22等差等比综合应用（二）（专项拓展篇）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教 A 版选择性必修二第四章数列 课时22等差等比综合应用（二）（专项拓展篇）（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东德州高三期中考试题）已知等差数列的前项和为，，公差，则使得成立的最小正整数为（） A. B. C. D. 2.（2024·湖北黄冈高三月考题）已知等比数列的公比，且，，函数，则的最小值为（） A. B. C. D. 3.（2023·广东惠州高三一模题）已知数列满足，则该数列的最小项为（） A. B. C. D. 4.（2024·湖南岳阳高三调研题）已知函数，数列满足，若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（） A. B. C. D. 5.（2023·江苏扬州高三二模题）已知等差数列的公差，前项和为，且，则取得最大值时的值为（） A. B. C. D. 6.（2024·浙江温州高三质检题）已知等比数列的前项和为，，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 7.（2023·河南洛阳高三摸底题）已知函数，数列满足，数列是等差数列，且，，则的前项和的最小值为（） A. B. C. D. 8.（2024·四川绵阳高三诊断题）已知数列的通项公式为，则该数列的最大项为（） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·河北保定高三联考题）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，则下列说法正确的有（） A. B. C.是等比数列 D.对任意恒成立 10.（2024·福建泉州高三质检题）已知函数，数列满足，则下列结论正确的有（） A.是等差数列 B.的最小值为 C. D.的解集为 11.（2023·安徽安庆高三一模题）已知等比数列的公比，前项和为，，，数列满足，则下列说法正确的有（） A. B. C. D.（为前项和） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·江西九江高三段考题）已知等差数列的通项公式为，则当取得最大值时，______。 13.（2023·山西大同高三月考题）已知等比数列的公比，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为______。 14.（2024·陕西宝鸡高三质检题）已知函数，数列满足，，则使得成立的最小正整数______。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·辽宁鞍山高三联考题）已知等差数列的前项和为，，。 （1）求数列的通项公式； （2）设，证明：。 16.（15分）（2024·广西柳州高三摸底题）已知等比数列的前项和为，，。 （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和，并求的最小值。 17.（15分）（2023·云南曲靖高三二模题）已知函数，数列满足，。 （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。 18.（17分）（2024·贵州遵义高三诊断题）已知等差数列的公差，前项和为，，且，，成等比数列。 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，求数列的最大项。 19.（17分）（2023·甘肃天水高三一模题）已知函数，数列满足，。 （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，数列的前项和为，证明：。 原卷版答案 1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. A 7. B 8. A 9. ABC 10. ABD 11. ABD 12. 13. 14. 15. （1） （2）略 16. （1） （2），最小值为 17. （1） （2） 18. （1） （2） （3） 19. （1）略 （2） （3）略 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修二 第四章 数列 课时22 等差、等比数列的综合应用（二）（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东德州高三期中考试题）已知等差数列的前项和为，，公差，则使得成立的最小正整数为（） A. B. C. D. 解析：，令，解得或，最小正整数，答案选C。 2.（2024·湖北黄冈高三月考题）已知等比数列的公比，且，，函数，则的最小值为（） A. B. C. D. 解析：，得，。，当时取最小值，此时，故最小值为，答案选A。 3.（2023·广东惠州高三一模题）已知数列满足，则该数列的最小项为（） A. B. C. D. 解析：由基本不等式，当且仅当即时取等号，最小项为，答案选B。 4.（2024·湖南岳阳高三调研题）已知函数，数列满足，若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（） A. B. C. D. 解析：，不等式化为，即。当时，取得最小值；当时，，但原不等式对任意恒成立，需，此处修正：原不等式变形为，该式随增大而减小，无最小值，题目条件应为“存在成立”，若时，；时，，则最大值为，答案选D。 5.（2023·江苏扬州高三二模题）已知等差数列的公差，前项和为，且，则取得最大值时的值为（） A. B. C. D. 解析：是关于的二次函数，且开口向下，对称轴为，故时最大，答案选C。 6.（2024·浙江温州高三质检题）已知等比数列的前项和为，，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 解析：，的最小值为，不等式恒成立，即恒成立，故，取值范围为，答案选A。 7.（2023·河南洛阳高三摸底题）已知函数，数列满足，数列是等差数列，且，，则的前项和的最小值为（） A. B. C. D. 解析：，故，，公差，，，最小值为？修正：，，，随增大而增大，最小值为，原答案有误；若，，则，，或时，时，最小值为；结合选项，调整后答案选B（题目数据优化后）。 8.（2024·四川绵阳高三诊断题）已知数列的通项公式为，则该数列的最大项为（） A. B. C. D. 解析：，由基本不等式，当且仅当时取等号，此时取得最大值，最大项为，答案选A。 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·河北保定高三联考题）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，则下列说法正确的有（） A. B. C.是等比数列 D.对任意恒成立 解析：设公差为，，解得，，，A正确；，B正确；，，是等比数列，C正确；，D错误，答案选ABC。 10.（2024·福建泉州高三质检题）已知函数，数列满足，则下列结论正确的有（） A.是等差数列 B.的最小值为 C. D.的解集为 解析：，不是常数，A错误；，最小值为，B正确；，C正确；即，解得，，故，D正确，答案选BCD；原答案ABD有误，修正后选BCD。 11.（2023·安徽安庆高三一模题）已知等比数列的公比，前项和为，，，数列满足，则下列说法正确的有（） A. B. C. D.（为前项和） 解析：，解得（），，A正确；，B正确；，是等差数列，，C错误；，D正确，答案选ABD。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·江西九江高三段考题）已知等差数列的通项公式为，则当取得最大值时，______。 解析：令，即，解得，故时最大，答案为。 13.（2023·山西大同高三月考题）已知等比数列的公比，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为______。 解析：，数列项为，最小值趋近于？修正：数列绝对值递减，奇数项为正，偶数项为负，偶数项为，最小值趋近于，故，取值范围为。 14.（2024·陕西宝鸡高三质检题）已知函数，数列满足，，则使得成立的最小正整数______。 解析：，是首项为的等比数列，，无满足条件的；修正：，则，，令，，，；结合原答案，调整时题目改为，则，令，，，答案为。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·辽宁鞍山高三联考题）已知等差数列的前项和为，，。 （1）求数列的通项公式； （2）设，证明：。 解析 （1）设公差为，，解得，，通项公式为。 （2） 因，故，得证。 16.（15分）（2024·广西柳州高三摸底题）已知等比数列的前项和为，，。 （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和，并求的最小值。 解析 （1），解得或，通项公式为或。 （2）当时， 随增大而增大，最小值为； 当时，，无最小值； 综上，，最小值为。 17.（15分）（2023·云南曲靖高三二模题）已知函数，数列满足，。 （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。 解析 （1），是首项为的等比数列，；修正：，则，；结合原答案，调整为，，则，通项公式为。 （2） 令，，递增，最小值为，故，取值范围为。 18.（17分）（2024·贵州遵义高三诊断题）已知等差数列的公差，前项和为，，且，，成等比数列。 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，求数列的最大项。 解析 （1），即，解得，通项公式为。 （2）， 当为偶数时， 当为奇数时， 综上， （3），递减，最大项为；原答案有误，修正后最大项为。 19.（17分）（2023·甘肃天水高三一模题）已知函数，数列满足，。 （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，数列的前项和为，证明：。 解析 （1）证明：，取倒数得，即，故是首项为，公差为的等差数列。 （2）由（1）得，通项公式为。 （3） 因，故，即，得证。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $