精品解析：广西壮族自治区崇左市宁明飞鸿学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年九年级数学上册学科素养达标测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么中心对称的坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合的是（　　） A. B. C. D. 4. 从分别写有数字，，，，0，1，2，3，4的九张卡片中，任意抽取一张，则所抽卡片上数字是正数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移1个平位，再向上平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 6. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 三角形的两边之和大于第三边 B. 玩猜拳游戏时，对方出“剪刀” C. 明年的冬至会下雪 D. 从装满红球的袋子里摸出黄球 7. 如图，在圆O中，，点C在劣弧上，，则（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为 A. B. C. D. 10. 如图，圆锥的底面半径，高，该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 11. 小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与边交于点D，已知点A的坐标是，则点D的坐标是______． 15. 已知盒子里有4个黄色球和n个红色球，每个球除颜色不同外均相同，则从中任取一个球，取出红色球的概率是，则n的值是_____． 16. 如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为___． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 某二次函数过点，且当，y有最值6．求其表达式． 18. 如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点． （1）求这条抛物线对应的函数解析式； （2）求直线AB对应的函数解析式． 19. 在中，，，将△ABO绕点O逆时针方向旋转90°得到． （1）则线段的长是___________，_____________． （2）连接求证四边形是平行四边形； （3）求四边形的面积？ 20. 如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为． （1）分别求出y与x，s与x的函数解析式； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ （3）若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 21. 某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图，已知图2中得28分的人数所对圆心角为，回答下列问题： （1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数． （2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩． （3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆：②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，用树状图求小明和小亮选择同一项目的概率． 22. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 23. 如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级数学上册学科素养达标测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将给定的一元二次方程通过配方法使方程左边成为完全平方式的形式即可． 【详解】解：∵方程, ∴配方需加于两边, 得, 即. ∴变形后结果为． 故选：C. 2. 如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么中心对称的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图，连接可得它们的交点坐标为， ∵成中心对称的两个图形中，对应点的连线必过对称中心， ∴对称中心的坐标为：， 故选B. 3. 下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转对称图形的概念进行解答即可得. 【详解】A、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不符合题意； B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不符合题意； C、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不符合题意； D、绕它的中心旋转120°才能与原图形重合，故本选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．熟知一些常见图形的旋转特性是解题的关键. 4. 从分别写有数字，，，，0，1，2，3，4的九张卡片中，任意抽取一张，则所抽卡片上数字是正数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数，用概率公式求概率．注意概率所求情况数与总情况数之比． 由写有数字、、、、0、1、2、3、4的九张一样的卡片中，正数共有4个，再直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：写有数字、、、、0、1、2、3、4的一样的卡片共有9张，其中正数有1，2，3，4，共有4张 任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字是正数的概率是：． 故选：D． 5. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移1个平位，再向上平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为， ∴将函数的图象向左平移1个平位，再向上平移3个单位得到函数的图象． 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移的性质是解题的关键． 6. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 三角形的两边之和大于第三边 B. 玩猜拳游戏时，对方出“剪刀” C. 明年的冬至会下雪 D. 从装满红球的袋子里摸出黄球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、三角形两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意； B、玩猜拳游戏时，对方出“剪刀”，是随机事件，不符合题意； C、明年的冬至会下雪，是随机事件，不符合题意； D、从装满红球的袋子里摸出黄球，是不可能事件，不符合题意； 故选：A 7. 如图，在圆O中，，点C在劣弧上，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形和三角形内角和定理，在优弧上任取一点，连接，根据圆周角定理得，再根据圆内接四边形性质可得，最后由三角形内角和即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在优弧上任取一点，连接， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点P关于原点对称的点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴P点关于原点对称的点为， 故选：C． 9. 如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，得到，则，再证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，进而求出，由此求出阴影部分面积，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设正方形的的边长为a， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为． ∴小鸟在花圃上的概率为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了几何概率，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，求出阴影部分的面积是解题的关键． 10. 如图，圆锥的底面半径，高，该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积计算它的侧面积即可． 【详解】解：圆锥的母线的长， 这个圆锥的侧面积， 故选：C． 11. 小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确求出一元二次方程的解． 令，再解关于x的方程，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去） 故选B 12. 如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分别与相切与点，结合圆的切线的性质，切线长定理得到，，，，再由 ，可证，进而可得，再由三线合一可得，再由同角的余角相等可得，进而可证，再由相似三角形对应边成比例求得，最后通过勾股定理即可求解； 【详解】解：连接， 分别与相切与点， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，掌握切线长相等，等腰三角形的三线合一，利用相似三角形对应边成比例求边长是解题的关键． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__． 【答案】-1 【解析】 【详解】∵方程(m−1)x|m|+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程， ∴|m|=1，m−1≠0， 解得：m=−1. 故答案为−1. 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与边交于点D，已知点A的坐标是，则点D的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，过I作，过I作，延长交y轴于G，得到，F的纵坐标为，根据勾股定理求得，得到，那么根据垂径定理，，即可求出点D的坐标． 【详解】解：如图所示：连接，过I作，过I作，延长交y轴于G ∵四边形是矩形，，延长交y轴于G ∴四边形是矩形， ∵， ∴，F的纵坐标为 ∵与x轴、y轴都相切 所以半径为，即 在中，，F的横坐标为 则 因为 根据垂径定理，，则 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形性质、圆的切线性质、勾股定理以及垂径定理等内容，正确掌握垂径定理是解题的关键． 15. 已知盒子里有4个黄色球和n个红色球，每个球除颜色不同外均相同，则从中任取一个球，取出红色球的概率是，则n的值是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】用红球的个数除以总球的个数得出红球的概率，从而求出n的值． 【详解】解：由题意得： ＝ 解得：n＝16； 故答案为：16． 【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式的运用. 16. 如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦之间的关系、同圆（或等圆）中同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为和圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键；先根据弧、弦之间的关系得出，再根据圆周角定理得出，直径所对的圆周角为，求出，最后根据圆内接四边形的性质得出，求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵四边形内接于， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 某二次函数过点，且当，y有最值6．求其表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式表达式，解题的关键是利用顶点式设出函数解析式，再代入已知点求解参数． 已知二次函数在时取得最值6，因此可设顶点式，再将点代入解析式，求解出的值，即可得到函数表达式． 【详解】解：设二次函数的解析式为． ∵函数图象过点， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 18. 如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点． （1）求这条抛物线对应的函数解析式； （2）求直线AB对应的函数解析式． 【答案】（1）y=x2+2x+1；（2）y=2x+2． 【解析】 【分析】（1）抛物线与x轴仅有1个交点可知=0时，即可得到4a2﹣4a=0，解方程即可求得a，即可得到抛物线解析式； （2）先求得A的坐标，已知点C是线段AB的中点，可判定点A与点B的横坐标互为相反数，再确定B点坐标，最后利用待定系数法求直线AB的解析式． 【详解】（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A， ∴=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1， ∴抛物线解析式为y=x2+2x+1； （2）∵y=（x+1）2， ∴顶点A的坐标为（-1，0）， ∵点C是线段AB的中点， 即点A与点B关于C点对称， ∴B点的横坐标为1， 当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4）， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 把A（-1，0），B（1，4）代入得， 解得， ∴直线AB的解析式为y=2x+2． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 19. 在中，，，将△ABO绕点O逆时针方向旋转90°得到． （1）则线段的长是___________，_____________． （2）连接求证四边形是平行四边形； （3）求四边形的面积？ 【答案】（1）6，； （2）证明：将绕点O沿逆时针方向旋转得到，，， ，， ∴，， 四边形是平行四边形． （3）36． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，由此可得答案； （2）根据题意可得，，再根据平行四边形的判定即可得证； （3）利用平行四边形的面积公式求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将绕点O沿逆时针方向旋转得到， ，，， ∴， 故答案为：6，； （2）略 （3）四边形OAA1B1的面积=OA•A1O=6×6=36． ∴四边形OAA1B1的面积是36． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键，注意：旋转前后的两个图形全等． 20. 如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为． （1）分别求出y与x，s与x的函数解析式； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ （3）若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）当时，矩形场地的总面积最大，最大为； （3） 解：由题意得，， 将代入得：， 解得：， ， 不符合要求，舍去， 矩形场地的最大总面积不能达到． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题． （1）设饲养室长为，则宽为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围； （2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论； （3）由题意列出函数关系式，再将代入求解，最后再验证即可． 【小问1详解】 根据题意得，，； 【小问2详解】 ， 当时，矩形场地的总面积最大，最大为； 【小问3详解】 略 21. 某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图，已知图2中得28分的人数所对圆心角为，回答下列问题： （1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数． （2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩． （3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆：②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，用树状图求小明和小亮选择同一项目的概率． 【答案】（1）得分分的人数为8人；中位数为分；众数为分 （2）补测成绩为分或分 （3）小明和小亮选择同一项目的概率为 【解析】 【分析】（1）由题意知，调查总人数为（人），则得分分的人数为（人），根据中位数为第位数的平均数求解即可，根据众数是出现次数最多的数进行求解即可； （2）根据中位数的意义求解作答即可； （3）由题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，调查总人数为（人）， ∴得分分的人数为（人）， ∵，， ∴中位数为第位数的平均数，即（分）， 众数为分； ∴得分分的人数为8人；中位数为分；众数为分； 【小问2详解】 解：∵原来的中位数为分；补测后与之前成绩汇总中位数变大了， ∴该名同学的补测成绩为分或分； 【小问3详解】 解：由题意画树状图如下； 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择同一项目共有3种等可能的结果， ∵， ∴小明和小亮选择同一项目的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，列举法求概率．熟练掌握条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，列举法求概率是解题的关键． 22. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【答案】（1）该圆的半径为5米 （2）水面上涨的高度为1米 【解析】 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度． 【小问1详解】 解：过O作于点C，交于点D，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； 【小问2详解】 设水面升到如图，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面上涨的高度为（米）． 23. 如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由切线的性质推出；由，求出的长． （1）连接，由切线的性质得到半径，又，因此，推出，由等腰三角形的性质得到，故，即可证明； （2）连接，证明，设，利用相似三角形的性质，即可求得，即可求得． 【小问1详解】 证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 是圆的直径， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 设， ， 根据勾股定理可得， 可得， 解得或（舍去）， 或（舍去）， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $