双曲线定义、方程与几何性质期末复习专题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学单元复习讲义通过定义分类、表格对比和结论梳理构建双曲线知识体系，将双曲线定义中2a与焦距的关系分三种情况明确呈现，用几何性质表格清晰对比焦点在x轴和y轴的方程、范围、渐近线等要点，直观展现定义、方程、性质的内在逻辑。 讲义亮点在于按“定义应用-方程求解-性质综合”分层设计例题，如“利用双曲线定义求线段和差最值”“焦点三角形面积计算”等题型，引导学生用数学思维推理几何关系，通过离心率公式推导和渐近线方程应用培养运算能力。基础题夯实概念，综合题提升解题技巧，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习时明确重难点。

双曲线定义、方程及几何性质 一．重点知识点梳理 1.双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是以、为端点的两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点轨迹不存在． 2.双曲线的标准方程与几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 或， 或， 顶点 、 、 轴长 虚轴的长 实轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 离心率 ，越大，双曲线的开口越阔 渐近线方程 3.焦点三角形中的重要结论 （1）.双曲线（，）的两个焦点为、，弦过左焦点（、都在左支上），，则的周长为 （2）.双曲线焦点为F1、F2，P为椭圆上的点，， 则 （3）.； 4.双曲线离心率、渐近线的求解方法 （1）直接法：由题设条件求出a，c，从而得e。 （2）等价转化法：由等公式将已知条件转化为e的等式，从而得e。 （3）列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程求解。 列含有a，b，c关系式的方式主要有以下几种： ①根据平行垂直等直接条件列关系式。 ②根据已知条件把曲线上的某点坐标用含a，b，c的式子表示，然后代入双曲线方程。 ③在某个三角形（焦点三角形）中根据正余弦或者勾股定理解三角形。 二．典例分类分析 （一）．双曲线的定义与轨迹方程 1.平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（ ） A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线 答案：D 【详解】两个定点的距离为, 当时，点的轨迹为双曲线的一支； 当时，点的轨迹为射线；不存在的情况. 综上所述，的轨迹为双曲线的一支或射线. 故答案选：D 2．双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，若则（ ） A． B． C．或9 D． 答案：B 【详解】有已知得双曲线的， 由双曲线定义可得，即有或　 又，所以 故答案选：B. 3.在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线，则曲线的方程是 ． 答案: 【详解】:由题设得， 即， 整理得. 故答案为: 4.已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹是 ． 答案： 【详解】设点，因为中的两个顶点是， 所以，， 因为边与边所在直线的斜率之积是， 所以，整理得 所以，顶点的轨迹方程为， 所以，顶点的轨迹是以为焦点，实轴为，且去掉顶点的双曲线. 故答案为： 5.一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是 ． 答案： 【详解】圆N：的圆心，半径， ∵， ∴点在圆N外，则圆P包含圆N， 设圆P的半径为， 由题意可得：，即，可得， 故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支， 可得，则， 故动圆圆心P的轨迹方程是. 故答案为：. 6.已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程是 ． 答案： 【详解】：因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为， 则，，所以， 所以点的轨迹是双曲线的一支， 又，，， 所以其轨迹方程为. 故答案为： （二）．利用双曲线的定义转化求线段和与差最值 1.已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 答案：C 【详解】记双曲线的右焦点为，所以， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值． 故答案选：C． 2.已知是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 答案：D 【详解】   则 故双曲线的两个焦点为, ,也分别是两个圆的圆心,半径分别为, 则的最大值为 故答案选：D 3.已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 答案：C 【详解】由双曲线得到,,，左焦点， 设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可. ===. 故答案选：C. 4.已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 答案： 【详解】    由双曲线方程知：，，，则，， 由双曲线定义知：， （当且仅当在线段上时取等号）， 又，. 故答案为：. （三）．双曲线的标准方程 1.已知，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 【详解】若方程表示双曲线，则，即， 由能推出，必要性成立， 由不能推出，充分性不成立， 故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件. 故答案选：B. 2.过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 答案：A 【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故答案选:A. 3.已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ． 【答案】或 【详解】由题意，点为双曲线上一点，且， 可得，即，解得， 又由直线过双曲线的一个焦点， 当时，可得；当时，可得； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为， 所以双曲线的方程为或. 故答案为：或 4.经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________． 答案：－＝1 【详解】：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 因为所求双曲线经过点P(3，2)，Q(－6，7)， 所以解得 故所求双曲线标准方程为－＝1. 故答案为：－＝1 5.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________． 答案：－＝1 【详解】：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1， 则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 故答案为：－＝1 （四）．双曲线焦点三角形问题 1.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 答案：B 【详解】双曲线的实半轴长， 由双曲线的定义，可得 所以， 则三角形的周长为. 故答案选：B 2.已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 答案：D 【详解】设，则， 而，且， 所以， 故， 故答案选：D. 3.设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 答案：D 【详解】设，则由双曲线的定义可得 故，又，故， 故， 所以的面积为. 故答案选：D. 4.已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左､右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（ ） A．15 B．16 C．18 D．20 答案：B 【详解】：依题意，. 在三角形中， ，由正弦定理得， 即，由于为锐角，所以. 根据双曲线的定义得. 在三角形中，由余弦定理得， 即，即， 即，所以. 故答案选：B 5．已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 答案：BC 【详解】：设点．因为双曲线，所以． 又，所以，故A错误． 将代入得，得． 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，故B正确． 在中，，且， 则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确． 由余弦定理得，所以，故D错误． 故答案选：BC． 6.已知双曲线：（）的离心率为3，焦点分别为，，点在双曲线上，若的周长为，则的面积是 . 答案： 【详解】：设， 因为双曲线：（）的离心率为3， 所以，即， 又的周长为， 所以， 由双曲线的定义得， 解得 ， 由余弦定理得 ， 则 ， 所以 ， 故答案为： （五）．双曲线的几何性质 1.已知双曲线C：已知双曲线的实轴长为8，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 答案：D 【详解】因为实轴长为8，所以，可得渐近线方程为，所以， 所以双曲线的标准方程为， 故答案选：D． 2．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则的值为（ ） A． B． C． D． 答案：D 【详解】双曲线的标准方程为，则，， 由于该双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则，即，解得. 故答案选：D. 3.（多选）下列关于双曲线说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线 C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点 答案：ABD 【详解】：由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确； 双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴， 故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确； 焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线， 根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误； 椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确. 故答案选：ABD 4.（多选）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 答案：AC 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， ∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得， 或。 ∴双曲线的离心率为. 或 故答案选：AC. 5.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为，则C的离心率为________． 答案：. 【详解】：把x＝c代入双曲线：－＝1(a>0，b>0)得y＝， 所以B，又A(－a，0)，直线AB的斜率为， 所以＝，可得a2＋ac＝2c2－2a2， 即2c2－3a2－ac＝0，即2e2－3－e＝0， 因为e>1，所以e＝. 故答案为：. 6.已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为 . 答案： 【详解】双曲线的渐近线的方程为. 圆的标准方程为：， 故该圆的圆心为，半径为2， 而圆心到渐近线的距离为， 故渐近线被该圆截得的弦长为， 整理得到：或， 而，故，故离心率为. 故答案为：. 7．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点M是双曲线右支上一点，，则双曲线的渐近线方程为 . 答案： 【详解】如图所示： ，，所以，即. 设，则，. 即，，，， 所以，渐近线方程为. 故答案为： 8．设F是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率是（    ） A． B．2 C． D． 答案．C 【详解】：由题意得右焦点，设一渐近线的方程为， 则另一渐近线的方程为， 设，， ， ，，， ，， ，， ， 由可得，斜率之积等于，即， ，． 故答案选：C． 9.已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【详解】  如图所示，设，则， 所以， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作轴于D，， 故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 故答案为： 10.知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 答案：C 【详解】如图，设，则． 又，所以，所以． 又，所以，由，得 ，则，而，则，化简得，所以． 故答案选：C ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线定义、方程及几何性质 一．重点知识点梳理 1.双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是以、为端点的两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点轨迹不存在． 2.双曲线的标准方程与几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 或， 或， 顶点 、 、 轴长 虚轴的长 实轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 离心率 ，越大，双曲线的开口越阔 渐近线方程 3.焦点三角形中的重要结论 （1）.双曲线（，）的两个焦点为、，弦过左焦点（、都在左支上），，则的周长为 （2）.双曲线焦点为F1、F2，P为椭圆上的点，， 则 （3）.； 4.双曲线离心率、渐近线的求解方法 （1）直接法：由题设条件求出a，c，从而得e。 （2）等价转化法：由等公式将已知条件转化为e的等式，从而得e。 （3）列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程求解。 列含有a，b，c关系式的方式主要有以下几种： ①根据平行垂直等直接条件列关系式。 ②根据已知条件把曲线上的某点坐标用含a，b，c的式子表示，然后代入双曲线方程。 ③在某个三角形（焦点三角形）中根据正余弦或者勾股定理解三角形。 二．典例分类分析 （一）．双曲线的定义与轨迹方程 1.平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（ ） A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线 2．双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，若则（ ） A． B． C．或9 D． 3.在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线，则曲线的方程是 ． 4.已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹是 ． 5.一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是 ． 6.已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程是 ． （二）．利用双曲线的定义转化求线段和与差最值 1.已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 2.已知是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3.已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 4.已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . （三）．双曲线的标准方程 1.已知，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ． 4.经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________． 5.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________． （四）．双曲线焦点三角形问题 1.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2.已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 3.设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 4.已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左､右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（ ） A．15 B．16 C．18 D．20 5．已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 6.已知双曲线：（）的离心率为3，焦点分别为，，点在双曲线上，若的周长为，则的面积是 . （五）．双曲线的几何性质 1.已知双曲线C：已知双曲线的实轴长为8，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则的值为（ ） A． B． C． D． 3.（多选）下列关于双曲线说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线 C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点 4.（多选）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 5.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为，则C的离心率为________． 6.已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为 . 7．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点M是双曲线右支上一点，，则双曲线的渐近线方程为 . 8．设F是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率是（    ） A． B．2 C． D． 9.已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 . 10.知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $