期末培优：有理数的运算10种高频考点专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学上册

期末培优：有理数的运算10种高频考点专项训练 期末培优：有理数的运算10种高频考点专项训练 考点目录 有理数的加法与减法 倒数 有理数的乘法与除法 有理数的四则混合运算与运算律 有理数四则混合运算的实际应用 乘方 科学记数法 综合提升：有理数的运算与数轴上的翻折问题 综合提升：有理数的运算与数字上的距离问题 综合提升：以有理数的运算为背景的材料阅读类问题 考点一 有理数的加法与减法 例1．（25-26七年级上·广东东莞·期中）在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是（   ）． A．5 B． C．1 D． 例2．（25-26七年级上·重庆南川·期中）若，，且与异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．7或 D．或 例3．（25-26七年级上·广东汕头·月考）一个点从原点开始，先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，那么终点表示的数是 ． 例4．（25-26七年级上·广西崇左·月考）已知的相反数是，的相反数是，的相反数是，求的值 ． 例5．（24-25七年级上·福建宁德·月考）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 例6．（25-26七年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 变式1．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）克拉玛依市某天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜的气温是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·河北邢台·月考）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级上·福建宁德·期中）比大2的数是 ． 变式4．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）苏州冬季里某天最低气温为，最高气温为，这天苏州的温差是 ． 变式5．（25-26七年级上·广西崇左·月考）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 变式6．（25-26七年级上·河南郑州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二 倒数 例1．（25-26七年级上·山东日照·期中）的倒数是（    ） A．2025 B． C． D． 例2．（25-26六年级上·上海普陀·月考）一个有理数的倒数是，则这个数的相反数是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26六年级上·上海·月考）的倒数是 ． 例4．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）的相反数是它本身，的倒数也是它本身，的值为 ． 变式1．（22-23七年级下·重庆渝中·开学考试）的倒数是（   ） A．2025 B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）若a的相反数是2026，则a的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 变式3．（25-26七年级上·甘肃武威·月考）的倒数是 ． 变式4．（25-26七年级上·天津·期中）的倒数是 ． 考点三 有理数的乘法与除法 例1．（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）计算：（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： ， ． 例4．（25-26七年级上·河南周口·月考）计算： ． 例5．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）计算： 例6．（25-26七年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）规定一种新运算：，则的值是（   ） A．6 B． C． D．10 变式2．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）若，则表示的数是（   ） A． B． C．4 D． 变式3．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）计算： ． 变式4．（25-26七年级上·吉林长春·期中）计算的结果为 ． 变式5．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）计算： 变式6．（25-26七年级上·广东广州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点四 有理数的四则混合运算与运算律 例1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 例2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）计算： (1) (2) 例4．（25-26七年级上·吉林·期中）计算 (1)； (2)． 变式1．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 变式2．（25-26七年级上·湖南永州·期中）计算： (1)； (2)； 变式3．（25-26七年级上·山西运城·期中）计算： (1) (2) 变式4．（25-26七年级上·安徽马鞍山·开学考试）计算下面各题．（能简便的要简便计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 考点五 有理数四则混合运算的实际应用 例1．（25-26七年级上·重庆南川·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.5元，请计算小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 例2．（25-26七年级上·广东中山·期中）某司机在东西走向的路上开车接送乘客，从他早晨由A地出发开始（取向东为正），到晚上送走最后一位乘客为止，一天的行驶里程记录如下（单位：）：，，，，，， (1)该司机最后离出发点A地多远？在哪个方向上？ (2)若汽车每行驶耗油，则该汽车今天耗油多少？ 例3．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：kg）如下： 回答下列问题： (1)这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克； (2)与标准重量比较，8筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 例4．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）新能源汽车购置税减免政策将于明年起迎来调整，“双节”假期成为不少市民赶搭“免税末班车”的购车时机．小明家趁此时机将原来的汽油车新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)求小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米； (2)已知汽油车每行驶需用汽油约8升，汽油价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量约为11度，每度电为元．请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少元． 变式1．（25-26七年级上·重庆·期中）某学校对各班午餐剩饭量进行统计，若规定剩饭量超过500克的部分记为“+”，剩饭量低于500克的部分记为“”，下表是该学校某班按此规定记录的5天剩饭量数据． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 剩饭量 (1)求该班这5天平均每天剩饭量是多少克： (2)学校规定班级每天剩饭量以500克为标准，如果当天剩饭量低于500克，那么低于500克的部分每克增加班级积分5分；相反，如果当天剩饭量超过500克，那么超过500克的部分每克扣除班级积分8分．求该班这5天的班级积分是多少． 变式2．（25-26七年级上·河南新乡·月考）科技改变生活，许多农户用网络销售的方式销售农产品．家住河南灵宝市的小王在网络上销售自家种的苹果，计划每天销售，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划销售量的部分记为正数，不足计划销售量的部分记为负数，下表是小王第一周苹果的销售情况． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 销售量/ (1)小王这一周销售苹果最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)求小王这一周实际销售苹果的总质量； (3)若苹果的销售价为每千克7元，运费为每千克2元，运费由小王承担，求小王这一周销售苹果的总收入是多少元．（不计其他成本，除去运费） 变式3．（23-24七年级上·贵州贵阳·月考）近日某检修小组从A地出发，在东西走向的公路上检修路灯线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下（单位：）． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -6 +8 -7 +5 +4 -5 -2 (1)收工时距A地的距离是______； (2)在第______次记录时距A地最远．这个距离是_____ (3)若每耗油升，问这七次共耗油多少升？ 变式4．（25-26七年级上·福建厦门·月考）随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也与某直播平台合作销售自己家种植的橙子，经过一段时间的试运营，小李发现每天能销售100千克左右的橙子．下表为小李12月份第一周销售橙子的情况（以100千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值/千克 根据以上内容，回答下列问题． (1)这一周中，销售量最接近100千克的是星期_________，销售量是_________千克． (2)这一周中，销量最多的一天比最少的一天多_________千克． (3)小李与该直播平台合作销售，费用结算规则如下：每天需支付基础服务费300元；若当天销量不足100千克，每少1千克，额外支付2元；若当天销量超过100千克，超过部分每千克奖励1元（从基础服务费中扣除），求小李这一周需要支付给直播平台的费用． 考点六 乘方 例1．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 例2．（25-26七年级上·河北衡水·月考）下列各数中比0小的是（） A． B． C． D． 例3．（25-26六年级上·上海·月考） ； 例4．（25-26七年级上·吉林长春·月考）计算： ． 例5．（24-25七年级上·广东湛江·期中）计算： (1)； (2)． 例6．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）计算： 变式1．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列计算结果相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式3．（25-26七年级上·山东聊城·月考）计算的结果为 ． 变式4．（25-26七年级上·上海·月考）＝ ； 变式5．（25-26七年级上·广东东莞·期中）计算：． 变式6．（25-26七年级上·山西大同·月考）计算： (1)． (2)． (3)． 考点七 科学记数法 例1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）今年国庆期间，正安隆重举行“吉他之都，摇滚之城“村乐队挑战赛暨美食节系列活动，该活动这一周累计接待游客约为56万人．其中数据56万用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）祖冲之是世界上第一位将圆周率计算到小数点后第7位的数学家，截至2024年3月14日，人类已经将圆周率计算到小数点后约1050000亿位．从最初的小数点后几位，到如今的小数点后1050000亿位，每一次精度的提升都代表着人类计算能力的巨大进步．数据1050000亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级上·广东佛山·月考）桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，亿用科学记数法表示为 ． 例4．（25-26七年级上·江西上饶·期中）2025年国庆中秋假期（10月1日-8日），上饶市实现旅游综合收入124.91亿元，同比增长，将124.91亿用科学记数法表示为 ． 变式1．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍—287”日前已经正式运行，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力，处理特定问题的速度比目前最快的超级计算机还要快450000000倍．数据450000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·重庆开州·月考）年月日上午点，开州区汉丰湖马拉松鸣枪起跑．参赛选手和工作人员共计人于“彩林叠翠，万鸟和鸣”的初冬时节，在汉丰湖旅游度假区，感受赛道的湖光山色和一座开州城的千年文脉．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级上·重庆万州·期中）2025年11月，我国成功举办全球人工智能创新峰会，现场展示的国产智能芯片每秒可完成12500000亿次运算，标志着我国在高端芯片领域实现重大突破，这一成就向世界展现了“中国智造”的强大实力．请将12500000用科学记数法表示为 ． 变式4．（25-26八年级上·重庆云阳·期中）“北斗系统”是我国自主建设运行的全国卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过360000000次，360000000用科学记数法表示为 ； 考点八 综合提升：有理数的运算与数轴上的翻折问题 例1．（25-26七年级上·山西临汾·期中）数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，2．现以为折点，将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在数轴上，且点与点之间的距离是2，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 例2．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（   ） A．3 B．5 C．5或 D．或3 例3．（25-26七年级上·重庆长寿·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，12，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是 ． 例4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点O为原点，点A表示2．现在将数轴折叠，使O与A重合．折叠后，点B与数轴上表示的点C重合，若点B表示的数是8，则C表示的数为 ． 例5．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 例6．（25-26七年级上·河北保定·期中）综合与探究 【概念呈现】 大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和． 【类比学习】 （3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离． （4）的最小值为 ． 【拓展应用】 （5）若，则 ． （6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为 ． 变式1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·四川遂宁·月考）数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在射线上，且与之间的距离是，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 变式3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为 ． 变式4．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是 ． 变式5．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值．_________，_________，_________； (2)点为数轴上一动点，现以点为折点，将数轴向右对折．若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数． 变式6．（25-26七年级上·福建泉州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百股好，隔离分家万事休．”在数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 如图1．已知点A，B，C在数轴上表示的数分别是1，，，请结合数轴，解答下面的问题． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________． (2)在（1）的情况下，若此数轴上E，F两点间的距离为2026（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求E，F两点表示的数． (3)如图2，在数轴上剪下6个单位长度（从至5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是多少？ 考点九 综合提升：有理数的运算与数字上的距离问题 例1．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为___________； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点的“5格距点”，则这样的整点有___________个； (3)若点为数轴上一点，且点到点的距离为1，求点表示的数及的值； (4)若点在数轴上点左侧运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的2倍，且此时点为点的“格距点”，直接写出的值． 例2．（25-26七年级上·广西南宁·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步尝试】 （1）如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________； （2）如果点A表示数3，将A点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________； 【归纳一般】 （3）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度（），请你猜想终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________． 【深入研究】 （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点A表示的数是，乙选择的游戏起点B表示的数是；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 A、B两点移动的方式 平局、乙胜 点A向右移动1个单位，点B向右移动2个单位 甲胜 点A向左移动2个单位，点B向左移动1个单位 设甲、乙两人共进行了k次“剪刀、石头、布”（k为正整数）． ①当时，其中平局1次，甲胜1次，求点A、B最终表示的数； ②当时，其中平局x次，甲胜2次，求A、B两点间的距离． 例3．（25-26七年级上·山东德州·期中）如图①点，，为数轴上三点，点在，之间且，那么我们就称点是的奇点；点在，之间且，我们就称点是的奇点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5． (1)数____________所表示的点是的奇点；数____________所表示的点是的奇点； (2)现有一动点在数轴上运动，的最小值为____________． (3)如图③，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30，现有一动点在数轴上运动，点运动到数轴上的什么位置时，点，，中恰有一个点为其余两点的奇点？ 例4．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）乘积与位置 数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d． (1)①若点A，B的位置如图1所示，则表示数的点在原点的__________侧（填“左”或“右”）． ②若点在原点左侧，点在原点右侧，点对应整数，点对应整数，若，当取最大值时，的值是__________； (2)若它们的位置如图2所示，则表示数的点在点__________侧（填“左”或“右”），表示数的点与点__________最接近． (3)数轴上点E表示数，它与A，B在数轴上的位置如图3所示，在数轴上画出原点O和表示1的点的位置．（若有不同情况，每种情况应单独画一个图形） 变式1．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：．将两颗小球A，B（可近似看成两个点A，B）放在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． 时间（秒） 0 5 7 A在数轴上的位置表示的数 a 2 B在数轴上的位置表示的数 8 b (1)根据题意，表格中a的值是_____，b的值是____； (2)根据（1）的信息，在初始位置，若给A，B两颗小球分别安装一个磁吸感应装置，在两颗小球同向或者反向运动过程中，不发生磁吸撞击；在两颗小球相向运动过程中，当感应A，B两颗小球距离为5时，两颗小球会瞬间在两球所在位置的中点处发生磁吸撞击（可近似看成两个点A，B重合）．撞击后两颗小球沿着相反方向继续匀速运动，速度不变，瞬间发生磁吸撞击时间忽略不计．求A，B两颗小球第一次磁吸撞击时刻的位置表示的数； (3)在（2）的条件下，若在M，N两点处分别放置一块挡板，当小球运动到挡板时（可近似看成点A，B与点M或N重合）会立即反向匀速运动，速度不变．求A，B两颗小球第十次磁吸撞击时刻的位置表示的数． 变式2．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 ．．． 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 ．．． 乙的手势 石头 布 布 ．．． (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为___________，乙在数轴上对应的数为___________； (2)从初始位置开始，若前五局游戏中，甲一平两胜，这五局结束后，乙离原点的距离为___________； (3)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (4)从初始位置开始，若进行了（为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出的值． 变式3．（25-26七年级上·山东青岛·月考）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是______． (2)当取最小值时，x可以取整数______． (3)的最大值为______． (4)当x取何值时，的值最小？最小值为？ (5)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是多少？ 变式4．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）结合数轴，回答下列问题： (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是___________；数轴上表示和2的两点之间的距离是___________；数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是___________；如果和两点之间的距离是4，那么为___________； (3)求出所有符合条件的整数，使它在数轴上对应的点到3和的距离之和为6，并求出所有这些整数的和； (4)已知是有理数，则的最小值为___________；此时相应的的最大值是___________；最小值是___________． 考点十 综合提升：以有理数的运算为背景的材料阅读类问题 例1．（24-25七年级上·广东佛山·月考）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，，这样下去第次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·重庆云阳·期中）按图中程序运算，如果输入0，则输出的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．7 例3．（25-26七年级上·湖南湘西·月考）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 例4．（25-26七年级上·广东广州·期中）生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标），如：十进制数234，七进制数．各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： 根据以上材料，回答下列问题： (1)十进制数25改写成二进制数是________；现有二进制数、三进制数，那么a、b的大小关系是a________b（填“＞”、“＜”或“＝”） (2)七年级（7）班的小聪同学根据自己的班级设计了一个C（C为正整数）进制数，换算成十进制数是574，求C的值． (3)已知a，b，c均是大于1的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．试探究与z的等量关系，并说明理由． 例5．（25-26七年级上·广东江门·期中）综合与实践． 【数学文化】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME-14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于计数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制计数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加．例如， ， ． (1)图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； (2)请仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子出生后的天数，并用二进制数表示． (4) 例6．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方，例如，，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，写作，读作“的圈次方”．一般地，把写作，读作“的圈次方”． 【初步探究】（）直接写出计算结果：________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （）仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：，． （）计算：． 变式1．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）根据如图所示的“数值转换机”，当输入x的值为时，输出y的值为（   ） A． B． C． D．5 变式3．（25-26七年级上·湖南永州·期中）观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得： ，计算： (1)； (2)； (3)； 变式4．（25-26七年级上·重庆垫江·期中）综合与实践：阅读下列材料： 【材料1】“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，书写时将进制的基数写在右下角，如表示二进制的，十进制的进制的基数通常省略不写．各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数：，若将十进制数转化成与其相等的进制数，只需将十进制数除以取余数，再倒序排列，例如：将十进制数转换成七进制数，其转换方法如图所示，并记为． 【材料2】进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满进一，数位称呼仍把从右至左的每个数位依次称为个位、十位、百位等，例如：，． 根据以上学习材料，求解以下问题： (1)分别写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (2)在二进制中计算； (3)规定：若一个三位的九进制数和另一个三位的八进制数的百位、十位、个位数字都相同，则称和是“同位数”．那么是否存在百位数字为1，十位数字为，个位数字为的“同位数”和满足，若存在，求出和的值，若不存在，说明理由． 变式5．（25-26七年级上·河南焦作·期中）综合与实践：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1． 例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3751”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 变式6．（25-26七年级上·陕西西安·期中）【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：有理数的运算10种高频考点专项训练 期末培优：有理数的运算10种高频考点专项训练 考点目录 有理数的加法与减法 倒数 有理数的乘法与除法 有理数的四则混合运算与运算律 有理数四则混合运算的实际应用 乘方 科学记数法 综合提升：有理数的运算与数轴上的翻折问题 综合提升：有理数的运算与数字上的距离问题 综合提升：以有理数的运算为背景的材料阅读类问题 考点一 有理数的加法与减法 例1．（25-26七年级上·广东东莞·期中）在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是（   ）． A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：根据数轴上两点的距离公式可得， 表示的点与表示3的点之间的距离为 ， 故选：A． 例2．（25-26七年级上·重庆南川·期中）若，，且与异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．7或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴； ∵ m 与 n 异号， ∴ 当 时， ； 当 时，则 ； ∴的值为7 或． 故选：． 例3．（25-26七年级上·广东汕头·月考）一个点从原点开始，先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，那么终点表示的数是 ． 【答案】 【详解】解：从原点开始，向左移动个单位：；再向右移动个单位：． 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·广西崇左·月考）已知的相反数是，的相反数是，的相反数是，求的值 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数，多重符号化简，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相反数的定义，分别求出，，的值，然后计算它们的和． 【详解】解：的相反数是， ， 的相反数是， ， 的相反数是， ， ． 故答案为：． 例5．（24-25七年级上·福建宁德·月考）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 例6．（25-26七年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 变式1．（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）克拉玛依市某天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵早晨的气温是，中午上升了， ∴中午的温度为：， ∵午夜又下降了， ∴午夜的温度为：， 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·河北邢台·月考）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设刻度尺上“”对应数轴上的数为，则， 解得， 故选：D． 变式3．（25-26七年级上·福建宁德·期中）比大2的数是 ． 【答案】 【详解】解：比大2的数是． 故答案为：． 变式4．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）苏州冬季里某天最低气温为，最高气温为，这天苏州的温差是 ． 【答案】9 【详解】解：， ∴这天苏州的温差是， 故答案为：9． 变式5．（25-26七年级上·广西崇左·月考）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式6．（25-26七年级上·河南郑州·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 考点二 倒数 例1．（25-26七年级上·山东日照·期中）的倒数是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：C． 例2．（25-26六年级上·上海普陀·月考）一个有理数的倒数是，则这个数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵该有理数的倒数为， ∴该有理数为， ∴该有理数的相反数为． 故选：D． 例3．（25-26六年级上·上海·月考）的倒数是 ． 【答案】 【详解】解：将带分数化为假分数：． 的倒数：， 的倒数是． 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）的相反数是它本身，的倒数也是它本身，的值为 ． 【答案】1或 【详解】解：∵的相反数是它本身，的倒数也是它本身， ∴， ∴或； 故答案为：1或． 变式1．（22-23七年级下·重庆渝中·开学考试）的倒数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意，， ∴的倒数是， 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）若a的相反数是2026，则a的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵a的相反数是2026， ∴， ∴a的倒数是． 故选：D． 变式3．（25-26七年级上·甘肃武威·月考）的倒数是 ． 【答案】 【详解】解：因为， 又因为乘积为1的两个数互为倒数，， 所以4的倒数是， 即的倒数是． 故答案为：． 变式4．（25-26七年级上·天津·期中）的倒数是 ． 【答案】 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 考点三 有理数的乘法与除法 例1．（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，原计算正确； B．，原计算正确； C．，原计算正确； D．，原计算错误； 故选：D． 例2．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是负数，是正数， 的商是负数， ， 故选. 例3．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： ， ． 【答案】 【详解】解：， ， ； ， ， ； 故答案为：；． 例4．（25-26七年级上·河南周口·月考）计算： ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为 例5．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 例6．（25-26七年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)21 (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 变式1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）规定一种新运算：，则的值是（   ） A．6 B． C． D．10 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 变式2．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）若，则表示的数是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：两边都除以，得， 故选：D． 变式3．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）计算： ． 【答案】2 【详解】解：， 故答案为： 2． 变式4．（25-26七年级上·吉林长春·期中）计算的结果为 ． 【答案】10 【详解】解：． 故答案为：10． 变式5．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）计算： 【答案】2 【详解】解： ． 变式6．（25-26七年级上·广东广州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点四 有理数的四则混合运算与运算律 例1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 例2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 例3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 例4．（25-26七年级上·吉林·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) 40 (2) 11 【详解】（1）解： （2） ． 变式1．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)30 (3) (4)7 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式2．（25-26七年级上·湖南永州·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)8 (2)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．（25-26七年级上·山西运城·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2） ． 变式4．（25-26七年级上·安徽马鞍山·开学考试）计算下面各题．（能简便的要简便计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)2 (2)7.8 (3)90 (4)1000 (5)4 (6)9 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 考点五 有理数四则混合运算的实际应用 例1．（25-26七年级上·重庆南川·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.5元，请计算小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)这七天一共行驶了 (2)这7天的行驶费用比原来节省146元 【详解】（1）解：， 答：这七天一共行驶了400千米． （2）解：汽油车费用：（元）， 新能源汽车费用：（元）， 节省费用：（元）， 答：这7天的行驶费用比原来节省146元． 例2．（25-26七年级上·广东中山·期中）某司机在东西走向的路上开车接送乘客，从他早晨由A地出发开始（取向东为正），到晚上送走最后一位乘客为止，一天的行驶里程记录如下（单位：）：，，，，，， (1)该司机最后离出发点A地多远？在哪个方向上？ (2)若汽车每行驶耗油，则该汽车今天耗油多少？ 【答案】(1)该司机最后离出发点A地，在A地的西方 (2) 【详解】（1）解：由题意得：， 该司机最后离出发点地，在地的西方； （2）解：由题意得： ， ， 该汽车今天耗油． 例3．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：kg）如下： 回答下列问题： (1)这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克； (2)与标准重量比较，8筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1) (2)不足千克 (3)元 【详解】（1）解：∵， ∴最接近标准重量的这筐白菜重千克， 故答案为：； （2）解： 答：与标准重量比较，8筐白菜总计不足千克； （3）解： 答：出售这8筐白菜可卖元． 例4．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）新能源汽车购置税减免政策将于明年起迎来调整，“双节”假期成为不少市民赶搭“免税末班车”的购车时机．小明家趁此时机将原来的汽油车新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)求小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米； (2)已知汽油车每行驶需用汽油约8升，汽油价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量约为11度，每度电为元．请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少元． 【答案】(1) (2)元 【详解】（1）解：． 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （2）汽油车：(元)． 纯电车：(元)． ∴（元）． 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 变式1．（25-26七年级上·重庆·期中）某学校对各班午餐剩饭量进行统计，若规定剩饭量超过500克的部分记为“+”，剩饭量低于500克的部分记为“”，下表是该学校某班按此规定记录的5天剩饭量数据． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 剩饭量 (1)求该班这5天平均每天剩饭量是多少克： (2)学校规定班级每天剩饭量以500克为标准，如果当天剩饭量低于500克，那么低于500克的部分每克增加班级积分5分；相反，如果当天剩饭量超过500克，那么超过500克的部分每克扣除班级积分8分．求该班这5天的班级积分是多少． 【答案】(1)498克 (2)分 【详解】（1）解：依题意得：， ， （克）． 该班这5天平均每天剩饭量是498克． （2）这5天应扣积分为：（分）， 这5天应增加的积分为：， 该班这5天的班级积分是（分）． 答：该班这5天的班级积分是分． 变式2．（25-26七年级上·河南新乡·月考）科技改变生活，许多农户用网络销售的方式销售农产品．家住河南灵宝市的小王在网络上销售自家种的苹果，计划每天销售，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划销售量的部分记为正数，不足计划销售量的部分记为负数，下表是小王第一周苹果的销售情况． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 销售量/ (1)小王这一周销售苹果最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)求小王这一周实际销售苹果的总质量； (3)若苹果的销售价为每千克7元，运费为每千克2元，运费由小王承担，求小王这一周销售苹果的总收入是多少元．（不计其他成本，除去运费） 【答案】(1)19 (2)701 (3)3505 【详解】（1）解：由表知，小王星期三销售最多，超过计划销售量9千克，星期四销售最少，比计划销售量少10千克， 故（千克）； 答：一周销售苹果最多的一天比最少的一天多销售19千克； （2）解： （千克）； 答：小王这一周实际销售苹果701千克； （3）解：（元）； 答：这一周销售苹果的总收入是3505元． 变式3．（23-24七年级上·贵州贵阳·月考）近日某检修小组从A地出发，在东西走向的公路上检修路灯线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下（单位：）． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -6 +8 -7 +5 +4 -5 -2 (1)收工时距A地的距离是______； (2)在第______次记录时距A地最远．这个距离是_____ (3)若每耗油升，问这七次共耗油多少升？ 【答案】(1) (2)一，6 (3) 【详解】（1）解：， ∴收工时距地的距离是（千米）， 答：收工时距地的距离是， 故答案为：； （2）解：第一次距地（千米）； 第二次：（千米）； 第三次：（千米）； 第四次：（千米）； 第五次：（千米）； 第六次：（千米）； 第七次：（千米）． ， ∴距地最远的是第一次， 故答案为：一；6； （3）解：（升． 答：共耗油升． 变式4．（25-26七年级上·福建厦门·月考）随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也与某直播平台合作销售自己家种植的橙子，经过一段时间的试运营，小李发现每天能销售100千克左右的橙子．下表为小李12月份第一周销售橙子的情况（以100千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值/千克 根据以上内容，回答下列问题． (1)这一周中，销售量最接近100千克的是星期_________，销售量是_________千克． (2)这一周中，销量最多的一天比最少的一天多_________千克． (3)小李与该直播平台合作销售，费用结算规则如下：每天需支付基础服务费300元；若当天销量不足100千克，每少1千克，额外支付2元；若当天销量超过100千克，超过部分每千克奖励1元（从基础服务费中扣除），求小李这一周需要支付给直播平台的费用． 【答案】(1)三，102， (2)19 (3)元 【详解】（1）解：，， 这一周中，销售量最接近100千克的是星期三，该天的销售量为：（千克）， 故答案为：三，； （2）解：销量最多的一天比最少的一天多千克； 故答案为：； （3）解：星期一：销售量为：（千克），不足100千克，罚款元，费用为：（元）； 星期二：销售量为：（千克），超过100千克，奖励元，费用为：（元）； 星期三：销售量为：（千克），超过100千克，奖励元，费用为：（元）； 星期四：销售量为：（千克），不足100千克，罚款元，费用为：（元）； 星期五：销售量为：（千克），不足100千克，罚款元，费用为：（元）； 星期六：销售量为：（千克），超过100千克，奖励元，费用为：（元）； 星期日：销售量为：（千克），超过100千克，奖励元，费用为：（元）； 一周的总费用为：（元）． 考点六 乘方 例1．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 【答案】B 【详解】∵与互为相反数，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 例2．（25-26七年级上·河北衡水·月考）下列各数中比0小的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，． ∴比0小的是D． 故选：D． 例3．（25-26六年级上·上海·月考） ； 【答案】 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝． 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·吉林长春·月考）计算： ． 【答案】 2 【详解】解：原式   ， 故答案为：2． 例5．（24-25七年级上·广东湛江·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例6．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解： 变式1．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：，，不相等，选项A不符合题意； ，，相等，选项B符合题意； ，，不相等，选项C不符合题意； ，，不相等，选项D不符合题意． 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列计算结果相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：A．∵ ，， ，∴和不相等； B．∵ ，， ，∴和不相等； C．∵ ，， ，∴和不相等； D．∵ ，，∴和相等； 故选：D． 变式3．（25-26七年级上·山东聊城·月考）计算的结果为 ． 【答案】1 【详解】解：原式 ， 故答案为：1 变式4．（25-26七年级上·上海·月考）＝ ； 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 变式5．（25-26七年级上·广东东莞·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 变式6．（25-26七年级上·山西大同·月考）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 考点七 科学记数法 例1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）今年国庆期间，正安隆重举行“吉他之都，摇滚之城“村乐队挑战赛暨美食节系列活动，该活动这一周累计接待游客约为56万人．其中数据56万用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：56万． 故选：B． 例2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）祖冲之是世界上第一位将圆周率计算到小数点后第7位的数学家，截至2024年3月14日，人类已经将圆周率计算到小数点后约1050000亿位．从最初的小数点后几位，到如今的小数点后1050000亿位，每一次精度的提升都代表着人类计算能力的巨大进步．数据1050000亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：亿， 故选：B． 例3．（24-25七年级上·广东佛山·月考）桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：530亿， 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·江西上饶·期中）2025年国庆中秋假期（10月1日-8日），上饶市实现旅游综合收入124.91亿元，同比增长，将124.91亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 变式1．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍—287”日前已经正式运行，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力，处理特定问题的速度比目前最快的超级计算机还要快450000000倍．数据450000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 故选：C． 变式2．（25-26七年级上·重庆开州·月考）年月日上午点，开州区汉丰湖马拉松鸣枪起跑．参赛选手和工作人员共计人于“彩林叠翠，万鸟和鸣”的初冬时节，在汉丰湖旅游度假区，感受赛道的湖光山色和一座开州城的千年文脉．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：． 变式3．（25-26七年级上·重庆万州·期中）2025年11月，我国成功举办全球人工智能创新峰会，现场展示的国产智能芯片每秒可完成12500000亿次运算，标志着我国在高端芯片领域实现重大突破，这一成就向世界展现了“中国智造”的强大实力．请将12500000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 变式4．（25-26八年级上·重庆云阳·期中）“北斗系统”是我国自主建设运行的全国卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过360000000次，360000000用科学记数法表示为 ； 【答案】 【详解】解：360000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 考点八 综合提升：有理数的运算与数轴上的翻折问题 例1．（25-26七年级上·山西临汾·期中）数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，2．现以为折点，将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在数轴上，且点与点之间的距离是2，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】已知点表示数，点表示数2，以为折点将数轴向右对折，点的对应点为， 则点是与的中点． 因为与之间的距离是2， 所以分两种情况讨论： 此时表示的数为． 设点表示的数为，根据中点坐标公式可得，解得． 当在的右侧时： 此时表示的数为． 同样设点表示的数为，由中点坐标公式可得解得． 综上，点表示的数是或． 故选：D． 例2．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（   ） A．3 B．5 C．5或 D．或3 【答案】C 【详解】解：当点A落在线段上时， ∵折叠后点A到点B的距离为8， ∴折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点A落在线段的延长线上时， ∵折叠后点A到点B的距离为8， ∴折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为5或， 故选：C． 例3．（25-26七年级上·重庆长寿·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，12，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是 ． 【答案】或3 【详解】解：设点C表示的数是， 当折叠后点A在点B的左侧时，根据题意，得， 解得， 即折叠后点A对应的数是4， 由折叠前点A表示的数是， ∴， 解得． 所以点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的右侧时，根据题意，得， 解得， 所以点C表示的数是3． 综上所述，点C表示的数是或3． 故答案为：或3． 例4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点O为原点，点A表示2．现在将数轴折叠，使O与A重合．折叠后，点B与数轴上表示的点C重合，若点B表示的数是8，则C表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：∵折叠后，点O与点A重合， ∴折痕对应的数为． ∵折叠后，点B与数轴上表示的点C重合， ∴点B与数轴上表示的点C重合分布在折痕的两侧． ∵点B表示的数是8， ∴点C表示的数为． 故答案为：． 例5．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【答案】(1)2，3 (2)①1.5；②0.75或2或3.5． 【详解】（1）解：∵点，，分别对应有理数，1，4， ∴，之间的距离为，，之间的距离为 故答案为：2，3． （2）①因为对折后点与点重合，，所以． 因为，所以此时的值为1.5． ②由题意知，对折后存在以下三种情况： （i）对折后点不动，此时折点在点之间，点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以， 则点表示的数为，可得， 则，所以点表示的数为， 即此时的值为0.75； （ii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为2； （iii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为3.5． 综上，的值为0.75或2或3.5． 例6．（25-26七年级上·河北保定·期中）综合与探究 【概念呈现】 大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和． 【类比学习】 （3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离． （4）的最小值为 ． 【拓展应用】 （5）若，则 ． （6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】（1）2；3；（2）；（3）；4；（4）5；（5）1或3；（6）0或1 【详解】解：（1）；； （2）； （3）在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示4的点之间的距离； （4）由（3）可知，当在和4之间时，的值最小，为表示的点与表示4的点之间的距离，即为； （5），表示数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为1， 故或； （6）由题意，折叠后表示数的点与表示的点或的点重合， 当表示数的点与表示3的点重合时，点表示的数为； 当表示数的点与表示5的点重合时，点表示的数为； 故答案为：0或1． 变式1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、：， 折痕对应的点所表示的数为：； 综上所述，点所表示的数不可能是． 故选：D． 变式2．（25-26七年级上·四川遂宁·月考）数轴上有三点，，，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点落在射线上，且与之间的距离是，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由折叠的性质得，点到点的距离等于点到点的距离， 若点在点的左侧， ∵点表示数，与之间的距离是， ∴点表示数， ∵点表示数， ∴点到点的距离为， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是； 若点在点的右侧， ∵点表示数，与之间的距离是， ∴点表示数， ∵点表示数， ∴点到点的距离为， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是； 综上可得：点表示的数是或， 故选：． 变式3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为 ． 【答案】8 【详解】解；一个点从数轴上的原点开始，向左平移1个单位长度得到点A表示的数是，再向左平移3个单位长度得到点B表示的数是，然后向右平移9个单位长度得到点C表示的数是． 将数轴折叠，使得点A与点C重合，则折痕处的点为线段的中点，为， 所以折痕处的点到点B和点D的距离相等，点D表示的数是． 故答案为：8． 变式4．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是 ． 【答案】0或6 【详解】解：设点表示的数为，则， 折叠后点的对应点为，则． ∵到的距离为，表示的数为， ∴表示的数为或． 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或． 变式5．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值．_________，_________，_________； (2)点为数轴上一动点，现以点为折点，将数轴向右对折．若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵b是a的相反数， ∴； ∵，且， ∴； 故答案为：； （2）解：根据对折的性质可得， 点P代表的数为． 变式6．（25-26七年级上·福建泉州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百股好，隔离分家万事休．”在数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 如图1．已知点A，B，C在数轴上表示的数分别是1，，，请结合数轴，解答下面的问题． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________． (2)在（1）的情况下，若此数轴上E，F两点间的距离为2026（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求E，F两点表示的数． (3)如图2，在数轴上剪下6个单位长度（从至5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是多少？ 【答案】(1) (2)点表示的数为，则点表示的数为 (3)或2或 【详解】（1）解：根据题意得，对称点对应的数为， ∴与点重合的点表示的数是， 故答案为：； （2）解：假设点表示的数为，则点表示的数为， ∴， 解得， ∴点表示的数为，则点表示的数为； （3）解：情况一：从左向右线段比为时， 折痕处对应的点表示的数为； 情况二：从左向右线段比为时， 折痕处对应的点表示的数为； 情况三：从左向右线段比为时， 折痕处对应的点表示的数为； 综上，折痕处对应的点表示的数可能是或2或． 考点九 综合提升：有理数的运算与数字上的距离问题 例1．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为___________； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点的“5格距点”，则这样的整点有___________个； (3)若点为数轴上一点，且点到点的距离为1，求点表示的数及的值； (4)若点在数轴上点左侧运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的2倍，且此时点为点的“格距点”，直接写出的值． 【答案】(1)7 (2)6 (3)点P表示的数为2或4，n的值为5或7 (4) 【详解】（1）解：点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 则称点为点、的“7格距点”， 故答案为：7； （2）解：由整点为、的“5格距点”，可知整点点到的距离与点到点的距离之和为5， 由数轴可知，此时点所表示的整数可能为，，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6； （3）解点到点的距离为1， 点表示的数为或， 当点表示的数为2时，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 此时； 当点表示的数为4时，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 此时； 答：点表示的数为2或4，的值为5或7； （4）解：∵点在数轴上点左侧运动，且点到点的距离等于点到点的距离的2倍， ∴， 点表示的数为：， 此时， 答：的值为． 例2．（25-26七年级上·广西南宁·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【初步尝试】 （1）如果点A表示数，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________； （2）如果点A表示数3，将A点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________； 【归纳一般】 （3）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度（），请你猜想终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________． 【深入研究】 （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点A表示的数是，乙选择的游戏起点B表示的数是；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 A、B两点移动的方式 平局、乙胜 点A向右移动1个单位，点B向右移动2个单位 甲胜 点A向左移动2个单位，点B向左移动1个单位 设甲、乙两人共进行了k次“剪刀、石头、布”（k为正整数）． ①当时，其中平局1次，甲胜1次，求点A、B最终表示的数； ②当时，其中平局x次，甲胜2次，求A、B两点间的距离． 【答案】（1）4；7；（2）4；1；（3）；；（4）①A表示的数为，B表示的数为1；②7 【详解】解：∵点A表示数，向右移动7个单位长度， ∴终点B表示的数是，A、B两点间的距离是7． 故答案为：4，7； （2）∵点A表示数3，先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度， ∴终点B表示的数是； ∵A表示3，B表示4， ∴A、B两点间的距离是； 故答案为：4，1； （3）∵点A表示的数为m，向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度（）， ∴终点B表示的数是； ∵A表示m，B表示， ∴A、B两点间的距离为 ． 故答案为：；． （4）①∵，平局1次，甲胜1次， ∴乙胜的次数为次； ∵点A起点为，平局右移1、甲胜左移2、乙胜右移1， ∴点A最终表示的数是； ∵点B起点为，平局右移2、甲胜左移1、乙胜右移2， ∴点B最终表示的数是． 答：A表示的数为，B表示的数为1． ②∵，甲胜2次， ∴平局与乙胜的次数为次； ∵点A起点为，平局与乙胜右移1、甲胜左移2， ∴点A最终表示的数是； ∵点B起点为，平局与乙胜右移2、甲胜左移1， ∴点B最终表示的数是； ∵A表示，B表示0， ∴A、B两点间的距离是． 答：A、B两点间的距离是7． 例3．（25-26七年级上·山东德州·期中）如图①点，，为数轴上三点，点在，之间且，那么我们就称点是的奇点；点在，之间且，我们就称点是的奇点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5． (1)数____________所表示的点是的奇点；数____________所表示的点是的奇点； (2)现有一动点在数轴上运动，的最小值为____________． (3)如图③，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30，现有一动点在数轴上运动，点运动到数轴上的什么位置时，点，，中恰有一个点为其余两点的奇点？ 【答案】(1)3； (2)8 (3)点运动到数轴上的或或或10或或270位置时，，和中恰有一个点为其余两点的奇点 【详解】（1）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 设的奇点为P，则， ∴， ∴此时点P表示的数为：， 即数3所表示的点是的奇点； 设的奇点为Q，则， ∴， ∴此时点Q表示的数为：； （2）解：∵点是数轴上的一个动点， ∴当点E在M、N之间时，最小， ∴的最小值为； 故答案为：8； （3）解：∵点所表示的数为，点所表示的数为30， ∴； 当点B为的奇点时，， 此时点P表示的数为； 当点B为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为； 当点P为的奇点时，， ∴， ∴此时点P表示的数为：； 当点P为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为：； 当点A为的奇点时，， 此时点P表示的数为：； 当点A为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为：； 综上，点运动到数轴上的或或或10或或270位置时，，，中恰有一个点为其余两点的奇点． 例4．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）乘积与位置 数轴上的点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d． (1)①若点A，B的位置如图1所示，则表示数的点在原点的__________侧（填“左”或“右”）． ②若点在原点左侧，点在原点右侧，点对应整数，点对应整数，若，当取最大值时，的值是__________； (2)若它们的位置如图2所示，则表示数的点在点__________侧（填“左”或“右”），表示数的点与点__________最接近． (3)数轴上点E表示数，它与A，B在数轴上的位置如图3所示，在数轴上画出原点O和表示1的点的位置．（若有不同情况，每种情况应单独画一个图形） 【答案】(1)左， (2)左，B (3)①见解析 ②见解析 【详解】（1）解：①由数轴可得，则， ∴表示数的点在原点的左侧， 故答案为：左； ②∵， ∴， ∵点在原点左侧，点在原点右侧，且均为整数，取最大值时，则， ∴， 故答案为： （2）解：由数轴上的位置可知，，，d在附近，a在附近， 所以，接近1，故接近点B， 故答案为：左，B； （3）解：①时，因为， 所以，， 原点O和表示1的点的位置如图所示， ②时，因为， 所以，， 原点O和表示1的点的位置如图所示， 或 变式1．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：．将两颗小球A，B（可近似看成两个点A，B）放在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． 时间（秒） 0 5 7 A在数轴上的位置表示的数 a 2 B在数轴上的位置表示的数 8 b (1)根据题意，表格中a的值是_____，b的值是____； (2)根据（1）的信息，在初始位置，若给A，B两颗小球分别安装一个磁吸感应装置，在两颗小球同向或者反向运动过程中，不发生磁吸撞击；在两颗小球相向运动过程中，当感应A，B两颗小球距离为5时，两颗小球会瞬间在两球所在位置的中点处发生磁吸撞击（可近似看成两个点A，B重合）．撞击后两颗小球沿着相反方向继续匀速运动，速度不变，瞬间发生磁吸撞击时间忽略不计．求A，B两颗小球第一次磁吸撞击时刻的位置表示的数； (3)在（2）的条件下，若在M，N两点处分别放置一块挡板，当小球运动到挡板时（可近似看成点A，B与点M或N重合）会立即反向匀速运动，速度不变．求A，B两颗小球第十次磁吸撞击时刻的位置表示的数． 【答案】(1)，； (2)A，B两颗小球第一次磁吸撞击时刻的位置表示的数是； (3)． 【详解】（1）解：由题意得，小球A的运动速度为个单位长度/秒，小球B的运动速度为个单位长度/秒， ∵随着运动时间的增加，点A表示的数增大，点B表示的数减小， ∴小球A沿数轴正方向运动，小球B沿数轴负方向运动， ∴； （2）解：根据（1）可知，小球A在数轴上的初始位置表示的数是，向右运动，每秒移动的距离是2；小球B在数轴上的初始位置表示的数是8，向左运动，每秒移动的距离是3． 当A，B两颗小球相向运动第一次距离为5时，运动时间是：（秒）， 此时，小球A在数轴上的位置表示的数是， 小球B在数轴上的位置表示的数是， 因为撞击点位置在两球所在位置的中点处， 所以，A，B两颗小球第一次磁吸撞击时刻的位置表示的数是． （3）解：∵，， ∴， ∴ ∴． ①小球B在第一次磁吸撞击后，在表示的点位置开始向右运动， 经过（秒）到达N点处挡板后向左运动； 小球A在第一次磁吸撞击后，在表示的点位置开始向左运动， 经过（秒）到达M点处挡板后向右运动， 此时小球B所在位置的表示的数是，向左运动． 再经过（秒），A，B两颗小球相向运动第二次距离为5， 此时，小球A在数轴上的位置表示的数是， 小球B在数轴上的位置表示的数是， 所以，A，B两颗小球第二次磁吸撞击时刻的位置表示的数是． ②小球A在第二次磁吸撞击后，在表示的点位置开始向左运动， 经过（秒）到达M点处挡板后向右运动； 小球B在第二次磁吸撞击后，在表示的点位置开始向右运动， 经过（秒）到达N点处挡板后向左运动． 此时小球A所在位置的表示的数是，向右运动． 再经过（秒），A，B两颗小球相向运动第三次距离为5， 此时，小球A在数轴上的位置表示的数是， 小球B在数轴上的位置表示的数是， 所以，A，B两颗小球第三次磁吸撞击时刻的位置表示的数是，与第一次撞击的位置重合． 综合（2）、（3）①②，可知A，B两颗小球第四次磁吸撞击时刻的位置与第二次磁吸撞击时刻的位置重合，…，依此类推，第十次磁吸撞击时刻的位置与第二次撞击的位置重合，该位置表示的数是． 变式2．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 ．．． 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 ．．． 乙的手势 石头 布 布 ．．． (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为___________，乙在数轴上对应的数为___________； (2)从初始位置开始，若前五局游戏中，甲一平两胜，这五局结束后，乙离原点的距离为___________； (3)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (4)从初始位置开始，若进行了（为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出的值． 【答案】(1)；5 (2) (3)乙第四局的手势是布，此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度 (4)7或5 【详解】（1）解：完成了第一局移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； 第一局结束后甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为； 故答案为：；5； （2）解：∵前五局游戏中，甲一平两胜， ∴五局游戏中，甲一平两胜两负， ∴乙一平两胜两负， 此时，乙离原点的距离为， 故答案为：； （3）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 根据规则三局之后甲对应的数为：，乙对应的数为：， ∵第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2， ∴第四局游戏的结果使乙向西移动1个单位长度， ∴第四局游戏为平局， ∴乙第四局的手势是布，第四局游戏结束后甲表示的数为， ∴此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度， 答：乙第四局的手势是布，此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度； （4）解：刚开始甲乙两人相距个单位长度， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲、乙的距离缩小个单位长度， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度， 最终甲与乙的位置相距2个单位长度， 共需缩小个单位长度或个单位长度， ，， 的值为7或5． 变式3．（25-26七年级上·山东青岛·月考）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是______． (2)当取最小值时，x可以取整数______． (3)的最大值为______． (4)当x取何值时，的值最小？最小值为？ (5)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离 (2)，，，， (3) (4)时取最小值为 (5)便民服务点P建在点B或点C之间包括点B和点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； （2）表示数轴上数到数的距离之和， ∴当时，的值最小为数轴上到的距离， ∴x可以取整数，，，，； （3）表示数轴上数到数的距离之差， ∴当时，的值最大为数轴上到的距离，即：； （4）表示数轴上数到数的距离之和， ∴当时，的值最小为数轴上到的距离，即：； （5）设点距离市民广场的距离为， 由题意，服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程为， 即数轴上数到的距离之和， ∴当，最小为数轴上到的距离之和加上到的距离之和，即； 故当便民服务点P建在点B和点C之间包括点B和点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 变式4．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）结合数轴，回答下列问题： (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是___________；数轴上表示和2的两点之间的距离是___________；数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是___________；如果和两点之间的距离是4，那么为___________； (3)求出所有符合条件的整数，使它在数轴上对应的点到3和的距离之和为6，并求出所有这些整数的和； (4)已知是有理数，则的最小值为___________；此时相应的的最大值是___________；最小值是___________． 【答案】(1)，， (2)，或 (3)0 (4)，， 【详解】（1）解：数轴上表示3和8的两点之间的距离是；数轴上表示和2的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：，，； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， 故答案为：； ∵和两点之间的距离是4， ∴ ， 或， 故答案为：或； （3）解：， ∴数轴上到3之间的整数对应的点到3和的距离之和为6， ∴符合条件的整数有， ∴ （4）解：， ∴为数轴上表示有理数的点到表示的点和表示的点的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，， ∴最小值为，此时相应的最大值是，最小值是， 故答案为：，，． 考点十 综合提升：以有理数的运算为背景的材料阅读类问题 例1．（24-25七年级上·广东佛山·月考）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，，这样下去第次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第一次计算输出的结果是， 第二次计算输出的结果是， 第三次计算输出的结果是， 第四次计算输出的结果是， 第五次计算输出的结果是， 第六次计算输出的结果是， ， ∴从第次开始，每次输出的结果以“，，，”为一个周期循环出现， ∵， ∴第次计算输出的结果是． 故选：D． 例2．（25-26七年级上·重庆云阳·期中）按图中程序运算，如果输入0，则输出的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】C 【详解】解：当输入0时，． 由于2不大于2，再次输入，， 所以输出4． 故选：C． 例3．（25-26七年级上·湖南湘西·月考）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【详解】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即， 在解法一中，将错误地运用了分配律，得到，所以解法一错误； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确． 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ． 所以，原式． 例4．（25-26七年级上·广东广州·期中）生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标），如：十进制数234，七进制数．各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： 根据以上材料，回答下列问题： (1)十进制数25改写成二进制数是________；现有二进制数、三进制数，那么a、b的大小关系是a________b（填“＞”、“＜”或“＝”） (2)七年级（7）班的小聪同学根据自己的班级设计了一个C（C为正整数）进制数，换算成十进制数是574，求C的值． (3)已知a，b，c均是大于1的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．试探究与z的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)C的值为9 (3)与z的关系为 【详解】（1）解：用25除以2，余数依次为11001，故转换成二进制为， ， ， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：， 解得或（舍去）， 故C的值为9． （3）解：， ， ， ∴， ∵，， ∴， 故与z的关系为． 例5．（25-26七年级上·广东江门·期中）综合与实践． 【数学文化】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME-14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于计数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制计数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加．例如， ， ． (1)图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； (2)请仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子出生后的天数，并用二进制数表示． (4) 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）解：图2中四个二进制数分别为，，，， 依次转化：， ， ， ， ∴这个四位数为； （2）类比（1）的方法， ， （3）由题意可知，孩子出生天数为，转化为十进制数， ， ∴孩子已经出生了42天． 下面将42转化为二进制数， ， ， ， ， ， ， ∴． 例6．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方，例如，，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，写作，读作“的圈次方”．一般地，把写作，读作“的圈次方”． 【初步探究】（）直接写出计算结果：________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （）仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：，． （）计算：． 【答案】（）；（），；（） 【详解】解：（）， 故答案为：； （）， ； （）原式 ． 变式1．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为， 所以第次输出的结果为． 故选：A． 变式2．（25-26七年级上·福建厦门·期中）根据如图所示的“数值转换机”，当输入x的值为时，输出y的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】解：当输入x的值为时， ， 输入x的值为5， ， 输入x的值为， ， 输出y的值为， 故选：B． 变式3．（25-26七年级上·湖南永州·期中）观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得： ，计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 变式4．（25-26七年级上·重庆垫江·期中）综合与实践：阅读下列材料： 【材料1】“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，书写时将进制的基数写在右下角，如表示二进制的，十进制的进制的基数通常省略不写．各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数：，若将十进制数转化成与其相等的进制数，只需将十进制数除以取余数，再倒序排列，例如：将十进制数转换成七进制数，其转换方法如图所示，并记为． 【材料2】进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满进一，数位称呼仍把从右至左的每个数位依次称为个位、十位、百位等，例如：，． 根据以上学习材料，求解以下问题： (1)分别写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (2)在二进制中计算； (3)规定：若一个三位的九进制数和另一个三位的八进制数的百位、十位、个位数字都相同，则称和是“同位数”．那么是否存在百位数字为1，十位数字为，个位数字为的“同位数”和满足，若存在，求出和的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)6， (2) (3)存在，即且或且或且． 【详解】（1）解：， 则． （2）解：． （3）解：若存在m和n满足， 由题意可得：，，且m、n为不超过7的非负整数， ∵，，，，， ∴，整理得：， ∴，即m能被3整除， ∵m、n为不超过7的非负整数， ∴当时，；当时，；当时，． ∴存在这样的m、n．即且或且或且． 变式5．（25-26七年级上·河南焦作·期中）综合与实践：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1． 例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3751”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【详解】解：任务一：， 任务二：八进制数3751表示的十进制数为： ， ， ， 任务三：二进制数101101101转成十进制数为： ， ， ， 因为365为奇数，所以密码为：． 变式6．（25-26七年级上·陕西西安·期中）【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【答案】（1）0，；（2）；（3）；（4）或， 【详解】解：（1），， 故答案为：0；； （2） ． （3）， ， ． （4）整数、满足， 当与同号时， ，， ，， ，． 当与异号时， ，， ， ，， ，． 综上，或，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $