精品解析：云南省昆明市官渡区云南师范大学附属官渡学校2025-2026学年九年级上学期12月作业反馈数学试卷

云南师范大学附属官渡学校2025-2026学年上学期 九年级数学12月作业反馈 考试范围：九年级上、下册 （共三个大题，27小题，共2页：满分：100分，反馈时间：120分钟） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标（不含字母或汉字），其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：B． 2. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 3. 如图，是的直径，是的弦．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平角的定义求出∠AOB，再根据等腰三角形的性质求解，即可． 【详解】解：∵， ∴∠AOB=180°-60°=120°， ∵OA=OB， ∴=∠OBA=（180°-120°）÷2=30°， 故选C． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键． 4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，则∠A的度数为（　　） A. 112° B. 68° C. 65° D. 52° 【答案】C 【解析】 【分析】圆的内接四边形内对角互补． 【详解】解：由题意得，∠A+∠BCD=180°， 又∠DCE +∠BCD=180°， 所以∠A=∠DCE=65°， 故选：C． 【点睛】本题考查圆的内接四边形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转可得，，即得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 6. 如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意． 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意． 抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意． 抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意． 故选C 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 7. 下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中红球所占的比例大小即可． 【详解】解：第一个袋子摸到红球的可能性=； 第二个袋子摸到红球的可能性=； 第三个袋子摸到红球的可能性=； 第四个袋子摸到红球的可能性=． 故选：D． 【点睛】】本题主要考查了可能性大小的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，难度适中． 8. 在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个底面半径为6，高为8的圆锥形漏斗模型(如图)，则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理计算出，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可． 【详解】解：，， ， 这个圆锥漏斗的侧面积． 故选：C． 9. 如图，正六边形螺帽的边长是4cm，那么这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是（　　） A. 2，2 B. 4，4 C. 4，2 D. 4， 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠BAD=30°，为等边三角形，得BC=2AB，再通过解直角三角形即可得出a的值，进而可求出a的值，此题得解． 【详解】解：如图， ∵正六边形的任一内角为120°， ∴∠ABD=180°-120°=60°， ∴∠BAD=30°，为等边三角形， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是4，4． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形以及勾股定理，牢记正多边形的内角度数是解题的关键． 10. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵点，，，在抛物线上，而点到对称轴的距离最远，在对称轴上， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 11. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过 C 作 CD⊥AB 于 D ，首先根据勾股定理求出 AC ，然后在 RtΔACD 中即可求出 cos∠BAC 的值． 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵AD＝3，CD＝4， ∴由勾股定理可知：， ∴cos∠BAC＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，要注意三种锐角三角函数的区别，正确作出辅助线是解题的关键． 12. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 13. 如图①，是一款不锈钢晾衣架实物图，图②是其侧面示意图，已知与相交于点，，根据图②中的数据可得的值为（ ） A. 0.9 B. 1 C. 1.1 D. 1.2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，由，可得出，进而得出，解出即可得出结论．熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， 即 解得． 故选：A． 14. 如图，点、、均在上，直径，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，扇形面积，先根据得，根据扇形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：B 15. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系、抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．把代入解析式，再解方程即可得结论． 【详解】解：根据题意，当时，则， 解得，， ∴两排灯的水平距离为． 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 17. 如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键；由题意易得，然后可代入进行求解． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为1． 18. 如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB：DE=_________． 【答案】2：3． 【解析】 【详解】试题分析：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF面积==，∴AB：DE=2：3，故答案为2：3． 考点：位似变换． 19. 如图，的内切圆与，，分别相切于点D、E、F，且，，，则的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程组是解题的关键． 根据切线长定理可知，，，由线段的数量关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D、E、F， ∴，，， 设，，， ∵，，， ∴， 解得，则． 故答案为：8． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： （1）解方程：； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）先计算绝对值，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 ． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点的对称图形． （2）请画出将绕原点逆时针旋转后的图形． （3）在（2）的旋转过程中，求点走过的路径长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 如图所示，即为所求， （3） 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，中心对称的性质，旋转的性质，勾股定理和弧长的计算，找到变换后对应的点是解题的关键． （1）根据题意找到关于原点的对称点，顺次连接，即为所求； （2）根据题意找到绕原点O按逆时针方向旋转后的对应点，顺次连接，即为所求； （3）由旋转的性质可知，点C走过的路径长为以O为圆心，为半径，圆心角为的所对应的弧长，根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：∵点C绕原点逆时针旋转得到点， ∴点C走过的路径长为以O为圆心，为半径，圆心角为的所对应的弧长， ∵， ∴， ∴点C走过的路径长． 22. 一次数学课外活动中，小红所在的小组到眼镜店调查了一些数据，整理成如的统计表： 眼镜度数（度） 200 400 800 镜片焦距（米） 0.5 0.25 0.125 细心的小红发现：近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例． （1）求出眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式． （2）若小红的眼镜度数为度，求该镜片的焦距． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用： （1）利用待定系数法即可； （2）直接利用代入解析式即可求出答案． 【小问1详解】 设与的函数关系式为： 观察表格知： 与之间的函数关系式为： 【小问2详解】 根据题意：当时，有 解得： 当近视眼镜的度数时，近视眼镜镜片焦距的值为 答：度近视眼镜镜片的焦距是． 23. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． 【小问1详解】 由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， 【小问2详解】 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 24. 国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有A．中国京剧，B．中国武术，C．中国书画，D．中国医学，被世人称为中国的“四大国粹”．小明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解． （1）小明选择的是“中国书画”的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先列出图表，得出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 小明随机选择一个，选择的是“中国书画”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 一共有12种情况，小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的有6种情况， 小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率：． 25. 某专卖店销售一种葫芦娃挂件，进价为每件10元，并且每件的售价不低于进价，在销售过程中发现，每日销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求每日销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数解析式． （2）物价部门规定，该葫芦挂件的利润不允许高于进价的，当每件的售价定为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当每件的售价定为18元时，每天获得的利润最大，最大利润时880元 【解析】 【分析】（1）根据图象经过的两点坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （2）设每天获得的利润为w元，根据销量乘以每件的利润得到总利润列出函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设，把代入得： ， 解得， ∴y与x之间得函数解析式为：； 【小问2详解】 设每天获得的利润为w元，根据题意，得： ， ∵物价部门规定售价不高于成本价的， ∴（元）， ∵， ∴当时，w随着x的增大而增大， ∴当时，w最大，最大利润为（元） 答：当每件的售价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 26. 如图，是的直径，是圆周上一点， 于点. 过作的切线，交的延长线于点,连接 . （1）求证：是的切线. （2）若 ， ，求的半径. 【答案】 （1）证明：连结OC. 是的弦，，OA=OC， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵PC切于点C， ∴， ∴，即， 又∵OA是的半径， ∴是的切线； （2）5. 【解析】 【详解】试题分析：（1）通过证明，应用全等三角形的性质得到，进而得到，根据切线的判定即可得到AP是的切线； （2）通过平行线分线段成比例定理，得到，再证明∽，，解得半径的长. 试题解析：解：（1）略 （2）连结BC. ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设CD=4k，则CO=5k，OD="3k" (k＞0)， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∵，∴k=1， ∴OC=5， ∴的半径长为5. 考点：1、切线的性质和判定；2、相似三角形的性质和判定. 27. 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）的为直角三角形，理由如下： ∵解方程=0，则x1=1，x2=5 ∴A（1,0），B（5,0） ∵抛物线的对称轴l为x=3 ∴△APB为等腰三角形 ∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0） ∴OB=CO=5,即∠ABP=45° ∴∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°-45°=90° ∴∠APC=180°-90°=90° ∴的为直角三角形； （3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【解析】 【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可； （2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状； （3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标 【详解】解：（1）∵直线经过点 ∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5） 当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0） ∴解得 ∴该抛物线的解析式为 （2）略 （3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1 ∴∠AM1B=2∠ACB ∵△ANB为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N（3，2） 设AC的函数解析式为y=kx+b ∵C(0，5),A(1，0) ∴ 解得b=5，k=-5 ∴AC的函数解析式为y=-5x+5 设EM1的函数解析式为y=x+n ∵点E的坐标为（） ∴=× +n，解得：n= ∴EM1的函数解析式为y=x+ ∵ 解得 ∴M1的坐标为（）； 在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2 设M2（a，-a+5） 则有：3=，解得a= ∴-a+5= ∴M2的坐标为（，）． 综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师范大学附属官渡学校2025-2026学年上学期 九年级数学12月作业反馈 考试范围：九年级上、下册 （共三个大题，27小题，共2页：满分：100分，反馈时间：120分钟） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标（不含字母或汉字），其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，是的弦．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，则∠A的度数为（　　） A. 112° B. 68° C. 65° D. 52° 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而减小 7. 下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 8. 在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个底面半径为6，高为8的圆锥形漏斗模型(如图)，则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形螺帽的边长是4cm，那么这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是（　　） A. 2，2 B. 4，4 C. 4，2 D. 4， 10. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 13. 如图①，是一款不锈钢晾衣架实物图，图②是其侧面示意图，已知与相交于点，，根据图②中的数据可得的值为（ ） A. 0.9 B. 1 C. 1.1 D. 1.2 14. 如图，点、、均在上，直径，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系、抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 点关于原点对称的点的坐标是________． 17. 如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为_____． 18. 如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB：DE=_________． 19. 如图，的内切圆与，，分别相切于点D、E、F，且，，，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： （1）解方程：； （2）． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点的对称图形． （2）请画出将绕原点逆时针旋转后的图形． （3）在（2）的旋转过程中，求点走过的路径长． 22. 一次数学课外活动中，小红所在的小组到眼镜店调查了一些数据，整理成如的统计表： 眼镜度数（度） 200 400 800 镜片焦距（米） 0.5 0.25 0.125 细心的小红发现：近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例． （1）求出眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式． （2）若小红的眼镜度数为度，求该镜片的焦距． 23. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 24. 国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有A．中国京剧，B．中国武术，C．中国书画，D．中国医学，被世人称为中国的“四大国粹”．小明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解． （1）小明选择的是“中国书画”的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率． 25. 某专卖店销售一种葫芦娃挂件，进价为每件10元，并且每件的售价不低于进价，在销售过程中发现，每日销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求每日销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数解析式． （2）物价部门规定，该葫芦挂件的利润不允许高于进价的，当每件的售价定为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 26. 如图，是的直径，是圆周上一点， 于点. 过作的切线，交的延长线于点,连接 . （1）求证：是的切线. （2）若 ， ，求的半径. 27. 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $