有理数的概念、相反数与绝对值、绝对值与数轴上的动点问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学上册

有理数的概念、相反数与绝对值、绝对值与数轴上的动点问题专项训练 有理数的概念、相反数与绝对值、绝对值与数轴上的动点问题专项训练 考点目录 有理数的概念 相反数与绝对值 绝对值与数轴上的动点问题 考点一 有理数的概念 例1．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在，，0，，11中，负分数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：负分数需同时满足负数和分数两个条件； 是整数，不是分数； 是负分数； 0既不是负数也不是分数； 是负分数； 11是正数； ∴负分数有和，共2个． 故选：B． 例2．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【详解】解：① 是负分数，正确； ② 不是整数，正确； ③ 非负有理数包括，故原说法错误； ④ 有理数是整数和分数的统称，而整数包括正整数、负整数和，故原说法错误； ⑤ 没有最小的有理数，故原说法错误； ⑥ 是有限小数，是有理数，故原说法错误． ∴ 错误的有③、④、⑤、⑥，共个； 故选B 例3．（25-26七年级上·福建泉州·期中）下列各数中，属于负整数的是（   ） A． B．3 C．0 D． 【答案】D 【详解】∵ 负整数是负数且是整数， ∴ 选项A、 是负分数，不是整数，不符合题意； 选项B、3是正整数，不符合题意； 选项C、不是负数，不符合题意； 选项D、是负整数，符合题意． 故选：D． 例4．（25-26七年级上·广东河源·期中）将下列各数按要求填在横线上：，，0，，，，，，，负分数是 ． 【答案】， ， 【详解】解：，是负分数；是负分数；，是负分数． 其余数中，为负整数，不是分数；为正数；0既非正也非负；为正分数． 故负分数为：， ， ． 故答案为：， ， ． 例5．（25-26七年级上·广东广州·期中）在，5，0，0.39，，，中，属于非负整数的是 ． 【答案】5，0 【详解】是负分数，不是整数； 5是正整数，是非负整数； 0是零，是非负整数； 0.39是正小数，不是整数； 是负整数，不是非负整数； 是正分数，不是整数； 等于，是负小数，不是整数； 因此，非负整数是5和0． 故答案为：5，0． 例6．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在，，1，0，，，，，23，中， 整数是 ； 正有理数是 ； 负有理数是 ． 【答案】 ，1，0，23 ，1，，，23 ，， 【详解】解：①整数是：； ②正有理数是：； ③负有理数是：． 故答案为：①；②；③． 变式1．（25-26七年级上·江西上饶·期中）下列四个有理数中，属于正整数的是（  ） A． B．0 C． D．3 【答案】D 【详解】解：正整数定义为大于零的整数， 选项A：，为负数，不符合； 选项B：，不为正数，不符合； 选项C：为小数，非整数，不符合； 选项D：且为整数，符合； 故选：D． 变式2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）在有理数3，，0，，120，，中，负有理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：在有理数中，负有理数是、，共2个． 故选：B． 变式3．（25-26七年级上·重庆·期中）在，，0，，，7中，非负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在中，非负数有，0，7，共3个． 故选：C． 变式4．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）在“， ， 3.14， 0.1010010001... （每两个 1 之间多一个 0 ）， ”中，分数有 个． 【答案】3 【详解】解：是整数，不是分数； 是分数； 3.14是有限小数，可以化成分数，如，因此是分数； 0.1010010001...（每两个1之间多一个0）是无限不循环小数，不能化成分数，因此是无理数； 表示，即，是分数； 综上，分数有3个． 故答案为：3． 变式5．（25-26七年级上·江苏南京·期中）在，，0，，，031313111…（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有 个 【答案】4 【详解】解：是无限循环小数，是有理数； 是分数，是有理数；0是整数，是有理数； 中含有无理数π，是无限小数，不是有理数； 即，是有限小数，是有理数； 031313111…（每两个3之间依次多一个1）是无限不循环小数，不是无理数， 因此，有理数有4个， 故答案为：4 变式6．（25-26七年级上·广西玉林·期中）在5，，，，0.22，，中，是负有理数的为 ． 【答案】 【详解】解：负有理数有：． 故答案为：． 考点二 相反数与绝对值 例1．（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：对于选项A：∵， ∴两者均为5，和不为零，不互为相反数； 对于选项B：∵， ∴两数之和为0，互为相反数； 对于选项C：∵， ∴两者均为4，和不为零，不互为相反数； 对于选项D：∵， ∴两者均为，和不为零，不互为相反数． 故选：B． 例2．（25-26七年级上·四川眉山·期中）下列各组互为相反数的是 （    ） A． 与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：A：，，1与1相等，不是相反数，故此选项不符合题意； B、，，1与1相等，不是相反数，故此选项不符合题意； C、，，与相等，不是相反数，故此选项不符合题意； D、，，与1互为相反数，故此选项符合题意； 故选：D． 例3．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·月考）的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 例4．（25-26七年级上·甘肃张掖·月考） ． 【答案】3 【详解】解：， 故答案为：3． 例5．（25-26七年级上·广西贵港·期中）的值是 ． 【答案】9 【详解】根据相反数的意义，表示-9的相反数，而负数的相反数是正数， 因此． 故答案为：9． 例6．（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，在一个不完整的数轴上有A，B，C三个点，数轴的单位长度为1．若点A，C表示的数互为相反数，则图中点B表示的数是 ． 【答案】4 【详解】解：∵点A，C表示的数互为相反数，且点A与点C之间的距离为4， ∴点C和点A到原点的距离都为2，即点C表示的数为2， ∵点B在点C右侧，且与点C的距离为2， ∴点B表示的数为， 故答案为：4． 变式1．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 【答案】B 【详解】A、∵ ∴ 两数相等，且不为零，故不为相反数； B、∵， ∴ 两数互为相反数； C、∵ ， ∴ 两数相等，且不为零，不为相反数； D、∵ 4和的和不为0， ∴ 不为相反数． 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·山西晋中·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：、，则和互为相反数，符合题意； 、，则和不互为相反数，不符合题意； 、和不互为相反数，不符合题意； 、，和不互为相反数，不符合题意； 故选：． 变式3．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）一种大米每袋的标准质量为，下列选项记录了4袋大米的质量，负数表示低于标准质量，正数表示超过标准质量，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，， 的那袋大米最接近标准质量． 故选：A． 变式4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如果a与互为相反数，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数， ∴； 故答案为． 变式5．（25-26七年级上·江西南昌·期中）化简： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 变式6．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果与互为相反数，那么 ． 【答案】3 【详解】解：因为 A 与互为相反数， 所以， 故； 故答案为：3． 考点三 绝对值与数轴上的动点问题 例1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 【答案】（1）8   （2）8   （3） （4）7或9秒   （5） 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离为：， 故答案为：8； （2）解：数轴上表示数的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8； （3）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：设经过秒时，，之间的距离为3， 此时点表示的数是，点表示的数是， 则， 整理得， 解得或， 故当为7或9秒时，，之间的距离为3； （5）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， 的最小值为1，的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：． 例2．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 【答案】(1) (2)35 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵a，b 互为相反数， ∴． （2）解：由题意可知：A、B 两点之间的距离为10， 设运动了t秒，点P追上点Q，则， ∴， ∴C点表示的有理数c为． 例3．（25-26七年级上·河南商丘·期中）七上教材33页的一道题目： 在数轴上点A，B分别表示a，b．对于下列各数a，b：        观察点A，B在数轴上的位置，你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？ (1)用文字语言叙述你的发现； (2)的几何意义是数轴上表示数与数______的两点之间的距离； (3)如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中，，且点到原点的距离为28，设点所对应数的和是，求的值． 【答案】(1)数轴上两点之间的距离等于这两个数差的绝对值 (2) (3)或 【详解】（1）解：发现如下规律：数轴上两点之间的距离等于这两个数差的绝对值； （2）解：的几何意义是数轴上表示数x与数的两点之间的距离； 故答案为：； （3）解：∵点B到原点的距离为28， ∴或28， 当时， ，， ， ； 当时， ，， ， ， 综上所述，p的值为或83． 例4．（25-26七年级上·江西上饶·期中）【定义新知】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离． 回答下列问题： （1）数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______．当，那么x为______． （2）当的最小值是______． （3）的最大值为______． （4）当______时，的值最小． 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km、左侧1km、右侧1km、右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在______，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是______km． 【答案】（1）；5或（2）1（3）4（4）2（5）、之间（含、）；10 【详解】解：（1）数轴上表示和2的两点距离为， 当即 则或 解得或 故答案为：；5或； （2）的几何意义是数轴上对应的点到1和0对应的点的距离之和 当在0和1之间（含端点）时距离和最小最小值为； 故答案为：1； （3）的几何意义是数轴上对应的点到的距离减去到3的距离 当时距离差最大，此时， 故答案为：4； （4）的几何意义是数轴上对应的点到、、对应的点的距离之和，当取中间点2时距离和最小， 故答案为：2； （5）居民区、、、对应的位置分别为、、、 总路程为 当在和1之间（含端点）时总路程最短， 最短路程为 故答案为：、之间（含、）；10． 例5．（25-26七年级上·河南南阳·期中）在华师大七年级数学上册16页中，有这样一段文字： 我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value)，记作． 例如，在数轴上表示的点与原点的距离是5个单位长度，所以的绝对值是5，记作；在数轴上表示的点与原点的距离是6个单位长度，所以的绝对值是6． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记做． 回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点和之间的距离可记做___________；若数轴上表示与的两点和之间的距离为2，那么为___________； (2)①若点表示的有理数为，则当满足___________时，； ②找出所有使得成立的整数是___________； ③的最小值是___________． 【答案】(1)或，1或 (2)①；②，，0，1③3 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点和之间的距离可记做； 若数轴上表示与的两点和之间的距离为2，则， , ∴或， 故答案为：或，1或 （2）解：①当时，变形为：，解得，此情况不成立； 当时, 变形为：，解得； 当时，变形为：，解得，此情况不成立； 所以，的值为， 故答案为：； ②当时，，解得； 当时，，恒成立，所以，在此范围内的整数解为，0； 当时，，解得； 故答案为：，，0，1； ③∵表示数x与表示数和1的点之间的距离之和， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 变式1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）我们知道，在数轴上表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点，，分别用数，表示，那么、两点之间的距离为：．例如，点表示的数是2，点表示的数为，，两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)A所表示的数是，B所表示的数是6，A，B两点之间的距离是_____． (2)若，则_____， (3)结合数轴，求得的最小值为_____； 【答案】(1)7 (2)或 (3) 【详解】（1）解：由题可得：， 故答案为：7； （2）解：∵，即， ∴点到点的距离为1， ∴或； （3）解：设点是数轴上一点， ∴当点在6和之间时有最小值， ∴有最小值为． 变式2．（25-26七年级上·河南周口·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，则，例如：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离；数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．利用数形结合思想，回答下列问题： （1）的几何意义是表示的点与表示___________的点之间的距离； （2）观察数轴，若，则的值可以是___________； [拓展延伸] （3）求的最小值． 【答案】（1）；（2）1或；（3）的最小值是2． 【详解】解：（1）的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离， 故答案为：； （2）几何意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离为2， 则由图可知或， 故答案为：1或； （3）根据题意，为数轴上表示x的点到表示和1的点的距离之和， 如图可知当时，有最小值，且最小值为2， ∴的最小值是2． 变式3．（25-26七年级上·河北保定·期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________，___________；，间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得，，其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． 【答案】(1)6，，10 (2)①3；②或2；③见解析 【详解】（1）解：一个数的平方和绝对值都是非负数，且， ，解得， 、间的距离为， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ，所以或，所以或， 点C在数轴上表示的数为， 点B，C之间的距离为； ②由（2）①知点B，C之间的距离为3，当点P在点B，C之间时，点P到点B的距离为 ， 点P表示的数为； 当点P在点C的右侧时，点P到点C的距离为3， 点P表示的数为， 综上，点P表示的数为或2； ③点C向左移动13个单位长度，点B到点A，C的距离相等； 点C向右移动2个单位长度，点C到点A，B的距离相等； 点C向右移动17个单位长度，点A到点B，C的距离相等． 变式4．（25-26七年级上·福建南平·期中）阅读材料：点 A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可表示为．例如： 6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示5的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和3，数轴上另有一点P对应的数为有理数x. 请根据阅读材料回答下列问题： (1)点A与点B之间的距离 ； (2)根据几何意义，解决下列问题并填空： 当时， ；                       当时， ；                  若点P在A、B两点之间，则 ；           若， 则点P表示的有理数x为 ． (3)若点M、N 为数轴上的两个动点，若点M以每秒个单位长度的速度从点B向数轴负方向出发，点N从点A向数轴正方向出发，其运动速度是点M的3倍，求运动多少秒后点M与点N相距1个单位长度？ 【答案】(1)5； (2)5；9；5，4或； (3)5秒或秒． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：5； （2）由数轴可知： 当时，到A、B两点的距离之和为5， 所以；     当时，到A、B两点的距离之和为9， 所以；     若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离之和为5， 所以； 因为，所以点P不在A、B两点之间， 因为，所以点P表示的有理数x为4或； 故答案为：5；9；5，4或； （3）由题可知，， 设运动t秒后点M与点N相距1个单位长度， 相遇前： ，    相遇后： ，        答：综上可知，经过5秒或7.5秒时点M与点N相距1个单位长度 变式5．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）阅读材料： 我们知道，即为，其几何意义是数轴上表示数的点到原点的距离．进一步推广，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示的点与表示5的点之间的距离，运用这一几何意义，可以巧妙地解决许多代数问题． (1)理解应用 等式的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数________的点之间的距离为2． (2)拓展延伸 ①当取不同的值时，代数式的值随之变化，当________时、的值最小为________． ②若使代数式的值最小，的值不可能是（   ） A．1    B．0    C． (3)创新应用 一条生产流水线上有三个工位，在数轴上对应的位置分别为1，2，4．现要设置一个配件库（对应数值为x），若工位使用频率是工位的2倍，则总运输距离可表示为：． ①配件库应设置在数轴何处，才能使总运输距离最小？请直接在图1，数轴上表示出来； ②求出此时的最小值． 【答案】(1)1 (2)①2，6；②C (3)①见详解；②3 【详解】（1）解：表示数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离是2， 故答案为：1； （2）解：①表示数轴上点x到点2、3、的距离之和， 将点按从小到大排列为、2、3，中间的点为2， 故当时，距离之和为，此时值最小， 故答案为：2，6； ②表示数轴上点x到点1、2、、的距离之和， 将点按从小到大排列为、、1、2，中间两个点之间的区间为到1，此时距离之和最小， 选项中1，0在区间内，不在区间内，故必的值不可能是C． 故答案为：C. （3）解：①配件库P应设置在数轴上的2处(即工位B的位置)， 在数轴上表示如下： ②当时，， 所以，此时T的最小值为3． 2 学科网（北京）股份有限公司 $有理数的概念、相反数与绝对值、绝对值与数轴上的动点问题专项训练 有理数的概念、相反数与绝对值、绝对值与数轴上的动点问题专项训练 考点目录 有理数的概念 相反数与绝对值 绝对值与数轴上的动点问题 考点一 有理数的概念 例1．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在，，0，，11中，负分数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 例3．（25-26七年级上·福建泉州·期中）下列各数中，属于负整数的是（   ） A． B．3 C．0 D． 例4．（25-26七年级上·广东河源·期中）将下列各数按要求填在横线上：，，0，，，，，，，负分数是 ． 例5．（25-26七年级上·广东广州·期中）在，5，0，0.39，，，中，属于非负整数的是 ． 例6．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在，，1，0，，，，，23，中， 整数是 ； 正有理数是 ； 负有理数是 ． 变式1．（25-26七年级上·江西上饶·期中）下列四个有理数中，属于正整数的是（  ） A． B．0 C． D．3 变式2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）在有理数3，，0，，120，，中，负有理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（25-26七年级上·重庆·期中）在，，0，，，7中，非负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式4．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）在“， ， 3.14， 0.1010010001... （每两个 1 之间多一个 0 ）， ”中，分数有 个． 变式5．（25-26七年级上·江苏南京·期中）在，，0，，，031313111…（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有 个 变式6．（25-26七年级上·广西玉林·期中）在5，，，，0.22，，中，是负有理数的为 ． 考点二 相反数与绝对值 例1．（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 例2．（25-26七年级上·四川眉山·期中）下列各组互为相反数的是 （    ） A． 与 B．与 C．与 D．与 例3．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·月考）的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 例4．（25-26七年级上·甘肃张掖·月考） ． 例5．（25-26七年级上·广西贵港·期中）的值是 ． 例6．（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，在一个不完整的数轴上有A，B，C三个点，数轴的单位长度为1．若点A，C表示的数互为相反数，则图中点B表示的数是 ． 变式1．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 变式2．（25-26七年级上·山西晋中·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式3．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）一种大米每袋的标准质量为，下列选项记录了4袋大米的质量，负数表示低于标准质量，正数表示超过标准质量，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如果a与互为相反数，那么 ． 变式5．（25-26七年级上·江西南昌·期中）化简： ． 变式6．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果与互为相反数，那么 ． 考点三 绝对值与数轴上的动点问题 例1．（25-26七年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 例2．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 例3．（25-26七年级上·河南商丘·期中）七上教材33页的一道题目： 在数轴上点A，B分别表示a，b．对于下列各数a，b：        观察点A，B在数轴上的位置，你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？ (1)用文字语言叙述你的发现； (2)的几何意义是数轴上表示数与数______的两点之间的距离； (3)如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中，，且点到原点的距离为28，设点所对应数的和是，求的值． 例4．（25-26七年级上·江西上饶·期中）【定义新知】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离． 回答下列问题： （1）数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______．当，那么x为______． （2）当的最小值是______． （3）的最大值为______． （4）当______时，的值最小． 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km、左侧1km、右侧1km、右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在______，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是______km． 例5．（25-26七年级上·河南南阳·期中）在华师大七年级数学上册16页中，有这样一段文字： 我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value)，记作． 例如，在数轴上表示的点与原点的距离是5个单位长度，所以的绝对值是5，记作；在数轴上表示的点与原点的距离是6个单位长度，所以的绝对值是6． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记做． 回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点和之间的距离可记做___________；若数轴上表示与的两点和之间的距离为2，那么为___________； (2)①若点表示的有理数为，则当满足___________时，； ②找出所有使得成立的整数是___________； ③的最小值是___________． 变式1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）我们知道，在数轴上表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点，，分别用数，表示，那么、两点之间的距离为：．例如，点表示的数是2，点表示的数为，，两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)A所表示的数是，B所表示的数是6，A，B两点之间的距离是_____． (2)若，则_____， (3)结合数轴，求得的最小值为_____； 变式2．（25-26七年级上·河南周口·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，则，例如：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离；数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．利用数形结合思想，回答下列问题： （1）的几何意义是表示的点与表示___________的点之间的距离； （2）观察数轴，若，则的值可以是___________； [拓展延伸] （3）求的最小值． 变式3．（25-26七年级上·河北保定·期中）数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________，___________；，间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得，，其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． 变式4．（25-26七年级上·福建南平·期中）阅读材料：点 A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可表示为．例如： 6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示5的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和3，数轴上另有一点P对应的数为有理数x. 请根据阅读材料回答下列问题： (1)点A与点B之间的距离 ； (2)根据几何意义，解决下列问题并填空： 当时， ；                       当时， ；                  若点P在A、B两点之间，则 ；           若， 则点P表示的有理数x为 ． (3)若点M、N 为数轴上的两个动点，若点M以每秒个单位长度的速度从点B向数轴负方向出发，点N从点A向数轴正方向出发，其运动速度是点M的3倍，求运动多少秒后点M与点N相距1个单位长度？ 变式5．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）阅读材料： 我们知道，即为，其几何意义是数轴上表示数的点到原点的距离．进一步推广，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示的点与表示5的点之间的距离，运用这一几何意义，可以巧妙地解决许多代数问题． (1)理解应用 等式的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数________的点之间的距离为2． (2)拓展延伸 ①当取不同的值时，代数式的值随之变化，当________时、的值最小为________． ②若使代数式的值最小，的值不可能是（   ） A．1    B．0    C． (3)创新应用 一条生产流水线上有三个工位，在数轴上对应的位置分别为1，2，4．现要设置一个配件库（对应数值为x），若工位使用频率是工位的2倍，则总运输距离可表示为：． ①配件库应设置在数轴何处，才能使总运输距离最小？请直接在图1，数轴上表示出来； ②求出此时的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $