精品解析：云南省怒江傈僳族自治州泸水市鲁掌中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年上学期教学质量跟踪练习题（三）九年级 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．据此求解即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是3， 故选：． 2. 七彩云南，山川壮丽，气候宜人，文化多元，是人们眼中的“诗和远方”．下面是“七彩云南”四个字汉语拼音的首字母，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握知识点是解题的关键． 抛物线顶点式的顶点坐标为，直接应用即可． 【详解】解：∵是顶点形式， ∴顶点坐标为． 故选A． 4. 已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外． 据此即可求解． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，， ∴点在外， 故选：B． 5. 若1是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值为（） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用一元二次方程的解求参数，掌握知识点是解题的关键． 将根代入方程求解c即可． 【详解】解：∵1是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 6. 如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 17 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 直接利用旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转的性质可得：． 故选：B． 7. 下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放广告 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C. 从只装有白球的袋子中摸出黄球 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A． 打开电视机，正在播放广告是随机事件，不符合题意； B． 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意； C． 袋子中只有白球，没有黄球， 摸出黄球是不可能事件，符合题意； D． 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数是随机事件，不符合题意． 故选C． 8. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， ， ， 故选：D． 9. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴所得抛物线的解析式是， 故选：B． 10. 如图，均是的切线，切点分别是P，C，D．若，则的长是（） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理． 先推导出，得到，即可解答． 【详解】解：∵是的切线，切点分别是． ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 11. 如图是二次函数图象，与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点坐标为，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程,掌握知识点是解题的关键。 根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的部分图象与x轴的交点坐标为和点， ∴关于x的方程的解为； 故选B． 12. 一个可以自由转动的、质地均匀的转盘，被分成了6个大小相同的扇形，颜色分布如图所示．若指针固定不动，转动转盘，则当转盘停止后（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），指针指向紫色扇形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，掌握知识点是解题的关键． 指针指向紫色扇形的概率就是紫色扇形的个数与总扇形个数的比值，计算面积比即可． 【详解】解：观察转盘，得 转盘的扇形总共有6个，其中紫色扇形有3个， ∴指针指向紫色扇形的概率是， 故选：C． 13. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转得到使点C，A，在同一直线上，则至少旋转了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，旋转的性质，认准旋转角和求旋转角是解题的关键． 首先根据三角形的内角和定理求出的度数，再利用旋转的性质，找到旋转角，最后利用三点共线时是平角，求出旋转最少的旋转角即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点C，A，在同一直线上， ∴， ∴旋转角为， 故选：A． 14. 如图，在长为80cm，宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为，求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为，则可列的一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设镶嵌的装饰部分的宽度为，则装饰后的画面的长为，宽为，然后根据面积为得出方程． 【详解】解：设镶嵌的装饰部分的宽度为， 由题意得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程． 15. 筒车（如图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2是其示意图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦，的半径是．若C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接、，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于， 由题意得：米，，米， （米），， （米）， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于原点对称的特征：两个点关于原点对称时，横坐标和纵坐标均互为相反数． 根据平面直角坐标系中点关于原点对称的特征作答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 因此对称点的坐标是． 故答案为：． 17. 已知关于x的二次函数的图象如图所示，则点在第_________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，系数符号的确定是解题关键． 根据开口方向、函数与y轴的交点的位置判断出的符号即可求解． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 二次函数与y轴的交点在y轴正半轴， ， 在第二象限， 故答案为：二． 18. 中国扇文化底蕴深厚，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无穷．如图，当折扇展开后的扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则的长为_________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，掌握知识点是解题的关键． 根据弧长公式计算，即，n为圆心角的度数，r为扇形的半径． 详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 19. 如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为、宽为的矩形将这个不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内投掷小球（每次投掷，小球落在矩形区域内每个点的可能性相同），并记录小球落在不规则图案内的次数．将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，随着试验次数的增加，发现小球落在不规则图案内的频率稳定于，则由此他可以估计这个不规则图案的面积为_________．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，掌握知识点是解题的关键． 首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解即可． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式，小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， 综上有：， 解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．（1）用一元二次方程的配方法求解即可；（2）用一元二次方程的因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）移项，得． 配方，得， 即． 由此可得， ； （2）移项，得． 因式分解，得． 于是，得，或， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出线段绕点A逆时针旋转后得到的线段． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换，理解中心对称的性质和旋转变换的性质是解题关键． （1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，依次连接即可； （2）利用旋转变换的性质作出C的对应点，连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，为所作的图形； 【小问2详解】 解：如图所示，为所作的线段． 22. 已知关于的二次函数（，为常数）的图象经过点和． （1）求二次函数的解析式． （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数知识，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）把点，代入交点式即可求解； （2）根据二次函数的性质，即可求出当时，的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点和， 函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， 该函数的顶点坐标为，且函数经过点和， 该函数图象如图所示： 由图象可得，当时，的取值范围为． 23. 如图，已知的两条弦相交于点E，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查利用弧、弦的关系求证，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，继而证明，则，即可解答． 【详解】证明：， ， ， 即， ． 24. 如图，一张长方形桌子旁设有6个座位，甲、乙两人到达时，发现丙和丁已经坐在了如图所示的座位上，甲、乙两人只能先后随机地坐到①、②、③、④中的两个座位上． （1）甲坐在③号座位的概率是_________； （2）用画树状图或列表的方法，求甲、乙选中座位①和④的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，包括单个事件的概率和复合事件的概率．概率计算公式为：概率＝所求情况数÷总情况数． （1）甲有4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在③号座位上，据此即可求解； （2）画出树状图，求得所有可能出现的结果数，以及甲与乙恰好相邻而坐的结果数，然后利用概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：甲有4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在③号座位上，因此，甲坐在③号座位的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有12种等可能性结果，其中甲、乙选中座位①和④的结果有2种， （甲、乙选中座位①和④）． 25. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点E恰好落在边上，与相交于点G，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，外角的定义，充分利用旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质，等边三角形的判定定理即可解答； （2）根据旋转的性质，结合三角形的外角定理计算即可解答． 【小问1详解】 解： 将绕点A逆时针旋转得到， ， 是等边三角形， ． 【小问2详解】 将绕点A逆时针旋转得到， ． 是的外角， ． 26. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球是学生体育活动中常用的体育用品．某体育用品商店为满足学生需求，销售一款跳绳和排球的组合包，每套的进货价为65元，销售价为88元．经统计，8月份的销售量为256套，10月份的销售量为400套． （1）求这款组合包从8月份到10月份销售量的月平均增长率． （2）经市场预测，12月份的销售量将与10月份的持平，商店为了减少库存，决定降价促销． 经调查发现，这款组合包每套的销售价每降低1元，月销售量就会增加20套，若该商店想使12月份销售这款组合包的利润恰好达到8400元，则这款组合包每套的销售价应降低多少元？ 【答案】（1）这款组合包从8月份到10月份销售量的月平均增长率为25%． （2）这款组合包每套的销售价应降低8元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该款跳绳和排球组合包8月份到10月份销售量的月平均增长率为，拿8月份的销售量乘以等于10月份的销售量建立方程求解； （2）设这款组合包每套的销售价降低y元，则每件的销售利润为元，根据每件利润乘以数量得到总利润建立方程求解． 【小问1详解】 解：设这款组合包从8月份到10月份销售量的月平均增长率为x． 根据题意，得． 解得（不符合题意，舍去）． 答：这款组合包从8月份到10月份销售量的月平均增长率为25%． 【小问2详解】 解：设这款组合包每套的销售价降低y元． 根据题意，得． 整理，得， 解得（舍去）． 答：这款组合包每套的销售价应降低8元． 27. 如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①4；② 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）①根据勾股定理，以及直角三角形的性质求出，，根据圆周角定理可知，再根据勾股定理，以及直角三角形的性质即可求出直径； ②先判定是等边三角形，利用勾股定理得出，再根据进行计算即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ， ， 平分， ， ， ． ， ． 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：①在中，， ∴，， 是的直径， ， 在中，，， ，即直径为4； ②， ， ， 是等边三角形， 的高为：， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，角平分线性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握切线的判定和性质，角平分线，圆周角定理，勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期教学质量跟踪练习题（三）九年级 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共6页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2. 七彩云南，山川壮丽，气候宜人，文化多元，是人们眼中的“诗和远方”．下面是“七彩云南”四个字汉语拼音的首字母，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线顶点坐标是（） A. B. C. D. 4. 已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定 5. 若1是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值为（） A. B. 3 C. D. 6 6. 如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 17 D. 21 7. 下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放广告 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C. 从只装有白球的袋子中摸出黄球 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 8. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线解析式是（ ） A B. C. D. 10. 如图，均是的切线，切点分别是P，C，D．若，则的长是（） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 11. 如图是二次函数的图象，与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点坐标为，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 12. 一个可以自由转动的、质地均匀的转盘，被分成了6个大小相同的扇形，颜色分布如图所示．若指针固定不动，转动转盘，则当转盘停止后（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），指针指向紫色扇形的概率是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转得到使点C，A，在同一直线上，则至少旋转了（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在长为80cm，宽为60cm的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为，求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为，则可列的一元二次方程是（　　） A B. C. D. 15. 筒车（如图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2是其示意图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦，的半径是．若C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 17. 已知关于x的二次函数的图象如图所示，则点在第_________象限． 18. 中国扇文化底蕴深厚，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无穷．如图，当折扇展开后的扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则的长为_________．（结果保留） 19. 如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为、宽为的矩形将这个不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内投掷小球（每次投掷，小球落在矩形区域内每个点的可能性相同），并记录小球落在不规则图案内的次数．将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，随着试验次数的增加，发现小球落在不规则图案内的频率稳定于，则由此他可以估计这个不规则图案的面积为_________．（结果精确到） 三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出线段绕点A逆时针旋转后得到的线段． 22. 已知关于二次函数（，为常数）的图象经过点和． （1）求二次函数的解析式． （2）当时，直接写出的取值范围． 23. 如图，已知的两条弦相交于点E，连接，且．求证：． 24. 如图，一张长方形桌子旁设有6个座位，甲、乙两人到达时，发现丙和丁已经坐在了如图所示的座位上，甲、乙两人只能先后随机地坐到①、②、③、④中的两个座位上． （1）甲坐在③号座位的概率是_________； （2）用画树状图或列表的方法，求甲、乙选中座位①和④的概率． 25. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点E恰好落在边上，与相交于点G，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 26. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球是学生体育活动中常用的体育用品．某体育用品商店为满足学生需求，销售一款跳绳和排球的组合包，每套的进货价为65元，销售价为88元．经统计，8月份的销售量为256套，10月份的销售量为400套． （1）求这款组合包从8月份到10月份销售量的月平均增长率． （2）经市场预测，12月份的销售量将与10月份的持平，商店为了减少库存，决定降价促销． 经调查发现，这款组合包每套的销售价每降低1元，月销售量就会增加20套，若该商店想使12月份销售这款组合包的利润恰好达到8400元，则这款组合包每套的销售价应降低多少元？ 27. 如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $