精品解析：江苏省苏州市昆山市昆山中学2025-2026学年高一学年上学期12月月考数学试题

江苏省昆山中学2025-2026学年第一学期高一模块测试二试卷 数学学科 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知函数的零点在区间内，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（ ） （参考数据：，） A. 6分钟 B. 8分钟 C. 10分钟 D. 12分钟 7. 已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 B. 函数在区间内有零点（函数图象连续不断），则 C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数 D. 若函数只有一个零点，则实数的值为 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最大值为1 11. 已知函数的定义域为，当时，，当，（m为非零常数）．则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，函数的值域为 C. 当时，的图象与曲线的图象有3个交点 D. 当时，的图象与直线在内的交点个数是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是_______． 13. 已知（且），则的取值范围是______. 14. 若命题“”是真命题，则实数a的取值集合为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算； （2）计算． 16. 已知函数，其中． （1）求函数的单调区间和值域； （2）解关于x的不等式． 17. 在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆． （1）设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，根据以上数据，试从且和且两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，并说明理由，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式； （2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：） 18. 设函数与的定义域为且，是偶函数，是奇函数，且． （1）求和的解析式； （2）求的值； （3）若，使得成立，求的范围． 19. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数m的值； （2）当时，设，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省昆山中学2025-2026学年第一学期高一模块测试二试卷 数学学科 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数定义域和值域确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由， ， 所以， 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，可得，即，即充分性成立； 若，例如，则，不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数的零点在区间内，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间. 【详解】因为，， 所以函数在区间内有零点，所以. 故选：C. 4. 已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据角与角的终边关系逐项分析求解. 【详解】A表示角β和α的终边相同； B表示角β和α的终边关于原点对称； C表示角β和α的终边关于x轴对称； D表示角β和α的终边关于y轴对称. 故选：D 5. 如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：易知为偶函数，当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故A正确； B选项：记，则，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：记，则，故D错误. 故选：A 6. 根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（ ） （参考数据：，） A. 6分钟 B. 8分钟 C. 10分钟 D. 12分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的信息求出函数关系式，再建立不等式求解即得. 【详解】依题意，时，，则，解得， 因此，由，得，解得， 则，， 所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟. 故选：C 7. 已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的性质，利用性质求解不等式. 【详解】依题意，函数，函数是上的奇函数， ，函数分别是上的减函数和增函数， 因此函数是上的增函数，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是准确分析出给定函数的单调性和奇偶性. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式能证明，由此能证明，再构造函数，，由，可得 ，则，由此能求出结果． 【详解】解：  ，，  ， ，等号取不到， ，  ，  ， ， 令， ∵，∴单调递减，且， ，可得  于是 ， ， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 B. 函数在区间内有零点（函数图象连续不断），则 C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数 D. 若函数只有一个零点，则实数的值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复合函数的性质即可根据求解A，举反例即可判断B，结合偶函数的定义判断C，对进行分类讨论，结合判别式来求得的值，判断D. 【详解】对于A，根据题意可得，解得，所以的定义域为，故A正确， 对于B，若在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在内有零点，但是有，故B错误， 对于C，函数的定义域为，定义域关于原点对称，但，故不恒成立，所以不是偶函数，C正确， 对于D，当时，，有唯一零点；当时，由题意可得，解得．综上，实数的取值为或，故D错误， 故选：AC. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最大值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知得，且，利用基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由，且， 所以，可得 ， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，，且，，可得 ，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，由，所以 ，当且仅当取得等号，结合， 解得，故C正确； 对于D，由选项A，，， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数的定义域为，当时，，当，（m为非零常数）．则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，函数的值域为 C. 当时，的图象与曲线的图象有3个交点 D. 当时，的图象与直线在内的交点个数是 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，则，从而可求出，代入解析式求解即可判断A；根据题意，依次求出，，的值域，从而得出函数的值域，即可判断B；当时，当，，从而得出和时的函数解析式，画出的图象与曲线的图象，即可判断C；结合函数的图象，确定交点个数，即可判断D选项. 【详解】A选项：已知当，（m为非零常数）， 当时，则， 则，故A错误； B选项：当时， 故当时，的值域为； 当时，的值域为； 当时，的值域为. 随着的依次取值，值域将变为，故B正确； C选项：当时，当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 则，， 则的图象与曲线的图象如图所示： ， 结合图象，的图象与曲线的图象有1个交点，故C错误； D选项：当时，；当时，； 当时，当时，； 当时，；当时，； 若，则， 结合函数图象可知，直线与的图象在区间，均有两个交点， 在上有一个交点，在区间上无交点， 所以的图象与直线在内的交点个数是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设扇形的半径为，根据扇形的周长公式，面积公式列出方程求解即可. 【详解】依题意，设扇形的半径为，则，解得，或. 故答案为：或. 13. 已知（且），则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】把变形为，然后对 和讨论，得出结果 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以的取值范围是， 故答案为： 14. 若命题“”是真命题，则实数a的取值集合为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将全称命题“恒成立”转化为函数恒成立问题，对函数化简，再根据参数与的取值范围分析不等式的成立条件， 最后将符合题意的参数取值范围合并，得解即可. 【详解】因为命题“”为真， 则意味着对所有，恒成立； 当时，则表达式变为， 当时，，不满足恒成立，故； 当时，当时，，需对所有恒成立， 但是开口向上的二次函数，当时，， 无法满足恒小于等于0，故不成立； 当时，令，得（）， 将代入，得， 要使对所有恒成立， 需是的根（即两个因式在时同号或同时为0）， 因此，即，所以（负根舍去）， 验证：当时，，， 解方程，解得或（舍去） 而，故两因式的正零点重合于； 当时，，，故 ； 当时，，且，故 ； 当时，，且，故 ； 满足对所有，， 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则进行计算； （2）利用换底公式，对数运算法则及性质进行计算. 【详解】（1） ； （2） . 16. 已知函数，其中． （1）求函数的单调区间和值域； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）增区间为，减区间为，值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性求单调区间，利用单调性求值域； （2）根据单调性转化为，结合定义域求解即可. 【小问1详解】 由，有，可得函数的定义域为， 又由二次函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在上单调递增， 可得函数的增区间为，减区间为. 当时，，有， 故函数的值域为. 【小问2详解】 当时，函数在上单调递增, 关于的不等式可化为 ， 故关于的的不等式的解集为. 17. 在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆． （1）设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，根据以上数据，试从且和且两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，并说明理由，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式； （2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：） 【答案】（1）应选函数模型是且，理由： 由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快， 因此应该选择指数模型，应选函数模型是且. （2）2030年底 【解析】 【分析】（1）由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，所以应该选择指数模型，然后将和代入函数中可求出，从而可求得关于的函数关系式； （2）设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有，由题意得，化简后两边取对数可求得结果. 【小问1详解】 由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快， 因此应该选择指数模型，应选函数模型是且， 由题意得，解得， 所以． 【小问2详解】 设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有， 令， 即， 化简得， 解得， 故从2021年底起经过9年后，即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量． 18. 设函数与的定义域为且，是偶函数，是奇函数，且． （1）求和的解析式； （2）求的值； （3）若，使得成立，求的范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以代换，结合奇偶性可求解出的解析式； （2）先计算出的值，然后可计算出的结果； （3）先求解出的值域，然后根据条件判断出值域之间的子集关系，由此列出不等式组，解之即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为是偶函数，是奇函数，所以， 所以， 由可得，； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以 ； 【小问3详解】 当时，单调递增，且， 所以在上单调递减，所以，所以， 当时，均单调递增，所以单调递增，且， 所以单调递减，所以，所以， 因为，使得成立， 当时，，此时显然不成立，舍去； 当时，，由条件可知，所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 19. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数m的值； （2）当时，设，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数得，解得，再用定义法进行证明； （2）记，判断出在上单调递增，列不等式组求出实数a的取值范围； （3）先判断出在R上单调递增且，令，把问题转化为在上有两不同实数根，令，利用图象有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 定义域为R， 因为为偶函数，所以， 即， 即，解得， 此时，定义域为R， 且， 所以为偶函数，符合题意，所以； 【小问2详解】 当时，， 不等式，即， 可化为，即对任意恒成立， 记，只需， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，解得， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 当时，在R上单调递增，在R上单调递增， 所以在R上单调递增，且， 则可化为， 又因为在R上单调递增，所以， 换底得， 即， 令，则， 问题转化为在上有两不同实数根， 即有两不同实数根， 令，分别作出图象如图所示： 故在上有两根，只需，解得， 即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $