精品解析：甘肃平凉市庄浪县紫荆中学2027届高考第二次模拟考试高三数学试题

紫荆中学2027年高考第二次模拟考试试题 高三数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题5分. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 2. 下列函数中是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【详解】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 4. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间上，然后利用函数的单调性比较大小关系，即可得到结果． 【详解】因为函数为偶函数，，， 当时，是增函数，又， 所以，即. 故选：A. 5. 已知函数为奇函数，则在处的切线斜率等于 A. 6 B. -2 C. -6 D. -8 【答案】B 【解析】 【分析】先求在时的解析式，再求切线方程即可 【详解】设，则,又 为奇函数，则 则 故选B 【点睛】本题考查函数奇偶性性质，切线斜率，熟记函数奇偶性，准确计算是关键，是基础题 6. 已知函数在处有极值10，则（ ） A. B. 0 C. 或0 D. 或6 【答案】A 【解析】 【分析】根据数在处有极小值10，可得，求出参数的值，然后再验证，得到答案. 【详解】由函数有. 函数在处有极小值10. 所以，即 解得: 或 当时， 令得或，得 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 显然满足函数在处有极小值10. 当时， 所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10. 所以 故选：A 【点睛】关键点睛：解题关键在于，根据函数的极小点和对应的极值求参数，注意这种试题根据条件需要借助函数单调性进行检验，是易错题，属于中档题. 7. 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 8. 已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解. 【详解】由，得， 令，，则 ， 所以在上恒成立， 所以在上为减函数， 因为，且在上单调性递增； 所以， 所以， 所以， 所以，即． 故选：A. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合指数函数的单调性及不等式的性质即可. 二、多项选择题：本大题共3个题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断A，举反例即可求解BC，作差法即可判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； ，又，所以，即，故D正确. 故选:AD. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件； B. “”是“”的充要条件； C. “，”是真命题； D. “，”的否定是：“，” 【答案】BC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法可确定不等式的解集，由推出关系知A错误； 设，利用导数可确定的解集，根据推出关系知B正确； 由指数函数值域可确定不等式恒成立，知C正确； 由全称量词的否定可知D错误. 【详解】对于A，由得：或， ，， “”是“”的充分不必要条件，A错误； 对于B，设，则，在上单调递增， 又，当时，，即；当时，，即； ，， “”是“”的充要条件，B正确； 对于C，对恒成立，， “，”是真命题，C正确； 对于D，由全称量词的否定可知原命题的否定为：，，D错误. 故选：BC. 11. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知得、，进而得，利用对称性判断在区间上的单调性，再由区间解析式判断单调性，结合对称性比较大小，最后由周期性求函数值. 【详解】由为奇函数，则，即， 由，则，故， 所以，故，A对； 由，知图象关于对称， 由，知图象关于点对称，且， 当时，，即在上单调递增， 所以在、上单调递减，即在上单调递减， 若，则，结合周期性知， 所以在区间上单调递减，B对； 由，C错； 由，则，， 所以，又， ，D对. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分. 12. 函数在上的最大值是____. 【答案】 【解析】 【详解】，则， 当时，，在上单调递增． 所以. 13. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，使得成立，则，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】函数的定义域是，则． 若存在单调递减区间，即，使得成立，则． 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减，故，故． 故答案为：. 14. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换求得的最小值，从而可得恒成立，根据一元二次不等式即可解得实数m的取值范围. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得，即实数m的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5个小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解； （2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由题意可知，，，， 所以，解得，，， 所以函数的解析式为，经检验适合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 令，则，解得，或， 当时，； 当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，取的极大值为， 当时，取得极小值为， 又，， 所以，． 16. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面. （2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 17. 在锐角△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c已知． （1）求角C的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）角化边，由余弦定理可得角C； （2）由（1）可知，所以，化简可求取值范围. 【小问1详解】 在锐角中，因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得，因为，所以． 【小问2详解】 在锐角中，， 所以，解得， ， 因为，所以，所以． 即． 故的取值范围为. 18. 已知椭圆：()的焦点在抛物线的准线上，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左､右顶点分别为，，过，分别作长轴的垂线，，椭圆的一条切线：与直线，分别交于，两点.求证：以为直径的圆经过定点. 【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆：()的焦点在抛物线的准线上，求出左焦点坐标，再根据椭圆经过点和即可求得椭圆的方程； （2）由椭圆的一条切线：，联立，消得：，则，得，由：与直线，分别交于，两点，得,的坐标，求出，证得，即可得证. 【详解】解：（1）抛物线的准线为， 所以，即， 又因椭圆经过点， 则，解得：， 所以椭圆的方程为； （2），， 所以：，：， 联立，消得：， 因为直线椭圆的一条切线， 所以， 得：，故， 因为与直线，分别交于，两点， 设，， 所以，， 则， 因为，， 则， 所以， 所以， 即， 所以以为直径的圆经过定点. 【点睛】本题考查了椭圆与抛物线的综合应用，考查了椭圆的性质，难度较大. 19. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； 【小问2详解】 ，则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又， 由（1）得，即，所以， 当时，， 则存在，使得， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 由（1）得当时，，，所以， 此时 存在，使得， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 紫荆中学2027年高考第二次模拟考试试题 高三数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题5分. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是增函数的为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为奇函数，则在处的切线斜率等于 A. 6 B. -2 C. -6 D. -8 6. 已知函数在处有极值10，则（ ） A. B. 0 C. 或0 D. 或6 7. 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件； B. “”是“”的充要条件； C. “，”是真命题； D. “，”的否定是：“，” 11. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分. 12. 函数在上的最大值是____. 13. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是________． 14. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5个小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 16. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 17. 在锐角△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c已知． （1）求角C的大小； （2）求的取值范围． 18. 已知椭圆：()的焦点在抛物线的准线上，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左､右顶点分别为，，过，分别作长轴的垂线，，椭圆的一条切线：与直线，分别交于，两点.求证：以为直径的圆经过定点. 19. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若恰有一个零点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $