北京市育才学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期北京育才学校高三数学 十二月月考试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 4. 已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，已知两点．若曲线C上存在一点P，使，则称曲线C为“合作曲线”，给出下列曲线：①；②；③．其中“合作曲线”是（ ） A. ①② B. ②③ C. ① D. ② 10. 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则的值约为（ ） A. 10 B. 13 C. 63 D. 66 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 的展开式中含项的系数为________．（用数字作答） 12. 在梯形中，，，，则________． 13. 设双曲线的左右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为________；C的渐近线方程为________． 14. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列，则______；______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”） 15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论： ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 三、解答题：本大题共6小题，共85分． 16. 在中，. （1）求； （2）若为边的中点，且，求的值. 17. 如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）： 项目 国际级运动健将 运动健将 一级运动员 二级运动员 三级运动员 男子跳远 8.00 7.80 7.30 6.50 5.60 女子跳远 6.65 6.35 5.85 5.20 4.50 在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25； 乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38； 丙：5.16，5.65，5.18，5.86． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立， （1）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率； （2）设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望； （3）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表： 第1跳 第2跳 第3跳 第4跳 第5跳 第6跳 甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49 丙 5.84 5.82 5.85 5.83 5.86 a 若丙第6次试跳的成绩为a，用分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当时，写出a的值．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的长轴长为4，一个焦点为. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设，求函数的极大值； （3）若，求函数的零点个数． 21. 设为给定的不小于的正整数，考查个不同的正整数，， ，构成的集合，若集合 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合为“差异集合”． （1）分别判断集合，集合是否是“差异集合”；（只需写出结论） （2）设集合是“差异集合”，记 ，求证：数列的前项和； （3）设集合是“差异集合”，求 的最大值． 2025-2026学年度第一学期北京育才学校高三数学 十二月月考试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】12 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. 8 ②. . 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共85分． 【16题答案】 【答案】（1）； （2）. 【17题答案】 【答案】（1）证明： 四边形是矩形，. 又平面，平面，平面. 又平面，平面平面，. （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）或. 【19题答案】 【答案】（1），离心率； （2）存在，. 【20题答案】 【答案】（1） （2）当时，函数无极大值；当时，的极大值为； （3） 【21题答案】 【答案】（1）集合不是，集合是； （2）由集合是“差异集合”知：的个非空子集元素和为互不相等的个正整数， 于是，所以 （3）最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $