精品解析：陕西省汉中市2026届高三第一次教学质量检测考试数学试题

汉中市普通高中高三年级第一次教学质量检测考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知1，2，n成等比数列，则的展开式中所有项的系数之和为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 将函数（）的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 6. 某品牌酒产自陕西省宝鸡市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价800元的该品牌酒，储存（）年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（为常数）．若储存6年后的此种品牌酒整箱的收藏价值为1200元，则此种品牌酒储存12年后整箱的收藏价值为（ ） A. 1600元 B. 1800元 C. 2400元 D. 2800元 7. 若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 8. 若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A. B. 用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C. 没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D. 有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 10. 记数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 11. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，，分别是的左、右顶点，为上不与，重合的动点．设的离心率为，为的内心，为内切圆的半径，延长交线段于点，则（ ） A. 直线和斜率的乘积为 B. 直线和斜率的乘积为 C. 点到轴的距离为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________， ________． 13. 已知函数，则不等式的解集是_________． 14. 在棱长为3的正方体中，点满足，则正方体表面到点的距离为的点的轨迹总长度为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 某不透明的瓶子中装有外观完全相同的5个荔枝味糖果和3个樱桃味糖果，每次随机摸出1个糖果． （1）设每次都是不放回地摸糖果，连续摸2次，求第二次摸得荔枝味糖果的概率； （2）若每次都是有放回地摸糖果，连续摸3次，单次摸得荔枝味糖果即送1个苹果味糖果，单次摸得樱桃味糖果即送0个苹果味糖果，所得苹果味糖果均不放入瓶中，设3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为，求的数学期望． 17. 已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 18. 已知的内角，，的对边分别为，，． （1）若，求角的大小． （2）设为外接圆上的点，外接圆的半径为2，且平分，． （i）当时，求的值； （ii）证明：． 19. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中市普通高中高三年级第一次教学质量检测考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集的概念计算即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：C. 2. 若复数的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数求得，进而求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以. 故选：B 3. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算可得向量平行时的值，再结合充分条件与必要条件的概念进行判断即可得结论. 【详解】因为向量， 若可得，解得或， 所以时，可得；时，不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知1，2，n成等比数列，则的展开式中所有项的系数之和为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】通过等比数列的性质求出的值，再利用赋值法得到二项式展开式的所有项系数之和. 【详解】由1，2，成等比数列，得，故. 令中，得所有项的系数之和为. 故选：C 5. 将函数（）的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，利用正切型函数的性质求得，，再根据确定的最大最小值即可. 【详解】由题意得，则，即，． 因为，则当时，取得最小值为，当时，取得最大值为． 故选：D. 6. 某品牌酒产自陕西省宝鸡市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价800元的该品牌酒，储存（）年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（为常数）．若储存6年后的此种品牌酒整箱的收藏价值为1200元，则此种品牌酒储存12年后整箱的收藏价值为（ ） A. 1600元 B. 1800元 C. 2400元 D. 2800元 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出的值，再求. 【详解】由题意可得，即， 所以此种品牌酒储存12年后整箱的收藏价值为元． 故选：B. 7. 若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．首先求导，设出曲线上的切点坐标后列方程组求得公切线的斜率，再结合曲线列方程求解. 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 8. 若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】探讨直线与曲线的特征，画出图形，数形结合求出的范围. 【详解】曲线，即（），表示双曲线的右支，其渐近线方程为， 直线过定点，直线与曲线，如图， 观察图形得，当且仅当时，直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A. B. 用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C. 没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D. 有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 【答案】BD 【解析】 【分析】先补全列联表的未知数值，再通过样本频率验证概率类选项，利用独立性检验的卡方公式计算统计量，结合临界值判断变量关联程度. 【详解】不超过40岁且周平均使用时间不超过4小时的； 40岁以上且周平均使用时间超过4小时的； 40岁以上的总计为， 故40岁以上且周平均使用时间不超过4小时的. 选项A：，A错误； 选项B：周平均使用时间超过4小时的样本数为72， 总样本数120，概率为，B正确； 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 18 72 40岁以上 18 30 48 总计 72 48 120 ， 因， 故有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关. 所以C选项错误，D选项正确. 故选：BD 10. 记数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用与的关系式，运用迭代相减法，得到，即可判断其为等差数列，写出数列的通项与前项和，即可依次判断A,B,C项；再利用裂项相消法求和即可判断D项. 【详解】对于A，在中，取时，，故A正确； 对于B，当时，由①，得②， 则①②得，即，所以． 又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B项，可得，故C错误； 对于D，因， 故，故D正确． 故选：ABD. 11. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，，分别是的左、右顶点，为上不与，重合的动点．设的离心率为，为的内心，为内切圆的半径，延长交线段于点，则（ ） A. 直线和斜率的乘积为 B. 直线和斜率的乘积为 C. 点到轴的距离为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设出的坐标结合在椭圆上计算即可；对于B，举反例即可求解； 对于C,等面积法即可求解；对于D，由角平分线分线段成比例定理，得，则，所以．又的离心率，所以，D正确． 【详解】如图： 设，则．因为，，所以，A正确． 当为上顶点时，此时，则，B错误． 的面积，又，所以，C正确． 在中，连接，．因为是的内心，所以，分别平分和．由角平分线分线段成比例定理，得，则．因为，，所以．又的离心率，所以，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________， ________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用二倍角公式计算，结合同角三角函数关系求出，再通过两角差的正弦公式计算. 【详解】由，代入，得 . 由且，得 . 由，代入， 得 . 故答案为：；. 13. 已知函数，则不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性对不等式进行求解，从而确定正确答案. 【详解】依题意，函数在上单调递增， 所以不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 14. 在棱长为3的正方体中，点满足，则正方体表面到点的距离为的点的轨迹总长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出以为球心，为半径的球在正方体表面、和的轨迹即可分析求轨迹总长度. 【详解】由题意知以为球心，为半径的球与正方体表面的交线长度即为所求，如图， 又由题可得三点在一条线上，且， 所以，，在线段取点N，使得， 所以， 所以在平面和平面上的轨迹是圆心为，半径为，圆心角为的两段弧，弧长均为； 在平面上的轨迹是圆心为，半径为3，圆心角为的弧，弧长为． 故轨迹的总长度为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，从而得到线面平行； （2）由线面垂直得到，结合⊥，得到⊥平面，结合（1）中所求，从而证明线面垂直； （3）建立空间直角坐标系，得到两平面的法向量，从而得到面面角的余弦值. 【小问1详解】 连接，与相交于点， 因为是棱上靠近点的三等分点，是棱上靠近点的三等分点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为底面是正方形，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 又，所以平面； 【小问3详解】 因为平面，平面， 所以， 又底面是正方形，故， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角大小为， 则； 16. 某不透明的瓶子中装有外观完全相同的5个荔枝味糖果和3个樱桃味糖果，每次随机摸出1个糖果． （1）设每次都是不放回地摸糖果，连续摸2次，求第二次摸得荔枝味糖果的概率； （2）若每次都是有放回地摸糖果，连续摸3次，单次摸得荔枝味糖果即送1个苹果味糖果，单次摸得樱桃味糖果即送0个苹果味糖果，所得苹果味糖果均不放入瓶中，设3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为，求的数学期望． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求解即可； （2）记3次摸糖果后摸得荔枝味糖果的次数为，由条件可得，再由题意知，3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数等于3次摸糖果后摸得荔枝味糖果的次数，即，从而根据二项分布的期望公式计算即得. 【小问1详解】 记“第一次摸得荔枝味糖果”为事件，“第二次摸得荔枝味糖果”为事件． 则, 故， 所以第二次摸得荔枝味糖果的概率为． 【小问2详解】 由题可知，每次摸糖果，摸得荔枝味糖果的概率为，摸得樱桃味糖果的概率为． 记3次摸糖果后摸得荔枝味糖果的次数为，则． 因为3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为，所以，所以， 所以的数学期望． 17. 已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式求出p即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可求出参数得解； （3）由两点间斜率公式结合（2）中的韦达定理进行转化计算即可求解. 【小问1详解】 根据题意可得，解得．所以的方程为． 【小问2详解】 设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； 【小问3详解】 证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 18. 已知的内角，，的对边分别为，，． （1）若，求角的大小． （2）设为外接圆上的点，外接圆的半径为2，且平分，． （i）当时，求的值； （ii）证明：． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合正余弦定理依次化简、角化边即可求解； （2）（i）先由题设求得，再在和中依次使用余弦定理得到，即为方程的两个根，再用韦达定理即可求解； （ii）过点作，交于点，设，求出，再在中由正弦定理即可求解. 【小问1详解】 由题意可得， 根据正弦定理可得，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 （i）当时，为外接圆的一条直径，所以，则． 设外接圆的圆心为，则为的中点．连接，，，如图1所示． 易得，所以． 在中，根据余弦定理可得，则． 同理，在中，， 所以，即为方程的两个根，所以． （ii）证明：如图2，过点作，交于点． 设，则， ，，则． 在中，根据正弦定理可得，即，所以． 19. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，且，证明：． 【答案】（1） 若，则在上单调递增； 若，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时在上单调递增； 若，则当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. （2） （3） （证法一）当时，，因， 若，，则，，与矛盾，，， 由（2）可知，则，则， 所以， 又， 所以. （证法二）当时，．由，得， 显然，不同时为负数，由可得，都为正数， 因为， 所以，所以， 又 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导后分、及讨论即可得； （2）由题意可得，构造函数后利用导数研究函数单调性，则可得该函数最小值，即可得解； （3）法一：通过讨论的正负可得，，结合（2）中所得可得，则可得，再得到即可得证；法二：由题意可得，则可得，，又，则可得，计算可得，，即可得证. 【小问1详解】 ，令，解得或， 若，则，则在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，由，得，即， 令，则， 令，则，故在上单调递增， 又， 则当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增； 所以， 所以，即的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $