精品解析：河南省洛阳市新安县实验初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年度八年级上学期阶段评估（二） 数学 上册第10~12章 注意事项：共三个大题，满分120分，作答时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的），请把正确答案的代号填在括号中． 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小．根据实数比较大小的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：A． 2. 在中，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形判定是等边三角形，从而得解． 【详解】∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 3. 如图，在中，，平分，若，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 根据“三线合一”的性质即可求解． 【详解】解：，为的平分线，， ． 故答案为：D． 4. 如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 故选：B． 5. 已知，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘的逆用，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，利用这一法则计算即可． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ ． 故选：D． 6. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：在的平分线上，、、不在的平分线上， 到两边距离相等． 故选：C． 7. 已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性、等腰三角形的定义及完全平方公式，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性、等腰三角形的定义及完全平方公式是解题的关键；由非负数的性质求出a和b的值，再根据等腰三角形的定义和三角形三边关系判断可能的情况，计算周长，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴且， ∴， 当腰长为6，底边为2时，满足三角形三边关系，周长为； 当腰长为2，底边为6时，，不满足三角形三边关系，故舍去； ∴这个等腰三角形的周长为14； 故选：B． 8. 我国传统工艺中，油纸伞的制作工艺非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图，这是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据全等三角形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故选：A． 9. 规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做该等腰三角形的“特征值”，记作．若，则该等腰三角形的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和等边对等角，根据等腰三角形的“特征值”定义，设顶角为，则底角为，利用三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做该等腰三角形的“特征值”，记作． ∴设顶角为，则两个底角均为， 又∵ 三角形内角和为180°， ∴ ， ∴解得：， ∴ 顶角的度数为． 故选：C． 10. 如图，在中，．若是三边垂直平分线的交点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角等知识，先根据“是三边垂直平分线的交点”得到，，从而可知，，用三角形的内角和求出，从而得到，则，最后再用三角形内角和求解即可． 【详解】如图，连接． ∵是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是___________． 【答案】两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是能写出一个命题的逆命题． 内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 【详解】解：内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 13. 某新能源实验室在研究太阳能电池板的能量转化效率时，发现一块新型电池板在光照强度稳定的情况下，第1小时内吸收的太阳能总量可表示为焦耳，随着光照时间的增加，电池板因温度升高会出现轻微“能量吸收衰减”，第3小时内吸收的太阳能总量可表示为焦耳，则该电池板第1小时吸收的太阳能总量是第3小时吸收总量的________倍． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，解题的关键是理解题意；计算第1小时与第3小时吸收总量的比值，应用指数运算法则求商，然后问题可求解． 【详解】解：第1小时吸收总量为焦耳，第3小时吸收总量为焦耳，则倍数关系为， 故答案为：100． 14. 如图，在中，，是中线，是角平分线，与交于点，则的度数为______． 【答案】115° 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：在中，，是中线，， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知，射线上一点，以为边在下方作等边，点为射线上一点，若，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，旋转的性质，分两种情况讨论点的位置．点位于左侧．点位于右侧，分别画出相应的图形，根据全等三角形和等腰三角形的性质可求出的度数， 【详解】解：①当位于左侧时，如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ②当位于右侧时，如图，将绕着点顺时针旋转得到，则是等边三角形， ， ， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）如图，在中，，，是延长线上一点，求的度数． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、等腰三角形等边对等角的性质和邻补角定理，熟练掌握计算和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）先算出算术平方根、立方根和绝对值，再进行加减即可； （2）先根据等腰三角形等边对等角的性质，并结合三角形内角和定理求出，再运用邻补角定理求出即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：∵，， ∴， ∴． 17. 如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质等知识，先根据角平分线的定义，得出，结合平行线的性质可知，继而得到，从而得解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 18. 如图，已知，，． （1）求证：为等边三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据补角求出，通过互余求出，再运用内角和定理可求出三个角都为，即为等边三角形； （2）由（1）可得，运用三角形内角和定理可求出的度数． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由（1）得， 又∵， ∴． 19. 如图，某公园有一块长为、宽为的长方形土地，计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个边长为的正方形喷水池． （1）求绿化的面积．（用含，的式子表示） （2）当，时，求绿化的面积． 【答案】（1）绿化的面积为 （2）绿化的面积为 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）根据，用代数式表示即可； （2）把，代入（1）中的代数式求值即可． 【小问1详解】 解： ， 绿化面积为平方米； 【小问2详解】 解：当，时， ， 答：绿化面积为平方米． 20. 如图，在中，． （1）用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线、以及角平分线的性质.解题的关键在于作出角平分线并利用其性质证明线段相等. （1）先以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； （2）过点作，垂足为，由角平分线的性质定理证明，再由等面积法列方程求解即可. 