精品解析：云南省文山壮族苗族自治州富宁县新纪元云贵发展中心2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025年秋期新纪元云贵发展中心第三次月考 数学（高二） （考试时间150分钟，满分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，认真核准条形码，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.） 1. 数列，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的右焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 椭圆的右顶点为，上顶点为，右焦点为，若到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，，且，则（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 12 8. 若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的焦距为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对者得6分，两个选项的每个选项三分，三个选项的每个选项两分，有错选或不答者得0分.） 9. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 椭圆的离心率 C. 椭圆的短轴长为4 D. 的面积的最大值是4 11. 已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 抛物线C上的动点到直线距离的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若数列的前项和，则此数列的通项公式为___________． 13. 已知在等差数列中，是方程的两个根，则__________. 14. 与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在数列中，. （1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项. 16. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）经过点，的椭圆标准方程. （2）焦点在轴上，短轴长为12，离心率为的椭圆标准方程. 17. 已知为等差数列的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）若，的前n项和为，证明：． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，，求的面积． 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． （1）求椭圆C和抛物线E的方程； （2）设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期新纪元云贵发展中心第三次月考 数学（高二） （考试时间150分钟，满分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，认真核准条形码，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.） 1. 数列，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】选项A. ,当时，无意义.所以A不正确. 选项B. ,当时，，故B不正确. 选项C. ，，， 所以满足.故C正确. 选项D. ,当时, ,故D不正确. 故选：C 2. 椭圆的右焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标. 【详解】椭圆可知，，，所以. 又，所以该椭圆焦点在轴上，故右焦点坐标为. 故选：A. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，确定焦点在轴上，再求出，写出方程即可． 【详解】双曲线，则双曲线焦点在轴上， 又，所以渐近线方程． 故选：B． 4. 抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦半径公式即可求解. 【详解】根据焦半径公式可得，故， 故选：B 5. 椭圆的右顶点为，上顶点为，右焦点为，若到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出直线方程，利用点到直线的距离公式可得，结合构成齐次式即可求解. 【详解】直线方程，， 到直线的距离为， ∴， ∴，∴. ∵，∴. 故选：C 6. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程即得. 【详解】由题，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 7. 已知等差数列的前项和为，，且，则（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可. 【详解】由题意得，，其中分别是等差数列的首项和公差， 化简得，解得. 所以. 故选：B. 8. 若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的焦距为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线方程，可知渐近线方程，根据直线与圆的弦长公式，可得答案. 【详解】由，则该双曲线的渐近线方程为， 不妨设直线，即被圆所截得的弦长为， 则，由双曲线的性质，可知，即， 解得，故该双曲线的焦距为. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对者得6分，两个选项的每个选项三分，三个选项的每个选项两分，有错选或不答者得0分.） 9. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差中项的性质可判断AB选项；利用等差数列的求和公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，设等差数列的公差为， 则，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，的值无法确定，D错. 故选：AC. 10. 已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 椭圆的离心率 C. 椭圆的短轴长为4 D. 的面积的最大值是4 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得，即可判断A，B，C；当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，面积最大，求出面积的最大值即可判断. 【详解】解：因椭圆方程为， 所以， 所以椭圆的焦距为，离心率，短轴长为， 故A错误，B,C正确； 对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2, 此时的面积取最大为,故正确. 故选：BCD. 11. 已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 抛物线C上的动点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出，从而得到，求出；B选项，联立直线方程和抛物线方程，得到两根之和，由焦点弦弦长公式求出；C选项，在B选项基础上求出，结合焦半径公式得到；D选项，设，表达出点到直线的距离为，求出最小值. 【详解】A选项，由抛物线，可得焦点为， 因为过抛物线的焦点，可得，解得，所以A正确； B选项，联立方程组，整理得， 设，则，， 由抛物线的焦点弦的性质，可得，所以B正确； C选项，由，解得， 根据抛物线的定义，可得， 所以，所以C错误； D选项，设是抛物线上的任意一点，可得， 则点到直线的距离为， 当时，，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若数列的前项和，则此数列的通项公式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得出，再令，可计算出，然后检验是否满足在时的表达式，由此可得出数列的通项公式. 【详解】解：由题意可知，当时，； 当时， . 又不满足. 因此，. 故答案为： 13. 已知在等差数列中，是方程的两个根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理可求得，利用等差数列下标和性质可求得结果. 【详解】是方程的两个根，， . 故答案为：. 14. 与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，并设出双曲线方程，利用待定系数法求解即得.. 【详解】由双曲线与椭圆有公共焦点，得双曲线的焦点坐标为， 设双曲线方程为，而双曲线过点， 于是，即，又，解得， 所以所求双曲线的方程为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在数列中，. （1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项. 【答案】（1）是，；（2） 【解析】 【分析】（1）设，解方程，看是否为正整数即可． （2）将看成二次函数，利用二次函数的最值来求． 【详解】（1）令， 解得或（舍去）.所以 （2）， 由于，所以最大项为 【点睛】本题考查已知项求项数，注意项数要为整数，另外将数列的最值转化为函数的最值，解题会更加简单． 16. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）经过点，的椭圆标准方程. （2）焦点在轴上，短轴长为12，离心率为的椭圆标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由椭圆的性质求解． 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在轴上，且， 故椭圆方程为， 【小问2详解】 设椭圆方程为， 由题意得，得，而， 解得， 故椭圆方程为 17. 已知为等差数列的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）若，的前n项和为，证明：． 【答案】（1）； （2）证明：由，可得， 所以 , 又，故. 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，将已知条件转化为关系，即可求解； （2）根据通项公式，用裂项相消法求出和，即可证明结论. 【小问1详解】 由设数列的公差为，则 解得，， 所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以； 【小问2详解】 略. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【小问1详解】 椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 【小问2详解】 设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积， 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． （1）求椭圆C和抛物线E的方程； （2）设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】（1）， （2）（i），证明如下： 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【解析】 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【小问1详解】 由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $