期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学上册

期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 考点目录 以二次函数为背景的线段长度与周长问题 以二次函数为背景的三角形面积问题 以二次函数为背景的四边形面积问题 以二次函数为背景的等腰三角形存在性问题 以二次函数为背景的直角三角形存在性问题 以二次函数为背景的等腰直角三角形存在性问题 以二次函数为背景的平行四边形存在性问题 以二次函数为背景的菱形存在性问题 以二次函数为背景的矩形存在性问题 以二次函数为背景的正方形存在性问题 以二次函数为背景的角度问题 考点一 以二次函数为背景的线段长度与周长问题 例1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点B的坐标． (2)在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标和的最小值． (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的最大值时，求点M的坐标 例2．（25-26九年级上·北京·期中）若抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点，则称与互为“孪生抛物线”． (1)抛物线与互为“孪生抛物线”吗？ (2)求出抛物线的所有“孪生抛物线”（要求顶点坐标在坐标轴上）； (3)已知抛物线，互为“孪生抛物线”． ①求常数的值； ②点，分别是抛物线与上的动点（位于两顶点之间），且直线平行轴，求线段长的最大值． 例3．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上的动点，设点的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点在轴上方，且，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，过点作轴，垂足为点，过点作轴的平行线与轴交于点，与相交于点，过点作轴的垂线，交轴于点，设矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②当随增大而增大时，直接写出的取值范围． 例4．（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，点是线段上的动点． (1)①________； ②求抛物线的解析式． ③直接写出抛物线解析式顶点坐标（________，________）； (2)过点作直线l垂直于轴，交抛物线于点，求线段的长的最大值，并求出此时点与点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在中，，，．以点为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线过点，与轴正半轴的交点记为点． (1)_____，点的坐标为_____； (2)若点的坐标为，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，是抛物线上段一动点（不与端点，重合），过点垂直于轴的直线交折线段于点． ①若为抛物线的顶点，求的长； ②若记①中的的长为，当改变的位置，使得，请直接写出满足条件的横坐标的取值范围． 变式2．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在线段上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式和点B的坐标； (2)请直接写出线段的最大值． 变式3．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 变式4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍． ①求点P的坐标． ②抛物线的对称轴上有一动点Q，求的周长最小值． 考点二 以二次函数为背景的三角形面积问题 例1．（25-26九年级上·山西临汾·月考）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上（不与点重合）运动时，连接，当时，求的值． 例2．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）抛物线与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线，且为抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点为抛物线上第四象限的一动点，若，求点的坐标； (3)过动点作交线段于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求出此时的最大值． 例3．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是图象上的一点，为抛物线的顶点．已知，，． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； 例4．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·月考）已知抛物线过点和，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为，在直线上方抛物线上有一点（与不重合），面积与面积相等，求点的坐标； 变式1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴负半轴交于点，二次函数的图象经过点，与二次函数的图象的另一个交点为，与轴交点为，已知点的横坐标为3． (1)求的函数表达式； (2)连接，点是线段上一点，不与点，重合，过点作轴的垂线，交二次函数的图象于点，交二次函数的图象于点，求证：； (3)点是二次函数的图象上的一个动点，连接，，当的面积为时，请直接写出点的横坐标． 变式2．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）如图，抛物线：与轴交于点，与轴交于点，将抛物线沿轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线． (1)求的解析式； (2)在抛物线的第一象限内的图像上有一点，求的面积的最大值． 变式3．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； 变式4．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图1，抛物线（a，b是常数且a≠0）与x轴交于点A和点B，点A位于原点左侧，点B位于原点右侧，与y轴交于点C，连接，，已知． (1)求抛物线的解析式； (2)若是该抛物线的对称轴，点D是抛物线的顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点． （i）如图2，连接，，若的面积为3，求点P的坐标； （ii）如图3，设与交于点G，连接，求的最大值． 考点三 以二次函数为背景的四边形面积问题 例1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，且对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．当时，求四边形面积的最大值． 例2．（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图，二次函数的图象经过点、、，连结，点为抛物线上一动点（点不与点、、重合），且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，交轴于点，连结． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，上存在一点，使得的值最小，求点的坐标； (3)当点在直线上方时，连接、、，求四边形面积的最大值； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 例3．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）抛物线与轴交于、两点．与轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，连接，点在抛物线上，若为直角三角形，且，求点的坐标． (3)如图2，过点的直线，点是直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，连接，，，．当四边形的面积最大时，求点的坐标及四边形面积的最大值． 例4．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点C，N是第三象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点是抛物线的顶点时，求四边形的面积； (3)求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的图象（记为）经过点B，C．直线与两个图象，分别交于点D，E，与x轴交于点P． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，当点P在线段上时，求四边形面积的最大值； (3)设点D，E到直线的距离分别为m，n．当时，请求出对应的t值． 变式2．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于点． (1)_______，点A的坐标为_______，点B的坐标为_______； (2)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． 变式3．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)直接写出A，B的坐标与； (2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线于点D，求四边形面积的最大值及此时点E的坐标． 变式4．（25-26九年级上·湖北随州·月考）抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 考点四 以二次函数为背景的等腰三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 例2．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，已知抛物线经过点和点，点C为抛物线与y轴的交点， (1)求抛物线的解析式； (2)求出点C坐标，的面积； (3)若点E为直线上方抛物线上的一点，请求出面积的最大值；是否轴存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点D的坐标；如果没有，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 例4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴交x轴于E，点D为抛物线顶点． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)点P是直线下方的抛物线上一点，且．求点P的坐标； (3)点M为抛物线对称轴上一点，是否存在以点B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 变式2．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 变式3．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标； (3)当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______． 变式4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 考点五 以二次函数为背景的直角三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点M的坐标． 例3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图像交x轴于点、，交y轴于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图像上一点，且点P在第二象限，连接线段交x轴于点D，若的面积是的面积的4倍，求点P的坐标． (3)二次函数图像上是否存在点Q使为直角三角形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 变式1．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为抛物线对称轴上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标． 变式2．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，已知二次函数的图象经过，，三点． (1)求二次函数的解析式； (2)设点在二次函数的图象上，将绕点C按顺时针方向旋转至，使得射线与y轴的正半轴交于点E，且经过点D，射线与线段交于点F．求证：； (3)是否存在点，使得点A、D、H构成的是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H？（画出草图，直接回答，不必说明理由） 变式3．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)直接写出坐标：点___________，点___________； (2)若点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求面积的最大值； (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 变式4．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 考点六 以二次函数为背景的等腰直角三角形存在性问题 例1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 例2．（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限． (1)如图，若该抛物线过，两点，求该抛物线的函数表达式； (2)平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与直线交于另一点． ①若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的横坐标； ②取的中点，连接，，试探究是否存在最大值？若存在，直接写出该最大值；若不存在，请说明理由． 例3．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 例4．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，已知点的坐标为．直线与轴，轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过，，三点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点，从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 变式1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，抛物线经过点和，顶点为D． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)连接，判断的形状； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 变式3．（25-26九年级上·福建龙岩·月考）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 变式4．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 考点七 以二次函数为背景的平行四边形存在性问题 例1．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（），连接、、、． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当的面积等于的面积的4倍时，求m的值． (3)当时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（A在的左侧），与轴交于点，过A点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）抛物线（b，c为常数）经过点，与轴的交点是点、，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． (1)______，______． (2)若点在上方，当为何值时，的面积最大； (3)点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标： (4)点是直线上的一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例4．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，，P为抛物线上一动点(不与点A,B重合)，图中虚线是抛物线对称轴．    (1)求该二次函数的解折式； (2)当点在上方时，连接，，求的最大值； (3)点M在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点M，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求直线的解析式． (2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点E的坐标． (3)若点Q是x轴上一动点，点P是抛物线上一动点，是否存在Q，P，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，点P是直线下方抛物线上的动点，当点P在该抛物线上什么位置时，面积最大，并求出此时P点的坐标； (3)设点D是该抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数解析式． (2)如图1，若是抛物线上第二象限内的一个动点，连接．当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)如图2，若是抛物线上的一点，是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，抛物线与轴交于两点，直线与拋物线交于A、D两点，与轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)已知点为线段上一动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，求的最大面积； (3)若点是轴上的一动点，点是抛物线上一动点，当以点四点为顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点的坐标． 考点八 以二次函数为背景的菱形存在性问题 例1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点， (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第一象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，若是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 例3．（25-26九年级上·内蒙古兴安盟·月考）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例4．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．已知点坐标为，，面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，为新抛物线对称轴上一点，为平面内一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程． 变式1．（2025·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 变式3．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 变式4．（2025·上海·模拟预测）我们称抛物线为的“轮换抛物线”．已知在平面直角坐标系中，抛物线N是抛物线M的“轮换抛物线”． (1)假设M的解析式是（p为常数），抛物线N过点，求抛物线M的顶点坐标． (2)假设M、N和y轴正半轴分别交于点P和，点是线段的一个三等分点（），若M、N都关于同一条直线对称，求该直线的表达式． (3)假设M、N均过和B．以A为起点，向右作和x轴平行的射线，从左到右依次交N、M于点C、D．平面中有一点E，如果四边形是菱形，求点E的坐标． 考点九 以二次函数为背景的矩形存在性问题 例1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点C的对应点为． ①求出点的坐标； ②判断四边形的形状，并说明理由； (2)设G是坐标平面内一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标； (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，已知以为顶点的四边形是矩形，请直接写出点G的坐标：______． 例3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 例4．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 变式1．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 变式2．（25-26九年级上·吉林四平·期中）如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； (4)若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知二次函数的图像与轴交于、两点，且点，其对称轴为过点且平行于轴的直线． (1)求二次函数的表达式； (2)过点作轴的平行线与二次函数图像交于点M、N，点为直线上一动点，点为二次函数图像上一动点（不与重合），连接、、，将沿直线翻折得到． ①当点在对称轴左侧，点与点重合时，求点的坐标． ②当以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点的坐标． 考点十 以二次函数为背景的正方形存在性问题 例1．（2025·广东珠海·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E坐标； (3)点P在x轴上方抛物线上，点Q在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E，O，P，Q为顶点的四边形是以为边的正方形时，请直接写出点E坐标． 例2．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，直线与抛物线交于A，D两点，与直线交于点E．若是线段上（不包括点A，B）的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线于点H． ①连接，，，当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值． ②在平面内是否存在点P，使四边形为正方形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·江苏南通·月考）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点、都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)若点P，Q在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 例4．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 变式1．（25-26九年级上·江西赣州·期中）已知抛物线过点，． (1)求a的值； (2)平移抛物线，得到抛物线，抛物线的顶点在直线上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m． ①抛物线的函数关系式为________（用含m的式子表示）； ②求抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． (3)设抛物线的顶点为P，将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线的顶点为Q，试判断四边形是否能成为正方形，若能，求出c的值；若不能，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 变式4．（2025·西藏·模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 考点十一 以二次函数为背景的角度问题 例1．（24-25九年级上·广东汕尾·月考）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式和的面积； (2)点D是第一象限内抛物线上的一点，连接，，求面积的最大值及点D的坐标； (3)点P为抛物线上一点（点P与点B不重合），且使得，请直接写出点P的坐标． 例2．（25-26九年级上·广东珠海·月考）综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标； (2)如图，N是下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·四川自贡·月考）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过点B，C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点A的直线交直线于点M． ①当时，点P为抛物线上一动点，作平行于y轴交直线于点Q，若满足，求点P的横坐标； ②连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点M的坐标． 例4．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于D，E两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若P是抛物线上的点且在直线l的上方，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及该面积的最大值； (3)若Q是抛物线上的点，连接，且，请求出点Q的坐标． 变式1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，抛物线的函数表达式为，抛物线经过点且与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点为轴上一动点，连接，过点作的平行线交抛物线于点，作直线交轴于点． (1)求值和点坐标； (2)当点在轴下方时， 如图，当点为抛物线顶点时，求证：； 如图，当点在第四象限时，求的长； (3)当时，直接写出点坐标． 变式3．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点 C，P为第四象限内抛物线上一点，过点 P作轴于点 M，连接，交y轴于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，请直接写出点P的坐标． 变式4．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； (2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 考点目录 以二次函数为背景的线段长度与周长问题 以二次函数为背景的三角形面积问题 以二次函数为背景的四边形面积问题 以二次函数为背景的等腰三角形存在性问题 以二次函数为背景的直角三角形存在性问题 以二次函数为背景的等腰直角三角形存在性问题 以二次函数为背景的平行四边形存在性问题 以二次函数为背景的菱形存在性问题 以二次函数为背景的矩形存在性问题 以二次函数为背景的正方形存在性问题 以二次函数为背景的角度问题 考点一 以二次函数为背景的线段长度与周长问题 例1.(25-26九年级上广东惠州期中)如图，抛物线y=2+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C,已知点A的坐标是(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1, y x=1 B 备用图 (1)直接写出点B的坐标. (2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标和PA+PC的最小值. (③)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥x轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q.依题意补全图 形，当MQ+√2CQ的最大值时，求点M的坐标 【答案】(1)(3,0) (2)点P(1,2),PA+PC的最小值为3√2. ow[ 【详解】(1)解：点A(-1,0)关于对称轴的对称点为点B,对称轴为直线x=1, 点B为(3,0). 期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 (2)解：抛物线y=2+bx+3(a≠0)与y轴交于点C, C(0,3), 如图：连接BC交对称轴于点P,连接AP, A 1 点A关于对称轴的对称点为点B, .AP=BP, PA+PC=PB+PC≥BC, “当P、B、C三点共线时，PA+PC的值最小，且为BC的长， B(3,0), ∴BC=V32+32=3V2; 设直线BC的解析式为：y=a+n, n=3 n=3 则： 3k+n=0解得：k=-1' 直线BC的解析式为：y=-x+3, 点P在抛物线的对称轴上， …P(1,2); 点P(1,2),PA+PC的最小值为3√2 (3)解：如图：过点M作MN⊥x轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q, 珠 M B O 1N A(-1,0),B(3,0), 期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x-3), C(0,3), 3=-3a,解得：a=-1, y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3, 设M(m,-m°+2m+3,则N(m,0), 由(2)知：直线BC:y=-x+3, .Q(m,-m+3), .MQ=-m2+2m+3-（-m+3)=-m2+3m, C(0,3)B(3,0), ..OC=OB=3,BN=3-m, ∠OBC=∠OCB=45°， .NQB=∠OBC=45°， ∴BQ=V2BN=V2(3-m), ∴CQ=BC-BQ=3V2-3V2+√2m=√2m, ∴M0+V2CQ=-m2+3m+V2√2m=-m2+5m= m- 当m=)时，M0+V5CQ有最大值，此时M 例2.(25-26九年级上北京·期中)若抛物线C,与C,顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点，则称C,与 C互为“李生抛物线”. (1)抛物线y=x2+2x-3与y=-x2+2x-1互为“孪生抛物线”吗？ (2)求出抛物线y=x2+2x-3的所有“李生抛物线”（要求顶点坐标在坐标轴上）； (3)已知抛物线C1:y=mx2-(m-1)x-2m,C,:y=(m-1)x2+(m+3)x+2m互为李生抛物线”. ①求常数m的值； ②点A,B分别是抛物线C1与C上的动点（位于两顶点之间），且直线AB平行y轴，求线段AB长的最大值， 【答案】(1)是 期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 (2)y=-x2+2x-1、y=-x2-6x一9或y=-x2-3 （6①m=2:②AB的长度最大值为好 【详解】(1)解：抛物线y=x2+2x-3=(x+1)-4,即顶点坐标为(-1，-4)， 当x=-1时，y=-x2+2x-1=-1-2-1=-4, 即点(-1，-4)经过抛物线y=-x2+2x-1; 抛物线y=-x+2x-1=-(x-1),即顶点坐标为(1,0)， 当x=1时，y=x2+2x-3=1+2-3=0, 即点(1,0)经过抛物线y=x2+2x-3; 故抛物线y=x2+2x-3与y=-x2+2x-1顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点， 所以抛物线y=x2+2x-3与y=-x2+2x-1互为“李生抛物线”， (2)解：抛物线y=x2+2x-3=(x+1)-4,即顶点坐标为(-1，-4)， 当其李生抛物线”顶点在x轴上时，假设其表达式为y=a(x-h), 易知a=-1,其经过点(-1，-4)， 故当x=-1时，-4=-(-1-h),解得h=1,或h=-3, 故函数表达式为y=-(x-1)=-x2+2x-1或y=-(x+3)=-x2-6x一9； 当其“孪生抛物线”顶点在y轴上时，假设其表达式为y=a2+c, 易知a=-1,其经过点(-1，-4)， 故当x=-1时，-4=-（-1)+c,解得c=-3, 故函数表达式为y=-x2-3; 综上，函数抛物线y=x2+2x-3的李生抛物线”为y=-x2+2x-1、y=-x2-6x一9或y=-x2-3, (3)解：①由于“孪生抛物线”的表达式中a的值互为相反数， 1 故m+m-1=0,解得m=2 1 1 7 ②由于m=2,代入抛物线表达式得C:y=2r+2-1,C:y= x2+x+1, 2 2 2 2 期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 由于AB平行于y轴，故点A、B的横坐标相同， 1 1 假设其横坐标为”，则点4的坐标为””+乞”- 点的坐标为%+名0-小 点A、B位于两顶点之间，易判断点B在高处， 抛物线C:y=)r+x-1的顶点横坐标为x= 22 2 1 7 7 抛物线C:y= 2”+2+1的顶点横坐标为=2 2 1 7 故n的取值范围为一2<n< 2’ 而n=2在取值范围内， 3 17 故ABmax= 4 例3，(24-25九年级下·湖北黄石·期中)在平面直角坐标系中，抛物线y=2+2x+c经过点(-2，-3)，与x轴交于 A,B(1,0)两点，与y轴交于点C,点P为抛物线上的动点，设点P的横坐标为m, 备用图 (1)求此抛物线的解析式： (2)若点P在x轴上方，且∠PAC=90°，求点P的坐标； (3)若点P在抛物线上，过点P作PD⊥y轴，垂足为点D,过点P作y轴的平行线与x轴交于点M,与AC相交于 点N,过点N作y轴的垂线，交y轴于点E,设矩形PED的周长为C. ①求C关于m的函数解析式： ②当C随m增大而增大时，直接写出m的取值范围. 【答案】(1)y=x2+2x-3; (2)P(2,5); 期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 2m°+4m(m<-3) (3)①C= -2m2-8m(-3≤m≤0)；②-3≤m<-2或m>0. 2m°+8m(m>0) 【详解】(1)解：抛物线y=2+2x+c经过点(-2，-3)，(1,0)两点， 4a-4+c=-3 a+2+c=0 a=1 解得： (c=-3’ 此抛物线的解析式为：y=x2+2x-3; (2)解：如图所示，设AP与y轴交于点D, D B 图1 当y=0时，即x2+2x-3=0, 解得：x=-3,x3=1, A(-3,0),即OA=3,OB=1, 当x=0时，y=-3, C(0,-3),即OC=3, ..0A=OC, ∴△OAC是等腰直角三角形 .∠0AC=459 ∠PAC=90 ∠DA0=45° ∴.DOA=45° “△OAD是等腰直角三角形 ..OA=OD=3 6 期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 …D(0,3) 设直线AD的解析式为y=a+b, 把A(-3,0),D(0,3)代入，得： -3k+b=0 b=3 [k=1 解得： b=3’ 直线AD的解析式为y=x+3, 联立直线AD与抛物线的解析式得 y=x+3 y=x2+2x-3' x+3=x2+2x-3, 解得：x=-3,=2, ~点P在第一象限， x=2, 此时y=2+3=5, P(2,5): (3)解：①过点P作PD⊥y轴，垂足为点D,过点P作y轴的平行线与x轴交于点M,与AC相交于点N,过 点N作y轴的垂线，交y轴于点E,设矩形PNED的周长为C,如图： MA B 图2 设直线AC的解析式为：y=a+b, 「-3k+b=0 把4-3,0)，C(0,-3)代入y=a+6,得6=-3， k=-1 解得： b=-3' 期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 ∴直线AC的解析式为：y=-x-3, 设P(m,m°+2m-3,则N(m,-m-3), 当m<-3时，如图2， .PD=0-m=-m,PN=m2+2m-3-(-m-3)=m2+3m, .C=2(PD+PN）=2-m+m2+3m)=2m°+4m, 当-3≤m≤0时， .PD=0-m=-m,PN=-m-3-（m2+2m-3)=-m2-3m, .C=2(PD+PN)=2(-m-m2-3m)=-2m2-8m; 当m>0时，如图3， 图3 .PD=m,PN=m2+2m-3-（-m-3)=m2+3m, ∴C=2(PD+PN)=2(m+m2+3m)=2m2+8m, 2m2+4m(m<-3) ..C= -2m2-8m(-3≤m≤0)： 2m2+8m(m>0) 2m2+4m(m<-3) ②rC={-2m°-8m(-3≤m≤0)， 2m2+8m(m>0) 当C=2m+4m(m<-3)时，对称轴为直线m=-,4 =-1, 2×2 ∴故当m>-1时，C随m的增大而增大，而m<-3,不符合题意，舍去； -8 当C=-2m2-8m(-3≤m≤0)时，对称轴为直线m=- =-2, 2×(-2) 当-3≤m<-2时，C随m的增大而增大； 当C=2m+8m(m>0)时，对称轴为直线m=- 8=-2, 2×2 P 期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 ∴当m>-2时，C随m的增大而增大， 又.m>0, 当m>0时，C随m的增大而增大 综上所述，当-3≤m<-2或m>0时，C随m的增大而增大. 例4.(25-26九年级上河南开封月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2+bx-3与直线y=-x-1 交于点A(-1,O),B(m,-3),点P是线段AB上的动点. (1)①m= ； ②求抛物线的解析式. ③直接写出抛物线解析式顶点坐标( (2)过点P作直线1垂直于x轴，交抛物线y=2+bx-3于点Q,求线段PQ的长的最大值，并求出此时点P与点Q 的坐标 【答案】(1)①2；②y-=x2-2x-3;③1，-4 ②减段Q的最大信为}点P的坐标是行引点Q的业标是) 【详解】(1)解：①将点B(m,-3)代入直线y=-x-1, 得-3=-m-1 解得：m=2, 故答案为：2； ②由①得点B(2,-3) 点A(-1,0),B(2,-3)在抛物线y=a2+bx-3上， 「a-b-3=0 4a+2b-3=-31 a=1 解得b=2’ 0 期末培优：二次函数11种压轴题型专项训练 .抛物线的解析式为y=x2-2x-3; ③由②得y=x2-2x-3 =(x-1)2-4, 抛物线解析式顶点坐标为(L,-4), 故答案为：1，-4； (2)解：设点P的横坐标为x,其中-1≤x≤2， ∴点P(x,-x-1),点Q(x,x2-2x-3, ∴P0=-x-1-(x2-2x-3 =-x-1-x2+2x+3 =-x2+x+2 129 =-x2+4' -1<0, 时，e吸大为程， 1 当x= 此时点P的坐标是)） 22 点Q的坐标》 变式1.(25-26九年级上·河北衡水·期中)如图，在Rt△AOC中，∠4C0=90°，OA=5,OC=4.以点0为原 1 点，直线CO为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线y=-二x+bx+c过点A,与x轴正半轴的交点记为 2 点B, M C ○ B x (1)AC= ,点A的坐标为 (2)若点B的坐标为(2,0)，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，M是抛物线上AB段一动点（不与端点A,B重合），过点M垂直于x轴的直线交折线段 AO-OB于点N. 10