第十八章 分式 章末复习教学设计2025－2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计以问题驱动与要点梳理结合，系统整合分式概念、基本性质、运算、整数指数幂及分式方程，通过问题串引导回顾与思维导图构建，形成“概念-性质-运算-应用”的完整知识网络。 特色在于分层例题设计，从基础（分式值为0判断）到变式（分式方程无解探究）再到应用（工程、销售问题），培养抽象能力、运算能力与模型观念。通过错题诊断式例题和实际情境应用，助力个性化复习，教师可依此精准把握学情，提升复习效率。

第十八章 分式 章末复习 教学目标 1．了解分式和最简分式的概念，了解整数指数幂的意义和运算性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，理解分式的加、减、乘、除、乘方运算法则，并能运用法则进行简单的混合运算，发展运算能力． 2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，能运用分式方程解决实际问题，体会分式方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型． 3．形成对分式知识体系的整体认知，能运用相关知识解决数学问题，发展抽象能力、运算能力和推理能力，提升应用意识与模型观念． 教学重点 运用法则进行分式的混合运算． 教学难点 运用分式方程解决实际问题． 教学过程 复习导入 请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！ 1．如何用式子表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分式的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起什么作用？ 2．分式怎样约分和通分？依据是什么？ 3．当 n 是正整数时，a-n 表示什么意思？整数指数幂有哪些运算性质？ 4．怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？ 5．方程是一种刻画实际问题中数量关系的重要数学模型，你能结合利用分式方程解决实际问题的实例，谈谈你的体会吗？ 【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生系统回顾本章知识内容，形成对分式知识体系的整体认知，激发学生的学习兴趣和求知欲，为后续系统复习与知识整合奠定基础． 要点复习 【要点一】分式及其基本性质 知识点1　分式的概念 1．分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式．在分式中，A叫作分子，B叫作分母． 2．分式与整式的区别：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含有字母． 知识点2　分式有意义和分式的值为0的条件 1．分式有意义的条件是：分式的分母不能为0．即在中，当B≠0时，分式才有意义． 2．分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0．即对于，当A＝0且B≠0时，分式的值为0． 知识点3　分式的基本性质 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示为：，，其中A，B，C（C≠0）是整式． 知识点4　约分、通分 1．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．经过约分后的分式，分子与分母没有公因式． 2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式． 3．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分． 4．最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母． 【例1】若分式的值为零，则x的值是（ ） A．1 B．－1 C．±1 D．2 【答案】A． 【解析】∵ 分式的值为零， ∴ |x|－1＝0且x＋1≠0． 解得 x＝1． 【归纳】分式有（无）意义及分式的值为0的条件 （1）分式无意义⇔分母为0． （2）分式有意义⇔分母不为0． （3）分式的值为0⇔分子为0，且分母不为0． 【例2】若将分式中的a与b的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将（ ） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【解析】． 【例3】已知x，y满足|x－1|＋(y＋2)2＝0，求的值． 【答案】解：∵ |x－1|＋(y＋2)2＝0， ∴ x＝1，y＝－2． ． 当x＝1，y＝－2时， ． 【设计意图】通过知识梳理和例题分析，帮助学生加深对分式的概念和性质的理解，提升运算能力． 【要点二】分式的运算 知识点1　分式的乘除 1．乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 2．除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 知识点2　分式的乘方 一般地，当n是正整数时，，这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 知识点3　分式的加减 1．同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为：． 2．异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为：． 知识点4　分式的混合运算 分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减． 【例1】计算： （1）； （2）． 【答案】解：（1）原式＝ ＝ ＝； （2）原式＝ ＝ ＝． 【归纳】分式混合运算的注意事项 （1）注意运算顺序：含有加、减、乘、除、乘方的混合运算，应先算乘方，再算乘除，然后算加减，有括号的先算括号里面的； （2）注意转化：分式的除法运算要转化为乘法运算，异分母分式相加减要转化为同分母分式相加减； （3）注意必要的因式分解：若分子、分母中有多项式，应先进行因式分解； （4）注意化简：若分子、分母中有公因式，应先约分，最后结果要化为最简分式． 【例2】先化简，再从－1，0，1这三个数中，选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】解：＝ ＝ ＝x2＋1． 因为各分式的分母不能为0，所以x不能取±1，故x＝0． 所以原式＝02＋1＝1． 【例3】甲、乙两个工程队分别承担一条20 km公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路x km，另一半时间每天维修y km；乙队维修前10 km公路时，每天维修x km，维修后10 km公路时，每天维修y km．（x≠y） （1）试用含x，y的式子分别表示甲、乙两队完成任务所用的时间t1和t2； （2）请问甲、乙两队谁先完成任务？并说明理由． 【答案】解：（1）由题意可得．解得．甲所用时间． 乙所用时间． （2）甲队先完成任务，理由如下： ， ∵ x＞0，y＞0且x≠y， ∴ －10(x－y)2＜0，(x＋y)xy＞0， ∴ ＜0． ∴ t1＜t2． ∴ 乙的时间更长，即甲队先完成任务． 【设计意图】通过知识梳理和例题分析，帮助学生进一步巩固分式乘除、加减及混合运算的规则，提升其规范运算、运用相关法则解决问题的素养，培养推理能力和运算能力． 【要点三】整数指数幂 知识点1　整数指数幂 1．负整数指数幂的概念 一般地，当n是正整数时，（a≠0）．这就是说，（a≠0）是的倒数． 2．整数指数幂的运算性质 （1）（m，n是正整数）； （2）（m，n是正整数）； （3）（n是正整数）． 知识点2　科学记数法 一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中1≤a＜10，n是正整数． 【例1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）＋－． 【答案】解：（1）＝ ＝ ＝； （2）＝ ＝ ＝； （3）＝ ＝ ＝； （4）＋－＝＋1－＝． 【归纳】零指数幂、负整数指数幂的运算技巧 （1）遇到零指数幂，关键看底数是否为0，若底数不为0，则无论底数是何值，其结果都是1． （2）若负整数指数幂的底数是分数，将负整数指数幂转化为正整数指数幂时，需要把底数的分子与分母交换位置． 【例2】已知某分子的直径约为米，某花粉的直径约为米，用科学记数法表示该分子直径是该花粉直径的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【解析】()÷()＝(3.85÷5)×(÷) ＝0.77× ＝7.7×． 【设计意图】通过知识梳理和例题分析，帮助学生加深对整数指数幂的定义、运算性质以及科学记数法的理解，提升推理和运算能力． 【要点四】分式方程 知识点1　分式方程 分母中含未知数的方程叫作分式方程． 知识点2　解分式方程 1．解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解． 2．解分式方程的一般方法和步骤 （1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程． （2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等． （3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 知识点3　分式方程的应用 列分式方程解决实际问题的步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量． （2）找：找出等量关系． （3）设：设未知数． （4）列：列出分式方程． （5）解：解分式方程． （6）验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求． 【例1】解下列方程： （1）； （2）． 【答案】解：（1）方程两边同乘2x－1，得 2x－5＝3(2x－1)． 解得 x＝－． 检验：当 x＝－时，2x－1≠0． 所以原分式方程的解为 x＝－． （2）方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得 7(x－1)－6x＝－3(x＋1)． 解得x＝1． 检验：当x＝1时， x(x＋1)(x－1)＝0． 所以x＝1不是原分式方程的解． 原分式方程无解． 【例2】若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)， 即(m－1)x＝－10． ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，则x＝2或x＝－2． 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10 ，得(m－1)×2＝－10， 解得m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10 ，得(m－1)×(－2)＝－10， 解得m＝6． ∴ m的值是1，－4或6． 【归纳】分式方程无解的原因 （1）去分母后化成的整式方程无解； （2）整式方程有解，但这个解使原分式方程的最简公分母为0． 【例3】某超市用2 500元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨了9 100元资金购进该种干果，这次的进价比第一次的进价提高了30%，购进干果数量是第一次的2倍还多400千克． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）如果超市按每千克10元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的400千克按售价的八折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？ 【答案】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克(1＋30%)x元， 由题意，得． 解得x＝5．经检验，x＝5是方程的解且符合题意． 答：该种干果的第一次进价是每千克5元． （2） ＝(500＋1 400－400)×10＋3 200－11 600 ＝15 000＋3 200－11 600 ＝6 600（元）． 答：超市销售这种干果共盈利6 600元． 【设计意图】通过知识梳理和例题分析，帮助学生进一步巩固分式方程的解法以及分式方程在实际问题中的运用，提升运算能力、应用意识与模型观念． 课堂小结 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材172～173页复习题18第1～13题． 学科网（北京）股份有限公司 $