【小问1详解】 解：以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，最后过点及这一交点画射线交于 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， 解得． 21. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． （1）若，，求的周长． （2）求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】（1）的周长为 （2） 证明：由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用线段垂直平分线的性质得到线段相等是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得，将的周长转化为即可得出； （2）先由得出，再结合利用余角性质得到，利用对顶角相等得，进而得，由等角对等边得，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得证． 【小问1详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长； 【小问2详解】 略 22. 【结论探索】 （1）如图1，是的平分线，点在上，于点，延长交于点，则与全等吗？请判断并说明理由． 【结论应用】 （2）如图2，在中，于点，．求证：． （3）如图3，在中，，，是的平分线，交的延长线于点，直接写出与的数量关系． 【答案】 （1）．理由如下： ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． 在与中 ， ∴． （2）证明：如图，延长交于点，则． 在与中 ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，灵活掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用证明即可； （2）延长交于点，与（1）同理可证，则，再结合三角形的外角的性质即可证明； （3）延长交的延长线于点，与（1）同理可证，则，再证明得到，从而得到． 【详解】解：（1）略； （2）略； （3）．理由如下： 如图，延长交的延长线于点，则． ∵是的平分线， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴． 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题． 【模型呈现】 （1）如图1，点，，在同一直线上，，．求证：． 【模型拓展】 （2）如图2，点，，在同一直线上，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以2cm/s的速度从点出发，沿移动到点，点以3cm/s的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动．过点，分别作，，垂足分别为点，．若，，设运动时间为s．当以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等时，直接写出的值． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴． ∵，，， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． （3）2或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握一线三等角和一线三直角模型是解题的关键． （1）运用一线三等角的模型直接证明即可； （2）先证明，再用证明得到，，结合即可得到； （3）分①当点在边上，点在边上，即时，②当点在边上，点在边上即时，③当点在边上，点在边上时，即时三种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）2或．理由如下： 根据题意，得． ∵，， ∴． ∵， ∴当时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等． ①如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ②如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ③如图，当点在边上，点在边上时，即时，，， ∴， 解得(舍去)． 综上所述，的值为2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度八年级上学期阶段评估（二） 数学 上册第10~12章 注意事项：共三个大题，满分120分，作答时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的），请把正确答案的代号填在括号中． 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 在中，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 如图，在中，，平分，若，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 6 D. 5 4. 如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 16 8. 我国传统工艺中，油纸伞的制作工艺非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图，这是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做该等腰三角形的“特征值”，记作．若，则该等腰三角形的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，．若是三边垂直平分线的交点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 16的算术平方根是___________． 12. 定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是___________． 13. 某新能源实验室在研究太阳能电池板的能量转化效率时，发现一块新型电池板在光照强度稳定的情况下，第1小时内吸收的太阳能总量可表示为焦耳，随着光照时间的增加，电池板因温度升高会出现轻微“能量吸收衰减”，第3小时内吸收的太阳能总量可表示为焦耳，则该电池板第1小时吸收的太阳能总量是第3小时吸收总量的________倍． 14. 如图，在中，，是中线，是角平分线，与交于点，则的度数为______． 15. 如图，已知，射线上一点，以为边在下方作等边，点为射线上一点，若，则的度数为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）如图，在中，，，是延长线上一点，求的度数． 17. 如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 18. 如图，已知，，． （1）求证：为等边三角形； （2）若，求的度数． 19. 如图，某公园有一块长为、宽为的长方形土地，计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个边长为的正方形喷水池． （1）求绿化的面积．（用含，的式子表示） （2）当，时，求绿化的面积． 20. 如图，在中，． （1）用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 21. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． （1）若，，求的周长． （2）求证：点在线段的垂直平分线上． 22. 【结论探索】 （1）如图1，是的平分线，点在上，于点，延长交于点，则与全等吗？请判断并说明理由． 【结论应用】 （2）如图2，在中，于点，．求证：． （3）如图3，在中，，，是的平分线，交的延长线于点，直接写出与的数量关系． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题． 【模型呈现】 （1）如图1，点，，在同一直线上，，．求证：． 【模型拓展】 （2）如图2，点，，在同一直线上，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以2cm/s的速度从点出发，沿移动到点，点以3cm/s的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动．过点，分别作，，垂足分别为点，．若，，设运动时间为s．当以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $