江西省南昌市东湖区南昌中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

南昌中学2025-2026学年度上学期12月考试 高二数学试卷 命题人 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求。 1.己知直线：x-y-1=0,l2x-y+1=0,则（与2的距离为(） A.1 B.2 C.√2 D.22 【答案】C 2.抛物线y=4x2的焦点坐标为() A.(2,0) B.(0,2) D.60 【答案】C 3.若直线x+(2m-1)y+1=0和直线3x+y+2=0垂直，则m=() A.0或-1 B.2 C.-1 D.0 【答案】A 4.如图，在四面体OABC中，N是BC的中点.设OA=a,OB=b,OC=c,用a,方，表示AN, 则() 0 A.AN-a+16+ 1 B.AN=-a+b+c 2 2 C.AN--a+lB+c D.A=-a+五+ 2 高二数 【答案】D 5.“点M(a,b)在圆0：x2+y2=4外”是“直线ac+by=1与圆0：x2+y2=4相交”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 6.已知圆锥曲线-1的离心率e为方程2r-5+2-0的根，则满足条件的不同m值有() 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 7.已知点M(1,-2),点P在抛物线y2=12x上运动，点2在圆(x-32+y=1上运动，则PM+Pg 的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 8.设A,B为双曲线-二=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是() A.(1,1) B.（-1,2) C.(1,3) D.（-1,-4) 【答案】D 【详解1设4，.B气，为，剥的中点去” y+y 可得k6=上业，k=2=当+出小 x-xX2 ’出+x2+x2 9 因为A,B在双曲线上，则 -=1 两式相减得(-)上。丘-0， 9 所以kk=其-三=9 x好- 学试卷 对于选项A:可得k=1,k4B=9,则AB:y=9x-8, y=9x-8 联立方程 x2-上-1消去y得722-2x72x+73=0. =1 9 此时△=(-2×72)-4×72×73=-288<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误： 对千选项B:可得28=号则A8=号， 95 V=- 2 2 联立方程 ,消去y得45x2+2×45x+61=0, x2、y2 =1 9 此时△=(2×45)2-4×45×61=-4×45×16<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误： 对于选项C:可得k=3,kA=3,则AB:y=3x 由双曲线方程可得a=1,b=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误： 97 团于选项D:k=4kB=,则ABy出 441 97 y= 联立方程 44,消去y得63r2+126x-193=0, =1 9 此时△=1262+4x63×193>0,故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确： 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.直线1的方向向量为(-1，√)，则该直线的斜率为-√ B.若A(-2,12),B(1,3),C(4,m)三点在一条直线上，则m=2 C.过点(1,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线1的方程为x-y+1=0 D.直线xsina+y+2=0的倾斜角0的取值范围是 ,4 【答案】AD 10.关于空间向量，下列说法正确的是() A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.若o105oC}是空间的-个基底，且0D=O1+O死+0C,则AB,CD四点共面 3 C.若直线l的方向向量与平面x的法向量的夹角为130°，则直线l与平面所成的角为50° D.若{a,b,c是空间的一个基底，则{a+b,+c,c+a}也是空间的一个基底 【答案】BD 11.已知曲线y=r+”(1≠0)的图象可由以坐标原点为中心的双曲线绕其中心旋转一定角度得 到现将双面线C二-广-1a>0b>0)绕原点旋转得到曲线E:y-5+5,则（) a b -X十 32x A.直线x=0是曲线E的一条渐近线 B.C的实轴长为25 C.C的离心率为2 D.当t>2W2时，直线y=√3x+t与C有两个交点 【答案】ABD 【详解】曲线B:y-5x+5的两条蒲渐近线为：t=0和y=5 x,故A选项正确： 易知两条渐近线夹角为写，故曲线E的一个对称轴为y=Vx, 故曲线E的两个顶点为： (誓剑 易得曲线E的实轴长为2a=2√3，故B选项正确： 由B选项知：两条渐近线夹角为 3 易知将E:y= 一B晒时针庭转令相到C&多a>0b0 3 2x 此时的渐近线倾斜角为严， 6 由渐近线方程得：bV5 a 3 c a+b 故C选项错误； 由2a=25,9-25,c2=a+可得：a=N5,b-1, a 3 故双曲线C的方程为：X -y2=1. 3 联立直线与曲线c3少=1 消去y得：8x2+6√3t+3(t2+1)=0, y=3x+t 若使直线y=√3x+t与C有两个交点，则只需要让上述方程有两个根即可， 即判别式大于零：△=(63t-4×8×3t2+1)>0, 解得：t>2√2或t<-2√2， 故当t>2√2时，直线y=V3x+t与C有两个交点，故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知R,乃是椭圆c:+二=1a>)的两个焦点，过乃的直线1交c于A a29 的周长为16，则引= 【答案】2√万 13.已知直线y=k(x+1)与曲线y=V4-(x-2)2有两个交点，则k的取值范围为 【答案】 25 0 【详解】整理y=√4-(x-2)2可得(x-2)'+y=4(20),直线y=k(x+1)恒过点A(-1,0), o 如图， 设直线，是过A且与半圆相切的直线，则 3逃=2，解得k=25或5=2 1+k2 5(舍)， 因为直线y=k(x+1)与曲线y=√4-（代-2）2有两个交点，所以k的取值范围为 2v5 0, 5 故答案为： 0 25 5 14.已知椭圆与双曲线有公共焦点，乃、F,分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率1与双曲线的 离心率e2互为倒数，点M为它们在第一象限的交点，满足sin∠M俨，=2sin∠MF,则椭圆离心 率e的值是 【答案】5-1 2 【详解】设椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2a2,耳F=2c, M 由正弦定理得 E 、B两点，若△AB sin∠MF,sin∠FMf, 高二数学试卷 V F2 ,sin∠rM=2sin∠ME,.|EF=2M,∴.M=c. M+M=2a,lM-|M=2a,∴.=2a-c=2a,+c,.4=4,+c. 又，ee2= c.c=c.c=1, 414a2+C42 所以c2=a+a,c,两边除以a并化简得e-e,-1=0, e,=1+5或e,15(合去)，则8=1：，251 2 2 e21+52 故答案为： V5-1 2 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 15.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,0),B(4,2),C(13) (I)求过点C且与直线AB平行的直线的方程： (2)求BC边上的高所在直线的方程， 【答案】(1)x-y+2=0 (2)3x-y-6=0 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC D -- B (I)求证：BD⊥平面PAD; (2)若PD=√阝，求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值， 【答案】(1)在△ABD中，AB=2,BD=√BC2+CD=√2，AD=√BC2+(AB-CD=V2, 因为AD+BD=AB2,所以BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD,BDC平面ABCD,所以PD⊥BD, PD,ADC平面PAD,PDOAD=D,所以BD⊥平面PAD (2)由(1)可知DA,DC,DP两两垂直，所以可以D为原点，建立如图空间直角坐标系， D 则D(0,0,0),A√2,0,0)，B(0,√2,0)，P(0,0,3 2. 则AP=（-V2,05),AB=（-√2，V2,0） 设平面PAB的法向量为i=(x,y,=), 8反i,w-i间 则 m⊥AB 再取平面PBD的法向量为n=(1,0,0). 设平面PAB与平面PBD所成的夹角为O, 则cos0= m列√3√6 m:同2√2×14 17.已知椭圆G: +F=1（a>b>0)的右顶点为(2,0)，离心率为3 x2,y2 (1)求椭圆G的方程： (2)过点M(0,-2)的直线1与椭圆G交于A,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为V 线1的方程 a=2 a=2 【答案】(1)依题意 e=c- 2，所 c=V2'则b=-c=V5, a 2 所以椭圆G的方程为兰+ 4 2 =1. (2)由题意知，直线1的斜率存在，设1的方程为y=x-2, y=-2 联立方程组x2,y ，整理得到(1+2k2)x2-8+4=0, -=1 42 由△=(-8k)-41+2k2)x4>0,解得2> 2 8k 设A(5),B(6),则X+=1+2F,=1+2R 所以△01B的面积Saw0-(2水-风+广4 8k 1+2派1+2V2水-1-2. 4 4 1+2k2 平方化简得-122+9=0，解得产-，所以=士5 所以1的方程为y= 2x-2或=-V6 -2, 2 即直线1的方程为V6x-2y-4=0或√6x+2y+4=0. 2,求直 18.在平面直角坐标系xO中，设△ABC顶点坐标分别为A(0,9),B-3V5,0,C(3W5,0),Q(0,m), (>O),圆M为△ABC的外接圆. (1)求圆M的方程： (2)直线I过点P(5,1)与圆M相交于EF两点，EF=4√6，求直线1的方程： (3)若圆M上存在点P,满足PQ=2PO,求实数m的取值范围. 【答案】(1)x2+(y-2)2=49 (2)x=5或12x-5y-55=0 (3)5≤m≤27 【详解】(1)设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 81+9E+F=0 将A、B、C三点坐标分别代入方程可得{45-3V5D+F=0, 45+3V5D+F=0 D=0 解得E=-4，所以圆M的一般方程为x2+y2-4y-45=0,整理为标准方程为x2+(y-2)=49 F=-45 (2)已知圆M的方程为x2+(y-2)2=49,则圆心M(0,2),半径r=7, 设圆心M到直线1的距离为d,所以EF=2√下2-d严，解得d=5, 分两种情况讨论直线的斜率， 高二数学试卷 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=5,此时圆心M(0,2)到直线1的距离为 所以x=5是直线l的一个方程； 当直线I的斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k(x-5),即k-y-5k+1=0, 根据点到直线的距离公式，圆心M到直线1的距离d-25+1_k+-5. Vk+1 k+1 解得-长，所以直线的方程为-1号(x-5列，整理得12x-5y-5=0: 综上，直线1的方程为x=5或12x-5y-55=0. (3)设P的坐标(x,),因为PQ=2PO, 所以Vx+(y-m)=2V+, 9 所以点P在以0写为圆心，0为半径的圆上。 又因为点P在圆M,所以两个圆有公共点， 3 解得5≤m≤27. y B ○ 5,满足d=5, 19.已知抛物线C:y2=3x及抛物线C2:y2=2px(p>0),过C,的焦点F的直线与C交于A,B两 点，O为坐标原点，OA⊥OB.过F的两条直线N,PQ与C交于M,N,P,Q四点，其中M, P在第一象限，若直线MP与x轴的交点为T(t,O) (1)求C,的方程： (2)若t=-2,求直线NQ与x轴的交点的坐标； (3)是否存在点T,使得M,N,P,Q四点共圆？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由： 【答案】1)依题意可得P号0 设A飞)，B(5),则飞，=兰，X=兰， 3 3 设直线8的方程为少号 =y+尖 3 y2=3x 2，得y-3y-2卫=0， 显然△>0，所以yA+=3,yy:=2P, 3 因为OA⊥OB,所以OA.OB=xAX+y4yB=0, 即g-少，=0，所j-n-0:解得p-6成p=0(台去 9 所以C,的方程为y2=12x; y C (2)由(1)可得F(3,O),因为MN过点F,由条件可得MN的斜率不为0， 设直线MN的方程为x=y+3,M(,)(y>0),N(x2,), [y2=12x 由 r=w+3,得y12y-36=0,所以yy2=-36,所以xx:=12·2=93 设P(x,为)(：≠xy>0),2(xy4),同理可得yy,=-36, 因为y≠y,所以=36， 因为直线wMP过点T(-2,0), 即y-12t=y+yy,解得t 所以当=上 12一= g本+2面吃发，即+乃+2 所以y=24, 12 12 ,-y=y-y4=12 12 8 直线的斜率为x,-。,竖_匠片+y36+36-3+y)y+y, 1212 y y3 所以直线地的方程为y为=8（K-).即y-36.8:108 y+y3 片y+为（片 複368x-,即-2x4216 令y=0,得 21 9x34 即9+义=-2x +216,解得x=-9 所以直线0与结的交点为（号0 (3)由(2)可得y2=-36,yy,=-36, 若M,N,P,O四点共圆，则有MFWF=PFOF, 器倍器3 兰+号-普-兰所似等装琴器 整理得(-)1 6=0, 高二数学试卷 由当业=y m4-少=12 -名，即若-婴⅓+g片-1 1212 12 3南昌中学2025-2026学年度上学期12月考试 高二数学试卷 命题人 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求。 1.己知直线：x-y-1=0,l2x-y+1=0,则（与2的距离为(） A.1 B.2 C.√2 D.22 2.抛物线y=4x2的焦点坐标为（) A.(2,0) B.(0,2) c. D.1 3.若直线x+(2m-1)y+1=0和直线3x+y+2=0垂直，则m=() A.0或-1 B.2 C.-1 D.0 4.如图，在四面体OABC中，N是BC的中点.设OA=a,OB=b,OC=,用a,万，表示A, 则() 0 A.AN-a+16+1c B.AN-1a+6+c 22 C.AN--a+16+c D.Aw=-+6+ 2 2 高二数 5.“点M(a,b)在圆O:x2+y2=4外”是“直线x+by=1与圆O:x2+y2=4相交的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知圆锥曲线+上-1的离心率e为方程2x-5x+2=0的根，则满足条件的不同m值有() 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.己知点M(1,-2),点P在抛物线2=12x上运动，点0在圆(x-3)2+y2=1上运动，则PM+P② 的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 8.设A,B为双曲线x-二=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是() 9 A.(1,1) B.（-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 学试卷 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是() A.直线1的方向向量为(-1，√3)，则该直线的斜率为-√ B.若A(-2,12),B(1,3),C(4,m)三点在一条直线上，则m=2 C.过点(1,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线1的方程为x-y+1=0 D.直线x sina+y+2=0的倾斜角B的取值范围是 10.关于空间向量，下列说法正确的是() A.若a与b共线，b与c共线，则i与c共线 B.若@1oB0C}是空间的一个基底，且0D-OA+Oi+0C,则4，B,CD四点共面 3 C.若直线1的方向向量与平面的法向量的夹角为130°，则直线l与平面所成的角为50° D.若{a,b,是空间的一个基底，则{a+b,万+c,+a}也是空间的一个基底 11.己知曲线y=x+”(mm≠0)的图象可由以坐标原点为中心的双曲线绕其中心旋转一定角度得 到买将双自线C琴于(a>0b>0)绕照点淡转得到线点， 3x+2 ,则() A.直线x=0是曲线E的一条渐近线 B.C的实轴长为2W3 C.C的离心率为2 D.当t>22时，直线y=√3x+t与C有两个交点 有多项符合 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知R,乃是椭圆c:+二=1a>)的两个焦点，过R的直线1交C于A、B两点，若△4BR a29 的周长为16，则引= 高二数 13.已知直线y=k(x+1)与曲线y=V4-(x-2)2有两个交点，则k的取值范围为 14.已知椭圆与双曲线有公共焦点，F、F,分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率，与双曲线的 离心率e2互为倒数，点M为它们在第一象限的交点，满足sin∠M俨，=2sin∠MF,,则椭圆离心 率e的值是 学试卷 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 15.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,0),B(4,2),C(1,3). (1)求过点C且与直线AB平行的直线的方程： (2)求BC边上的高所在直线的方程 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC=2 P A B (1)求证：BD⊥平面PAD; (2)若PD=√3，求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值. 1.已知图0：手票-1(ab>0)的有顶点为20.高心率为 (1)求椭圆G的方程： (2)过点M(0,-2)的直线1与椭圆G交于A,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为√2，求直 线l的方程 高二数 18.在平面直角坐标系xO中，设△ABC顶点坐标分别为A(0,9),B(-3V5,0),C(3V5,0),Q(0,m), (m>O),圆M为△ABC的外接圆. (1)求圆M的方程： (2)直线1过点P(5,1)与圆M相交于EF两点，EF=46,求直线1的方程； (3)若圆M上存在点P,满足PQ=2PO,求实数m的取值范围. 学试卷 19.已知抛物线C:y2=3x及抛物线C2:y=2px(p>0),过C2的焦点F的直线与C交于A,B两 点，O为坐标原点，OA⊥OB.过F的两条直线N,PQ与C,交于M,N,P,Q四点，其中M, P在第一象限，若直线MP与x轴的交点为T(t,O) (1)求C,的方程： (2)若t=-2,求直线NQ与x轴的交点的坐标： (3)是否存在点T,使得M,N,P,Q四点共圆？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由