精品解析：江西省于都县教育局2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学第一学期期末检测卷（三） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 已知的半径为4，点到圆心的距离为3.5，则点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 2. 云纹是我国的传统纹样，象征着吉祥如意．其以流动飘逸的曲线和回转交错的结构体现了流动之美．以下云纹图案都是由朵云通过不同的变换形式构造出的，请你选出其中的中心对称图形（ ） A. B. C. D. 3. 某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表一：根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 100 200 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.85 0.9 0.9 0.93 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A. 0.92 B. 0.905 C. 0.903 D. 0.9 4. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 如图，在中．①连接；②作弦的垂直平分线，分别交，弦于，两点；③作线段，的垂直平分线，，分别交于，两点，交弦于，两点；④连接． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线相交于，，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. “清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件______（填“必然”或“随机”）事件． 8. 若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______． 9. 把方程化成一般式得，则的值为______． 10. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 11. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为___________． 12. 在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为____________________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. （1）解方程； （2）已知点关于原点对称的点在第四象限，求的取值范围． 14. 山西珍藏着中华民族最古老珍贵的记忆，传承着五千年生生不息的文明，李老师为了让学生深入地了解山西文化，将“黄河文化”“根祖文化”“边塞文化”“红色文化”的图片分别印在形状大小都一样的4张卡片上，并将卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）请问随机抽取1张卡片，上面印有“根祖文化”的概率为______； （2）若小丽第一个上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小明第二个上讲台，再从余下的3张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小丽、小明两人中恰好有一人选中“黄河文化”的概率． 15. 已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为，则的值为______； （2）若方程有相等的实数根，求的值． 16. 如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．求证：EF＝BC． 17. 在图（1），图（2）中，四边形为矩形，某圆经过两点，请你仅用无刻度直尺画出符合要求的图形． （1）在图（1）中画出该圆的圆心； （2）在图（2）中画出线段的垂直平分线． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分） 18. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 19. 老舍先生作品《骆驼祥子》的主人翁是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人折服，如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由． （2）若车架端点到车轮与地面的接触点之间的距离米，的长为3米，求车轮的半径． 20. 某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． （1）求空调的下降率； （2）若要求风扇的营业额为854000元，则风扇应按照多少元销售． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 【问题情境】我们定义：如图a，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）在图2和图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为______； ②如图3，当，时，则长为______． 【猜想论证】 （2）如图1，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 22. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 六、解答题（本大题计12分） 23. 【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习： 例1矩形的对角线，相交于点，求证：，，，四个点在以点为圆心的同一个圆上. 证明：四边形为矩形， ，，， ， ，，，四个点在以点为圆心，为半径的同一个圆上. 通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“中，，求证：，，三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程. 【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在中，，，是外一点，且，求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，由可知点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________°. 【深入理解】（3）如图4，在四边形中，.求证：. 【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一学期期末检测卷（三） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 已知的半径为4，点到圆心的距离为3.5，则点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据的半径r和点P到圆心的距离的大小关系判断即可． 【详解】解：的半径为4，点到圆心的距离为3.5， ， 点在圆内． 故选C． 2. 云纹是我国的传统纹样，象征着吉祥如意．其以流动飘逸的曲线和回转交错的结构体现了流动之美．以下云纹图案都是由朵云通过不同的变换形式构造出的，请你选出其中的中心对称图形（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、是中心对称图形，符合题意，选项正确； D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：C． 3. 某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表一：根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 100 200 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与的比值 0.85 0.9 0.9 0.93 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A. 0.92 B. 0.905 C. 0.903 D. 0.9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用频数估计概率，熟练掌握利用频数估计概率是解题的关键．根据频数估计概率可直接进行求解． 【详解】解：由表格可知：经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数n的比值稳定在0.92附近，所以该区初中生体质健康合格的概率为0.92． 故选：A． 4. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 5. 如图，在中．①连接；②作弦的垂直平分线，分别交，弦于，两点；③作线段，的垂直平分线，，分别交于，两点，交弦于，两点；④连接． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，涉及矩形的判定与性质，垂径定理及其推论等知识，解题的关键是读懂图象信息． 由作图可知，，而，继而可得，再结合垂径定理分析可得，最后通过证明四边形是矩形可得到． 【详解】解：由作图可知，， ∵ ∴， ∵垂直平分弦， ∴，且直线过圆心， ∴此弓形是轴对称图形， ∵，分别垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ，且， ∴四边形是矩形， ， 故选项A，C，D正确，不符合题意； B错误，符合题意， 故选：B． 6. 将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线相交于，，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移以及二次函数的性质，先求出平移前后的对称轴，然后根据平移的性质列方程求解即可． 【详解】解：的对称轴是直线． ∵新抛物线与直线相交于，， ∴新抛物线对称轴是直线， ∵抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线， ∴， ∴． 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. “清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件______（填“必然”或“随机”）事件． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义．必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 8. 若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数 (a，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 把方程化成一般式得，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．先去括号，再移项，再合并同类项，即可答案． 【详解】解：， ， ， ， ∵把方程化成一般式得， ∴ ∴． 故答案为：3． 10. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故答案为：． 11. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可． 【详解】解：依题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为____________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，分3种情况进行讨论：①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点C的对应点的坐标． 【详解】解：因为正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，则：， ∴， ∴， 画图如下： 当正方形绕点A顺时针旋转， ①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，如图，作轴， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的对应点的坐标为； ②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，如图， ， 点C的对应点的坐标为； ③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，如图， 同①可知： ， ，，， ∴点横坐标为， 点C的对应点的坐标为； 综上所述：点C的对应点的坐标为或或 故答案为：或或 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. （1）解方程； （2）已知点关于原点对称的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，中心对称的特征，求不等式组的解集． （1）用因式分解法求解即可； （2）判断在第二象限，然后根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】解：（1）， ， ∴或， ，； （2）据题意，可得在第二象限， ， 解得． 14. 山西珍藏着中华民族最古老珍贵的记忆，传承着五千年生生不息的文明，李老师为了让学生深入地了解山西文化，将“黄河文化”“根祖文化”“边塞文化”“红色文化”的图片分别印在形状大小都一样的4张卡片上，并将卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）请问随机抽取1张卡片，上面印有“根祖文化”的概率为______； （2）若小丽第一个上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小明第二个上讲台，再从余下的3张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小丽、小明两人中恰好有一人选中“黄河文化”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：随机抽取1张卡片，上面印有“根祖文化”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将“黄河文化”“根祖文化”“边塞文化”“红色文化”分别记作，列表如下： A B C D A B C D 由表格知，共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小丽、小明两人中恰好有一人选中“黄河文化”的结果有6种， 所以P（小丽、小明两人中恰好有一人选中“黄河文化”）． 15. 已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为，则的值为______； （2）若方程有相等的实数根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解答本题的关键． （1）将代入一元二次方程，即可求出的值； （2）根据“方程有相等的实数根”可得，再结合二次项系数，即可求出的值． 【小问1详解】 解：方程的一个根为， ， 解得：； 【小问2详解】 解：根据题意，可得且， 解得：． 16. 如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．求证：EF＝BC． 【答案】 证明：∵∠CAF＝∠BAE， ∴∠BAC＝∠EAF， ∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置， ∴AC＝AF， 在△ABC与△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴EF＝BC； 【解析】 【分析】由旋转前后图形全等的性质可得AC＝AF，由“SAS”可证△ABC≌△AEF，可得EF＝BC． 【详解】略 【点睛】本题主要考查的是旋转前后图形全等的性质以及全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键. 17. 在图（1），图（2）中，四边形为矩形，某圆经过两点，请你仅用无刻度直尺画出符合要求的图形． （1）在图（1）中画出该圆的圆心； （2）在图（2）中画出线段的垂直平分线． 【答案】（1）如图（3），O为该圆的圆心： （2）如图（4），OE即为线段的垂直平分线： 【解析】 【分析】（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径，延长AD交圆于点E，延长BC交圆于点F，分别连接AF、BE，AF与BE相交于点O，即可得解； （2）根据90°的圆周角所对的弦是直径，作出圆心，再利用矩形是轴对称图形，即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAE＝∠ABF＝90° ∴ AF与BE都是直径 ∴ AF与BE的交点O即为圆心． 【小问2详解】 解：如图（4），延长AD交圆于点M，延长BC交圆于点N，分别连接AN、BM，AN与BM相交于点O，则点O为圆心，连接AC，连接BD，AC与BD相交于点E，过点O、E作直线OE，则OE即为线段的垂直平分线． 理由是：由（1）知点O为圆心， ∴OA＝OB ∴点O在线段AB的垂直平分线上 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AE＝BE ∴点E在线段AB的垂直平分线上 ∴直线OE垂直平分AB ∴直线OE是矩形ABCD的对称轴 ∴直线OE是线段CD的垂直平分线． 【点睛】本题考查了圆周角定理、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分） 18. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （2）列表，描点，连线即可； （3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：列表： X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 【小问3详解】 解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 19. 老舍先生作品《骆驼祥子》的主人翁是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人折服，如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由． （2）若车架端点到车轮与地面的接触点之间的距离米，的长为3米，求车轮的半径． 【答案】（1）小明的猜想正确， 理由如下： 连接， 与相切， ，即， 为的直径， ， ， ， ， ； （2）车轮的半径为米 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及勾股定理等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）连接，由切线的性质可证，由直径所对的圆周角是直角可证，再证明，进而可证； （2）设车轮的半径为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设车轮的半径为，则， ， 解得． 答：车轮的半径为米． 20. 某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． （1）求空调的下降率； （2）若要求风扇的营业额为854000元，则风扇应按照多少元销售． 【答案】（1）空调的下降率为 （2）风扇应按照元销售 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用， （1）根据题意，设降价率为，运用一元二次方程与增长率的关系列式计算即可求解； （2）设下降了个元，则现在的售价为元，现在的销售量为台，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元， ∴设降价率为， ∴，则， ∴， 解得，或， ∵是降价， ∴，即空调的下降率为． 【小问2详解】 解：设下降了个元，则现在的售价为元，现在的销售量为台， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴下降了个元，即下降了元，则（元）， ∴风扇应按照元销售． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 【问题情境】我们定义：如图a，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）在图2和图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为______； ②如图3，当，时，则长为______． 【猜想论证】 （2）如图1，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②8； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据含30度的直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：8； （2）略 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 22. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】（1）喷出水的最大射程为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 六、解答题（本大题计12分） 23. 【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习： 例1矩形的对角线，相交于点，求证：，，，四个点在以点为圆心的同一个圆上. 证明：四边形为矩形， ，，， ， ，，，四个点在以点为圆心，为半径的同一个圆上. 通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“中，，求证：，，三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程. 【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在中，，，是外一点，且，求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，由可知点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________°. 【深入理解】（3）如图4，在四边形中，.求证：. 【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， ， 在中，， ，，三点在以点为圆心，为半径的同一个圆上； （2） （3）证明：， 点，，在以为圆心，为半径的圆上， 可以构造出过，，三点的，然后用图2或图3所示的方法解决. 方法1：如图， ， . 又在中，， 在中， ， . 方法2：延长交于点，连接 则为的直径， 在中，， 又在中，， . （4） 【解析】 【分析】本题考查了圆得相关知识点以及构造辅助圆在解决几何问题中的作用，涉及了圆周角定理、斜中半定理、菱形的性质等知识点，掌握相关结论并加以运用是解题关键． （1）取的中点，连接，根据斜中半定理即可求解； （2）根据圆周角定理可得； （3）由题意可得点，，在以为圆心，为半径的圆上，结合圆周角定理即可求证； （4）根据条件可得点在以为圆心，为直径的圆上，当点为与的交点时，长度取最小值，据此即可求解． 【详解】（1）略 （2）根据圆周角定理可得： 故答案为：； （3）略 （4）解：由折叠性质知， 又是的中点， ， 点在以为圆心，为直径的圆上， 当点为与的交点时，长度取最小值， 过点作的延长线于点， 菱形中，， ， ， 在中，， 在中，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $