精品解析：陕西省韩城市象山中学培优部2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题

培优部高二数学第三次月考试题 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化为标准方程，根据准线方程的定义求解． 【详解】抛物线的方程为， 则其焦点坐标为，准线方程为． 故选： 2. 已知，则（ ） A. 2 B. 6 C. 2或5 D. 2或6 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用组合公式,列方程进行求解. 【详解】由，可得或，解得或. 故选：D. 3. 如图，在斜三棱柱中，M、N分别为BC、的中点，设，则用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】由M、N分别为BC、的中点， 可得 故选：A 4. 某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（ ）种 A. 150 B. 180 C. 360 D. 540 【答案】A 【解析】 【分析】视甲乙为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区，再按分组分配列式求解. 【详解】甲乙必须在一起，可把甲乙视为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区， 按分配时，共有种方案；按分配时，共有种方案， 所以共有种不同的分配方案. 故选：A 5. 已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 6. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】C 【解析】 【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，且，所以， 即，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 7. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学参加演讲比赛决赛，决出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名，甲和乙去询问获奖情况，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得一等奖”．对乙说：“你没有获得三等奖，甲没有获得二等奖”．从这两个回答分析，这6人的获奖情况可能有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】由题知乙获得二等奖，甲获得三等奖，再根据分组分配考虑剩下4人获奖情况即可. 【详解】由题意得乙获得二等奖，甲获得三等奖， 则需从其余4人中选1人获得一等奖，选1人获得二等奖，剩余2人获得三等奖， 所以6人的获奖情况可能有（种）． 故选：B. 8. 已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点间距离公式由得到点的轨迹方程，再利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得点的轨迹方程为， 根据题意可得直线与点的轨迹有公共点， 所以，即，解得． 故选：D． 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 一共有6项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【详解】对于A选项，因为的次数为5，故展开式共有6项，故A正确； 对于B选项，二项式展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，令，可得第三项为，B不正确； 对于C选项，令可得所有项的系数和为0，故C正确； 对于D选项，所有项的二项式系数和为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知曲线，则下列正确的有（ ） A. 若，则曲线的离心率为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则为双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则是圆，其半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的标准方程和几何性质即可逐项判断. 【详解】对于选项A：若，则C为双曲线，，故A正确； 对于选项B：若，则是椭圆，其焦点在x轴上，故B错误； 对于选项C：若，则为双曲线，其渐近线方程为，即，故C正确； 对于选项D：若，则是圆,半径为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使为等边三角形 B. 若为上一点，则的最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 若以为直径的圆与圆外切，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由正三角形边长和对称性即可分析判断A；设，结合和代数运算即可求解判断B；先结合B令求出点，接着由A即可得到直线与圆相切判断C；设，以为直径的圆的圆心为G，利用中点坐标公式和焦半径公式结合求出即可由焦半径公式得解判断D. 【详解】由题可得圆心，半径，抛物线的焦点为，    对于A，若为等边三角形，则，由对称性不妨设P在第一象限， 则，代入可得，即存在点，使为等边三角形，故A正确； 对于B，设，则 ，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C，由B得，令，则， 由A可知此时为边长为4的等边三角形，圆心C到的距离为， 则直线与圆相切，故C正确； 对于D，设，若以为直径的圆与圆外切，设以为直径的圆的圆心为G， 则，， 所以，化简并解得， 所以，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 抛物线上一点P到直线的距离最短时，点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，进而根据点到直线的距离并结合二次函数最值求解即可． 【详解】根据题意设， 所以点到直线的距离为：， 当且仅当时等号成立，此时． 所以点到直线的距离最短时点坐标为． 故答案为：． 13. 已知平面的一个法向量为，，点，均在平面内，则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解． 【详解】，因为平面的一个法向量为， 所以，解得， 则，又， 则点到平面的距离为. 故答案为:. 14. 设，分别是双曲线的左、右焦点.是坐标原点.过作一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，则，在中，由正弦定理可得：，再结合余弦定理化简可得，由双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】由于直线的方程为，点， 由于， 所以， 则, 所以，则, 在中，由正弦定理可得：,则， 所以, 在中，由余弦定理可得：, 则,由， 化简可得：，则, 所以双曲线的离心率, 故答案为： 四、解答题（本题共6小题，15-18题各12分，19题15分，20题14分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 建平中学在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎“春”卡各两张，“龙”卡三张.每个同学从卡箱中随机抽取张卡片，其中抽到“龙”卡获得分，抽到其他卡均获得分. （1）求学生甲最终获得分的不同的抽法种数； （2）求学生乙最终获得分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意学生甲需抽中张“龙”卡和张其他卡，利用组合数公式计算可得； （2）学生乙需要抽中张“龙”卡和张其他卡，即可求出学生乙的不同的抽法种数，再根据古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 学生甲最终获得分，则需抽中张“龙”卡和张其他卡， 则不同的抽法种数为种. 【小问2详解】 学生乙最终获得分，则需要抽中张“龙”卡和张其他卡，不同的抽法种数为种， 而从张卡片中抽取张卡片一共有种取法， 所以学生乙最终获得分的概率. 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 . （1）求的标准方程； （2）若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知可得，由椭圆的定义可得，根据椭圆中，，的关系可得，即可求解； （2）设，，联立直线和椭圆构成的方程组，根据可得，由韦达定理可得，，再根据，可得或，即可求解. 【小问1详解】 由题意，设的标准方程为， 则，，即，所以， 所以的标准方程为； 【小问2详解】 设，， 由联立得， 由题意，即， ，，显然直线过定点， 所以， 所以，即， 所以，解得或，均满足， 所以或. 17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，. （1）证明：//平面BDM； （2）求平面AMB与平面BDM的夹角. 【答案】（1） 如图，连接交于，连接, 由是的中点可得， 易得与相似，所以， 又，所以//， 又平面平面，所以//平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接,根据条件证明//即得； （2）先证明平面，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB与平面BDM的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面平面，且平面平面，由，点E是线段AD的中点可得 又平面，故得平面.如图，取的中点为,分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， ，则，. 设平面的法向量为，由， 则，故可取； 设平面的法向量为，由， 则，故可取. 故平面与平面的夹角余弦值为， 所以平面与平面的夹角为. 18. 已知的展开式满足 ． ①二项式系数之和为，②含项的系数为80，③第三项与第四项二项式系数相等． 从这三个条件中选择两个合适的条件补充到横线处，求解下列问题． （1）求的值； （2）求展开式中含项的系数． 【答案】（1），； （2）13 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的性质可知，由①或③可得n，再由②中指定项系数可得m； （2）由二项式定理分别展开和，然后相乘后合并可得. 【小问1详解】 若选①② 由题意，，则； 由通项知时得含项，所以，所以； 若选②③ 由第三项与第四项二项式系数相等，得则， 由通项知时得含项，所以，所以 【小问2详解】 即求展开式中含项的系数， ， 所以展开式中含项的系数为． 19. 已知圆：和点． （1）过点向圆引切线，求切线方程； （2）求以点为圆心且被直线截得弦长为8的圆的方程； （3）过点的直线与圆交于，两点，求弦中点轨迹的方程． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆的位置关系运算求解，注意讨论直线斜率是否存在； （2）先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求半径，即可得结果； （3）根据几何性质求点A的轨迹方程，注意x的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知：圆：的圆心，半径， 对于过点的直线，则有： 当斜率不存在时，则，此时圆心到直线的距离，即符合题意； 当斜率存在时，设斜率为，则，即， 可得，解得， 故直线； 综上所述：所求直线方程为或. 【小问2详解】 由题意可得：点到直线的距离， 则圆的半径， 故圆的方程为. 【小问3详解】 设弦中点为，则，故点在以为直径的圆上， 即点在以为圆心，半径的圆上，故点满足， 联立方程，整理可得， 由题意可知：点在圆：内， 即弦中点的轨迹方程为. 20. 已知双曲线的焦距为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1） （2）证明:设直线的方程为， 联立方程组，消去，得， 则， ， 所以直线方程为， 令，则， 同理直线方程为， 令，则， 由，可得， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 当时，， 此时直线方程为，恒过定点，不符合题意； 当时，直线方程为，恒过定点符合题意， 综上所述，直线过定点.    【解析】 【分析】（1）根据双曲线的几何性质可得，进而求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得，进而写出直线的方程，可得点的坐标，结合化简可得，分和两种情况讨论即可求证，进而求出定点. 【小问1详解】 由题意知，解得，，， 双曲线的方程为. 【小问2详解】 证明略，定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优部高二数学第三次月考试题 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 2 B. 6 C. 2或5 D. 2或6 3. 如图，在斜三棱柱中，M、N分别为BC、的中点，设，则用表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（ ）种 A. 150 B. 180 C. 360 D. 540 5. 已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若为锐角，则 D. 若在上的投影向量为，则 7. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学参加演讲比赛决赛，决出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名，甲和乙去询问获奖情况，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得一等奖”．对乙说：“你没有获得三等奖，甲没有获得二等奖”．从这两个回答分析，这6人的获奖情况可能有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 8. 已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 一共有6项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 10. 已知曲线，则下列正确的有（ ） A. 若，则曲线的离心率为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则为双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则是圆，其半径为 11. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使为等边三角形 B. 若为上一点，则的最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 若以为直径的圆与圆外切，则 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 抛物线上一点P到直线的距离最短时，点P的坐标为________． 13. 已知平面的一个法向量为，，点，均在平面内，则点到平面的距离为______. 14. 设，分别是双曲线的左、右焦点.是坐标原点.过作一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为_____. 四、解答题（本题共6小题，15-18题各12分，19题15分，20题14分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 建平中学在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎“春”卡各两张，“龙”卡三张.每个同学从卡箱中随机抽取张卡片，其中抽到“龙”卡获得分，抽到其他卡均获得分. （1）求学生甲最终获得分的不同的抽法种数； （2）求学生乙最终获得分的概率． 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 . （1）求的标准方程； （2）若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值. 17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，. （1）证明：//平面BDM； （2）求平面AMB与平面BDM的夹角. 18. 已知的展开式满足 ． ①二项式系数之和为，②含项的系数为80，③第三项与第四项二项式系数相等． 从这三个条件中选择两个合适的条件补充到横线处，求解下列问题． （1）求的值； （2）求展开式中含项的系数． 19. 已知圆：和点． （1）过点向圆引切线，求切线方程； （2）求以点为圆心且被直线截得弦长为8的圆的方程； （3）过点的直线与圆交于，两点，求弦中点轨迹的方程． 20. 已知双曲线的焦距为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $