥 4. 如果与是同类项，那么、的值分别为（  ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若，，，则下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. ，，互不相等 6. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．何人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出八钱，则多了三钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？设共有人，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，垂足分别为． 下列说法正确的个数是（ ） ①点到线段的距离为线段的长度； ②； ③； ④将三角形绕线段所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9. 已知∠＝25°，那么∠的余角等于________度. 10. 如图，将图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，任意相对面上两个数之积为6，则______． 11. 若是关于的方程的解，则的值是______． 12. 某商场把进价为500元的商品按照8折出售，仍可获利12%，则该商品的标价为______元． 13. 已知一个角的补角比这个角的三倍多20°，则这个角的度数为_________． 14. 如图，，点D是的中点．若，则的长度是_____． 15. 如图，直线相交于点，平分为平面上一点，且，若，则_________． 16. 如图，将一张白纸一角折过去，使角的顶点A落在处，为折痕，再将另一角斜折过去，使边落在内部，折痕为，点D的对应点为，设，则的大小为______． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）解方程：； （2）求不等式的解集，并将解集表示在数轴上： 19. 先化简，再求值：，其中，； 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． （1）过点画直线，垂足为点；画直线，与相交于点； （2）求三角形的面积． 21. 已知关于的方程的解为负数． （1）求的取值范围； （2）已知，求的取值范围． 22. 定义：满足的一对有理数，称为“和谐数对”，记作． 例如：因为，，所以，都是“和谐数对”． （1），中，是“和谐数对”的是__________； （2）若是“和谐数对”，求的值； （3）若是“和谐数对”，求的值． 23. 如图,直线与相交于点， ,垂足为． （1）若，则_____； （2）若，试说明平分． 24. 如图，是线段上不与点重合的两个动点，且点在点左侧． （1）图1中共有______条线段； （2）如图2，若，，点分别是线段的中点，求的长． 25. 如图，将一个直角三角尺的直角顶点落在直线上，平分． （1）如图①，当点，在的同侧时，若，求的度数； （2）如图②，当点，在的异侧时，若，求的度数． 26. 已知，O是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，则______． （2）在图1中，若，则______°（用含a的代数式表示）； （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 27. 如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、10，满足，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4?请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $