专题 5.4 用一次函数解决问题（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦一次函数的实际应用这一核心知识点，衔接一次函数的概念、图像与性质，通过梳理最大利润、行程、动点、方案等七类问题，构建“问题情境—函数建模—求解验证”的学习支架，明确各题型的解题步骤与方法。 资料以题型分类精析为特色，例题改编自教材并设变式，结合图像分析、分段建模等，培养学生的抽象能力与推理意识，如行程问题通过图像读取速度与相遇点，梯度计价问题分段构建函数关系。课中辅助教师系统教学，课后分层练习助力学生查漏补缺，发展模型意识与应用能力。

专题 5.4 用一次函数解决问题 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【题型一】一次函数的实际应用——最大利润问题 1 【题型二】一次函数的实际应用——行程问题 4 【题型三】一次函数的实际应用——动点问题 8 【题型四】一次函数的实际应用——方案问题 12 【题型五】一次函数的实际应用——梯度计价问题 16 【题型六】一次函数的实际应用——几何问题 18 【题型六】一次函数的实际应用——其他问题 24 二．同步练习​ 26 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 27 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 37 一.知识梳理与题型分类精析 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【★★题型一】一次函数的实际应用——最大利润问题 【解题步骤】 （1）设未知数：设生产数量为 x 件，明确自变量的实际意义（未知数 为非负整数）； （2）列函数关系式：根据利润公式写出总利润 y 关于 x 的一次函数解析式：通过利润=单个利润数量—成本 （3）根据条件列不等式（组）求出自变量取值范围。 （4）结合一次函数性质求最值； （5）作答。 【例题1】（根据苏科版八上162页例题1改编）某工厂生产某种产品，每天的生产成本包括固定成本和原料及加工成本．已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，该产品的原料及加工成本合计为每件900元，每件产品的出厂价为1200元． （1）该厂每天生产多少件产品，该工厂才有盈利？ （2）若该厂要求每天的生产成本不超过66000元，则当每天生产多少件产品时，工厂所获的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）该工厂每天生产的产品超过40件时，工厂才有盈利；（2）当每天生产60件产品时，工厂所获利润最大，最大利润为6000元 【分析】（1）设该厂每天生产x件产品，该工厂才有盈利，列不等式（1200-900）x≥12000，解不等式即可； （2）该厂每天生产x件产品，利润用y表示列出函数关系y=300x-12000（元），由该厂要求每天的生产成本不超过66000元确定成本范围900x+12000≤66000，解得x≤60，利用一次函数的性质k=300>0，y随x的增大而增大，x取最大值60时，y的值最大，代入函数计算即可 ． 解：解（1）设该厂每天生产x件产品，该工厂才有盈利， 根据题意：（1200-900）x≥12000， x≥40， 该厂每天生产40件产品，该工厂才有盈利; （2）该厂每天生产x件产品，利润用y表示， y=300x-12000（元）， 该厂要求每天的生产成本不超过66000元， 900x+12000≤66000， x≤60， k=300>0，y随x的增大而增大， 当x=60时，y的值最大，y最大=300×60-12000=6000元． 【点拨】本题考查不等式及一次函数应用题，掌握用不等式和一次函数解应用题的方法，抓住一次函数的增减性质由k决定是解题关键． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某工厂现有甲种原料、乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A种产品用甲种原料、乙种原料，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料、乙种原料，可获利1200元． （1）按要求安排A，B两种产品的生产数量，有哪几种方案？ （2）设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A种产品生产数量为x件．试写出y与x之间的关系式，并利用这个关系式说明哪种方案获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）有3种方案：A，B两种产品的件数分别为30，20或31，19或32，18；（2），生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是45000元． 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用及最大利润问题；得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键． （1）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为件，根据题意列出不等式组，解出不等式组的解，即可得到结论； （2）根据已知生产一件A产品，可获利润700元；生产一件B种产品，可获利润1200元，可建立函数关系式，利用函数的增减性及（1）的结论，即可求得结论． 解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为件， 根据题意得， 解得 ∵x为整数， ∴整数，31或32； ∴当时，；当时，；当时，； ∴共有3种方案：A，B两种产品的件数分别为30，20或31，19或32，18； （2）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为件， 由题意得： ∵ ∴y随x的增大而减小， ∵，31或32， ∴当时，y有最大值为． ∴生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是45000元． 【变式2】（2024·河南驻马店·一模）年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． （1）求A，B两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）元；元；（2）A种购买千克，B种购买千克；元 【分析】本题考查了销售、利润问题（二元一次方程组的应用），最大利润问题（一次函数的实际应用），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的增减性求出最值． 解：（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克． 根据题意，得， 解得， A种食材的单价是每千克元，B种食材的单价是每千克元． （2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元． 根据题意，得． ， ． ， 随的增大而增大． 当时，有最小值为：（元）． A种食材购买千克，B种食材购买千克时，总费用最少，为元． 【★★题型二】一次函数的实际应用——行程问题 【解题步骤】 （1）相遇与追及问题：两物体路程相等，列方程求解时间； （2）距离差问题：求某时刻两物体的距离，即 列方程或不等式； （3）图像类问题：从一次函数图像中读取截距（初始位置）、斜率（速度）、交点（相遇时刻），结合图像信息验证函数关系式。 【例题2】（根据苏科版八上164页例题2改编）甲、乙两城市之间开通了动车组列车．如图，表示一列动车组列车离开甲城的路程与运行时间之间的关系，表示一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程与运行时间之间的关系．请根据图中的信息，解答下列问题． （1）动车从甲城开往乙城需要_________h；普通快车从乙城开往甲城需________h． （2）通过图象发现，普通快车发车时间比动车组列车发车时间________（填“早”或“晚”）， 点B的纵坐标600所表示的实际意义是__________________． （3）动车组列车运行的速度为_________． （4）求的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）4，6；（2）晚，此时普通快车从乙城刚开始出发；；（3）150；（4） 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题； （2）根据函数图象中的数据可以解答本题； （3）根据函数图象中的数据可以计算出动车组列车运行的速度； （4）根据待定系数求解析式，根据函数图象写出自变量的取值范围． 解：（1）由图象知：动车从甲城开往乙城需要h；普通快车从乙城开往甲城需h. （2）通过图象，快车发车时间比动车组列车发车时间晚1h，点B的纵坐标600的实际意义是此时普通快车从乙城刚开始出发， 故答案为：晚，此时普通快车从乙城刚开始出发. （3）600÷4=150（km/h）， 即动车组列车运行的速度为150km/h． （4）设的函数表达式为，将代入得， 解得 的函数表达式为． 【点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）周末，张芳、张敏两姐妹去看电影，张芳帮妈妈做完家务晚点儿出发．如图，，分别表示张敏、张芳行走的路程与张芳追赶时间之间的关系． （1）张敏比张芳先走了______，对应的函数表达式是______； （2）求对应的函数表达式，的实际意义是什么？ （3）张芳出发______时，能追上张敏． 【答案】（1）；；（2）；的实际意义是张敏每分钟行走的路程；（3）8 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由图象可得张敏比张芳先走了多少米；设对应的函数表达式为，将代入求解即可； （2）将和代入解析式进行求解即可，再根据题意即可解答的实际意义； （3）根据题意得，张芳追上张敏时，与的函数值相等，进行联立方程求解即可． 解：（1）解：由图象可得，张敏比张芳先走的距离：当时，对应的，故先走了， 设对应的函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴函数表达式为， 故答案为：，； （2）解：将和代入得，， 解得， 故表达式为， 的实际意义是张敏每分钟行走的路程； （3）解：张芳追上张敏时，与的函数值相等， ∴， 解得， 故张芳出发时追上张敏， 故答案为：8． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）年月日，以“乐跑成马，畅游金秋”为主题的成都马拉松鸣枪起跑．来自全球的名选手从承载着古蜀文明的金沙遗址博物馆出发，一路穿越天府广场、春熙路、天府大道等城市地标，最终抵达世纪城新国际会展中心，完成全长的荣耀赛程．甲、乙两名选手也参加了本次比赛，两人同时抵达第一个补给点，乙在该补给点处停留休息了一会儿，，分别表示在某段时间内甲、乙两名选手距离补给点的距离与时间之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）请求出这段时间内，，的解析式分别是多少？ （2）乙休息完后继续出发，则乙经过补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题主要考查一次函数的应用和绝对值的应用，解题的关键是明白题目时间和距离补给点距离的关系； （1）根据图像中的数据和行程关系即可求得各自的函数的解析式； （2）结合题意列出方程求解即可． 解：（1）解：由图可知甲乙都是匀速运动， 对于：从到时，行驶距离为， 则甲的速度为， 所以的关系式为： ， 对于：从到时，行驶距离为， 则乙的速度为， 则的关系式为：； （2）由题意得：， 即， 化简得， ①当时， 解得， ②当时， 解得， 答：乙经过补给点后或时间，甲乙两名选手相距． 【★★题型三】一次函数的实际应用——动点问题 【解题步骤】 （1）分析动点运动背景，设定变量； （2）建立动点坐标的一次函数表达式； （3）转化几何问题为函数关系； （4）求解方程 / 不等式，验证结果合理性. 【例题3】（根据苏科版八上165页例题3改编）（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形电子广告屏中，，．画面设计如下：动点从点出发沿长方形的边，以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面． （1）写出的面积关于点的运动时间的函数表达式； （2）画出上述函数的图象． 【答案】（1）；（2）函数图像见分析 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，求函数解析式以及画函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）分类讨论，根据三角形的面积公式即可建立函数解析式； （2）描点，连线即可作图． 解：（1）解：当点在边上运动时，此时的范围是， 则， ∴． 当点在边上运动时，此时的范围是， ， ∴， 综上：； （2）解：函数图象如图所示．         【变式1】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A、B两点的坐标； （2）求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时M点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定， 对于（1），由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； 对于（2），由面积公式求出S与t之间的函数关系式； 对于（3），当时，可得并得到M点坐标． 解：（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上，； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线交于第二象限内的点C，且点C的横坐标为． （1）______； （2）若直线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，当时，点P的坐标为______． 【答案】（1）7；（2）或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的应用等知识．认真审题，观察图象关系，利用数形结合思想确定解题思路，进而推理、计算． （1）先将代入求出点C的坐标，然后把代入即可求解； （2）设，则，可求，再根据可得出关于a的方程，然后求解即可． 解：（1）解：将代入，得， ∴． 将代入，得：， 解得； （2）解：由（1）知， ∴， 当时，， ∴， ∴． 由，可设． ∵轴， ∴当时，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【★★题型四】一次函数的实际应用——方案问题 【解题步骤】 （1）梳理题干信息，确定变量与方案； （2）分别建立各方案的一次函数关系式； （3）分析约束条件，确定自变量取值范围； （4）比较各方案函数，选择最优方案； （5）验证结果，规范作答. 【例题3】（根据苏科版八上168页练习第6题改编）（24-25八年级上·江苏常州·期末）甲、乙两家汽车出租公司收取的租车费（元）、（元）都是行车里程（千米）的函数，它们的图像如图所示． （1）根据图像回答：当__________时，甲、乙两家公司的租车费相等； （2）求与之间的函数表达式； （3）若丙汽车出租公司收取的租车费为每千米元，另收取一次性管理费1200元．在这三家公司中，你认为在哪家公司租车较好？ 【答案】（1）2000；（2）；（3）当时，选择甲公司；当时，选择甲或丙公司；当时，选择丙公司 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及其图像的作法是解题的关键． （1）观察图像直接填空即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用待定系数法求出与x之间的函数表达式，根据题意写出丙汽车出租公司收取的租车费与行车里程之间的函数表达式并作出其图像，根据各函数图像即可得出结论． 解：（1）解：根据图像可知，当时，甲、乙两家公司的租车费相等； 故答案为：2000； （2）解：由时，，得． ． 与之间的函数表达式为． （3）解：丙汽车出租公司收取的租车费（元）与行车里程x（千米）之间的函数表达式为， 其图像如图所示： 将坐标代入， 得， 解得， ∴与x之间的函数表达式为， 设甲、丙两函数图像的交点坐标为， 则， 解得：， ∴甲、丙两函数图像的交点坐标为． 由图可知，当时，选择甲公司；当时，选择甲或丙公司；当时，选择丙公司． 【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）为了表彰在学年智慧阅读活动表现优异的同学，学校决定购买A，B两种奖品共42件，已知A，B两种奖品的单价分别是50元/件和40元/件，且购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件．设购买A种奖品x件，购买这两种奖品共花费y元． （1）求计划购买这两种奖品所需的费用y（元）关于x（件）的函数解析式． （2）共有多少种不同的购买方案？购买这些奖品最少需要多少元？ （3）采购人员在采购奖品时，恰逢商场正在促销：A种奖品每件降价a元，B种奖品每件降价b元．采购人员通过计算发现，购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关，请求出的值． 【答案】（1）；（2）共有8种不同的购买方案，购买这些奖品最少需要1780元；（3） 【分析】本题考查了一次函数的应用、求不等式组的解集，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出关于的函数解析式，再结合题意列出关于的不等式组，求出的取值范围，即可解答； （2）结合的取值范围以及是整数，得出不同的购买方案的种数，再利用一次函数的性质求出的最小值，即可解答； （3）根据题意得，再结合 “购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关”，得出，即可求解． 解：（1）解：设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件， 由题意得，， ∵购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件， ∴， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：∵，且是整数， ∴可以取10，11，12，13，14，15，16，17， ∴共有8种不同的购买方案， ∵， ∴中随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴购买这些奖品最少需要1780元； （3）解：由题意得，， ∵购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关， ∴， 整理得：． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同． 【答案】（1），；（2）当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由图象可知，分别过点，然后根据待定系数法求解即可； （2）联立（1）中函数解析式即可求解． 解：（1）解：设直线，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴， 设直线，把点代入得：， ∴； （2）解：由（1）联立函数解析式得： ，解得：， 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同． 【★★题型五】一次函数的实际应用——梯度计价问题 【解题步骤】 （1）梳理梯度规则，划分区间； （2）分段建立一次函数关系式； （3）判断问题所属区间，代入求解； （4）验证结果，规范作答。 【例题3】（根据苏科版八上166页练习第2题改编）某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶段电价制度．规定每户居民每月用电量不超过，则按收费元；若超过，则超出部分每加收元． （1）写出某户居民某月应缴纳的电费（元）与用电量之间的函数表达式； （2）小王家3月份，4月份分别用电和，应缴纳电费各多少元？ 【答案】（1）；（2）3月份的电费为90元，4月份的电费为124元 【分析】（1）根据题意分别表示每个阶段应缴纳的电费即可表示出分段函数的解析式； （2）根据3月份，4月份分别用电数量代入（1）中的解析式即可求解． 解：（1）解：电费与用电量相关， 当时，； 当时，， 与的函数表达式也可以合起来表示为； （2）当时，，即3月份的电费为90元． 当时，，即4月份的电费为124元． 【点拨】本题考查了分段函数，正确理解题意且表示出分段函数是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，某市出台了“阶梯价格”制度，具体收费标准如表所示： 阶梯 月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档      （1）当时，写出电费（单位：元）与x之间的关系式； （2）小亮家6月份用电，应缴纳电费多少元？ （3）小亮家7月份开始用电增多，缴纳电费220元，求小亮家7月份的用电量． 【答案】（1）y与x的关系式为；（2）应缴纳电费129元；（3）小亮家7月份用电量为． 【分析】本题主要考查了一次函数及一元一次方程的应用，能根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据所给收费标准，得出y与x的关系式即可； （2）根据所给收费标准及用电量进行计算即可； （3）根据所给收费标准及电费进行计算即可； 解：（1）解：当时，月用电量属于第二组， 则， 所以y与x的关系式为； （2）解：将代入得， 元， 所以应缴纳电费129元； （3）解：因为，，且， 则将代入得， ， 解得， 所以小亮家7月份用电量为 【变式2】（25-26八年级上·广东茂名·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元） 第一档 第二档 第三档 （1）当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【答案】（1）当时，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，将代入（1）中关系式即可求解． 解：（1）解：第一档的水费为（元）， 第二档的水费为， ∴水费（单位：元）与之间的关系式为：； （2）解：当某户一年用水量是时，处于第二档， 当时，（元）； （3）解：当时，水费为（元）， ∵， ∴该户去年一年的用水量在第二档， 当时，， 解得， ∴该户去年一年的用水量为． 【★★题型六】一次函数的实际应用——几何问题 【解题步骤】 一次函数与几何结合的核心是：通过建立平面直角坐标系，将几何图形（线段、三角形、四边形等）的顶点、边转化为一次函数表达式（直线方程），利用函数性质如斜率、截距、交点等解决几何问题，如求边长、面积、点的坐标、图形位置关系。解题关键是几何问题转化为平面直角坐标系为背景的函数问题，进而代数求解转化为几何问题。 【例题3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，两条直线：，：分别与y轴交于点A，B，且A为的中点． （1）求m的值． （2）点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q，点Q在点P的上方，且，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为 【分析】本题考查了一次函数的性质，两直线相交与平行问题，用待定系数法求一次函数的图象等知识点，能求出点A、B的坐标是解此题的关键． （1）在中，令，求出点B的坐标，根据A为的中点，得出点A的坐标为，将点A的坐标代入，即可求出． （2）将代入，得，设点P的坐标为，根据轴，得出点Q的坐标为，则，解方程即可得出． 解：（1）解：在中，当时，， ∴点B的坐标为． ∵A为的中点， ∴点A的坐标为， 将，代入，得， 解得：． （2）解：将代入，得， 设点P的坐标为， ∵轴， ∴点Q的坐标为， ∴， 解得：， 则点P的坐标为． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线：分别与x轴、y轴交于点A，C，直线经过点，与交于点D，且点D的横坐标为1． （1）求直线的函数表达式； （2）点P是线段上一点，过点P作垂直于y轴的射线，分别与y轴和直线交于点E，F．设点P的横坐标为m． （i）若，求点P的坐标； （ii）若，且点P位于y轴右侧，求线段的长． 【答案】（1）；（2）（i）点P的坐标为或（ii）2 【分析】（1）根据交点的意义，确定，后用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）（i）由题意知点P的横坐标为m，则.，根据点P，F的纵坐标相同. ，确定，根据，得到，解绝对值方程解答即可； （ii）由（i）可知.确定点P的坐标为，，根据两点间距离公式解答即可． 本题考查了交点坐标的意义，待定系数法，坐标的基本特征，坐标表示相等的线段，熟练掌握交点的意义，待定系数法是解题的关键． 解：（1）解：把代入直线：， 得， ∴. 设直线的函数表达式为. 把，代入， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． （2）解：（i）由题意知点P的横坐标为m， 则. ∵垂直于y轴， ∴轴， ∴点P，F的纵坐标相同. ∵点F在直线上， ∴， 解得， ∴. ∵， ∴， 解得或. 当时，； 当时，， ∴点P的坐标为或． （ii）由（i）可知. ∵点P位于y轴右侧，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为. 由题意知轴， ∴点P，F的纵坐标相同. ∵点F在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．连接，如图2且． ①求证：； ②求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）①证明见分析 ② 【分析】本题考查一次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）令、求得点、的坐标，根据点与点关于轴对称，求出点的坐标， （2）①设直线的函数解析式为，列方程求出、的值即可； 根据点与点关于轴对称，得到，进而证得，根据三角形内角和定理证得； ②设，则，则，，，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 解：（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， 则、， 由于点与点关于轴对称， 则， 设直线的函数解析式为， 则， 解得， 因此，直线的函数解析式为； （2）①证明：根据题意得，点与点关于轴对称， ， ， ， ， ， ， ； ②解：， ， 设，则， ，，， ∴， 解得． ， 答：点P的坐标为． 【★★题型七】一次函数的实际应用——其他问题 【例题6】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）纺织厂生产某种产品，每件出厂价定为80元，每件的成本是60元，由于在生产过程由平均每生产一件此种产品，就会有的污水排出，为了保护环境，工厂需要对污水净化处理后才能排出．已知处理污水的费用为2元，且每月排污设备物资损耗为8000元．设该厂每月生产产品件，每月获得纯利润元（纯利润总收入总支出）． （1）求出与之间的函数表达式； （2）若厂家有盈利，则每月至少要生产多少件产品？ （3）如果该厂本月获得的纯利润是106000元，请求出该厂在本月生产产品的件数． 【答案】（1）（且是整数）；（2）每月至少要生产422件产品；（3）这个月该厂生产产品6000件 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用． （1）根据纯利润总收入总支出列出与之间的函数表达式即可． （2）令，解得，结合一次函数的性质即可得出答案． （3）当时，求出对应的x值即可． 解：（1）解：依题意得， 化简得， ∴所求的函数关系式为（且是整数）； （2）解：令，解得， ∵， ∴的值随值的增大而增大， ∵为正整数， ∴若厂家有盈利，则每月至少要生产422件产品． （3）解：当时，代入得， 解得， 所以这个月该厂生产产品6000件． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）科学证明，健康饮水的适宜温度是，这个温度区间与人体体温相近，对胃肠道的刺激较小．小明买了一个保温壶，并对这个保温壶进行了保温测试，他向保温壶中倒入热水，经过一段时间的测试发现：保温壶内的水温与测试时间之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． （1）热水刚倒入保温壶时的温度是___________； （2）求y与x之间的关系式； （3）小明在9小时后饮用该保温壶里的水，此时保温壶中的水温是否在健康饮水的适宜温度范围内？ 【答案】（1）90；（2）；（3）保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由图象直接得出结论； （2）先由函数图象得在上，则把分别代入，解方程组即可； （3）先整理得分钟，再把代入，得，结合健康饮水的适宜温度是，且，即可作答． 解：（1）由图象可知，热水刚倒入保温壶时的温度是， 故答案为：90； （2）保温壶内的水温与测试时间之间满足一次函数关系， 设一次函数关系为，把分别代入得： ， 解得， 与x之间的函数关系式为； （3）保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内；理由如下： 依题意得：分钟， 把代入得： ， 健康饮水的适宜温度是，且 保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表所示的一组数据： 时间（单位：分钟） 1 2 3 4 5 …… 总水量（单位：毫升） 7 12 17 22 27 …… （1）根据上表中的数据，能正确反映总水量与时间的函数关系是一次函数（，、为常数），请求出关于的函数表达式； （2）若一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一个人饮用多少天？ 【答案】（1）；（2）144 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法求解即可； （2）将天转化为分钟，再根据函数表达式，求出这个水龙头一个月的漏水量，再除以一个人一天大约的饮用辆，即可求解． 解：（1）解：由题意得：， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：天分钟， 当时，， 即这个水龙头一个月的漏水量为毫升， （天）， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一个人饮用144天． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西桂林·期末）小林骑行从A地到B地，设出发后，小林距离B地路程为，已知y与x之间的函数表达式为，则小林骑行从A地到B地所用时间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用． 根据“小林距离B地路程为”结合求解即可． 解：∵小林距离B地路程为， ∴当小林骑行从A地到达B地时，， 此时 解得： 故选：C． 2．（25-26八年级上·山西晋中·期中）某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 3．（2025·江苏淮安·二模）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示： 弹簧总长 11 12 13 14 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（　　） A．17 B．17.5 C．18 D．18.5 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是求出弹簧长度与重物质量的关系式．根据表格观察可发现：重量每增加1千克，弹簧增长2厘米，满足一次函数关系，根据待定系数法求解析式即可得解． 解：设L与x的关系式为：， 把，代入解析式得， 解得， ∴L与x的关系式为， 当时，， 故选：C． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点分别为线段的中点，点为上一动点，值最小是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称中最短路径问题，解题关键是找出点的坐标并求出点的坐标． 作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，利用勾股定理即可求出的最小值． 解：作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，如图． 令中，则， ∴点B的坐标为； 令中， 则，解得：， ∴点A的坐标为． ∵点C、D分别为线段、的中点， ∴点，点． ∵点和点D关于x轴对称， ∴点的坐标为， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）小辰在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值： 码数 26 30 34 42 长度 18 20 22 26 根据小辰的数据，可以得出该品牌32码鞋子的长度为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数的应用，根据表格中的数据，利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入解析式求解y的值． 解：设y与x的函数解析式为， 由和在函数图象上， 得方程组： 因此函数解析式为， 当时，． 故答案为：21． 6．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点M、则线段的长 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，作，由题意得,；证，得，推出，设，则,根据，即可求解； 解：作，如图所示：    令，则；令，则； ∴,； ∵平分，且， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则, ∵， ∴，解得：； ∴， ∴， 故答案为： 7．（20-21八年级下·河北保定·期末）两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，表示两人离地的距离与时间的关系，请结合图像解答下列问题： 表示乙离地的距离与时间关系的图像是 填“”或“； 甲的速度是 ，乙的速度是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像，从函数图像中找到正确的信息是解题的关键． 根据图像可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是，由图像可得，甲走需要2小时，乙走需要3小时，即可解答． 解：由图像，可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是； （），（）， ∴甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：；30；20． 8．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，若正比例函数图象与四条直线，，，相交围成的长方形的边有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据，为正比例函数图象与长方形有交点的位置的临界点，以及正比例函数的图象与性质，进行求解作答即可． 解：由题意知，正比例函数图象越接近轴，越大， 当正比例函数图象经过时，即， 解得，， 当正比例函数图象经过时，即， ∴当时，根据图象可知，正比例函数图象与长方形有公共点， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地行驶到B地，两地之间的路程是，请根据图像解决下列问题： （1）求出甲行驶的路程与甲行驶的时间之间的函数表达式； （2）已知乙行驶的路程与甲行驶的时间之间的函数表达式为，若甲、乙都在行驶中且甲与乙相距的路程为，求x的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据函数图象上的数据，利用待定系数法求函数表达式即可； （2）观察图象可知，有两种情况下甲与乙相距的路程为12km，一种是甲与乙相遇前，一种是甲与乙相遇后，分情况列式计算即可求解． 解：（1）解：设甲行驶的路程与甲行驶的时间之间的函数表达式为， 因为该函数图象经过点，所以， 解得：， 所以甲行驶的路程与甲行驶的时间之间的函数表达式为． （2）解：甲、乙都在行驶中且甲与乙相遇前的路程为时， ， 解得； 甲、乙都在行驶中且甲与乙相遇后的路程为时， ， 解得； 所以甲、乙都在行驶中且甲与乙相距的路程为时，x的值为或． 10．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）求、的值； （2）求的面积． （3）直线与直线平行且过点，求直线的解析式． 【答案】（1），；（2）的面积为；（3）直线的解析式为． 【分析】本题考查的知识点是求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合，解题关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． （1）由点是直线和直线的交点，代入即可求出，的值； （2）结合直线解析式求出点、点坐标后即可得解； （3）由题意可设直线的解析式为，将点坐标代入求出的值即可得解． 解：（1）解：点是直线和直线的交点， ，即， ，即， 综上，，； （2）解：由（1）得，直线与轴交于点， 当时，则， ， 直线与轴交于点， 当时，则， ， 又， ， 即的面积为； （3）解：直线与直线平行且过点， 可设直线的解析式为， 且当时，， ， 直线的解析式为． 11．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 （1）设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） （2）若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【答案】（1）；；（2）购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元 【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． （1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． 解：（1）解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台， ∴每月销售型号设备为台， ∴每月共获得利润为， 即万元， 故答案为：；． （2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴， 解得， ∵， ∴利润随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元）， ∴， ∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台． 12．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知直线（和是常数且）经过点，，直线（是常数）与直线相交于点，与轴交于点，点的横坐标为-3． （1）当时，直接写出的取值范围为_______； （2）求直线的表达式和的值； （3）若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）直线的表达式为，；（3）点或 【分析】本题考查了求一次函数解析式以及一次函数与几何综合问题，掌握函数相关性质是解题关键． （1）由图可知：当时，直线的图象在直线的上方；即可求解； （2）把和代入直线可求得直线的表达式为．把代入，求得点．把点代入，可解得． （3）设点，求出点．根据．即可求解； 解：（1）解：由图可知：当时，直线的图象在直线的上方； 即：当时，直接写出的取值范围为：； （2）解：把和代入直线， 得 解得 直线的表达式为． 把代入，得， 点． 把点代入，得，解得． （3）解：设点． 由（2）知，点． 当时，，解得， 点． ． ， ． 或． 点或 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，甲的速度为每分钟米，乙的速度为每分钟米，甲先跑3分钟后乙再开始，且两人同时到达终点，则两人之间的距离（米）与甲跑步的时间（分钟）的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从函数的图象获取信息，解题的关键是明确自变量和函数表示的实际意义．根据题意数形结合逐项分析判断即可，因为甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，所以开始跑步时两人之间的距离为0，甲先跑3分钟，两人距离增加，乙出发后，甲的速度小于乙的速度，两人距离变小，两人同时到达终点，所以到达终点时两人的距离为0． 解：A、因为甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，所以开始跑步时两人之间的距离为0，故A选项不符合题意； B、因为甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，所以开始跑步时两人之间的距离为0，故B选项不符合题意； C、因为两人同时到达终点，所以到达终点时两人的距离为0，故C选项不符合题意； D、甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，所以开始跑步时两人之间的距离为0，甲先跑3分钟，两人距离增加，乙出发后，甲的速度小于乙的速度，两人距离变小，两人同时到达终点，所以到达终点时两人的距离为0，故选项D符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图为一个弹簧挂上重物后弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数图象（轴），则该弹簧长度最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出前一段线段的解析式，进而求出点的纵坐标，即可得出结果． 解：设前一段线段所在直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴当时，； 故该弹簧长度最大为； 故选：C． 3．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（    ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键．根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④． 解：直线分别与、轴交于点、， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点，故②不正确； 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：，故③正确； 如图，过点作于， ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为，故④正确． 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键在于列出相应的不等式，解相应的不等式． 根据收费方式A和B的计费规则，分别建立费用与上网时间的函数关系式，通过比较确定满足的x范围． 解：收费方式： 月使用费30元，包时上网时间，超时费元，即元， 当时，； 当时， ． 对于收费方式： 月使用费50元，包时上网时间，超时费元，即元 当时，； 当时， ． 分情况讨论时x的取值范围 当时： ，，此时，即，不满足． 当时： ，，若，则， 解得 ． 结合前提，此时的取值范围是 ． 当时： ，， ， 即恒成立 ． 综上，的取值范围是， 故选：C． 二、填空题 5．（25-26八年级上·山西运城·期中）某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． 由于月用电量，电费计算分为两部分：前按元计费，超过部分按元计费即可． 解：根据题意可得，前的电费为元； 超过部分的电费为元， ∴总电费 ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 【答案】 180 3.75 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，根据交点的意义可得，求解，即可求解，两地之间的距离； （2）先求出甲车3时走的路程，则即可求解甲车的速度，继而求解甲车到达中点时的时间． 解：（1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米， 因为交点的坐标为， 所以出发3时，两车相遇，此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米， 所以， 解得， 所以， 所以，两地之间的距离为180千米， 故答案为：； （2）因为甲车3小时走了72（千米）， 所以甲车的速度为（千米/时）， 所以甲车到达中点时的时间：（时），即的值为3.75． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与长方形的边、分别交于点E、F，与y轴交于点G，已知，，则梯形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的坐标特征、梯形面积公式，解题的关键是求出点、的坐标，确定梯形的上下底和高． 先求直线与轴交点的坐标，得的长度；再根据长方形边长确定点的横坐标，代入直线解析式求其纵坐标，得的长度；最后用梯形面积公式计算． 解：令直线中，则，故． ∵， ∴ ∵长方形中，，故点横坐标为， 代入直线解析式：，即． ∵， ∴． 梯形的高为， 则． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期中）《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺（90寸），上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺（10寸），问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇？如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图象，则图中交点的横坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为90寸，然后列出相应的方程，求解即可． 解：设两图象交点的横坐标是，根据它们生长的长度之和为90寸可得： ， 解得， 两图象交点的横坐标是， 故答案为：． 三、解答题 9．（16-17八年级下·湖北·期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货． （1）每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少t？ （2）现在租用这两种货车共10辆，要求一次运输货物不低于，一辆大货车一次运货的费用为520元，一辆小货车一次运货的费用为400元，请设计一种运货方案，使总运费最低，最低总运费是多少？ 【答案】（1）1辆大货车一次可以运货，1辆小货车一次可以运货；（2）使总运费最少的运货方案是：租用大货车4辆，小货车6辆，最低总运费为4480元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设每辆大货车一次运货x吨，每辆小货车一次运货y吨，根据2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货列出方程组，解之即可； （2）设大货车辆，根据运输的总货物不少于，列出不等式组，结合为整数，得， 根据一辆大货车一次运货的费用为520元，一辆小货车一次运货的费用为400元，进行列式，再结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 解：（1）解：设1辆大货车一次运货x吨，1辆小货车一次运货y吨， 根据题意可得：， 解得：， ∴1辆大货车一次可以运货，1辆小货车一次可以运货 （2）解：设大货车辆，总运费为元， 则小货车辆， 依题意，得， 解得， ∵为整数， ∴， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最小，且为（元）， 小货车：（辆）， ∴使总运费最少的运货方案是：租用大货车4辆，小货车6辆，最低总运费为4480元 10．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加，到达坡底时，小球速度达到． （1）写出小球速度与时间之间的关系式，并判断：v是否为t的一次函数？是否为正比例函数？ （2）求时，小球的速度； （3）求小球滚到坡底的时间． 【答案】（1）v与t之间的关系式为，v是t的一次函数，也是正比例函数；（2）当滚动时间为时，小球的速度为；（3）小球滚到坡底的时间为． 【分析】本题考查一次函数的应用．判断出小球速度与时间之间的关系式是解决本题的关键．用到的知识点为：形如的函数，叫做一次函数；形如的函数，叫做正比例函数． （1）中得到的函数解析式，计算即可； （3）把代入 （1）中得到的函数解析式，计算即可． 解：（1）解：与t之间的关系式为， v是t的一次函数，也是正比例函数； （2）解：当时，， 答：当滚动时间为时，小球的速度为； （3）解：当时，，所以， 答：小球滚到坡底的时间为 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户合理化运输，并制定如下计价规则： 计费档 货物质量 单价元 第一档 8 第二档 5 第三档 3 （1）当时，写出总运费单位：元x之间的关系式； （2）李叔叔在该物流公司要运送一件质量为的货物，需要运费多少元？ （3）若某货物的运费为95元，该货物的质量是多少千克？ 【答案】（1）；（2）114元；（3）13千克 【分析】本题考查了分段函数的实际应用，解题的关键是根据不同计费档的单价，分阶段计算总运费． （1）根据的计费规则，分“前”和“超出的部分”计算，列出总运费关系式； （2）判断对应的计费档，代入对应关系式计算运费； （3）先判断95元对应的计费档，再代入对应关系式求解货物质量． 解：（1）解：总运费关系式 当时，前按8元计费，超出的部分按5元计费， 因此∶ （2）解：因为，代入（1）的关系式∶ （元） （3）解：第一档（）最高运费为元， 95元超过80元； 第二档（）最高运费为元， 95元在该区间内． 代入： ， 答：该货物的质量是13千克． 12．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，直角坐标系中，，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点．点关于轴对称，连接． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）设面积的和，求的值； （3）在求（2）中时，小明有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积，更快捷．”但大家经反复验算，发现，请通过计算解释他的想法错在哪里． 【答案】（1），，直线的解析式为：；；（2）；（3）见详解 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质是关键． （1）根据直线与坐标轴的交点进行计算得到的坐标，运用待定系数法即可求解直线的解析式； （2）根据题意得到，根据面积公式计算即可求解； （3）根据轴对称的性质判定即可． 解：（1）解：直线与轴及直线分别交于点， ∴当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∵点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：在直线：中，当时，， 解得，， ∴直线与轴的交点为，与点不同， ∴，即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.4 用一次函数解决问题 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【题型一】一次函数的实际应用——最大利润问题 1 【题型二】一次函数的实际应用——行程问题 2 【题型三】一次函数的实际应用——动点问题 4 【题型四】一次函数的实际应用——方案问题 5 【题型五】一次函数的实际应用——梯度计价问题 6 【题型六】一次函数的实际应用——几何问题 7 【题型六】一次函数的实际应用——其他问题 9 二．同步练习 10 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 10 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 13 一.知识梳理与题型分类精析 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【★★题型一】一次函数的实际应用——最大利润问题 （1）设未知数：设生产数量为 x 件，明确自变量的实际意义（未知数 为非负整数）； （2）列函数关系式：根据利润公式写出总利润 y 关于 x 的一次函数解析式：通过利润=单个利润数量—成本 （3）根据条件列不等式（组）求出自变量取值范围。 （4）结合一次函数性质求最值； （5）作答。 【例题1】（根据苏科版八上162页例题1改编）某工厂生产某种产品，每天的生产成本包括固定成本和原料及加工成本．已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，该产品的原料及加工成本合计为每件900元，每件产品的出厂价为1200元． （1）该厂每天生产多少件产品，该工厂才有盈利？ （2）若该厂要求每天的生产成本不超过66000元，则当每天生产多少件产品时，工厂所获的利润最大，并求出最大利润． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某工厂现有甲种原料、乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A种产品用甲种原料、乙种原料，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料、乙种原料，可获利1200元． （1）按要求安排A，B两种产品的生产数量，有哪几种方案？ （2）设生产A，B两种产品的总利润为y元，其中A种产品生产数量为x件．试写出y与x之间的关系式，并利用这个关系式说明哪种方案获利最大，最大利润是多少元？ 【变式2】（2024·河南驻马店·一模）年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． （1）求A，B两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【★★题型二】一次函数的实际应用——行程问题 （1）相遇与追及问题：两物体路程相等，列方程求解时间； （2）距离差问题：求某时刻两物体的距离，即 列方程或不等式； （3）图像类问题：从一次函数图像中读取截距（初始位置）、斜率（速度）、交点（相遇时刻），结合图像信息验证函数关系式。 【例题2】（根据苏科版八上164页例题2改编）甲、乙两城市之间开通了动车组列车．如图，表示一列动车组列车离开甲城的路程与运行时间之间的关系，表示一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程与运行时间之间的关系．请根据图中的信息，解答下列问题． （1）动车从甲城开往乙城需要_________h；普通快车从乙城开往甲城需________h． （2）通过图象发现，普通快车发车时间比动车组列车发车时间________（填“早”或“晚”）， 点B的纵坐标600所表示的实际意义是__________________． （3）动车组列车运行的速度为_________． （4）求的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）周末，张芳、张敏两姐妹去看电影，张芳帮妈妈做完家务晚点儿出发．如图，，分别表示张敏、张芳行走的路程与张芳追赶时间之间的关系． （1）张敏比张芳先走了______，对应的函数表达式是______； （2）求对应的函数表达式，的实际意义是什么？ （3）张芳出发______时，能追上张敏． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）年月日，以“乐跑成马，畅游金秋”为主题的成都马拉松鸣枪起跑．来自全球的名选手从承载着古蜀文明的金沙遗址博物馆出发，一路穿越天府广场、春熙路、天府大道等城市地标，最终抵达世纪城新国际会展中心，完成全长的荣耀赛程．甲、乙两名选手也参加了本次比赛，两人同时抵达第一个补给点，乙在该补给点处停留休息了一会儿，，分别表示在某段时间内甲、乙两名选手距离补给点的距离与时间之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）请求出这段时间内，，的解析式分别是多少？ （2）乙休息完后继续出发，则乙经过补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【★★题型三】一次函数的实际应用——动点问题 （1）分析动点运动背景，设定变量； （2）建立动点坐标的一次函数表达式； （3）转化几何问题为函数关系； （4）求解方程 / 不等式，验证结果合理性. 【例题3】（根据苏科版八上165页例题3改编）（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形电子广告屏中，，．画面设计如下：动点从点出发沿长方形的边，以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面． （1）写出的面积关于点的运动时间的函数表达式； （2）画出上述函数的图象． 【变式1】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A、B两点的坐标； （2）求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线交于第二象限内的点C，且点C的横坐标为． （1）______； （2）若直线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，当时，点P的坐标为______． 【★★题型四】一次函数的实际应用——方案问题 （1）梳理题干信息，确定变量与方案； （2）分别建立各方案的一次函数关系式； （3）分析约束条件，确定自变量取值范围； （4）比较各方案函数，选择最优方案； （5）验证结果，规范作答. 【例题3】（根据苏科版八上168页练习第6题改编）（24-25八年级上·江苏常州·期末）甲、乙两家汽车出租公司收取的租车费（元）、（元）都是行车里程（千米）的函数，它们的图像如图所示． （1）根据图像回答：当__________时，甲、乙两家公司的租车费相等； （2）求与之间的函数表达式； （3）若丙汽车出租公司收取的租车费为每千米元，另收取一次性管理费1200元．在这三家公司中，你认为在哪家公司租车较好？ 【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）为了表彰在学年智慧阅读活动表现优异的同学，学校决定购买A，B两种奖品共42件，已知A，B两种奖品的单价分别是50元/件和40元/件，且购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件．设购买A种奖品x件，购买这两种奖品共花费y元． （1）求计划购买这两种奖品所需的费用y（元）关于x（件）的函数解析式． （2）共有多少种不同的购买方案？购买这些奖品最少需要多少元？ （3）采购人员在采购奖品时，恰逢商场正在促销：A种奖品每件降价a元，B种奖品每件降价b元．采购人员通过计算发现，购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关，请求出的值． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同． 【★★题型五】一次函数的实际应用——梯度计价问题 （1）梳理梯度规则，划分区间； （2）分段建立一次函数关系式； （3）判断问题所属区间，代入求解； （4）验证结果，规范作答。 【例题3】（根据苏科版八上166页练习第2题改编）某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶段电价制度．规定每户居民每月用电量不超过，则按收费元；若超过，则超出部分每加收元． （1）写出某户居民某月应缴纳的电费（元）与用电量之间的函数表达式； （2）小王家3月份，4月份分别用电和，应缴纳电费各多少元？ 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，某市出台了“阶梯价格”制度，具体收费标准如表所示： 阶梯 月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档      （1）当时，写出电费（单位：元）与x之间的关系式； （2）小亮家6月份用电，应缴纳电费多少元？ （3）小亮家7月份开始用电增多，缴纳电费220元，求小亮家7月份的用电量． 【变式2】（25-26八年级上·广东茂名·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元） 第一档 第二档 第三档 （1）当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用水量是，求该户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【★★题型六】一次函数的实际应用——几何问题 一次函数与几何结合的核心是：通过建立平面直角坐标系，将几何图形（线段、三角形、四边形等）的顶点、边转化为一次函数表达式（直线方程），利用函数性质如斜率、截距、交点等解决几何问题，如求边长、面积、点的坐标、图形位置关系。解题关键是几何问题转化为平面直角坐标系为背景的函数问题，进而代数求解转化为几何问题。 【例题3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，两条直线：，：分别与y轴交于点A，B，且A为的中点． （1）求m的值． （2）点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q，点Q在点P的上方，且，求点P的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线：分别与x轴、y轴交于点A，C，直线经过点，与交于点D，且点D的横坐标为1． （1）求直线的函数表达式； （2）点P是线段上一点，过点P作垂直于y轴的射线，分别与y轴和直线交于点E，F．设点P的横坐标为m． （i）若，求点P的坐标； （ii）若，且点P位于y轴右侧，求线段的长． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．连接，如图2且． ①求证：； ②求点P的坐标． 【★★题型七】一次函数的实际应用——其他问题 【例题6】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）纺织厂生产某种产品，每件出厂价定为80元，每件的成本是60元，由于在生产过程由平均每生产一件此种产品，就会有的污水排出，为了保护环境，工厂需要对污水净化处理后才能排出．已知处理污水的费用为2元，且每月排污设备物资损耗为8000元．设该厂每月生产产品件，每月获得纯利润元（纯利润总收入总支出）． （1）求出与之间的函数表达式； （2）若厂家有盈利，则每月至少要生产多少件产品？ （3）如果该厂本月获得的纯利润是106000元，请求出该厂在本月生产产品的件数． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）科学证明，健康饮水的适宜温度是，这个温度区间与人体体温相近，对胃肠道的刺激较小．小明买了一个保温壶，并对这个保温壶进行了保温测试，他向保温壶中倒入热水，经过一段时间的测试发现：保温壶内的水温与测试时间之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． （1）热水刚倒入保温壶时的温度是___________； （2）求y与x之间的关系式； （3）小明在9小时后饮用该保温壶里的水，此时保温壶中的水温是否在健康饮水的适宜温度范围内？ 【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表所示的一组数据： 时间（单位：分钟） 1 2 3 4 5 …… 总水量（单位：毫升） 7 12 17 22 27 …… （1）根据上表中的数据，能正确反映总水量与时间的函数关系是一次函数（，、为常数），请求出关于的函数表达式； （2）若一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一个人饮用多少天？ 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西桂林·期末）小林骑行从A地到B地，设出发后，小林距离B地路程为，已知y与x之间的函数表达式为，则小林骑行从A地到B地所用时间是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西晋中·期中）某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏淮安·二模）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示： 弹簧总长 11 12 13 14 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（　　） A．17 B．17.5 C．18 D．18.5 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点分别为线段的中点，点为上一动点，值最小是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）小辰在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值： 码数 26 30 34 42 长度 18 20 22 26 根据小辰的数据，可以得出该品牌32码鞋子的长度为 ． 6．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点M、则线段的长 ．    7．（20-21八年级下·河北保定·期末）两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，表示两人离地的距离与时间的关系，请结合图像解答下列问题： 表示乙离地的距离与时间关系的图像是 填“”或“； 甲的速度是 ，乙的速度是 ． 8．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，若正比例函数图象与四条直线，，，相交围成的长方形的边有公共点，则的取值范围是 ． 三、解答题 9．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地行驶到B地，两地之间的路程是，请根据图像解决下列问题： （1）求出甲行驶的路程与甲行驶的时间之间的函数表达式； （2）已知乙行驶的路程与甲行驶的时间之间的函数表达式为，若甲、乙都在行驶中且甲与乙相距的路程为，求x的值． 10．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）求、的值； （2）求的面积． （3）直线与直线平行且过点，求直线的解析式． 11．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 （1）设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） （2）若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 12．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知直线（和是常数且）经过点，，直线（是常数）与直线相交于点，与轴交于点，点的横坐标为-3． （1）当时，直接写出的取值范围为_______； （2）求直线的表达式和的值； （3）若点在直线上，且，求点的坐标． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，甲的速度为每分钟米，乙的速度为每分钟米，甲先跑3分钟后乙再开始，且两人同时到达终点，则两人之间的距离（米）与甲跑步的时间（分钟）的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图为一个弹簧挂上重物后弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数图象（轴），则该弹簧长度最大为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（    ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·山西运城·期中）某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为 ． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与长方形的边、分别交于点E、F，与y轴交于点G，已知，，则梯形的面积为 ． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期中）《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺（90寸），上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺（10寸），问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇？如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图象，则图中交点的横坐标为 ． 三、解答题 9．（16-17八年级下·湖北·期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货． （1）每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少t？ （2）现在租用这两种货车共10辆，要求一次运输货物不低于，一辆大货车一次运货的费用为520元，一辆小货车一次运货的费用为400元，请设计一种运货方案，使总运费最低，最低总运费是多少？ 10．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加，到达坡底时，小球速度达到． （1）写出小球速度与时间之间的关系式，并判断：v是否为t的一次函数？是否为正比例函数？ （2）求时，小球的速度； （3）求小球滚到坡底的时间． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户合理化运输，并制定如下计价规则： 计费档 货物质量 单价元 第一档 8 第二档 5 第三档 3 （1）当时，写出总运费单位：元x之间的关系式； （2）李叔叔在该物流公司要运送一件质量为的货物，需要运费多少元？ （3）若某货物的运费为95元，该货物的质量是多少千克？ 12．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，直角坐标系中，，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点．点关于轴对称，连接． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）设面积的和，求的值； （3）在求（2）中时，小明有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积，更快捷．”但大家经反复验算，发现，请通过计算解释他的想法错在哪里． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $