以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题 专项训练 考点目录 以集合运算为背景的含参问题 以逻辑用语为背景的含参问题 集合新定义问题 考点一 以集合运算为背景的含参问题 例1．（25-26高一上·湖南·月考）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）当时，， ，或， ， ， ； （2）由（1）可知， 当时，显然成立，此时，解得， 当时，此时，解得， 要想，只需，而，所以， 综上所述：实数a的取值范围为. 例2．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为A，集合．集合． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，解得， 可知函数的定义域为； 由可得，解得， 可得集合，则， 所以. （2）若，且集合，集合， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围. 例3．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知集合，或，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【详解】（1）当，，或， 或， ，所以； （2）当，，得， 当时，若，则，解得：， 综上可知的取值规范为. 例4．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合，. (1)若，求; (2)若 ，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 所以，. （2）当时，即，解得，满足题意； 当时，因为，则，解得， 综上，的取值范围为. 例5．（25-26高一上·辽宁丹东·月考）设，集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）集合是直线上的点集，当时，集合是抛物线上的点集， 即直线与抛物线的交点构成的集合. 联立，解得或，即交点为、. 所以. （2）联立，整理得. 若，即直线与抛物线无交点，即. ，解得. 故实数的取值范围为. 变式1．（25-26高一上·河南周口·月考）已知集合. (1)当时，求； (2)若集合为非空集合且，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3). 【详解】（1）解：当时，可得集合，因为， 所以，或， 则. （2）解：由集合为非空集合且，可得， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （3）解：由集合，且， 当时，则满足，解得，此时满足； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 变式2．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知全集，集合，或，其中 ． (1)若，求： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）（1）当时，或， ， ． ； （2）由已知可得， ，或， 或，又， 实数的取值范围为或. 变式3．（25-26高一上·浙江温州·月考）已知集合，集合． (1)当时，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）当时，由，得，而， 所以. （2）依题意，，而， 由，得，则， 所以的取值范围为 变式4．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知集合，. (1)若，求； (2)若集合中恰有5个整数元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 当时，， 所以； （2）由（1）知，包含共5个整数， 要使集合中恰有5个整数元素，则集合至少包含这5个整数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 变式5．（25-26高一上·陕西延安·期中）设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【详解】（1）当时，， 此时，故或； （2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 考点二 以逻辑用语为背景的含参问题 例1．（25-26高一上·上海·月考）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， ，故. （2）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， ①若，则，解得； ②若，由于是的真子集，所以，解得. 综上所述，的取值范围是． 例2．（25-26高一上·广东·月考）已知集合，集合，集合. (1)求； (2)已知命题，命题，命题，若这三个命题中有且仅有一个为真命题，求的取值范围. 【答案】(1)，或. (2) 【详解】（1）由题意可得，或，或 所以.或. （2）若只有p为真命题，则，，，得，则； 若只有q为真命题，则，，，得，则； 若只有r为真命题，则，，，得，无解； 综上，. 例3．（25-26高一上·重庆·月考）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得： ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，此时，要满足， 则需或，解得； 综上，实数的取值范围为； （2）∵q是p的必要不充分条件， ∴⫋， 则或，解得：， 故实数的取值范围为. 例4．（25-26高一上·安徽·期中）已知命题，不等式恒成立，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，不等式恒成立，此时命题为真命题，符合题意； 当时，若命题为真命题，则，解得， 综上，，所以集合. （2），即， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 例5．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知集合 (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 当时，， ； （2）由（1）可知， ， 若“”是“”的必要条件， 则 所以，即， 故a的范围为 变式1．（25-26高一上·河南·月考）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 当时，此时满足，则，解得； 当且，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，其中不同时取等号，解得， 所以实数的取值范围是． 变式2．（25-26高一上·广东广州·月考）设全集．集合，集合． (1)当时，求； (2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）当时，或， ，此时或. （2）因为命题，命题，且是的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，或， 要使得是的真子集，则，所以； 当时，，此时，不符合题意； 当时，或， 要使得是的真子集，则，所以. 综上所述，实数的取值范围是或. 变式3．（25-26高一上·安徽蚌埠·月考）已知全集，集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），解得，故， 若，则，因此. （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，可得⫋， 因为，， 故，解得， 故. 变式4．（25-26高一上·山东青岛·月考）已知集合，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为集合，集合，且， 当时，，即，此时，符合题意； 当时，，即， 则有或，解得或，此时. 综上所述，实数的取值范围是或. （2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，即，此时是的真子集，符合题意； 当时，则，解得， 当时，为的真子集，符合题意， 当时，为的真子集，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 变式5．（25-26高一上·广东深圳·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时， 或 ， 或； （2）“”是“”的充分条件，， 即又 或或， 而， 要使得，需有或， 或. 即实数a的取值范围是 考点三 集合新定义问题 例1．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知数集（其中，，）具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质； (2)证明：； (3)已知数集具有性质，若，，求数集. 【答案】(1)不具有性质，具有性质； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）对于集合：取，则， 所以数集不具有性质； 对于数集：， 即对中任意，与中至少有一个属于， 所以数集具有性质. （2）由已知， 若，则，，所以， 又，所以数集不具有性质，不符合题意， 所以； （3）由（2）可知，， 因为， 所以，所以， 因为数集具有性质，所以， 所以， 所以，即， 因为，则，所以， 由，又，所以， 所以，所以 所以. 例2．（25-26高一上·四川广安·期中）已知集合为非空数集，规定：，. (1)若集合，直接写出集合； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）由，根据定义：，， 所以. （2）证明：因为，所以， 若，则，而， 故，又， 而均为中元素，故，即， 又因为，故，得证. （3）设，其中， 不妨设， 则， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以，解得，即， 实际上当时满足题意. 证明如下： 设， 则， 依题意有，解得， 故的最小值为676，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 例3．（25-26高一上·浙江·期中）对于给定的非空数集，定义集合，当时，称具有孪生性质. (1)若集合，求集合和并判断是否具有孪生性质； (2)若集合，且，求证：； (3)若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)，，具有孪生性质. (2)证明见解析 (3)1350. 【详解】（1）由集合，得，因此， 又，所以. 因为，所以具有孪生性质. （2）由集合， 得集合的元素在中产生， 且， 而，则中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即， 则构成的元素为，且与0或或重复， 又，所以，即. （3）依题意，， 设满足题意，其中， 由， 得：， 由，得：， 由，得， 而中最小的元素为0，最大的元素为， 因此，即，解得， . 则，满足， 所以具有孪生性质.     所以集合中元素的个数的最大值是1350. 例4．（24-25高一上·福建厦门·月考）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； （2）假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合，， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． 例5．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知集合，对任意的，若或，则称集合为集合． (1)判断集合是否为集合，并说明理由； (2)若集合为集合，求的值； (3)若集合为集合，求证：集合中的正数和负数的个数相等． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2) (3)证明见解析 【详解】（1）不是，理由如下： 取，则， 因此不是集合. （2）若，则或，则， 当时，取，则， 取，则， 所以符合题意； 若，则或，则或， 当时，取，则， 所以不符合题意； 若，则或，则， 当时，取，则， 所以不符合题意； 综上. （3）若，设集合中的所有负元素满足， 由于，则，则， 同理可得，均为负数且均属于， 则， 由于，则，则， 同理可得，均为正数且均属于， 即若中有个负数，则中至少有个正数， 由对称性可得，此时中有个正数，则至少有个负数， 即，，同理可得正数个数、负数个数均不小于， 若，则至少有共个正数属于A, 而此时正数有个，设正数 则，结合，即， 可得， 由于，则， 由于，则， 结合可得， 则，与题干矛盾， 同理若负数有个，则正数有个，仍可推出矛盾， 则只能是， 若中有个负数，则中至少有个正数， 而正数有个，则至少有个负数， 即且， 则，则， 则集合中的正数和负数的个数相等. 变式1．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 【答案】(1)是“坏集”，是“好集”，理由见解析 (2)且 (3)证明见解析 【详解】（1），当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. （2）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. （3）假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”. 变式2．（25-26高一上·河南信阳·期中）已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，又， . （2）若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 变式3．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合，，从中选取个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项，满足：或，则称该序列为列． (1)对于第项为的列，求它的第项； (2)对于列中的项，令，若为所有可能的取值所组成的集合，为质数集，求； (3)设为列，且中的项满足：当为奇数时，；当为偶数时，，判断，能否同时为中的项，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)不能同时为中的项，理由见解析 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中）， 同理，或也不符合题意（不在集合中）， 所以下一项是或． （2）由或知所有可能的取值为， 其中只有为质数，所以． （3）假设二者同时出现在中，由于列取反序后仍是列，故不妨设在之前． 显然，在列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的， 由于为奇数，为偶数，所以从到必定要向下一项走奇数次； 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在为偶数时，所以从到必定要向下一项走偶数次． 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中． 变式4．（25-26高一上·山东青岛·期中）对于给定的正整数，设集合，集合，是的非空子集，且满足，，若对任意的，在集合中只有一个数使得为偶数，则记，并称为从集合到集合的“函数”. (1)当时，若，写出集合，并判断从集合到集合是否存在“函数”； (2)若集合中至少有一个奇数，且为从集合到集合的“函数”，求证：存在，使得； (3)若为从集合到集合的“函数”，讨论集合中元素的个数. 【答案】(1)，集合到集合不存在“函数”. (2)证明见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）当时，，若集合，，集合中无奇数，当，在集合中没有唯一确定的数使得为偶数，所以不存在函数. （2）证明:记且为奇数，则中存在唯一确定的奇数记为，又因为，， 所以其它奇数均在内，则，. （3）（i）设为偶数， ①若A中只有奇数，则在集合B中有唯一确定的奇数且B中有所有的偶数，则A中有除之外的所有奇数，所以集合A中的元素个数为个； ②若A中只有偶数，则在集合B中有唯一确定的偶数且B中有所有的奇数，则A中有除之外的所有偶数，所以集合A中的元素个数为个； ③若A中有奇有偶，则在集合B中有恰有一个奇数一个偶数 ，所以集合A中的元素个数为个. (ii)同理:n为奇数时 ①若A中只有奇数，A中的元素个数为个； ②若A中只有偶数，A中的元素个数为个； ③若A中有奇有偶，A中的元素个数为个. 变式5．（25-26高一上·江西鹰潭·月考）对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称A具有孪生性质． (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)1350． 【详解】（1）由集合， 得，，，，，， 因此， 又，，，，，， 所以． （2）由集合，， 得集合的元素在0，，，中产生， 且，， 而，则B中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即，， 则构成的元素为0，，，，且与0或或重复， 又，所以，即． （3）依题意，， 设满足题意，， 由，得， 由，得， 由，得，即， 则， 而中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故m的最小值为675， 于是当时，C中元素最多， 即时满足题意， 所以集合C中元素的个数的最大值是1350． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题 专项训练 考点目录 以集合运算为背景的含参问题 以逻辑用语为背景的含参问题 集合新定义问题 考点一 以集合运算为背景的含参问题 例1.(25-26高一上湖南月考)已知集合1={a-1<x≤2a,B={r2+x-6≥0 ()当a=1时，求AnB,AU(CB ACCB (2)若 ,求实数a的取值范围. )=V2x+3+1 例2.(25-26高一上·福建南平·期中)已知函数 +3-x的定义域为4，集合B=x3≥9.集合 C={x2a-1<x<a+2} I)求AnCB) C∩B= (2)若 ,求实数a的取值范围. 以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 A={x|2-a≤x≤2+a}B={xx≤1x≥4U=R 例3.(25-26高一上福建莆田·期中)已知集合 或 (当a=2时，求AnB,4UGB), (2)若A∩B=,求实数a的取值范围. 例4.(25-26高一上内蒙古赤峰期中)已知集合1={x-2<x<6,B=xm<x<2m+1 ()若m=1,求(94∩B. B≤Am (2)若 ，求“的取值范围。 2 以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 例5.(25-26高一上辽宁丹东月考)设m∈R,集合4=《七=x+x∈R, B={（x,yly=-2x2+2x+m,x∈R. (1)若m=4,求A∩B; (2)若A∩B=2,求实数m的取值范围. A={x|-2≤x≤5)，B={x|m+1≤x≤2m-1} 变式1.(25-26高一上河南周口·月考)已知集合 ()当m=3时，求1UB,4n(GB) 2)若集合B为非空集合且 AUB=A ,求实数的取值范围； (3)若A∩B=,求实数m的取值范围. 以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 变式2.(25-26高一上福建厦门月考》已知全集U=R,集合A=x-(x-4到<0，B=≤3m-4或 x≥8+m 其中m<6. ①若m=2,求 A∩CB A∩CB=0 (2)若 ,求实数m的取值范围. 、A=(-1,3),B={x|x-a<0} 变式3.(25-26高一上·浙江温州月考)已知集合 ,集合 (1)当a=2时，求A∩B AUB=B (2)若 ,求实数“的取值范围. 以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 变式4.(25-26高一上：山东球庄月考)已知集合1={-2x-3≤0，B=树m-3<x≤2m+y (0)若m=6 AUB ,求 (2)若集合A⌒B中恰有5个整数元素，求实数m的取值范围. 变式5。(25-26高一上陕西延安期中)设集合1={x-1≤x+1≤6，B=xm-1<x<2m+1 )当m=3时，求(4nB). (2)若 0B=A,求”的取值范图 以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 考点二 以逻辑用语为背景的含参问题 4-x 例1(25-26商一上上海月考)已知集合M=xa-1≤x≤2a+3引，P={x+2≥0， ≥0 全集U=R (1)当a=2时，求M∩P: (2)若x∈P是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 例2。(56的上广索月》已如案合4袖2-1<，实合2=-16.集台0-90 A∩B,BUC (1)求 p:x∈A (2)已知命题 ,命题 :x∈B 命题”xGC,若这三个命题中有且仅有一个为真命题，求的取值范围 6 以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 A={x2<x<4} B={x2m<x<1-m,m∈R} 例3.(25-26高一上·重庆月考)已知集合 和集合 (I)若A∩B=),求实数m的取值范围： p:x∈A,q:x∈Bqp (2)已知 ”，若是'的必要不充分条件，求实数”的取值范围 例4.(25-26高一上·安徽期中)已知命题公x∈R, 22+2x+1>0 ,不等式 恒成立，当命题为真命题时，实 数t的取值集合为A. (I)求集合A: (2)设非空集合 B=a-2<1+1<24,若x∈A,是。∈8”的充分不必要条作，求实数”的取值范围。 > 以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 例5.(25-26高一上江苏南京月考)已知集合4={x2<64,B=x2-2ax+a2-1<0,a∈R AUB 0)当a=-2时，求 (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围. 变式1.(25-26高一上河南月考)已知集合4={对-3≤x≤4，B=(1-m≤x≤3m-2 (1)若 AUB=A 2 ，求实数的取值范围： (2)已知P:e4 ixEB pg 台，若”是9的充分不必要条件，求实数"的取值范围。 以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 变式2.(25-26高一上广东广州月考)设全集 U=R. 集合 $$A = \left\{ x | x ^ { 2 } - 3 m x + 2 m ^ { 2 } > 0 \right. \right\} ，$$ ，集合 $$B = \left\{ x | \frac { x + 2 } { x - 3 } < 0 \right\}$$ (1)当 m=2 时，求 求 A∪B q：x∈B P m (2)若命题 p：x∈A ， 命题 ， 若 是 是 的充分不必要条件，求实数的取值范围. 变式3. (25-26高一上安徽蚌埠月考)已知全集 U=R， ，集合 $$A = \left\{ x | a - 2 \le x \le a + 3 \right\} ， B = \left\{ x | - 1 \le { \log _ { 2 } } x \le 0 \right. \right\}$$ a=3 A∪B (1)当 时，求 (2) 若“xeA”是“ x∈B” 成立的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围. 9 以集合运算为背景的含参问题、以逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 变式4.(25-26商一上山东青岛月考)已知集合A=x1≤x≤6，集合B=m+1≤x≤2m-Lm∈R网 (I)若A∩B=),求实数m的取值范围： 2没P:x后从，9：GB,若'是”的必要不充分条件，求实数”的取值范围 变式5.(25-26高一上广东深圳期中)设集合 0活a=3,求1U8: (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围. 10