2026年广东省春季高考数学自测卷（2）

2026年广东省春季高考数学自测卷（2） 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中，在上为增函数的是（　　） A． B． C． D． 3．计算（　　） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 5．若向量，，，则（　　） A． B． C． D． 6．函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．设角终边上的点的坐标为，则（　　） A． B． C． D． 8．犇犇同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　） A．三次都中靶 B．只要两次中靶 C．只有一次中靶 D．三次均未中靶 9．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（　　） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 10．设，是空间两条不同直线，则“与无公共点”是“与是异面直线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知函数，，则（　　） A． B． C． D． 12．珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国科教文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分． 13．已知复数为纯虚数，则实数　 　． 14．已知，则　 　． 15．已知长方体的三条棱长分别为，，，则该长方体外接球的表面积为　 ． 16．已知为单位向量，，与的夹角为，则　 ． 17．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店有　 家． 18．函数是定义在上的奇函数，当时，，则　 ． 三、解答题：本大题共4小题，第19，20，21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程及演算步骤． 19．已知的内角，，的对边分别为，，，，，． （1）求的值； （2）求的值． 20．某旅游网考察景区酒店，，依据服务质量给酒店综合评分，如表是考察组给出酒店，的评分，记，两个酒店得分的平均数分别为和，方差分别为和． （单位/分） （单位/分） （1）求，，，； （2）若要推荐，酒店中的一家，依据以上计算的结果分析推荐哪一家酒店，并说明理由． 21．某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左、右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左、右两面墙的长度均为（）米，总造价为元． （1）写出与的函数关系式，并注明函数的定义域； （2）当左、右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价． 22．如图，在三棱锥中，，底面． （1）证明：平面平面； （2）若，是的中点，求直线与平面所成角的正切值． 2026年广东省春季高考数学自测卷（2） 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若集合，，则（　C　） A． B． C． D． 2．下列函数中，在上为增函数的是（　A　） A． B． C． D． 3．计算（　B　） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（　A　） A． B． C． D． 5．若向量，，，则（　D　） A． B． C． D． 6．函数的图象大致是（　D　） A． B． C． D． 7．设角终边上的点的坐标为，则（　B　） A． B． C． D． 8．犇犇同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　D　） A．三次都中靶 B．只要两次中靶 C．只有一次中靶 D．三次均未中靶 9．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（　A　） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 10．设，是空间两条不同直线，则“与无公共点”是“与是异面直线”的（　B　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知函数，，则（　C　） A． B． C． D． 12．珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国科教文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（　C　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分． 13．已知复数为纯虚数，则实数　 　． 14．已知，则　 　． 15．已知长方体的三条棱长分别为，，，则该长方体外接球的表面积为　 ． 16．已知为单位向量，，与的夹角为，则　 ． 17．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店有　 家． 18．函数是定义在上的奇函数，当时，，则　 ． 三、解答题：本大题共4小题，第19，20，21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程及演算步骤． 19．已知的内角，，的对边分别为，，，，，． （1）求的值； （2）求的值． 解：（1）由余弦定理得：…………………2分 ，…………………4分 解得或（舍去）．…………………5分 （2）由正弦定理得：，…………………7分 ∴…………………8分 ．…………………10分 20．某旅游网考察景区酒店，，依据服务质量给酒店综合评分，如表是考察组给出酒店，的评分，记，两个酒店得分的平均数分别为和，方差分别为和． （单位/分） （单位/分） （1）求，，，； （2）若要推荐，酒店中的一家，依据以上计算的结果分析推荐哪一家酒店，并说明理由． 解：（1），…………………1分 ，…………………2分 ，…………………5分 ．…………………8分 （2）∵，，…………………9分 ∴推荐酒店A．…………………10分 21．某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左、右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左、右两面墙的长度均为（）米，总造价为元． （1）写出与的函数关系式，并注明函数的定义域； （2）当左、右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价． 解：（1）屋子前面新建墙体的长度为米， ∴，…………………3分 即，．…………………5分 （2）∵，…………………6分 ∴，…………………8分 当且仅当，即时，等号成立．…………………9分 ∴当左、右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元．…………………10分 22．如图，在三棱锥中，，底面． （1）证明：平面平面； （2）若，是的中点，求直线与平面所成角的正切值． （1）证明：∵底面，底面， ∴，…………………1分 ∵， ∴，…………………2分 ∵，平面，平面， ∴平面，…………………5分 ∵平面， ∴平面平面．…………………6分 （2）解：取的中点，连接和．…………………7分 ∵， ∴， 由（1）得平面平面， ∵平面平面，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角．…………………9分 设，则在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的正切值为．…………………12分 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $