期末培优：有理数8种高频考点专项训练-2025-2026学年上学期人教版七年级数学上册

期末培优：有理数8种高频考点专项训练 期末培优：有理数8种高频考点专项训练 考点目录 正数和负数 有理数的概念 数轴 相反数 绝对值 有理数比较大小 重难点提升：数轴上的动点问题与绝对值的几何意义 重难点提升：数轴上的规律探究类问题 考点一 正数和负数 例1．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正、负以名之．”也就是说，对于两个得失相反的量，要以正、负加以区别．若零上记作，则零下记作（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）若规定电梯上升为正，上升到六层记作层，那么下降到地下一层记作层．电梯下降到地下三层的停车场记作（）层 A． B．0 C． D． 例3．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作元，则支出60元表示 元． 例4．（25-26七年级上·吉林长春·期中）中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入50元，记作元，则元表示 ． 变式1．（24-25七年级下·云南普洱·期末）数学家刘徽在《九章算术》中第一次给出了正负数的概念：“正算赤，负算黑”，即用红色木棍表示正数，用黑色木棍表示负数．若3根红色木棍表示，则5根黑色木棍表示（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·山西运城·月考）第十五届全国运动会是粤港澳三地首次联合承办的全国性综合运动会，于2025年11月21日落下帷幕．全运会使用的乒乓球的产品参数标明球的直径是，这表明乒乓球的标准直径为．如果一只乒乓球的直径大于标准直径记作，那么小于标准直径记作（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级上·河北张家口·月考）黄壁庄水库主汛期汛限水位为，以它为基准点，高于的水位用正数表示，比如年汛期黄壁庄水库的最高水位达到，记作，年8月份，黄壁庄水库的最高水位是，记作 ． 变式4．（25-26七年级上·江西南昌·期中）如图是一个转盘型密码锁，共有40个小格，每次开锁时需要把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时，标记线对准的数是3，再顺时针方向旋转10个小格记为“”，此时，标记线对准的数是33，再逆时针方向旋转17个小格记为“”，此时，标记线对准的数是10，锁就打开，那么开锁密码就可以记为“，，”．如果一组开锁密码为“，，”，那么锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是 ． 考点二 有理数的概念 例1．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法正确的是（   ） A．0不是正数，不是负数，也不是整数 B．正整数与负整数包括所有的整数 C．是分数，负数，也是有理数 D．有最小的有理数 例2．（25-26七年级上·广西崇左·月考）有理数可以分为正有理数、负有理数和（　　） A．正数 B．整数 C．非正数 D． 例3．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）下列各数： 属于分数的有 个． 例4．（25-26七年级上·江西赣州·期中）有理数中，正数有 个． 例5．（25-26七年级上·江西上饶·期中）把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩0.618 (1)非正整数集合{     }． (2)分数集合{     }． (3)正有理数集合{      }． 例6．（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）把下列各数填入相应的集合里： ，，，，0，，，． 整数集：{                        …} 负分数集：{                            …} 非负有理数集：{                            …}． 变式1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在，，0，，314159，，（每相邻两个1之间依次多一个）中，有理数的个数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式2．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）下列说法，正确的个数是（    ） ① 0既不是正数，也不是负数； ② 是正有理数； ③可以写成分数形式的数就是有理数； ④不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在，，1，0，，，，，23，中， 整数是 ； 正有理数是 ； 负有理数是 ． 变式4．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）下列各数：，，0，，，，其中负有理数有 个． 变式5．（25-26七年级上·贵州毕节·月考）把下列各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ． 非负数：{                   …}； 正整数：{                   …}； 负分数：{                   …}； 有理数：{                   …}． 变式6．（25-26七年级上·四川南充·期中）把下列各数分类 6，，，，，0，，，， (1)整数：{ …}； (2)分数：{ …}； (3)非负整数：{ …}； (4)有理数：{ …}． 考点三 数轴 例1．（25-26七年级上·河南商丘·期中）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和，则的值是（   ） A．4.4 B．4.3 C．4.2 D．4.1 例2．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）在数轴上，点表示的数是，将点A沿数轴向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．2 D．3 例3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ． 例4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在数轴上点A表示，点B表示a，A、B两点之间相距12个单位长度，则 ． 例5．（25-26七年级上·福建泉州·期中）在数轴上标出下列各数，并比较它们的大小． ，，0， 比较大小： 例6．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）如图1是某市1路公交车部分线路示意图及各站点间的距离（单位：），规定向东为正方向，1个单位长度表示． (1)以D站点为原点，将图2的数轴补画完整，并标出其余各站点的位置． (2)在（1）的条件下，数轴上到点C的距离为2个单位长度的点表示的数是多少？ 例7．（24-25七年级上·吉林·期末）下表有四张卡片，卡片正面分别写有四个数字，背面分别写有四个字母． 正面 背面 (1)在数轴上表示出卡片正面的数： (2)将正面的数由小到大排列后，翻转到背面，则背面字母组成的单词是______． 变式1．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）如图，点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·陕西延安·月考）如图，已知数轴上每相邻两个点之间的距离为1个单位长度（例如点与点之间的距离为3个单位长度）．若数轴上点与点表示的数之和为0，则点表示的数是（   ） A．－1 B． C．0 D． 变式3．（25-26七年级上·江西上饶·期中）若A，B，M是数轴上不同的三点，且点A表示的数为，点B表示的数为3，点M表示的数为m，当其中一点到另外两点的距离相等时，m的值可以是 ． 变式4．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是 （用含有t的代数式表示）． 变式5．（25-26七年级上·广西南宁·月考）在直线上把数轴补充完整，并在数轴上表示下列各数，再用“”把各数连接起来． ，，，，     变式6．（25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 变式7．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，小亮在一张纸上画了一条数轴，他将纸片折叠，使得数轴上表示的点与表示5的点恰好重合．根据这一操作，回答下列问题： (1)折叠后，表示数的点与表示数______的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，已知之间的距离为，则点A表示的数是______，点B表示的数是______． (3)已知数轴上还有一点P，它到（2）中A、B两点的距离之比为，请求出所有满足条件的点P所表示的数． 考点四 相反数 例1．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）的相反数是（　　） A．6 B． C． D． 例2．（24-25九年级下·海南海口·月考）如图，数轴上点P表示的相反数可能是（ ） A． B． C． D．1 例3．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）的相反数是 ． 例4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）化简 ． 变式1．（24-25七年级上·吉林·期末）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与3 C．与 D．5与 变式2．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式3．（25-26七年级上·福建莆田·期中）的相反数是 ． 变式4．（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，在一个不完整的数轴上有A，B，C三个点，数轴的单位长度为1．若点A，C表示的数互为相反数，则图中点B表示的数是 ． 考点五 绝对值 例1．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）数轴上点所表示的数的绝对值为（   ） A． B．3 C． D． 例2．（25-26七年级上·山西临汾·期中）一批零食，标准质量为每袋100g．现随机从这批零食中抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，则其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）若，则 ． 例4．（25-26七年级上·吉林·期中）若，则 ． 例5．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 例6．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． 变式1．（25-26七年级上·山西大同·月考）数轴上表示数，的点如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 变式3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知a为有理数，则的最小值为 ． 变式4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）m为有理数，则的最小值： ． 变式5．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·月考）已知A、B在数轴上分别表示a，b． (1)可以利用数轴填写下表： a 5 3 b 2 0 A、B两点的距离 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系？ (3)在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到3和的距离之和为6，并写出这些点对应的整数； 变式6．（25-26七年级上·江西上饶·月考）已知点A、B在数轴上分别表示数a，b，若A、B两点间的距离记为d，则． (1)数轴上有理数与有理数所对应两点之间的距离可以表示为 (2)可以表示数轴上有理数x与有理数 所对应的两点之间的距离；若，则 (3)若，将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数 表示的点重合． (4)若数轴上、两点之间的距离为11（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：： ， ： ； 考点六 有理数比较大小 例1．（24-25七年级上·广东佛山·月考），，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的是(    ) A．一个数的绝对值一定比0大 B．一个数的相反数一定比它本身小 C．绝对值等于它本身的数一定是正数 D．最大的负整数是，最小的正整数是1 例3．（25-26七年级上·福建三明·期中）比较大小： ．（填入“”、“”或“”） 例4．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）比较大小： .（填“”“”或“”） 变式1．（25-26七年级上·山东滨州·期中）下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）下列四个数中，最小的数是（　　） A． B．0 C．1 D． 变式3．（25-26八年级上·北京·期中）比较大小： ， （填“>”“=”或“<”） 变式4．（25-26七年级上·四川德阳·期中）比较大小： ， （填“”、“<”或“”） 考点七 重难点提升：数轴上的动点问题与绝对值的几何意义 例1．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【知识解读】数轴是数学学习中的一个重要工具．用数轴不只是可以将任何有理数在数轴上用点加以表示，还可以利用其中蕴含的数形结合思想解决很多较复杂问题． 【应用1：数与数的转化】（1）如图，小丽借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度的和11对齐，则刻度尺上的1对应数轴上的点A表示的有理数为 ； 【应用2：数与数量关系的刻画】（2）在下面的网格中，表示数，的点均在格点上，请按要求画图． ①已知，请在图2中的数轴上标出原点的位置； ②已知表示数的点也在格点上，请在图3中的数轴上表述原点的位置； 【应用3：数学变换的演示】（3）如图4，已知点，，将点绕着点旋转，得到点，我们称点是点关于点的反演点，记作，亦可记作； 将点、分别绕着同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，则称点是点关于线段的反演点，记作，亦可记作 在数轴上，若已知点表示的数为，点与点的距离为6，点是数轴上一动点，且，，则在点的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，直接写出这个定值；如果不是，请求出它的范围． 例2．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足． (1)填空：__________，__________，__________； (2)如图1，点与点之间的距离表示为，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，、之间的距离为2，请求出的值； (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．请问、两点有没有可能在上坡或下坡时上相遇，若有可能，请直接写出相遇点所表示的数为__________． 例3．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 例4．（25-26七年级上·江西南昌·期中）在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点的数是，点与表示的数互为相反数，点为1到2之间的一个点： ①点表示的数是_______； ②【】=_______，【】=_______； ③比较【】、【】、【】的大小_______（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求【】； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，请求出为何值时，使得； (4)数轴上的点表示有理数，已知且【】为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案． 例5．（25-26七年级上·陕西西安·期中）定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2． (1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________； (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，为两点的美好点？ 变式1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 变式2．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 变式3．（25-26七年级上·辽宁大连·月考）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端，分别落在点，处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，再向左移动，当点移动到处时运动停止，点与点重合，此时点对应的数为． （1）由此可得，__________，的值为__________． （2）图中点所表示的数是__________，点所表示的数是__________． （3）若木棒以每秒个单位长度的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟？ 【拓展应用】 （4）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经是岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 变式4．（25-26七年级上·浙江金华·月考）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 变式5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 考点八 重难点提升：数轴上的规律探究类问题 例1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 例2．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 例3．（25-26七年级上·河南郑州·月考）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是 ． 例4．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10时停止运动，此时与数字10重合的是点 变式1．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 变式2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式3．（25-26七年级上·江苏·期中）数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ． 变式4．（25-26七年级上·河南焦作·月考）如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：有理数8种高频考点专项训练 期末培优：有理数8种高频考点专项训练 考点目录 正数和负数 有理数的概念 数轴 相反数 绝对值 有理数比较大小 重难点提升：数轴上的动点问题与绝对值的几何意义 重难点提升：数轴上的规律探究类问题 考点一 正数和负数 例1．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正、负以名之．”也就是说，对于两个得失相反的量，要以正、负加以区别．若零上记作，则零下记作（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵零上记作， ∴零下应记作． 故选：C． 例2．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）若规定电梯上升为正，上升到六层记作层，那么下降到地下一层记作层．电梯下降到地下三层的停车场记作（）层 A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵上升记为正，下降记为负，且地下一层记作层， ∴地下三层应记作层． 故选D． 例3．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作元，则支出60元表示 元． 【答案】 【详解】解：由题意，收入80元记作元，则支出60元应记作元． 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·吉林长春·期中）中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入50元，记作元，则元表示 ． 【答案】支出100元 【详解】解：收入50元记作元，则元表示与收入相反意义的量，即支出100元． 故答案为：支出100元． 变式1．（24-25七年级下·云南普洱·期末）数学家刘徽在《九章算术》中第一次给出了正负数的概念：“正算赤，负算黑”，即用红色木棍表示正数，用黑色木棍表示负数．若3根红色木棍表示，则5根黑色木棍表示（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 红色木棍表示正数，黑色木棍表示负数，且3根红色木棍表示， ∴ 5根黑色木棍表示， 故选：A． 变式2．（25-26七年级上·山西运城·月考）第十五届全国运动会是粤港澳三地首次联合承办的全国性综合运动会，于2025年11月21日落下帷幕．全运会使用的乒乓球的产品参数标明球的直径是，这表明乒乓球的标准直径为．如果一只乒乓球的直径大于标准直径记作，那么小于标准直径记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得，小于标准直径记作， 故选：A． 变式3．（25-26七年级上·河北张家口·月考）黄壁庄水库主汛期汛限水位为，以它为基准点，高于的水位用正数表示，比如年汛期黄壁庄水库的最高水位达到，记作，年8月份，黄壁庄水库的最高水位是，记作 ． 【答案】 【详解】解：∵以为基准点，高于记为正数，低于记为负数． ∴低于，， 故记作． 故答案为：． 变式4．（25-26七年级上·江西南昌·期中）如图是一个转盘型密码锁，共有40个小格，每次开锁时需要把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时，标记线对准的数是3，再顺时针方向旋转10个小格记为“”，此时，标记线对准的数是33，再逆时针方向旋转17个小格记为“”，此时，标记线对准的数是10，锁就打开，那么开锁密码就可以记为“，，”．如果一组开锁密码为“，，”，那么锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是 ． 【答案】19 【详解】解：开锁密码为“，，”， 则需要先顺时针方向旋转9个小格，此时标记线对准的数是31，再逆时针方向旋转15个小格，此时标记线对准的数是6，然后顺时针方向旋转27个小格，此时标记线对准的数是19，即锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是19， 故答案为：19． 考点二 有理数的概念 例1．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法正确的是（   ） A．0不是正数，不是负数，也不是整数 B．正整数与负整数包括所有的整数 C．是分数，负数，也是有理数 D．有最小的有理数 【答案】C 【详解】解：A：0不是正数，也不是负数，但0是整数，该选项错误，不符合题意； B：整数包括正整数、负整数和0，而正整数和负整数不包括0，该选项错误，不符合题意； C：可化为分数（如），是负数，且有理数包含分数，该选项正确，符合题意； D：有理数包含负有理数，其值可无限减小，故无最小有理数，该选项错误，不符合题意． 故选C． 例2．（25-26七年级上·广西崇左·月考）有理数可以分为正有理数、负有理数和（　　） A．正数 B．整数 C．非正数 D． 【答案】D 【详解】解：由有理数可分为正有理数、负有理数和， 故选：． 例3．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）下列各数： 属于分数的有 个． 【答案】 【详解】解： 是分数； 是有限小数，可以化为分数； 是整数，不是分数； 是整数，不是分数； 是整数，不是分数； 是百分比，等价于 ，是分数． 因此，属于分数的有，共个． 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·江西赣州·期中）有理数中，正数有 个． 【答案】3 【详解】解：有理数，0，20，，，，，中，正数有20，，，共3个． 故答案为：3． 例5．（25-26七年级上·江西上饶·期中）把下列各数填在相应的大括号里（只填序号） ①；②0；③；④（两个1之间的6的个数依次增加1）；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩0.618 (1)非正整数集合{     }． (2)分数集合{     }． (3)正有理数集合{      }． 【答案】(1)②⑦⑧ (2)③⑤⑨⑩ (3)①⑤⑨⑩ 【详解】（1）解：非正整数是指0和负整数 ②0是整数且是非正数，⑦是负整数，⑧是负整数 所以非正整数集合：②⑦⑧， 故答案为：②⑦⑧； （2）解：分数包括有限小数、无限循环小数、百分数 ③是有限小数，⑤是百分数，⑨是分数，⑩0.618是有限小数 所以分数集合：③⑤⑨⑩， 故答案为：③⑤⑨⑩； （3）解：正有理数是正的整数或分数 ①是正整数，⑤是正分数，⑨是正分数，⑩0.618是正分数 所以正有理数集合：①⑤⑨⑩， 故答案为：①⑤⑨⑩． 例6．（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）把下列各数填入相应的集合里： ，，，，0，，，． 整数集：{                        …} 负分数集：{                            …} 非负有理数集：{                            …}． 【答案】整数集：，0，；负分数集：；非负有理数集：，，，0， 【详解】解：由题意得，整数集有：，0，； 负分数集有：； 非负有理数集有：，，，0，． 变式1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在，，0，，314159，，（每相邻两个1之间依次多一个）中，有理数的个数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数， 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 0是整数，是有理数； 含π，不是有理数； 314159是整数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，不是有理数； ∴有理数有5个． 故选：C． 变式2．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）下列说法，正确的个数是（    ） ① 0既不是正数，也不是负数； ② 是正有理数； ③可以写成分数形式的数就是有理数； ④不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解： ①0既不是正数也不是负数，正确； ②是循环小数，可化为分数，是正有理数，正确； ③有理数的定义是能写成分数形式的数，正确； ④是有限小数，是有理数，错误； 正确的有①②③，共3个， 故选：C． 变式3．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在，，1，0，，，，，23，中， 整数是 ； 正有理数是 ； 负有理数是 ． 【答案】 ，1，0，23 ，1，，，23 ，， 【详解】解：①整数是：； ②正有理数是：； ③负有理数是：． 故答案为：①；②；③． 变式4．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）下列各数：，，0，，，，其中负有理数有 个． 【答案】3 【详解】解：，，0，，，中，负有理数有：，，，共3个； 故答案为：3． 变式5．（25-26七年级上·贵州毕节·月考）把下列各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ． 非负数：{                   …}； 正整数：{                   …}； 负分数：{                   …}； 有理数：{                   …}． 【答案】见解析 【详解】解：非负数：{，0，17，…}； 正整数：{，17…}； 负分数：{，…}； 有理数：{…}． 变式6．（25-26七年级上·四川南充·期中）把下列各数分类 6，，，，，0，，，， (1)整数：{ …}； (2)分数：{ …}； (3)非负整数：{ …}； (4)有理数：{ …}． 【答案】(1)6，，0； (2)，，，，，； (3)6，0； (4)6，，，，，0，，，． 【详解】（1）解：整数：{6，，0…}； 故答案为：6，，0； （2）解：分数：{，，，，，…}； 故答案为：，，，，，； （3）解：非负整数：{6，0…}； 故答案为：6，0； （4）解：有理数：{6，，，，，0，，，…}． 故答案为：6，，，，，0，，，． 考点三 数轴 例1．（25-26七年级上·河南商丘·期中）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和，则的值是（   ） A．4.4 B．4.3 C．4.2 D．4.1 【答案】A 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 例2．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）在数轴上，点表示的数是，将点A沿数轴向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵点表示的数是，将点A沿数轴向右移动个单位长度得到点， ∴点表示的数是． 故选：D． 例3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ． 【答案】或/1112或1115 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 例4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在数轴上点A表示，点B表示a，A、B两点之间相距12个单位长度，则 ． 【答案】或 【详解】解：当点在点的左侧时，； 当点在点的右侧时，； 故答案为：或． 例5．（25-26七年级上·福建泉州·期中）在数轴上标出下列各数，并比较它们的大小． ，，0， 比较大小： 【答案】数轴表示见解析，，，， 【详解】解：，， 各数在数轴上表示如下图所示： 由可知：． 故答案为：，，，． 例6．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）如图1是某市1路公交车部分线路示意图及各站点间的距离（单位：），规定向东为正方向，1个单位长度表示． (1)以D站点为原点，将图2的数轴补画完整，并标出其余各站点的位置． (2)在（1）的条件下，数轴上到点C的距离为2个单位长度的点表示的数是多少？ 【答案】(1)作图见详解； (2)或． 【详解】（1）解：如图即为所画： （2）由（1）得数轴上到点C的距离为2个单位长度的点是B和D，点B表示的数是，点D表示的数是0， 所以数轴上到点C的距离为2个单位长度的点表示的数是或， 故答案为：或． 例7．（24-25七年级上·吉林·期末）下表有四张卡片，卡片正面分别写有四个数字，背面分别写有四个字母． 正面 背面 (1)在数轴上表示出卡片正面的数： (2)将正面的数由小到大排列后，翻转到背面，则背面字母组成的单词是______． 【答案】(1)在数轴上表示出卡片正面的数见解析 (2) 【详解】（1）解：， ， ， 在数轴上表示出卡片正面的数如下： （2）解：将数从小到大排列：， 对应背面字母： 对应，对应，对应，对应，组成单词：， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）如图，点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴上点位置可知，，选项A、B、C、D中只有C符合条件， 故选：C． 变式2．（25-26七年级上·陕西延安·月考）如图，已知数轴上每相邻两个点之间的距离为1个单位长度（例如点与点之间的距离为3个单位长度）．若数轴上点与点表示的数之和为0，则点表示的数是（   ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：设原点为O，根据题意可知， 所以． 因为点M与点N表示的数之和为0， 所以， 所以． 因为点P在原点的左侧， 所以点P表示的数是． 故选：B． 变式3．（25-26七年级上·江西上饶·期中）若A，B，M是数轴上不同的三点，且点A表示的数为，点B表示的数为3，点M表示的数为m，当其中一点到另外两点的距离相等时，m的值可以是 ． 【答案】或或15 【详解】解：∵A，B，M是数轴上不同的三点， ∴①当点M在点A、B之间，时，，解得； ②当点M在点A的左侧，时，，解得； ③当点M在点B的右侧，时，，解得； 综上所述，m的值可以是或或15． 故答案为：或或15． 变式4．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是 （用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【详解】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是； 故答案为：或． 变式5．（25-26七年级上·广西南宁·月考）在直线上把数轴补充完整，并在数轴上表示下列各数，再用“”把各数连接起来． ，，，，     【答案】数轴见解析， 【详解】解： 在数轴上表示各数： ∴ 变式6．（25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 【答案】(1)1.5 (2)见详解 【详解】（1）解：点在表示数1、2的两个点的正中间， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求的原点O，点、点的位置． 变式7．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，小亮在一张纸上画了一条数轴，他将纸片折叠，使得数轴上表示的点与表示5的点恰好重合．根据这一操作，回答下列问题： (1)折叠后，表示数的点与表示数______的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，已知之间的距离为，则点A表示的数是______，点B表示的数是______． (3)已知数轴上还有一点P，它到（2）中A、B两点的距离之比为，请求出所有满足条件的点P所表示的数． 【答案】(1) (2)， (3)P点表示的数为或 【详解】（1） 由折叠知，表示数的点与表示数的点关于数的点对称， 由数轴可知表示数的点与表示数的点关于数的点对称， 故答案为． （2）折叠后点与点重合， 点与点关于表示数的点对称， 两点之间距离为， 点和点到表示数的点的距离都为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为，． （3）点P到与的距离比为， 设P表示的数为x，则： ， 即：， 情况1：当时，，解得， 情况2：当时，，解得， 情况3：，，解得（不在范围，舍去）， 综上所述，P点表示的数为或． 考点四 相反数 例1．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）的相反数是（　　） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 例2．（24-25九年级下·海南海口·月考）如图，数轴上点P表示的相反数可能是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，点P在表示与的两个点之间， 故点P表示的数大于且小于， 故在与之间，又的相反数是， 故选：B． 例3．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）的相反数是 ． 【答案】 【详解】解：的相反数是 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）化简 ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·吉林·期末）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与3 C．与 D．5与 【答案】A 【详解】解：A、，则与互为相反数，故该选项符合题意； B、与3不是互为相反数，故该选项不符合题意； C、，与不是互为相反数，故该选项不符合题意； D、，5与不是互为相反数，故该选项不符合题意； 故选：A 变式2．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】解：A、，与只有符号不同，此选项符合题意； B、，与不互为相反数，此选项不符合题意； C、，与不互为相反数，此选项不符合题意； D、，，两数相等，不是互为相反数，此选项不符合题意； 故选：A． 变式3．（25-26七年级上·福建莆田·期中）的相反数是 ． 【答案】 【详解】解：的相反数是， 故答案为： 变式4．（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，在一个不完整的数轴上有A，B，C三个点，数轴的单位长度为1．若点A，C表示的数互为相反数，则图中点B表示的数是 ． 【答案】4 【详解】解：∵点A，C表示的数互为相反数，且点A与点C之间的距离为4， ∴点C和点A到原点的距离都为2，即点C表示的数为2， ∵点B在点C右侧，且与点C的距离为2， ∴点B表示的数为， 故答案为：4． 考点五 绝对值 例1．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）数轴上点所表示的数的绝对值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可得，数轴上点A表示的数为， ∴数轴上点A到原点的距离为3， ∴数轴上点A表示的数的绝对值为3． 故选：B． 例2．（25-26七年级上·山西临汾·期中）一批零食，标准质量为每袋100g．现随机从这批零食中抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，则其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，且， ∴， ∴最接近标准质量的是． 故选C． 例3．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）若，则 ． 【答案】 或 【详解】解：∵，，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 例4．（25-26七年级上·吉林·期中）若，则 ． 【答案】 3或 【详解】解：∵，， ∴或； 故答案为：3或． 例5．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【答案】(1)； (2)5 (3)1001000 【详解】（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离， 故答案为：； （2）解：可理解为数轴上表示数  ��  的点到表示数和 2的点的距离之和，当点  ��  位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5． 故答案为：5； （3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和， 当时，距离之和最小， 最小值为： . 例6．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）3 【详解】（1）解：的几何意义是表示数x的点与表示数的点之间的距离； （2）（ⅰ）由题意，表示数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3， ∴或； （ⅱ）表示数轴上表示数的点到表示数和数1的点之间的距离之和， ∴当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即． 变式1．（25-26七年级上·山西大同·月考）数轴上表示数，的点如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，， 即， 可知只有B正确． 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ 当 时，即时，取得最大值，最大值为； 故选A． 变式3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知a为有理数，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， 故最小值为3． 故答案为：3． 变式4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）m为有理数，则的最小值： ． 【答案】 【详解】因为对于任意有理数 ，有 ， 所以 ， 当 时，，此时 ． 故答案为． 变式5．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·月考）已知A、B在数轴上分别表示a，b． (1)可以利用数轴填写下表： a 5 3 b 2 0 A、B两点的距离 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系？ (3)在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到3和的距离之和为6，并写出这些点对应的整数； 【答案】(1)3；4；4；5；0 (2) (3)图见解析，对应的整数为：，，，0，1，2，3 【详解】（1）解：根据题意，，，，，， 填表如下： a 5 3 b 2 0 A、B两点的距离 3 4 4 5 0 （2）由题意可知，， （3）∵， ∴3到的距离为6， ∴点P在到3之间， 符合要求的整数为：，，，0，1，2，3， 数轴如下： 变式6．（25-26七年级上·江西上饶·月考）已知点A、B在数轴上分别表示数a，b，若A、B两点间的距离记为d，则． (1)数轴上有理数与有理数所对应两点之间的距离可以表示为 (2)可以表示数轴上有理数x与有理数 所对应的两点之间的距离；若，则 (3)若，将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数 表示的点重合． (4)若数轴上、两点之间的距离为11（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：： ， ： ； 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) 【详解】（1）根据题中的公式，代入即可． （2）①，根据距离公式填写即可； ② 或， 解得或； （3）∵，将数轴折叠，使得点与表示的点重合， ∴点与表示的点的中间那个点表示的数是， ∵， ∴点与表示的点重合． 故答案为． （4）折叠后，中点距离点和点的距离：， ∵在的左侧， ∴点：； 点：． 考点六 有理数比较大小 例1．（24-25七年级上·广东佛山·月考），，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 最大， 故选：D． 例2．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的是(    ) A．一个数的绝对值一定比0大 B．一个数的相反数一定比它本身小 C．绝对值等于它本身的数一定是正数 D．最大的负整数是，最小的正整数是1 【答案】D 【详解】A、由于一个数的绝对值，但0的绝对值等于0，并非比0大，故选项A错误． B、由于一个正数的相反数比它本身小，负数的相反数比它本身大，0的相反数等于本身，故选项B错误． C、由于绝对值等于它本身的数是非负数，包括0和正数，0不是正数，故选项C错误． D、由于负整数中最大，正整数中1最小，故选项D正确． 故选：D． 例3．（25-26七年级上·福建三明·期中）比较大小： ．（填入“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：，且， ， 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）比较大小： .（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵ ，， 又∵ ，， ∴ ， ∴ ，， 故答案为：． 变式1．（25-26七年级上·山东滨州·期中）下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，∵，∴，故该选项符合题意； B、，∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、，∴，故该选项不符合题意； 故选：A． 变式2．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）下列四个数中，最小的数是（　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：D． 变式3．（25-26八年级上·北京·期中）比较大小： ， （填“>”“=”或“<”） 【答案】 < > 【详解】解：对于第一组： 比较 和 ， ， ； 由于 ， 所以， ； 对于第二组： 比较 和 ， ，， 由于 ， 所以 ． 故答案为：，． 变式4．（25-26七年级上·四川德阳·期中）比较大小： ， （填“”、“<”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，，且， ∴； ． 故答案为：； 考点七 重难点提升：数轴上的动点问题与绝对值的几何意义 例1．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【知识解读】数轴是数学学习中的一个重要工具．用数轴不只是可以将任何有理数在数轴上用点加以表示，还可以利用其中蕴含的数形结合思想解决很多较复杂问题． 【应用1：数与数的转化】（1）如图，小丽借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度的和11对齐，则刻度尺上的1对应数轴上的点A表示的有理数为 ； 【应用2：数与数量关系的刻画】（2）在下面的网格中，表示数，的点均在格点上，请按要求画图． ①已知，请在图2中的数轴上标出原点的位置； ②已知表示数的点也在格点上，请在图3中的数轴上表述原点的位置； 【应用3：数学变换的演示】（3）如图4，已知点，，将点绕着点旋转，得到点，我们称点是点关于点的反演点，记作，亦可记作； 将点、分别绕着同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，则称点是点关于线段的反演点，记作，亦可记作 在数轴上，若已知点表示的数为，点与点的距离为6，点是数轴上一动点，且，，则在点的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，直接写出这个定值；如果不是，请求出它的范围． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 （3）线段的长度是定值，定值为6 【详解】（1）解：数轴单位长度为， 刻度尺1与原点（刻度的距离为，对应数轴上的数为． 故答案为：． （2）解：①从图中可知，a与b相距2个单位长度，且，所以原点O在a与b之间，且为三等分点， 数轴上表示原点O的位置如下： ②结合图中的格点位置，及长度关系式，在图3中标出原点． （3）解：由反演点定义：，得（是、的中点）；，是找中心使转到，该中心为，故； 则． 因、距离为6，故． 答：线段的长度是定值，定值为6． 例2．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足． (1)填空：__________，__________，__________； (2)如图1，点与点之间的距离表示为，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，、之间的距离为2，请求出的值； (3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．请问、两点有没有可能在上坡或下坡时上相遇，若有可能，请直接写出相遇点所表示的数为__________． 【答案】(1)；8；16 (2)或 (3) 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ，， ， ． 故答案为：；8；16． （2）解：由（1）可知，，，， 点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是， 当时， 或 ∴或 即当为或时，、之间的距离为． （3）解：点表示的数为，以每秒个单位长度的速度沿正方向运动至点， 移动后的数表示为：，当点移动至点时，， ， 根据题意可知、、， 当点运动到点时，；运动到点时，；运动到点时，， ①点、点在上相遇， 则，． ， 不符合题意； ②点、点在上相遇， 则， ， ， 不符合题意； ③点、点在上相遇， 则，， ，符合题意， 相遇点表示的数为：． 故答案为：． 例3．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 例4．（25-26七年级上·江西南昌·期中）在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点的数是，点与表示的数互为相反数，点为1到2之间的一个点： ①点表示的数是_______； ②【】=_______，【】=_______； ③比较【】、【】、【】的大小_______（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求【】； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，请求出为何值时，使得； (4)数轴上的点表示有理数，已知且【】为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案． 【答案】(1)①；②，；③ (2)或 (3)或 (4) 【详解】（1）解：①根据题意得，点的数是，点与表示的数互为相反数， 则点表示的数为， 故答案为：； ②点表示的数是，点表示的数是， 则， 由于， 即 因此 同理得， 因此， 故答案为：，； ③由图可知， 因此， 故答案为：； （2）解：由、得， 则、或 因此或； （3）解：根据题意得，点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，运动时间为， 则运动距离为， 根据得， 即 即或 解得或； （4）解：根据得，， 由于且【】为整数，得，为1到99的自然数， 则且为的整数倍， ， 当时，或（舍去），此时， 当时，或，此时或， 当时，或，此时或， 以此类推，所有满足条件的的倒数之和是 ． 例5．（25-26七年级上·陕西西安·期中）定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2． (1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________； (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，为两点的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)，，3，，9， 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点， 点N的右侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，由，则到的距离为，进而可以确定符合条件． 点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况， 第一种情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，中间，如图， 当时，， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，， 因此秒， 综上所述，的值为：，，3，，9，． 变式1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 【答案】(1)10 (2)7 (3)点表示的数为：，点表示的数为：； (4)． 【详解】（1）解：； （2）解：若，，且， 则点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∴； （3）解：∵点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； ∵点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； （4）解：∵点表示的数为：， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵始终为定值， ∴， ∴． 变式2．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1)5 (2)，，0，1，2，3； (3)点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ， 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3； （3）①当P在之间时，， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， ，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：，此时． 综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时． 变式3．（25-26七年级上·辽宁大连·月考）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端，分别落在点，处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，再向左移动，当点移动到处时运动停止，点与点重合，此时点对应的数为． （1）由此可得，__________，的值为__________． （2）图中点所表示的数是__________，点所表示的数是__________． （3）若木棒以每秒个单位长度的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟？ 【拓展应用】 （4）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经是岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）， ；（2），；（3）秒钟；（4）小华现在的年龄岁，奶奶现在的年龄岁，思路见解析． 【详解】（1）点到点的距离、点到点的距离、点到的距离相等，都等于木棒的长度， ，的值为， 故答案为：，； （2），点所表示的数是， 点所表示的数是，点所表示的数是， 故答案为：，； （3）由题可知，点的运动路程为， 运动时间为， 故共需秒钟； （4）点表示小华现在的年龄，点表示奶奶现在的年龄， 借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒，类似奶奶像小华那么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为．小华像奶奶那么大时看作当点移动到点时此时点所对应的数为， 奶奶比小华大（岁． ，， 点对应的数为，点对应的数为． 变式4．（25-26七年级上·浙江金华·月考）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A：，B：，C：4 (2)①点P与点B之间的距离为1；②不存在一个有理数m，使的值始终保持不变，理由见解析 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 变式5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【答案】(1)点M表示的数为50 (2)①当点Q运动40秒时，点Q追上点P．②点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点” 【详解】（1）解：设点M表示的数为m， ， 或， 或， 或， 或， 解得 或（舍去）， 答：点M表示的数为50． （2）①， ， ， ． 答：当点Q运动40秒时，点Q追上点P． ②点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点A是点P、Q的“快乐点”， ∴或 情况1：当时， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 情况2：当时， 当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ， 解得． 答：点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点”． 考点八 重难点提升：数轴上的规律探究类问题 例1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2025将与正方形上的字母D重合， 故选：D． 例2．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 例3．（25-26七年级上·河南郑州·月考）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是 ． 【答案】D 【详解】解：由题意得，点A，点B，点C，点D，点E，点F所对应的数分别为1，2，3，4，5，6， ∵， ∴数轴上数2026所对应的顶点是点D． 故答案为：D． 例4．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期中）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10时停止运动，此时与数字10重合的是点 【答案】 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故答案为： ． 变式1．（25-26七年级上·湖南怀化·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【详解】解：∵在翻转过程中，1对应的数是B，2对应的数是C，3对应的数是D，4对应的数是A，5对应的数是B，6对应的数是C，7对应的数是D，8对应的数是A，…， ∴每4次翻转为一个循环组依次循环， ∵…1， ∴连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是点B． 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，分别与3、2、1、0重合， ∵， ∴数轴上表示的点与圆周上表示的数字0重合． 故选：A． 变式3．（25-26七年级上·江苏·期中）数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ． 【答案】 【详解】解：第n次移动n个单位，第2025次左移个单位，每左移右移各一次后，点A右移1个单位， 所以表示的数是． 故答案为：． 变式4．（25-26七年级上·河南焦作·月考）如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是 ． 【答案】60 【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点，则； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则； …… 所以第20次移动后得：. 故答案为：60. 2 学科网（北京）股份有限公司 $