精品解析：江西省南昌市第二中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

南昌二中2025-2026学年度上学期高二数学月考（二） 命题人：骆敏 审题人：游辛 一.单选题： 1. 如果，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】将直线的方程化为斜截式，即可根据斜率和截距的正负求解. 【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：， 因为，故， 故直线经过第一象限､第三象限､第四象限， 故选：B 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由准线方程概念即可求解； 【详解】由抛物线可得准线方程为：， 故选：B 3. 已知椭圆C的方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（ ） A. 焦点在y轴上 B. 长轴长为2 C. 离心率 D. 最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程及其性质判断各项的正误. 【详解】由椭圆标准方程为，则， 所以焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，且最大值为. 故选：D 4. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，求解关于的一元二次不等式得答案． 【详解】解：方程表示双曲线， ，解得或 的取值范围是 故选：D. 5. 盒子中有5个大小相同编号不同的小球，其中白球2个，黑球3个，从中随机取出2个，则至少有1个黑球的取球种数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出总的取法数，然后减去没有黑球的取法数，利用组合数求解出结果； 【详解】总的取法数减去没有黑球的取法数，即种， 所以至少有1个黑球的取球种数是9种. 故选：A 6. 已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当在线段上时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】由题意，椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得， 所以，因为，故在椭圆内， 所以， 当在线段上时，等号成立. 故选：B. 7. 若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【详解】由可得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 8. 已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的垂直平分线经过点，可得，再利用椭圆和双曲线定义，可得到，故，利用对勾函数性质求出的范围. 【详解】不妨设设双曲线的实轴为轴，中心为原点， 根据题意，可得椭圆和双曲线在同一直角坐标系中的大致位置，如图. 因为的垂直平分线经过点，所以， 记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为， 由椭圆的定义得，所以； 由双曲线的定义得，所以. 所以，所以， 所以. 所以， 又，所以，， 由函数在单调递减，可得， 所以， 所以. 故选：B. 二.多选题： 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 当时，直线的倾斜角为60° B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的斜率即可判断A，根据平行和垂直在直线一般式满足的系数关系即可求解BC，将变形为：，即可求解定点判断D. 【详解】对于A，当时，直线：，故斜率，则倾斜角为120°，A错误， 对于B，等价于，解得，故B正确， 对于C，若，且，故，故C正确， 对于D，：变形为：，令且，解得，故恒过，D正确， 故选：BCD 10. 已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则直线恒过定点 B. 若，则直线与圆相切 C. 若圆关于直线对称，则 D. 若直线与圆相交于两点，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，直线系方程和直线与圆的位置关系的判定方法，以及圆的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，代入直线方程可得，即， 由，解得，所以直线恒过点，所以A正确； 对于B中，由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 当时，可得，所以直线与圆相切，所以B正确； 对于C中，若圆关于直线对称，可得直线经过圆心， 将圆心代入直线的方程，可得，即，所以C正确； 对于D中，若直线与圆相交于两点，则满足， 解得，所以D错误. 故选：ABC. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 若为抛物线上一点，则的最小值为 D. 的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先得到和抛物线方程，由焦半径公式得到；B选项，设直线，联立，得到两根之和，两根之积，根据，得到直线的斜率为；C选项，根据焦半径公式转化为，数形结合得到最小值，得到C错误；D选项，在B选项基础上得到，由基本不等式得到. 【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为， 由抛物线定义得，A正确； B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去， 设直线，联立，得， 设，则 由韦达定理得， 故，解得， 故直线的斜率为，倾斜角不为，B错误； C选项，由题意得，准线方程为，过点作⊥于点， 由抛物线定义得， 故， 要想求得的最小值，则过点作⊥于点， 故的最小值为，最小值为，C错误； D选项，由题意得， 由于，故， ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为9，D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三.填空题： 12. 直线与直线之间的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式计算可得结果. 【详解】将直线转化为，可知， 由平行线间的距离公式，可得与之间的距离为. 故答案为：. 13. 已知圆 ，直线，若直线被圆截得的弦长最短，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出直线过定点，进而可判断定点在圆内，所以直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，由此即可求解 【详解】将直线直线整理得， 由得， 则直线过定点 ， 由于点在圆 的内部， 故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线， 故它们的斜率之积等于，即 ，解得 ， 故答案为： 14. 过双曲线的右焦点的直线分别在第一､第二象限交的两条渐近线于两点，且.若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线的斜率与倾斜角的关系，结合正切二倍角的公式、正切的定义、勾股定理、双曲线离心率的公式进行求解即可. 【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为，如图所示： 令，于是有， 由双曲线和两条渐近线的对称性可得：， 因为，所以， 即， 在直角三角形中，设， 根据勾股定理可得：，或舍去， 即， 在直角三角形中， ， 由勾股定理可知：， 因为，所以 ，或舍去， 由， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角的正切公式、由已知等式化简成为的齐次方程，进而求出双曲线的离心率. 四.解答题： 15. （1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）280；（2） 【解析】 【分析】（1）利用排列数和组合数的公式计算；（2）利用组合数运算求解. 【详解】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 16. 已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线截得的弦长为. （1）求圆M的标准方程； （2）若过点的直线l与圆M相切，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据弦长及圆的几何性质求出圆心半径得解； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线距离等于半径得解. 【小问1详解】 因为圆心在轴负半轴上，所以设圆： 又圆与轴相切，所以，即. 圆心到直线的距离为, 所以，解得，则. 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆心为， 因为，所以点在圆外，过圆外一点作圆的切线，其切线有2条. ①当的斜率存在时，设的方程为，即， 则圆心M到的距离，解得， 此时方程为. ②当的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为2， 所以直线与圆M相切. 综上，的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. （1）在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； （2）若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 【答案】（1）存在，点N为的中点 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，可得平面平面，根据面面平行的性质可得，进而可得结果； （2）建系标点，设，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求得，从而得到的长度. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 因为分别为的中点，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为平面，，平面， 可得平面平面， 且平面平面，平面平面，可得， 由题意可知：，则四边形为平行四边形， 可得，即点为的中点， 所以棱上是存在一点，使得平面，此时点为的中点. 【小问2详解】 取的中点，连接， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，可得， 又因为底面，则可以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且平面的法向量， 由题意可得：， 解得（舍去负值），所以. 18. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程． （2）过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点． （i）若，求的方程； （ii）已知分别是的左、右顶点，直线，分别交直线于，两点，证明：与的面积之比为定值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）见解析 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入，结合椭圆方程中的关系求解即可； （2）联立直线和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解（i）；利用两点的坐标，写出，两点的坐标，然后利用三角形面积公式表示出面积比，然后结合和求解即可. 【小问1详解】 椭圆过点，故， 且离心率，解方程组，得：， 故椭圆方程为: . 【小问2详解】 （i）过点的直线（与轴不重合）,故设直线， 设，联立 ，整理得：， 故， 故， 即，解得， 故方程为：. （ii）分别是的左、右顶点，故 故直线的方程为：， 当时，，故， 同理可得：直线的方程为：，， 且，故, 故， 因为，故， 所以， 故与的面积之比为定值7. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意根的判别式的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为与韦达定理相关的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，，且焦点到渐近线的距离为.点是双曲线上不同于的任意一点，过点作的平分线的垂线（垂足为）交直线于点，（为坐标原点）.过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，记，的内切圆的圆心分别为，. （1）求双曲线的标准方程，并求出直线的倾斜角的取值范围. （2）求，到右顶点的距离之差的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离和焦点距离求出双曲线的值，得到双曲线标准方程，通过直线与双曲线方程联立，结合韦达定理和判别式求解直线斜率的范围，进而得到倾斜角的范围. （2）利用双曲线定义和内切圆性质，得到，的横坐标均为，且，的横坐标与右顶点相同，应用图形特征得出最后结合角的范围计算求解. 【小问1详解】 焦点到渐近线的距离均为，故． 由角平分线的性质可知， 在中，是中位线，则有． 又，即．又，所以， 所以双曲线的标准方程为． 知，渐近线的倾斜角分别为， 当是通径时，其倾斜角； 当不是通径时，可设其方程为，代入双曲线方程， 整理可得， ． 由，可得，所以或， 综上所述，． 所以双曲线的标准方程为．直线的倾斜角的取值范围为 【小问2详解】 设在第一象限内，内切圆与的切点分别为， 则， 所以． 因此，切点是右顶点，所以圆心在直线上； 同理，圆心也在直线上，从而在直线上． 连接，由上分析可知，都垂直于， 且平分．知． 当时，，到右顶点的距离之差为0． 当时，在中，因为，所以， 则，所以． 因为， 所以．又，且，即或， 所以或． 综上所述，，到右顶点的距离之差的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度上学期高二数学月考（二） 命题人：骆敏 审题人：游辛 一.单选题： 1. 如果，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆C方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（ ） A. 焦点在y轴上 B. 长轴长为2 C. 离心率 D. 最大值为 4. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 盒子中有5个大小相同编号不同的小球，其中白球2个，黑球3个，从中随机取出2个，则至少有1个黑球的取球种数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6. 已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7. 若直线与曲线C：有两个不同公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二.多选题： 9. 已知直线：，：，则（ ） A. 当时，直线的倾斜角为60° B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 10. 已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则直线恒过定点 B. 若，则直线与圆相切 C. 若圆关于直线对称，则 D. 若直线与圆相交于两点，则 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 若为抛物线上一点，则的最小值为 D. 的最小值为9 三.填空题： 12. 直线与直线之间的距离为_______. 13. 已知圆 ，直线，若直线被圆截得的弦长最短，则的值为__________. 14. 过双曲线的右焦点的直线分别在第一､第二象限交的两条渐近线于两点，且.若，则双曲线的离心率为__________. 四.解答题： 15. （1）求的值； （2）解关于的不等式：. 16. 已知圆M与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线截得的弦长为. （1）求圆M的标准方程； （2）若过点的直线l与圆M相切，求直线l的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱中点. （1）在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N位置，如果不存在，请说明理由； （2）若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 18. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程． （2）过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点． （i）若，求的方程； （ii）已知分别是左、右顶点，直线，分别交直线于，两点，证明：与的面积之比为定值． 19. 已知双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，，且焦点到渐近线的距离为.点是双曲线上不同于的任意一点，过点作的平分线的垂线（垂足为）交直线于点，（为坐标原点）.过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，记，的内切圆的圆心分别为，. （1）求双曲线的标准方程，并求出直线的倾斜角的取值范围. （2）求，到右顶点的距离之差的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $