5.4二元一次方程与一次函数（课件）-2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程与一次函数的关系及图像法解方程组，通过知识衔接（一次函数定义、平行线k值等）搭建支架，以问题链（方程解的个数、对应函数图像点等）引导，建立“数”与“形”的对应脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，培养数学思维（推理意识），通过方程与函数转换发展几何直观（数学眼光），选做题如上网计费问题渗透模型意识（数学语言）。实例有从具体方程到一般结论的归纳，图像法步骤结构化总结，助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

5.4二元一次方程与一次函数 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 目录 Part One. 教学目标 Part Two. 知识衔接 Part Three. 新知讲解 Part Four. 课堂练习 Part Five. 课堂小结 Part Six. 作业布置 01 初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解. 01 通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力. 02 通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣. 03 教学目标 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 02 1.若两个变量x,y间的对应关系可以表示成 ，（ ）的形式，则称y是x的一次函数. 2.若两条直线互相平行，则这两条直线中的k . 3.关于x的一元一次方程都可以变形为kx+b=0(k≠0) 的形式，方程kx+b=0的解即为函数 y=kx+b当 时x所对应的值，从图象上看，则为函数图象与x轴交点的 . 4.解二元一次方程组的方法有 . y=kx+b k,b为常数 ，k≠0 相等 y=0 横坐标 代入消元法、加减消元法 知识衔接 03 探究新知 问题1.方程x＋y＝５的解有多少个？写出其中的几个. 问题2.以这些解为坐标的点在一次函数y=-x+5的图象上吗？ O 4 3 1 2 y x 2 3 4 5 1 -1 -2 -4 -3 -4 -3 -2 -1 -5 y=-x+5 x=0 x=2 x=3 x=4 y=5 y=3 y=2 y=1 把x=0、2、3、4，代入y=-x+5中求出 y=5、3、2、1，所以这些解都在y=-x+5的图像上。 探究一 有无数个解 二元一次方程与一次函数的关系 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 03 问题3.在一次函数图象上任取几个点，它们的坐标适合方程x＋y＝５吗？它们是方程的解吗？ O 4 3 1 2 y x 2 3 4 5 1 -1 -2 -4 -3 -4 -3 -2 -1 -5 y=-x+5 （1，4）、（5，0）（-1，6）。 因为1+4=5, 5+0=5, -1+6=5,所以直线上的点都是方程x+y=的解。 新知探究 03 问题4.以方程x+y=5的解为坐标的所有 点组成的图像与一次函数y=-x+5的图象 相同吗？ O 4 3 1 2 y x 2 3 4 5 1 -1 -2 -4 -3 -4 -3 -2 -1 -5 y=-x+5 方程x+y=5的解有无数个，以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=-x+5的图象相同，是同一条直线。 即一个二元一次方程对应平面上的一条直线。 新知探究 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 03 探究小结 x+y=5是什么 二元一次方程 y=5-x 一次函数 变形 相互转换 试一试：把下列二元一次方程转化为一次函数 （1）y-2x=1； （2）2y+x=4 03 1.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 的图像相同. 2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程x-2y=2的解的是（ ） A. B. C. D. y=-2x+5 C 小试牛刀 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 03 新知探究 作y=5-x的图像 取两点（0,5)，(5,0)，作出一次函数y=5-x的图象 作y=2x-1的图像 取两点（0.5,0)，(0,-1)，作出一次函数y=2x-1的图象 探究二 用图像法解二元一次方程组 03 １.解方程组 思考：方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标有什么关系? 方程组的解就是两直线的交点坐标 新知探究 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 03 1.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图像，所得两条直线（ ） A. 有无数个交点 B.没有交点 C. 只有一个交点 D. 以上都有可能 2.根据下列图象，说出哪些方程组的解. 1 1 -2 1 y 0 x=1 x=-2 y=1 y=1 D 小试牛刀 03 新知探究 在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象有怎样的位置关系？ 方程组 解的情况如何？ 两直线平行 方程组无解 探究三 两直线平行于方程组解的关系 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 03 归纳：对于两条直线 当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解. 当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解. 当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解. 新知探究 03 1.已知二元一次方程组 的解 为则函数y=kx+b 和 y=kx 的图象的交点坐标为    ． 2.以2x- y=5方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 的图象相同． 3..图中的直线 y=-x+4和直线y=2x+1的交点 坐标是（1,3），则该坐标可以看作方程组 _____　　的解。 ax-y+b=0 kx-y=0 x=-3 y=1 (-3,1) y=6x-15 y=-x+4 y=2x+1 小试牛刀 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 知识要点1 1、将两个方程化成一次函数形式； 2、画出两个一次函数图象； 3、找到两条直线交点坐标即为方程组的解 若两条直线相交，则交点就是二元一次方程组的解； 若两条直线平行，则二元一次方程组无解. 若两直线重合是二元一次方程组有无数个 利用图像法求二元一次方程组的解一般步骤： 04 【知识技能类作业】必做题： 1.若方程组没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图像必定 ( ). A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断 2.有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？ 图象之间有何关系？ 3.直线y=ax+b和直线y=bx+3a的交点坐标是(2,-1)，则 . B 平行 没有 a= -1，b= 1 课堂练习 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 04 【知识技能类作业】必做题： 4、用图象法解方程组： x=2 y=-5 x=2 y=6 课堂练习 04 课堂练习 5.直线y=-2x+3 与直线y=2x的交点坐标是 方程组 的解是______ 6.方程组 的解是 则直线y=ax+4 与直线y=bx+4的交点坐标是_______ 7.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+3与直线y=mx+n交于点A(-1,b)， 则关于x、y的方程组  的解为 . y=ax+4 y=bx+4 x=4 y=0 （4，0） y=x+3 y=mx+n x=-1 y=2 【知识技能类作业】必做题： 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 04 课堂练习 8.一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客选择那种收费方式更划算呢？ 【知识技能类作业】选做题： 04 课堂练习 方法一：设上网时间为x分钟，收费为y元。 方式Ａ:y=0.1x 方式B Y=0.05X+20 解方程组 得 故交点坐标为 (400,40) 。 由图象知： 当0 < x < 400时，选方式A省钱； 当x = 400时，选方式A或 B都一样 当x > 400时，选方式B省钱。 y=0.1x y=0.05x+20 x=400 y=40 【知识技能类作业】选做题： 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 04 【知识技能类作业】选做题： 方法2：设上网时间为x分，方式B与方式A两种计费的差额yB- yA为y元， 得y =-0.05x+20，当差额为0是即 -0.05x + 20 = 0 得：x=400 故直线 与x 轴的交点为（400，0） 由图象知： 当0 < x < 400时，y > 0，选方式A省钱； 当x = 400时，y = 0，选方式A或B都一样； 当x > 400时，y < 0，选方式B省钱 课堂练习 04 【综合拓展类作业】 9.如图，已知直线 分别与x轴、y轴交于点A，B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，且直线AB与CD相交于点P, . （1）求b的值和点P的坐标； （2）求△ADP的面积. 课堂练习 23 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 04 【综合拓展类作业】 解答提示； (1)求出A,B两点的坐标A(-2,0),B(0,1);根据三角形ABD的面=2和A，B的坐标,求出D点坐标，即可求出b. 再把两个二元一次函数联立成方程组，可求出P点坐标。 （2）三角形ADP的面积=三角形ABD面积+三角形BDP面积或等于三角形ACD面积+三角形ACP面积 答案是：(1),b=-1; P(4,3) (2),6 课堂练习 24 05 二元一次方程与一次函数的关系 两直线相交；一个解。 两直线平行：无解 两直线重合：无数个解 一次函数图像上点的坐标 二元一次方程组的解 两个一次函数图像交点坐标 无数个解 无数个点 二元一次方程的解 课堂小结 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1．如图，若直线 与直线 相交于点A，则方程 组 的解是（ ） A. B. C. D. A 【知识技能类作业】必做题： 2．小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的这个方程组可能是（ ） A. B. C. D. D 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 【知识技能类作业】必做题： 3.如图，已知一次函数y=ax+b和y=kx的图象相交于点P，则根据图象可得二元一次方程组 的解是(    ) y=ax+b Kx-y=0 A A. x=-4 B. x=-2 C. x=2 D. x=2 y=-2 y=-4 y=4 y=-4 【知识技能类作业】必做题： 4．以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ） A．有一个交点B．有无数个交点C．没有交点D．以上都有可能 5．以方程组 的解为坐标的点在（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D A 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 【知识技能类作业】必做题： 6．若直线 经过点(0,4)， 经过点 (3,2)，且 与 关于x轴对称，则 与 的交点坐标为（ ） A．(-2,0) B．(2,0) C．(-6,0) D．(6,0) 7.方程组 的解是 所以点(−1，1)是直线 与直线 的交点． 8．直线y=kx-2和y=2x+k的交点的横坐标为2，则k= . B y=3x+4 y=2x+3 6 【知识技能类作业】选做题： 9如图，已知A(3,1)与B(1,0)，PQ是直线y=x上的一条动线段且 PQ= ，(Q在P的下方)，当AP+PQ+BQ最小时，Q点坐标为 . 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 【知识技能类作业】选做题： 【解析】：作B点关于PQ的对称B , BQ=B QB(1,0);B (0,1); 过A点作MN∥PQ,并将A点沿MN向下平移 单位得A , 由于A(3,1），AA = ∴A (2,0),则四边形AA PQ是平行四边形，得到AP=QA 如图； AP+PQ+BQ=QA PQ+B Q, 由于PQ是固定值，只有当A 、Q、B 三点共线时AP+PQ+BQ值最小。B (0,1); A (2,0)，用待定系数法求出A B 的解析式y=-0.5x+1与直线y=x联立解方程求出交点坐标，求出 【综合拓展类作业】 10.已知一次函数 和 的图象都经过点A(-2,0)，且与y轴分别交于点B，点C. 求△ABC的面积. 【解析】;由于两直线的交点是A(-2,0),把（-2，0） 代入 和 求出a,b的值。如图 继而求出B、C的坐标. △ABC的面积= BC×OA 答案是 掌握独立事件的关键在于理解如何推导，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。投影视图的教学重点应该放在如何扩展上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数形结合时，通常会强调记忆的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 【综合拓展类作业】 11.如图，一次函数L :y=kx+b(k≠0）的图象经过A(0,4)和D(4,0)两点，一次函数L :y=x+1的图象与x轴交于点C，直线相交于点B连接AC． (1)求K，b的值; (2)求点B的坐标; (3)求△ABC的面积． 【综合拓展类作业】 解：(1)把A(0,4),B(4,0)代入y=kx+b(k≠0），得 解得 (2)由(1)得L ：y=-x+4，联立L 、L 得 解得 所以B (3)对于y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1，所以点C(-1,0)， 所以． b=4 4k+b=0 b=4 k=-1 y=-x+4 y=x+1 $