精品解析：山东省临沂市蒙阴县实验中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

蒙阴县实验中学2025-2026学年度高一上学期月考 数学试题 （考试时间：150分钟 分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：人教A版必修第一册前四章. 第一部分（选择题共58分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【详解】命题“”为存在量词命题，而存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为：“”. 故选：D. 3. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别计算各选项区间端点处函数值，再根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】将代入函数， .  把代入函数，则.  由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点. 故A正确. 将代入函数，得到.  因为，，则，所以函数在区间不一定有零点.  把代入函数，可得.  由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点.  将代入函数，得到.  因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点.  再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大. 综上所得，函数的零点所在的大致区间是， 故选：A 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，考虑由能否推出，由能否推出，由此判断结论． 【详解】因为 ，所以 ，即 ， 充分性：若 ，因为 ，所以必有 ，即 ，故充分性成立， 必要性：若 ，即 ，因为 ，所以必有 ，故必要性成立， 综上，“”是“”的充要条件。 故选：A． 5. 二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据，确定二次函数的图象开口方向，再由二次方程的两根为2，，写出不等式的解集. 【详解】因为二次方程的两根为2，， 又二次函数的图象开口向上， 所以不等式的解集为或 ， 故选：B 6. 设，，，则的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间值和，比较大小即可求解. 【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即. 故选：B. 7. 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合二次函数、反比例函数的单调性列式求出范围. 【详解】由函数是上的单调函数， 得函数在上单调递减，则在上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C 8. 已知为偶函数，当 时， ，若关于 的方程 恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程得到或，方程有两根，问题转化为方程有两个不同于方程的两根，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为. 所以或. 当时，，此时方程无解； 当时，. 因为为偶函数，所以有两解，分别为和. 又方程恰有4 个不同的实根， 所以也有两个不同于和的两根. 作出函数的草图如下： 要使有两个不同于和的两根，则或且. 故选：D 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 是定义域上的减函数 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，根据抽象函数定义域的求解方法得到答案；对于B选项，两函数定义域不同，B错误；对于C选项，先得到，求出，得到值域；对于D选项，由函数单调性定义得到D错误. 【详解】对于A选项，由题意得，则，故函数的定义域为，A正确； 对于B选项，的定义域为，的定义域为，两函数不是同一函数，B错误； 对于C选项，由于，故，所以，则的值域为，C正确； 对于D选项，的定义域为，又在上单调递减， 又，，，，故在定义域上不单调递减，D错误. 故选：AC 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. ab的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可判断A项B项正误；对平方后再应用基本不等式即可判断C项正误；应用“1”的代换，将展开再应用基本不等式即可求解． 【详解】对于A，B,因为，，且， 所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为， 所以即的最大值是，故A错误，B正确； 对于C，因为，，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是，故C正确； 对于D，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值是，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（ ） A. B. 若，则或 C. 若，则 D. ，当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数单调性可直接判断A选项；由函数的奇偶性及在上单调性得到函数在上单调性，根据单调性得到不等式，解得的取值范围，判断B选项；由函数的单调性及零点，得到函数在各区间的函数值的正负情况，然后得到不等式的解集，判断C选项；由函数在上的单调性由单调性的定义得到不等式，判断D选项. 【详解】对于A，在区间上单调递减，，所以，故A正确； 对于B，∵函数是偶函数且在区间上单调递减，∴函数在上单调递增， 若，则或，解得或，故B正确； 对于C，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以若，则，故C错误； 对于D，在区间上单调递增，根据单调性定义，则，当时，，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，函数的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意知时，利用已知的解析式求出，再由奇函数，得出时的解析式. 【详解】解：设，则，又因为函数是奇函数， 所以 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式，即把自变量的范围转化到已知的范围内求对应的解析式，属于基础题型. 13. 函数的单调递减区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，再由复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或. 令，则为增函数， 所以当时函数单调递减. 所以答案为：. 【点睛】本题主要考查了对数函数和二次函数的复合函数的单调性的求解，遵循“同增异减”的原则，在定义域上求解即可. 14. 通过学习我们知道：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，也就是满足.已知函数在定义域内满足，那么函数的对称中心的坐标为___________；如果对于变量满足，且，那么代数式的最小值为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据对称中心的定义式即可确定函数的对称中心坐标；由的值，结合基本不等式即可确定所求式子的最小值. 【详解】解：已知函数在定义域内满足，则 所以函数关于点对称，即函数的对称中心的坐标为； 则，所以，，所以 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9. 故答案为：；9. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可; （2）进行对数的运算即可. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 16. 已知集合，. （1）分别求，； （2）已知，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合交并集的定义进行求解即可； （2）根据子集的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ，，解得，则， ，，解得，则， ，； 【小问2详解】 ，， . 17. 已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用函数有意义列出不等式组求出定义域. （2）由求得，确定函数的单调性，进而求解不等式. 【小问1详解】 由函数，得，解得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 由，得，即，解得， 函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 18. 已知点 在函数 (k为实数)的图象上. （1）求函数f(x)的解析式并用定义法证明f(x)在区间 (0，1)上的单调性； （2）判断函数f(x)的奇偶性，并求函数f(x)在区间 上的值域. 【答案】（1） 由题设，，可得，故， 令，则， 又，，，， 所以，故， 则在区间(0,1)上单调递减. （2）奇函数， 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入求参数k，令应用作差法判断的大小判断单调性； （2）利用奇偶性定义判断的奇偶性，再结合奇函数、单调性求区间值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设，定义域为，关于原点对称， ，故为奇函数， 由（1）知：在(0,1)上的单调递减，又为奇函数， 所以在上递减，即上递减，且，， 故在区间上的值域为. 19. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿． （1）当时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】（1）不获利，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出获利函数即可求解；（2）由题意可得平均处理成本函数，结合二次函数的性质和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当,时，设该项目获利为，则 当，时， 当时，取最大值；当时，取最小值 国家每月补偿数额的范围是,； 【小问2详解】 由题意可知，二氧化碳的每吨的平均处理成本为 ①当，时，，时，取得最小值240； ②当，时， 当且仅当，即时，取得最小值200， 每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蒙阴县实验中学2025-2026学年度高一上学期月考 数学试题 （考试时间：150分钟 分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：人教A版必修第一册前四章. 第一部分（选择题共58分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 设，，，则的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为偶函数，当 时， ，若关于 的方程 恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 是定义域上的减函数 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. ab的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（ ） A. B. 若，则或 C. 若，则 D. ，当时， 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，函数的解析式是______． 13. 函数的单调递减区间是________. 14. 通过学习我们知道：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，也就是满足.已知函数在定义域内满足，那么函数的对称中心的坐标为___________；如果对于变量满足，且，那么代数式的最小值为___________. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）. 16. 已知集合，. （1）分别求，； （2）已知，若，求实数的取值范围. 17. 已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求不等式的解集． 18. 已知点 在函数 (k为实数)的图象上. （1）求函数f(x)的解析式并用定义法证明f(x)在区间 (0，1)上的单调性； （2）判断函数f(x)的奇偶性，并求函数f(x)在区间 上的值域. 19. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿． （1）当时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $