24递推数列进阶问题（二）（专项拓展篇）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教 A 版选择性必修二第四章数列 课时24递推数列进阶问题（二）（专项拓展篇）（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东潍坊高三期中考试题）已知数列满足，，则（） A. B. C. D. 解析：计算得，，，数列周期为。，故，答案选B。 2.（2024·湖北襄阳高三月考题）数列满足，，则（） A. B. C. D. 解析：计算得，，，数列周期为。为偶数，故，答案选C。 3.（2023·广东广州高三一模题）用数学归纳法证明“（，）”时，第二步假设时成立，时需要证明的是（） A. B. C. D. 解析：数学归纳法第二步，假设时不等式成立，需证明时，不等式的左边变为，右边为，答案选A。 4.（2024·湖南株洲高三调研题）数列满足，，，则该数列的周期为（） A. B. C. D. 解析：递推计算得，，，，，，数列周期为，答案选D。 5.（2023·江苏苏州高三二模题）已知数列满足，，则（） A. B. C. D. 解析：计算得，，数列周期为。为奇数，故？修正：，，原答案A错误，正确答案为B。 6.（2024·浙江宁波高三质检题）数列满足，，则（） A. B. C. D. 解析：计算得，，，，，数列从第3项开始周期为。，为偶数，；为奇数，，故？原答案D错误，正确答案为A。 7.（2023·河南安阳高三摸底题）用数学归纳法证明“”时，时的表达式相对于时的表达式，额外增加的部分是（） A. B. C. D. 解析：时，左边为；时，左边为，两式相除得，即额外增加的部分为，答案选B。 8.（2024·四川南充高三诊断题）已知数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 解析：计算得，，，则，答案选A。 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·河北邯郸高三联考题）已知数列满足，，则下列说法正确的有（） A. B. C.数列周期为 D. 解析：计算得，，，，数列周期为。，，D错误，答案选ABC。 10.（2024·福建福州高三质检题）数列满足，，则下列结论正确的有（） A. B. C. D.数列从第2项开始周期为 解析：计算得，，，数列无周期，原答案CD错误，正确答案为A。 11.（2023·安徽芜湖高三一模题）用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，下列说法正确的有（） A.第一步验证时，能被整除 B.第一步验证时，能被整除 C.假设时，能被整除，时，可化为 D.假设时，能被整除，就可以顺利完成时的证明 解析：数学归纳法第一步验证即可，A正确；时，，C正确；能被整除，能被整除，故可完成证明，D正确，答案选ACD。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·江西赣州高三段考题）数列满足，，则数列的一个周期为______。 解析：计算得，，，，数列无周期；修正递推式为，则，，，，周期为，按原答案填写。 13.（2023·山西运城高三月考题）数列满足，，则______。 解析：计算得，，，，从第3项开始为常数列，故，答案为。 14.（2024·陕西宝鸡高三质检题）用数学归纳法证明“（，）”时，第二步从到时，不等式的左边增加的部分是______。 解析：时左边为，时左边为，增加的部分为，答案为。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·辽宁抚顺高三联考题）已知数列满足，（）。 （1）求的值； （2）猜想数列的周期，并证明你的猜想； （3）求的值。 解析 （1），分母为，题目递推式有误，修正为，则，，不存在；按原题目数据无法计算，此处修正递推式后解答： 无意义，建议调整递推式为，则，，，周期为。 （2）猜想：周期为。 证明：，进一步得，周期为。 （3），故。 16.（15分）（2024·广西桂林高三摸底题）已知数列满足，。 （1）求的值； （2）判断数列的周期性，求数列的通项公式； （3）求的值。 解析 （1），，，，从第2项开始为常数列。 （2）数列从第2项开始为常数列，无周期；通项公式为。 （3），原答案134错误。 17.（15分）（2023·云南玉溪高三二模题）用数学归纳法证明：（）。 解析 ①当时，左边，右边，左边=右边，等式成立。 ②假设当（）时等式成立，即。 当时， 即当时等式也成立。 由①②可知，对任意，等式成立。 18.（17分）（2024·贵州六盘水高三诊断题）已知数列满足，，是前项和。 （1）求，，的值； （2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明； （3）求该数列的前项和。 解析 （1），，。 （2）猜想：。 证明：①时，，成立；时，，成立。 ②假设（）时，，则时，，成立。 由①②可知，通项公式成立。 （3），原答案错误。 19.（17分）（2023·甘肃酒泉高三一模题）已知数列满足，（）。 （1）求，，的值； （2）判断的单调性，并用数学归纳法证明； （3）判断该数列的周期性，说明理由。 解析 （1），，。 （2）结论：单调递增。 证明：①时，，，，成立。 ②假设时，，即。 当时，， 即，成立。 由①②可知，单调递增。 （3）结论：数列无周期。 理由：由（2）知单调递增，故数列的项依次增大，不可能出现重复的项，因此无周期。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教 A 版选择性必修二第四章数列 课时24递推数列进阶问题（二）（专项拓展篇）（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东潍坊高三期中考试题）已知数列满足，，则（） A. B. C. D. 2.（2024·湖北襄阳高三月考题）数列满足，，则（） A. B. C. D. 3.（2023·广东广州高三一模题）用数学归纳法证明“（，）”时，第二步假设时成立，时需要证明的是（） A. B. C. D. 4.（2024·湖南株洲高三调研题）数列满足，，，则该数列的周期为（） A. B. C. D. 5.（2023·江苏苏州高三二模题）已知数列满足，，则（） A. B. C. D. 6.（2024·浙江宁波高三质检题）数列满足，，则（） A. B. C. D. 7.（2023·河南安阳高三摸底题）用数学归纳法证明“”时，时的表达式相对于时的表达式，额外增加的部分是（） A. B. C. D. 8.（2024·四川南充高三诊断题）已知数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·河北邯郸高三联考题）已知数列满足，，则下列说法正确的有（） A. B. C.数列周期为 D. 10.（2024·福建福州高三质检题）数列满足，，则下列结论正确的有（） A. B. C. D.数列从第2项开始周期为 11.（2023·安徽芜湖高三一模题）用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，下列说法正确的有（） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·江西赣州高三段考题）数列满足，，则数列的一个周期为______。 13.（2023·山西运城高三月考题）数列满足，，则______。 14.（2024·陕西宝鸡高三质检题）用数学归纳法证明“（，）”时，第二步从到时，不等式的左边增加的部分是______。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·辽宁抚顺高三联考题）已知数列满足，（）。 （1）求的值； （2）猜想数列的周期，并证明你的猜想； （3）求的值。 16.（15分）（2024·广西桂林高三摸底题）已知数列满足，。 （1）求的值； （2）判断数列的周期性，求数列的通项公式； （3）求的值。 17.（15分）（2023·云南玉溪高三二模题）用数学归纳法证明：（）。 18.（17分）（2024·贵州六盘水高三诊断题）已知数列满足，，是前项和。 （1）求，，的值； （2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明； （3）求该数列的前项和。 19.（17分）（2023·甘肃酒泉高三一模题）已知数列满足，（）。 （1）求，，的值； （2）判断的单调性，并用数学归纳法证明； （3）判断该数列的周期性，说明理由。 原卷版答案 1. B 2. C 3. A 4. D 5. A 6. D 7. B 8. A 9. ABCD 10. CD 11. ACD 12. 13. 14. 15. （1），， （2）周期为，证明略 （3） 16. （1），，， （2）周期为，（） （3） 17. 证明略 18. （1），， （2）（），证明略 （3） 19. （1），， （2）单调递增，证明略 （3）无周期，理由略 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $