精品解析：湖北省 武汉市洪山实验外国语中学2025-2026学年九年级上学期12月数学试卷

2025-2026学年武汉市洪山实验外国语中学九（上）12月数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C. 在地球上，太阳东升西落 D. 打开电视，正好在播放新闻 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，的半径为5，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不确定 5. 已知p，q是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 4 6. 某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氯化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是直线上任意一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．点D是y轴上一个动点，连接，，．当的周长最小时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 已知点与点关于坐标原点对称，则点的坐标为______． 12. 在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共5只，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近_________；（精确到） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 13. 圆锥的底面圆半径为，母线为，则圆锥的侧面积为______． 14. 如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则的长度为_____． 15. 关于二次函数的四个结论： ①对任意实数m，取及，对应的函数值总相等； ②若，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，满足，则； ④若，是抛物线上两点，若，，则． 其中正确的结论有__________．（填序号） 16. 如图，是的直径，M、N是上异于A，B的两点，C是上一动点，的角平分线交于点D，的平分线交于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是___________． 三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 已知方程是关于的一元二次方程，若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转恰好得到，其中，是对应点，若，求的度数． 19. 一张长方形桌旁设有6个座位，甲、乙到达时，发现丙和丁已经先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人只能等可能性地坐到①②③④中的2个座位上． （1）甲坐在①号座位的概率是______； （2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．（如丙和丁，丙和①均称相邻而坐）． 20. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，过O点作交于点E，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 21. 如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成下列画图，保留画图痕迹． （1）如图1，点O、A、B均是格点． ①作的中点M；②作，使得． （2）如图2，点A，B是格点，圆心在线段上，圆与网格线相交于点C，过点C作圆的切线与网格线交于P． ①作圆心O；②过点P作圆的另一条切线，切点为M（点M不与点C重合）． 22. 根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 　 素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米． 问题解决 任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为，位于桌面上方，离桌面，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． 初步分析：（1）善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； 深度探究：（2）好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点A、B的坐标为，，是抛物线对称轴上一段移动的线段，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在直线上方的抛物线上运动（不含端点B、C），连接、，当面积最大时，求出最小值； （3）如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接，点P为原抛物线对称轴上一点，若时，写出所有符合条件的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年武汉市洪山实验外国语中学九（上）12月数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【详解】解：A．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．图形既是轴对称图形又是中心对称图形形，故此选项符合题意， 故选：D． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 九年级开展篮球赛，901班获得冠军 C. 在地球上，太阳东升西落 D. 打开电视，正好在播放新闻 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件和随机事件，一定会发生的事件是必然事件，可能发生的事件是随机事件，据此判断即可求解，掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A、是随机事件，该选项不合题意； B、是随机事件，该选项不合题意； C、是必然事件，该选项符合题意； D、是随机事件，该选项不合题意； 故选：C． 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，利用配方法，将方程左边配成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，的半径为5，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的三种位置关系是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再与的半径比较即可． 【详解】解：点， 的半径为5， 点在圆上， 故选：B． 5. 已知p，q是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后代入表达式计算． 【详解】解：∵p，q是方程的实数根， ∴，， ∴． 故选：A． 6. 某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：B． 7. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征，找准对称轴以及抛物线的增减性是解题的关键．把原函数解析式化成顶点式，然后根据三点与对称轴的位置关系，开口方向判断，，的大小． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为， ，与三点中，点到对称轴较的距离为；点在对称轴上，点到对称轴较的距离为，， ． 故选：B． 8. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氯化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液分别用表示，列表如下： （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 由表可知共有12种可能的结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种， 则抽到的2个都是酸性溶液的概率为． 故选D． 9. 如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，连接，由等腰直角三角形的性质得出，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理求出，再证明，得出即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，， ， ， ， ． 在中， ． 作关于对称的图形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 把代入中得， ． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是直线上任意一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．点D是y轴上一个动点，连接，，．当的周长最小时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点B的坐标为（），先根据图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质，求得，求得点C在直线上，分别作点A关于y轴和直线的对称点和，根据轴对称的性质，进一步推得当点C，D都在线段上时，的周长最小，再求出直线的解析式，即可求出直线与直线的交点坐标，即得答案． 【详解】解：分别过点B，C两点作轴于点G，轴于点H， ， ， 线段绕点O顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ，， 当点B在第二象限时，设点B的坐标为（）， 则，， ，， ， 令， 消去m，得， 点C在直线上， 令，则， 所以直线与y轴的交点为， 令，则， 解得， 所以直线与x轴的交点为， ， ， ， 分别作点A关于y轴和直线的对称点和，连结，，， 则，，，，， ， ，， ， ， 的周长， 当点C，D都在线段上时，取得最小值，此时的周长最小，且点C即为直线与直线的交点， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 直线的解析式为， 联立方程组， 解得， 所以点C的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了几何最值问题，图形旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，求出动点的运动路径是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 已知点与点关于坐标原点对称，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标均互为相反数． 【详解】解：因为点与点关于坐标原点对称， 所以点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 故答案为：． 12. 在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共5只，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近_________；（精确到） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在左右，由此可估计摸到白球的概率将会接近． 【详解】解：根据摸到白球的频率稳定在左右， 所以摸一次，摸到白球的概率将会接近． 故答案为：． 13. 圆锥的底面圆半径为，母线为，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥侧面积，解题关键是掌握圆锥的侧面积计算方法并能运用求解． 直接应用圆锥侧面积公式求解． 【详解】解：根据圆锥的侧面积公式，其中，， 代入得． 故答案为：． 14. 如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于点，由旋转可得，，可得是等边三角形，证明，可得，由三线合一，结合直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，即可得的长度． 【详解】解：连接，延长交于点， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三线合一，勾股定理． 15. 关于二次函数的四个结论： ①对任意实数m，取及，对应的函数值总相等； ②若，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，满足，则； ④若，是抛物线上两点，若，，则． 其中正确的结论有__________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】将抛物线解析式化为顶点式得出该抛物线的对称轴为直线，计算得出，即与关于对称轴直线对称，即可判断①；抛物线的顶点为，求出当时，，当时，，再分两种情况：当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大；当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，分别计算即可判断②；设，，则，，，求得，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合题意得出，计算即可判断③，由抛物线的对称轴并结合题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，再分两种情况，分别计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，即与关于对称轴直线对称， ∴对任意实数m，取及，对应的函数值总相等，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点为， 当时，，当时，； 当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得； 当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得：； 综上所述， 若，对应的y的整数值有4个，则或，故②正确； ∵抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，且， ∴设，，则，，， 解得：， 在中，令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 综上所述，若抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，满足，则，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 当时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧随着的增大而增大，结合得出； 当时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧随着的增大而减小，结合得出，故④错误； 综上所述，正确的有①②③； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，把二次函数的解析式化为顶点式，采用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 16. 如图，是的直径，M、N是上异于A，B的两点，C是上一动点，的角平分线交于点D，的平分线交于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等；如图，连接，连接交于G，连接交于F，设．求出，证明平分，求出；再证明，则，可得，得到点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，连接交于G，连接交于F，连接， 设．则， ∵是直径， ∴， ∵的角平分线交于点，的平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， 而， ∴， ∴， ∴点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， ∵， ∴设，则， 的长的长， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 已知方程是关于的一元二次方程，若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，另一个根为3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．利用韦达定理即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 则，解得， 即k的值为1，另一个根为3． 18. 如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转恰好得到，其中，是对应点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的三要素． 由旋转得到旋转角，再由角度和差计算求解． 【详解】解：∵把绕点A逆时针旋转恰好得到， ∴， ∵， ∴． 19. 一张长方形桌旁设有6个座位，甲、乙到达时，发现丙和丁已经先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人只能等可能性地坐到①②③④中的2个座位上． （1）甲坐在①号座位的概率是______； （2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．（如丙和丁，丙和①均称相邻而坐）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，包括单个事件的概率和复合事件的概率．概率计算公式为：概率＝所求情况数÷总情况数． （1）甲有4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在①号座位上，据此即可求解； （2）画出树状图，求得所有可能出现的结果数，以及甲与乙恰好相邻而坐的结果数，然后利用概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 甲有4个座位可以选择，其中只有1种情况是甲坐在①号座位上， 因此，甲坐在①号座位的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，甲与乙恰好相邻而坐的结果有6种， ∴甲与乙相邻而坐的概率为． 20. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，过O点作交于点E，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）与相切， 理由：连接交于点，连接，则， 是的直径， ， ， ， 垂直平分， ， ，， ， 是的半径，且， 与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，得，根据，则，由，，推导出，即可证明与相切． （2）求得，，，推出，求得，即可求得阴影部分面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、平行线的性质、垂径定理、切线的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 21. 如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成下列画图，保留画图痕迹． （1）如图1，点O、A、B均是格点． ①作的中点M；②作，使得． （2）如图2，点A，B是格点，圆心在线段上，圆与网格线相交于点C，过点C作圆的切线与网格线交于P． ①作圆心O；②过点P作圆的另一条切线，切点为M（点M不与点C重合）． 【答案】（1）①点M即为所求； ②点N即为所求； （2）①点O即为所求； ②点M即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）①取格点C，作直线交于M，则点M即为所求；②取格点P，连接并延长交于N，则点N即为所求； （2）①取圆与格线的交点E、F，连接交于O，点O即为所求；②连接并延长交于D，延长交格线于Q，连接交于M，则点M即为所求． 【小问1详解】 解：①如图所示，取格点C，作直线交于M，则点M即为所求； 由网格的特点可得，则由垂径定理可得点M为的中点； ②如图所示，取格点P，连接并延长交于N，则点N即为所求； 可证明，则可证明， 则由垂径定理可得点B为的中点，即； 【小问2详解】 解：①如图所示，取圆与格线的交点E、F，连接交于O，点O即为所求； 由可得是直径，而点O在上，则点O即为所求； ②如图所示，连接并延长交于D，延长交格线于Q，连接交于M，则点M即为所求； 由是直径，得到， 由网格的特点可得点P为的中点，则， 则可证明，则，即是的切线． 22. 根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 　 素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米． 问题解决 任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为，位于桌面上方，离桌面，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 【答案】任务一：，点M与O的水平距离为；任务二：不能实现；任务三：． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质以及运用待定系数法求得函数解析式成为解题的关键． 任务1：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：，再运用待定系数法求得抛物线的解析式为，再令进行求解即可； 任务二：先运用待定系数法求得球弹起的抛物线轨迹为，的解析式为，然后联立得到一元二次方程，再根据根的判别式判断方程是否有根即可解答； 任务三，先求出反弹抛物线的解析式为；再求出当时的自变量的取值，即击球点的横坐标的取值范围为：；再结合图形即可解答． 【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，，解得：（舍弃负值）， 所以，点M与O的水平距离为； 任务二：不能实现，理由如下： 设球弹起的抛物线轨迹为， 将代入可得：，解得：， 所以， 由题意可得：球网上方点的坐标为， 设的解析式为，则，解得：， 所以的解析式为， 由，整理得：， 所以，即方程无解， 所以不能实现； 任务三，如图：依题意可得，，第二个抛物线的顶点坐标为， 设反弹的抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 令，解得：或； 故击球点的横坐标的取值范围为：， ∴，， ∴． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． 初步分析：（1）善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； 深度探究：（2）好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 【答案】 （1）证明：∵四边形都是矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①结论： ，理由： ∵四边形都是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ； ②或2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据矩形的性质，证明，即可得到结论； （2）①利用全等三角形的性质证明即可； ②先得到是等边三角形，当点落在的延长线上时，四边形是菱形，此时，，求出比值；当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形，根据的直角三角形的性质和勾股定理求出，然后计算比值即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②如图中， 连接， ∵，，， ∴， ∴， 是等边三角形， 当点落在的延长线上时，四边形是菱形， 此时，， ； 当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形， 此时，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点A、B的坐标为，，是抛物线对称轴上一段移动的线段，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在直线上方的抛物线上运动（不含端点B、C），连接、，当面积最大时，求出最小值； （3）如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接，点P为原抛物线对称轴上一点，若时，写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P为或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）设点D为，过点D作关于y轴的平行线，交于点E，先求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，得出的表达式，利用三角形面积公式求出的表达式，此时当时，的面积有最大值，进而求得点D的坐标，连接，作关于的平行线，使得，且，，且，再作点B关于抛物线对称轴的对称点A，连接，与抛物线对称轴交点为，此时A，，三点共线，根据已知条件得出点的坐标，进而求得的最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式，再求得两个抛物线的交点E的坐标，证明为含有的直角三角形，过点C作轴，得到，根据已知条件进行分类讨论：①过点E作，交抛物线对称轴于点，利用平行线的性质求出点 的坐标；②在直线上截取一点Q，使得，连接，再过点Q作，且，交于点F，此时与抛物线对称轴的交点为，利用菱形的性质，求出点Q，F的坐标，进而得出相关线段的长度，再利用待定系数法求出直线的解析式，随即求得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线交A，B两点，，， 将A，B两点代入后得，，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设点D为， 如图，过点D作关于y轴的平行线，交于点E， ∵点C是抛物线与y轴交点， ∴点C为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点E在直线上， ∴设， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值为， ∴点D坐标为， 连接，作关于的平行线，使得，且，，且，再作点B关于抛物线对称轴的对称点A，连接，与抛物线对称轴交点为， 此时A，，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴点坐标为， ∴， 即的最小值为． 【小问3详解】 解：∵原抛物线向右平移后，新抛物线经过原点，且向右平移1个单位， ∴新抛物线的解析式为， 又∵点E为两个抛物线交点， ∴联立两个抛物线解析式得，，解得， ∴点E为， ∵，， ∴在中，，， ∴， 过点C作轴， ∴， 要使， 分以下情况讨论： ①如图，过点E作，交抛物线对称轴于点， 原抛物线对称轴为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点为， ②如图，在直线上截取一点Q，使得，连接，再过点Q作，且，交于点F，此时与抛物线对称轴的交点为， ∴四边形为菱形， 设点Q坐标为， ∴，， ∴，解得， ∴点Q为，故，则， 设点F坐标为， ∴，即点F为， 设直线解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点为， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质及二次函数与几何的综合应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $