精品解析：安徽省合肥市庐江县柯坦中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

柯坦中学九年级上学期月考 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若的半径为3，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 3. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，是上位于异侧的两点．若是的中点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 从分别标有数字1， 2， 3， 4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再抽取1张，两次抽取的数字之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价（ ） A. 5元 B. 15元 C. 5元或10元 D. 5元或15元 9. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是______． 12. 已知点，均在抛物线上，则的大小关系是___________．（用“<”连接） 13. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧且线段，分别与相切，，为切点，若，，则的长为______． 14. 如图，点是等边三角形内的一点，且，若将绕点逆时针旋转后得到． （1）求的度数为___________ （2）的面积=___________ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知关于的方程的两个根分别为． （1）是这个方程的解吗？请说明理由； （2）与是正数还是负数？请说明理由． 16. 如图，已知的顶点均在网格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后的图形； （2）作出关于原点O对称的图形，点的坐标为 ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式． （2）求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 18. 如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． （1）求证：； （2）若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． （1）求证：； （2）求的度数． 20. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 根据以上信息解答问题： （1）本次调查的学生总人数有 人； （2）已知全校共1200名学生，请估计全校C档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到2名学生都来自九年级的概率． 六、（本题满分12分） 21. 如图，一个三角点阵从上向下数有无限多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第行有个点，容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和． 根据上述规律，请你回答下列问题： （1）三角点阵中前行的点数的和能是200吗？如果能，求出的值；如果不能，试说明理由； （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为，你能探究出前行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前行的点数的和能是240吗？如果能，求出的值；如果不能，试说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且 （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为． （1）求a的值； （2）若当时，抛物线与x轴有且只有一个交点，直接写出c的取值范围； （3）将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，在抛物线上，若对任意的，，都有，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柯坦中学九年级上学期月考 数学试题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义对选项进行逐一分析即可得解． 【详解】解：选项A，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项A错误； 选项B，符合中心对称图形定义，是中心对称图形，符合题意，选项B正确； 选项C，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项C错误； 选项D，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项D错误． 故选：B． 2. 若的半径为3，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当时，点在圆外，当时，点在圆上；当时，点在圆内，根据点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与半径的大小即可判断，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离， ， 点在外， 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 4. 如图，是的直径，是上位于异侧的两点．若是的中点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，然后根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴； 故选：C． 5. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．先根据勾股定理得出，再根据旋转的性质得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 则， 故选：B． 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：， 解得：且； 故选：B． 7. 从分别标有数字1， 2， 3， 4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再抽取1张，两次抽取的数字之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，根据列表法求概率，即可求解． 【详解】解：列表如下 共有种等可能结果，其中两次抽取的数字之和为偶数的有种， 所以两次抽取的数字之和为偶数的概率是． 故选：A． 8. 某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价（ ） A. 5元 B. 15元 C. 5元或10元 D. 5元或15元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设涨价元，根据单个利润销售量每天盈利，列出一元二次方程，求解即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设涨价元， 由题意可得：， 解得或， ∴现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价5元或10元， 故选：C． 9. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，c的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：∵一次函数与y轴交点坐标为，二次函数与y轴交点坐标为， ∴选项A、C的直线和抛物线与y轴交点坐标是同一点，不合题意， 选项B、D直线和抛物线与y轴交点坐标都是关于x轴对称， 但选项B观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 选项D观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； 故选：D 10. 如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，矩形的性质，勾股定理. 连接，，，，证明四边形，是正方形，结合切线的性质和矩形的性质，得到 ，结合勾股定理求出，即可得到的长. 【详解】解：连接，，，，如图所示， 在矩形中， ∵，， ∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴四边形，是正方形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴. 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和、边数、中心角，先根据正多边形的内角和求出边数，再求其中心角的度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴正六边形的中心角是， 故答案为：36． 12. 已知点，均在抛物线上，则的大小关系是___________．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，函数值大小的比较，掌握二次函数增减性是关键． 根据二次函数的图象开口向上，对称轴为，顶点处函数值最小，代入计算即可判断大小关系． 【详解】解：由抛物线解析式，计算各点函数值： 当时， 当时，； 当时，； 比较得，即， 故答案为：． 13. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧且线段，分别与相切，，为切点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质及弧长公式，勾股定理，设圆弧所在圆的圆心为，连接，，由，分别与相切，则，可求，，再通过勾股定理得，最后由弧长公式即可得到结论，掌握知识点的应用，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为，连接，， ∵，分别与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长， ∴的长为， 故答案为：． 14. 如图，点是等边三角形内的一点，且，若将绕点逆时针旋转后得到． （1）求的度数为___________ （2）的面积=___________ 【答案】 ①. ##150度 ②. ## 【解析】 【分析】（1）连接，得出为等边三角形，进而可求出点P与之间的距离；根据，，，判定为直角三角形，即可求解； （2）过点作交延长线于点，过点B作于点，则，根据角直角三角形的性质以及勾股定理求出，那么，由勾股定理求出，求由勾股定理得到，最后由面积公式求解． 【详解】解：（1）连接，如图， ∵绕点A逆时针旋转后，得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴； （2）过点作交延长线于点，过点B作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，含角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知关于的方程的两个根分别为． （1）是这个方程的解吗？请说明理由； （2）与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】（1） 解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ∵，， ∴， 显然不成立， ∴不是这个方程的解； （2） 解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ 与是负数． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的含义，根与系数的关系以及绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是理解方程根的含义以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程解的含义，将代入方程，验证是否成立即可； （2）根据根与系数的关系，得到，，判断它们的符号从而确定与的符号． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，已知的顶点均在网格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后的图形； （2）作出关于原点O对称的图形，点的坐标为 ． 【答案】（1） 作图如图，为所作的图形． （2）作图如图，为所作的图形． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和关于原点对称，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式找到的位置，并顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出并顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式． （2）求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 【答案】（1） （2）、 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，理解并掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式； （2）当时，即，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 18. 如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． （1）求证：； （2）若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】（1） 证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）大圆的半径为 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】 （1）证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由（1）可得，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴根据三角形内角和可得， ∴， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 根据以上信息解答问题： （1）本次调查的学生总人数有 人； （2）已知全校共1200名学生，请估计全校C档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到2名学生都来自九年级的概率． 【答案】（1）40 （2）360人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）用A档人数除以所占百分比即可得到总人数； （2）先求出C档所占百分比，再乘以1200即可得到结论； （3）分别用甲，乙，丙，丁表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次调查人数是40人， 故答案为：； 【小问2详解】 解：C档人数是：（人）， （人）， 答：全校C档的人数为360人； 【小问3详解】 解：用甲表示七年级学生，用乙表示八年级学生，用丙和丁分别表示九年级学生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到2名学生都来自九年级的2种， 所以抽到2名学生都来自九年级的概率为：． 六、（本题满分12分） 21. 如图，一个三角点阵从上向下数有无限多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第行有个点，容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和． 根据上述规律，请你回答下列问题： （1）三角点阵中前行的点数的和能是200吗？如果能，求出的值；如果不能，试说明理由； （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为，你能探究出前行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前行的点数的和能是240吗？如果能，求出的值；如果不能，试说明理由． 【答案】（1）前行的点数的和不能是200，理由见解析 （2），这个三角点阵中前15行的点数的和是240，为15 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律，一元二次方程的运用，结合图形，找出数量关系是关键． （1）根据题意得到前行的点数和为，结合题意列式求解即可； （2）根据题意，当每行的点数变为时，此时前行的点数和为，结合题意列式求解即可． 【小问1详解】 解：前4行的点数和为10，前5行的点数和为，前6行的点数和为，前7行的点数和为， 找出规律， 则前行的点数和为， 假设三角点阵中前行的点数的和能是200，则， 即，解得， 由于为无理数，不可能为整数，故前行的点数的和不能是200； 【小问2详解】 解：由（1）知，每行的点数与行数一致时，前行的点数和为， 当每行的点数变为时，此时前行的点数和为， 假设三角点阵中前行的点数的和能是240，则， 即， 解得， 由于为正整数，故为15，即这个三角点阵中前15行的点数的和是240． 七、（本题满分12分） 22. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且 （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 解：与相切，理由如下： 四边形内接于， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 为的切线，即与相切； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、垂直平分线的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得为直径，再证，即可得解； （2）先证垂直平分，再利用等面积求出长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，记、交于点， ， ， ， 为直径， 垂直平分， ， ， ， 根据等面积可得， ． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为． （1）求a的值； （2）若当时，抛物线与x轴有且只有一个交点，直接写出c的取值范围； （3）将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，在抛物线上，若对任意的，，都有，求m的取值范围． 【答案】（1）1 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质、二次函数的平移等知识点，熟练掌握二次函数的平移规律、对称性和增减性是解题的关键． （1）根据抛物线对称轴公式列方程求a即可； （2）先将抛物线化为顶点式，结合端点函数值和顶点位置确定c的范围即可； （3）通过平移得到新抛物线，利用不等式恒成立条件求m的范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴抛物线的顶点为． 当时， ①当顶点在x轴上时，，即； ②当端点函数值异号时，当时，；当时，， 需且，即 ； 当时，交点为，在取值范围内． 综上，或． 【小问3详解】 解：向右平移 m 个单位得， 点在上， ， ∴， 点在上， ， 由，得 ， 设， 则，即或， ∴或， ∴或 对任意的，即或， 又∵， ∴或． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $