4.2 等差数列 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2等差数列专项训练 一、单选题 1．数列满足，，且，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．11 2．在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 3．已知为等差数列，若，则（    ） A．4 B． C． D． 4．已知是等差数列，，，则的前10项和为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 5．设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．记为等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C．7 D．-7 7．设Sn为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 9．已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 10．已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（   ） A． B．为单调递增数列 C．使的n的最小值为18 D．当且仅当时，最小 11．已知等差数列的公差为，前项和为，若．则（   ） A． B． C． D．存在最小值 三、填空题 12．已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则 . 13．等差数列中，为其前项的和．若，，则 ． 14．已知数列与前项和分别为，，且，，对任意的，恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题 15．已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 16．在数列中，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 17．已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明. 19．设正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求的前项和． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】由已知递推关系得数列是等差数列，然后求出公差，再由通项公式可得． 【详解】因为，所以， 所以数列是等差数列． 因为，，所以，故， 所以． 故选：B 2．A 【分析】根据等差数列性质计算即可. 【详解】在等差数列中，因为， 所以， 所以. 故选：A 3．C 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：C 4．D 【分析】根据已知条件求出的公差和首项，代入前项和公式可得答案. 【详解】设的公差为， 因为，， 所以，解得， 则的前10项和为. 故选：D. 5．B 【分析】当为奇数时，，由此公式可得，，进而可得. 【详解】，，解得． 故选: 6．B 【分析】根据等差数列通项公式和前项和公式，代入题目等式条件中，求出结果即可. 【详解】根据等差数列性质，可知，即， 化简得，可知. 故选：B. 7．C 【分析】根据等差数列的通项公式先求出与的关系式，构造方程组消去，得，构造常数列求得数列的通项，可判断A,B,C项；再利用裂项相消法计算即可判断D项. 【详解】因是公差为的等差数列，则， 则，，两式相减，得， 即，可得，因，可得， 故得为常数列，从而，即得,故A错误； 对于C，由上文求得的通项公式可知，，故C正确； 对于B,由上分析，即，故B错误； 对于D，因，则， 则，故D错误. 故选：C. 8．C 【分析】先利用与等差数列前项和公式分析项的符号，再利用分析项的符号，最后判断的最小值即可. 【详解】由等差数列前项和公式得：， 因为，所以，即， 因为，所以， 又因为，可得，即， 由，可知数列前6项为负，第7项开始为正， 因此当取得最小值时，. 故选：C. 9．AC 【分析】选项A，利用等差数列性质求出，进而求出公差；选项B，根据通项公式求出；选项C，根据公差的正负判断数列单调性；选项D，利用通项公式求解特定项的项数. 【详解】选项A，，则，所以，所以A正确； 选项B，，则通项公式为，所以B错误； 选项C，由选项A知，所以C正确； 选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误. 故选：AC. 10．BC 【分析】根据数列为等差数列，由，求得首项和公差，然后再逐项判断. 【详解】对于A：在等差数列中，，， 所以，解得 ， 则 ，故A错误； 对于B：，则 ， 所以为单调递增数列，故B正确； 对于C：，由 ，即 ， 解得，所以 的n的最小值为18，故C正确； 对于D：的对称轴为，开口方向向上， 因为为正整数，所以当或9时，取得最小值，故D错误. 故选：BC 11．BD 【分析】根据题中条件解得首项和公差，根据等差数列的通项公式和前项和计算判断各个选项. 【详解】对于A，因为，所以，解得，A错误； 对于B，可知B正确； 对于C，C错误 对于D，，当时，存在最小值，D正确， 故选：BD． 12． 【分析】根据等差数列的性质和求和公式得到，，从而得到公差，进而得到. 【详解】由题意得，又，故，解得， 又，，所以，解得， 所以的公差为，所以. 故答案为： 13． 【分析】利用等差数列的性质也成等差数列即可求得. 【详解】由等差数列的性质可知，数列成等差数列， 且公差， ∴，即， 则，则. 故答案为：72. 14． 【分析】先应用得出等差数列，得出，再代入结合裂项相消法计算得出，最后把恒成立转化为最值关系求解. 【详解】数列前项和分别为，且，又， 当时，，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，令，所以，即， 所以， 则， 所以， 所以，又因为，所以，所以， 对任意的，恒成立，则， 则的取值范围是. 故答案为：. 15．(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， （2）因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用“累加法”求数列的通项公式. （2）利用“裂项求和法”求数列的前项和. 【详解】（1）因为在数列中，， 当时，， 所以； 又符合上式，所以； （2）由（1）知, 则 ， 所以. 17．(1) (2) 【分析】（1）将取倒数，令，可得为等差数列，求解即可. （2）由（1）可得，，通过裂项相消求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以令，所以，所以为等差数列，因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 所以，所以. （2），所以， 所以， 所以. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）得，进而利用裂项相消法可求，可证结论. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得：， 所以. （2）由（1）得， 所以， ， 因为，所以，所以， 所以. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列，进而可得数列的通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）因为，且， 当时，则，可得； 当时，则，即， 整理可得，解得或（舍去）； 当时，则， 可得， 则，可得， 两式相减得，整理可得， 且，可得； 且，可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列， 所以. （2）因为， 所以. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $