圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题 期末培优复习讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题期末培优复习讲义 圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题期末培优复习讲义 考点目录 轨迹方程问题 离心率问题 考点一 轨迹方程问题 【知识点解析】 1.常见圆锥曲线的定义与方程 曲线类型 曲线定义 曲线方程 椭圆 平面上到两个定点、的距离之和为 定值的点的集合. 或 双曲线 平面上到两个定点、的距离之差的绝对值为 定值的点的集合. 或 抛物线 平面上到定点与定直线的距离相等的点的集合. 或 圆 平面上到定点的距离相等的点的集合. 或 2.直译法的解题步骤 （1）建系设点：明确坐标系与动点坐标 ①优先使用题目给定的坐标系；若未给定，需建立合适的直角坐标系（通常使图形对称、关键点在坐标轴上，简化计算）. ②设轨迹上任意一点（动点）为，固定点（如定点、圆心等）用已知坐标表示. （2）列式：翻译几何条件为代数等式 分析题目中的几何约束（如 “距离相等”“距离之和为定值”“垂直”“斜率为定值” 等），将其转化为含的等式. （3）化简：整理为标准代数方程 ①对步骤（3）得到的等式进行化简（去根号、去绝对值、移项、合并同类项等），最终化为简洁的代数方程. ②注意：去根号时需保证两边非负，去绝对值时需考虑符号，但最终化简结果需覆盖所有满足条件的动点. （4）检验：剔除杂点，补充漏点 ①化简过程中可能引入 “杂点”（不满足原几何条件的点），需检验并剔除； ②同时需检查是否有漏点（满足几何条件但因化简时的限制（如分母不为 0）被排除的点），若有需补充. （5）下结论：明确轨迹方程与轨迹形状 写出最终的轨迹方程，并简要说明轨迹形状. 3.相关点法： （1）设点：设被动点坐标为，主动点坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式； （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 4.交轨法 在解析几何中，交轨法是一种求动点轨迹方程的重要方法。其核心思想是：当动点的运动由两个或多个几何条件共同决定，且每个条件都能确定一条曲线（或轨迹）时，动点的轨迹就是这些曲线的交点所形成的集合。通过联立这些曲线的方程，消去参数，即可得到动点的轨迹方程. （1）交轨法的适用场景 ①动点是两条动曲线的交点（如两条动直线、动直线与动圆等）. ②动点的坐标满足两个含参数的方程，且参数是同一个变量. （2）交轨法的步骤 ①设点：设动点的坐标为. ②列方程：根据动点是两条动曲线交点的条件，列出两条动曲线的方程，方程中含共同参数（如参数）. ③联立消参：将两个方程联立，消去参数，得到关于和的方程，即为动点的轨迹方程. ④验证：检查轨迹方程是否符合实际几何意义（如是否需要去除不符合条件的点）. 5.常见几何条件的性质 （1）圆与圆外切：圆心距等于两圆半径之和. （2）圆与圆内切：圆心距等于两圆半径之差的绝对值. （3）垂直平分线：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. （4）角平分线：角平分线上的点到角两边距离相等. 6.常见的公式 （1）坐标相关的公式 ①中点公式：点、的中点. ②重心公式：三角形、、的重心. （2）距离相关公式 ①两点之间的距离问题：已知点，则线段的长度 ②点到直线的距离问题：已知点，点到直线的距离. ③平行线的距离问题：已知直线与，直线到直线的距离. （3）斜率相关公式 ①经过两点的直线的斜率公式为； ②倾斜角的直线的斜率公式为； ③方向向量为的直线的斜率公式为. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴的另一个交点为，与轴的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，点在以为直径的圆上，所以. 又，， 所以. 故选：C 例2．（25-26高二上·陕西·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（    ） A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【答案】D 【详解】设，，则（*），， 由，， 则，即有， 将其代入（*），，化简得， 即动点的轨迹为长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 故选：D. 例3．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）非零不共线向量、，且，若，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即． 又，消去得：， 即点的轨迹方程是. 故选：D 例4．（25-26高二上·浙江·期中·多选）已知定圆和定点，点为圆上动点，的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【详解】    ①若与重合，如图1，则点为中点，所以点的轨迹为以为圆心，长度为半径的圆； ②若在圆内时，由中垂线可知，则，即动点到定点与定点距离之和为定值，满足椭圆定义，则点的轨迹为椭圆， ③若在圆上，则的中垂线过点，即点与点重合； ④在圆外，由中垂线可知，则，即动点到定点与定点距离之差的绝对值为定值，满足双曲线的定义，即动点的轨迹为双曲线； 故选：ABC． 例5．（25-26高三上·江西·月考）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是上不重合的两点，若存在，使得时，点满足，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设，，则， 因为，且，所以，， 设，则，由，，所以， 因为不重合，所以， 设，由，可得，， 所以点的轨迹方程为． 故答案为：． 例6．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知双曲线：，，分别为它的左右顶点，为上异于，的任意一点，且关于轴对称的点为，直线与交于点，则动点的轨迹方程是 . 【答案】（且） 【详解】由题意知，，，三点共线，，，三点共线， 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，关于轴对称，所以， 所以， 设、坐标分别为、， 则，则，又，故， 由已知，， 所以， 所以，化简得：， 的轨迹为以为顶点的椭圆（去掉，两点）， 所以的轨迹方程为：（且）. 故答案为： 例7．（25-26高二上·江苏常州·月考）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为， 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知双曲线的两焦点分别为，为双曲线上一动点，过点作平分线所在直线的垂线，则垂足的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨假设在双曲线左侧， 延长交于点Q，因为,, 由双曲线定义可知：,可知, 又因为为的中点，为的中点，所以为中位线， 所以，的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆， 所以的轨迹方程为： 故选：A 变式2．（25-26高二上·四川遂宁·期中）已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，则， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 变式3．（25-26高二上·广东潮州·月考）已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由已知得，，则，即， 所以， 设，因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以，因此，即， 所以点的轨迹方程为． 故选：A. 变式4．（25-26高二上·吉林·期中·多选）已知点和，直线，相交于点，则（   ） A．若直线，的斜率之积是2，则点的轨迹是双曲线（除，两点） B．若直线，的斜率之商是2，则点的轨迹是椭圆（除，两点） C．若直线，的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（） D．若直线，的斜率之差是2，则点的轨迹方程是 【答案】AC 【详解】设，由题意可得直线，的斜率都存在，故， 有，； 对A：，化简得， 故点的轨迹是双曲线（除，两点），故A正确； 对B：，化简得，且有， 故点的轨迹是（），故B错误； 对C：，化简得， 又，故点的轨迹方程是（），故C正确； 对D：，化简得（）， 又，故点的轨迹方程是（），故D错误. 故选：AC. 变式5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在直角坐标系中，线段的长为3，其中端点分别位于轴、轴上，点为线段上靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设，，. 由可得，，即. 又点为线段上靠近点的三等分点，所以， 即，所以，. 所以，整理得. 故答案为：. 变式6．（25-26高二上·贵州黔西·月考）阿波罗尼斯（公元前262年～公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆研究了例如：已知平面上两点，，则所有满足的点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设点，由，得， 两边平方得，所以， 所以，整理得. 故答案为：. 变式7．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】， 【详解】设，则， 整理，得，． 动点的轨迹方程是，． 故答案为：，． 考点二 离心率问题 【知识点解析】 1.椭圆 （1）椭圆的标准方程：或 （2）特征值：长轴长，短轴长，焦距，. （3）离心率： （4）离心率的意义：，越接近0，椭圆越圆，越接近1，椭圆越扁. 2.双曲线 （1）双曲线的标准方程：或 （2）特征值：实轴长，虚轴长，焦距，. （3）离心率： （4）离心率的意义：，离心率越大，双曲线的开口越大. 3.定义法求离心率：根据椭圆或者双曲线的定义求出、，然后用定义得到离心率. 4.构造齐次方程法求离心率：根据题设条件，借助和之间的关系，构造二次式，列式时常用公式代替式子中的，同除，得到关于的一元方程，从而解得离心率. 5.构造方程的一般方法 （1）表示边的方法：圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理、成比例线段. （2）表示坐标的方法：向量、函数解析式、曲线解析式，点差法. （3）常见角度关系：公共角、补角、余角. （4）若能表示边，可利用余弦定理表示角，进而利用公共角或补角的余弦值关系构造关于、的齐次方程. （5）若题目提及垂直关系，可利用勾股定理、斜率之积或向量数量积构造关于、的齐次方程. 6.求离心率（或范围）的方法： （1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； （2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解； （3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率. 7.常见参数的限制范围 （1）对于椭圆，，. （2）对于椭圆，，. （3）对于双曲线，，. （4）对于双曲线，，. 【例题分析】 例1．（2026·湖北荆门·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与 的右支交于两点，记与的内切圆半径分别为，若，则的离心率为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】设双曲线的焦点分别为，其中， 再设与的内心和的横坐标分别为， 过分别作、、的垂线，垂足分别为， 则，，， 所以， 且，则，，可得，同理可得， 因此点和在直线上，又由平分，平分， 因为，则，且， 又因为，，，且， 则，即，解得， 所以双曲线的离心率． 故选：C．    例2．（25-26高三上·江西·月考）已知双曲线：（，)的一焦点到渐近线的距离为a，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，即，. 取焦点，渐近线方程， 由题意知，整理得. 所以，所以. 故选：A． 例3．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即，则，则 则，即椭圆离心率， 故选：D. 例4．（25-26高二上·河北·月考）椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），垂直于轴，连接并延长交椭圆于另一点，设，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】设，，过点作轴，因为垂直于轴， 将代入椭圆方程，得，所以， 又因为，所以，， 所以，，即，代入椭圆方程得， 即，因为，所以，. 故答案为：. 例5．（25-26高三上·山西晋城·月考）已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】由题意，即，所以， 因此椭圆的离心率为. 故答案为：. 例6．（25-26高二上·贵州黔东南·月考）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆相交于另一点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设，由题，，且， 所以，则， 所以，则， 所以，即，解得， 故椭圆的离心率为. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（2026·河北沧州·一模）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于两点（其中点在第一象限）．若为坐标原点，点满足，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为双曲线的右顶点，所以，且双曲线的渐近线方程为， 设过点且斜率为的直线方程为，    又直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点（其中点在第一象限）， 所以联立直线与，可得， 解方程得，即， 同理，联立直线与，可得， 解方程得，即， 设点，所以，，， 又因为点满足， 所以， 对横坐标求和，得，解得， 对纵坐标求和，得，解得，即， 又，所以， 又，即， 化简整理得，即或者， 当时，即，即， 又，所以，即，所以，所以， 当时，即，即，不成立， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 变式2．（25-26高二上·天津蓟州·月考）双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且直线倾斜角为 若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点作，垂足为，如图所示：则    因为，所以， 设，根据双曲线的定义得： 则， ， 所以， 所以， 则， 因为直线的倾斜角为，所以， 所以， 在中，， 在中，， 由余弦定理得： ， 整理得，， 故选：A． 变式3．（2026·黑龙江大庆·二模）已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的定义，可得，， 两式相加得， 因为，所以， 又因为，所以， 当轴时，此时最小，此时，所以， 因为，可得，整理得， 两边除以，可得，又因为，解得， 所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D    变式4．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，的外接圆面积是其内切圆面积的16倍，则椭圆的离心率 ． 【答案】 【详解】解：设的外接圆半径为，内切圆半径为，由题意可得，    在中，，， 由正弦定理可得，解得； 设 由椭圆的定义可得， 所以①， 在中，由余弦定理可得②， 由①-②,得， 所以， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 解得， 所以椭圆的离心率. 故答案为： 变式5．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，且点是抛物线的焦点，双曲线和抛物线在第一象限内的交点为，直线与轴的交点为为的角平分线，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【详解】因的焦点，所以， 过点向轴作垂线，垂足为，设点，则, 因为且为的角平分线，所以， 即，则，即， 又因，代入可得，解得或（舍），则得， 又因点在双曲线上，则，又，解得或（此时使,故舍去）， 则双曲线的离心率. 故答案为：. 变式6．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线：有公共的焦点，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点.若点满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为点满足，是的中点 所以三角形是直角三角形，且. 设，则. 所以. 所以. 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题期末培优复习讲义 圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题期末培优复习讲义 考点目录 轨迹方程问题 离心率问题 考点一 轨迹方程问题 【知识点解析】 1.常见圆锥曲线的定义与方程 曲线类型 曲线定义 曲线方程 椭圆 平面上到两个定点、的距离之和为 定值的点的集合. 或 双曲线 平面上到两个定点、的距离之差的绝对值为 定值的点的集合. 或 抛物线 平面上到定点与定直线的距离相等的点的集合. 或 圆 平面上到定点的距离相等的点的集合. 或 2.直译法的解题步骤 （1）建系设点：明确坐标系与动点坐标 ①优先使用题目给定的坐标系；若未给定，需建立合适的直角坐标系（通常使图形对称、关键点在坐标轴上，简化计算）. ②设轨迹上任意一点（动点）为，固定点（如定点、圆心等）用已知坐标表示. （2）列式：翻译几何条件为代数等式 分析题目中的几何约束（如 “距离相等”“距离之和为定值”“垂直”“斜率为定值” 等），将其转化为含的等式. （3）化简：整理为标准代数方程 ①对步骤（3）得到的等式进行化简（去根号、去绝对值、移项、合并同类项等），最终化为简洁的代数方程. ②注意：去根号时需保证两边非负，去绝对值时需考虑符号，但最终化简结果需覆盖所有满足条件的动点. （4）检验：剔除杂点，补充漏点 ①化简过程中可能引入 “杂点”（不满足原几何条件的点），需检验并剔除； ②同时需检查是否有漏点（满足几何条件但因化简时的限制（如分母不为 0）被排除的点），若有需补充. （5）下结论：明确轨迹方程与轨迹形状 写出最终的轨迹方程，并简要说明轨迹形状. 3.相关点法： （1）设点：设被动点坐标为，主动点坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式； （3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 4.交轨法 在解析几何中，交轨法是一种求动点轨迹方程的重要方法。其核心思想是：当动点的运动由两个或多个几何条件共同决定，且每个条件都能确定一条曲线（或轨迹）时，动点的轨迹就是这些曲线的交点所形成的集合。通过联立这些曲线的方程，消去参数，即可得到动点的轨迹方程. （1）交轨法的适用场景 ①动点是两条动曲线的交点（如两条动直线、动直线与动圆等）. ②动点的坐标满足两个含参数的方程，且参数是同一个变量. （2）交轨法的步骤 ①设点：设动点的坐标为. ②列方程：根据动点是两条动曲线交点的条件，列出两条动曲线的方程，方程中含共同参数（如参数）. ③联立消参：将两个方程联立，消去参数，得到关于和的方程，即为动点的轨迹方程. ④验证：检查轨迹方程是否符合实际几何意义（如是否需要去除不符合条件的点）. 5.常见几何条件的性质 （1）圆与圆外切：圆心距等于两圆半径之和. （2）圆与圆内切：圆心距等于两圆半径之差的绝对值. （3）垂直平分线：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. （4）角平分线：角平分线上的点到角两边距离相等. 6.常见的公式 （1）坐标相关的公式 ①中点公式：点、的中点. ②重心公式：三角形、、的重心. （2）距离相关公式 ①两点之间的距离问题：已知点，则线段的长度 ②点到直线的距离问题：已知点，点到直线的距离. ③平行线的距离问题：已知直线与，直线到直线的距离. （3）斜率相关公式 ①经过两点的直线的斜率公式为； ②倾斜角的直线的斜率公式为； ③方向向量为的直线的斜率公式为. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴的另一个交点为，与轴的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·陕西·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（    ） A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 例3．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）非零不共线向量、，且，若，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·浙江·期中·多选）已知定圆和定点，点为圆上动点，的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 例5．（25-26高三上·江西·月考）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是上不重合的两点，若存在，使得时，点满足，则点的轨迹方程为 ． 例6．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知双曲线：，，分别为它的左右顶点，为上异于，的任意一点，且关于轴对称的点为，直线与交于点，则动点的轨迹方程是 . 例7．（25-26高二上·江苏常州·月考）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 . 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知双曲线的两焦点分别为，为双曲线上一动点，过点作平分线所在直线的垂线，则垂足的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·四川遂宁·期中）已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·广东潮州·月考）已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·吉林·期中·多选）已知点和，直线，相交于点，则（   ） A．若直线，的斜率之积是2，则点的轨迹是双曲线（除，两点） B．若直线，的斜率之商是2，则点的轨迹是椭圆（除，两点） C．若直线，的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（） D．若直线，的斜率之差是2，则点的轨迹方程是 变式5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在直角坐标系中，线段的长为3，其中端点分别位于轴、轴上，点为线段上靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 ． 变式6．（25-26高二上·贵州黔西·月考）阿波罗尼斯（公元前262年～公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆研究了例如：已知平面上两点，，则所有满足的点的轨迹方程为 . 变式7．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为 ． 考点二 离心率问题 【知识点解析】 1.椭圆 （1）椭圆的标准方程：或 （2）特征值：长轴长，短轴长，焦距，. （3）离心率： （4）离心率的意义：，越接近0，椭圆越圆，越接近1，椭圆越扁. 2.双曲线 （1）双曲线的标准方程：或 （2）特征值：实轴长，虚轴长，焦距，. （3）离心率： （4）离心率的意义：，离心率越大，双曲线的开口越大. 3.定义法求离心率：根据椭圆或者双曲线的定义求出、，然后用定义得到离心率. 4.构造齐次方程法求离心率：根据题设条件，借助和之间的关系，构造二次式，列式时常用公式代替式子中的，同除，得到关于的一元方程，从而解得离心率. 5.构造方程的一般方法 （1）表示边的方法：圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理、成比例线段. （2）表示坐标的方法：向量、函数解析式、曲线解析式，点差法. （3）常见角度关系：公共角、补角、余角. （4）若能表示边，可利用余弦定理表示角，进而利用公共角或补角的余弦值关系构造关于、的齐次方程. （5）若题目提及垂直关系，可利用勾股定理、斜率之积或向量数量积构造关于、的齐次方程. 6.求离心率（或范围）的方法： （1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； （2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解； （3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率. 7.常见参数的限制范围 （1）对于椭圆，，. （2）对于椭圆，，. （3）对于双曲线，，. （4）对于双曲线，，. 【例题分析】 例1．（2026·湖北荆门·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与 的右支交于两点，记与的内切圆半径分别为，若，则的离心率为（    ） A． B． C．3 D．4 例2．（25-26高三上·江西·月考）已知双曲线：（，)的一焦点到渐近线的距离为a，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·河北·月考）椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），垂直于轴，连接并延长交椭圆于另一点，设，则椭圆的离心率为 . 例5．（25-26高三上·山西晋城·月考）已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为 . 例6．（25-26高二上·贵州黔东南·月考）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆相交于另一点，且，则椭圆的离心率为 . 【变式训练】 变式1．（2026·河北沧州·一模）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于两点（其中点在第一象限）．若为坐标原点，点满足，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·天津蓟州·月考）双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且直线倾斜角为 若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·黑龙江大庆·二模）已知双曲线的左､右焦点分别是，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，的外接圆面积是其内切圆面积的16倍，则椭圆的离心率 ． 变式5．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，且点是抛物线的焦点，双曲线和抛物线在第一象限内的交点为，直线与轴的交点为为的角平分线，则双曲线的离心率为 . 变式6．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线：有公共的焦点，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点.若点满足，则的最小值为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $