江苏省通州高级中学2025-2026学年高二上学期自主作业二数学试题

通州高级中学2024级高二数学自主作业（二） 组卷：高二数学备课组 一、单选题 1.在平面直角坐标系Oxy中，直线x-√3y-1=0的倾斜角等于() A.6 B号 c D. 5π 6 【答案】A 【分析】直线方程化为斜截式，得出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求解 【详解】直线x-5y-1=0化为斜截式y=5x-5,设其倾斜角为a, 3 3 则直线的斜率为k=tana- 3 因为0≤<π，所以&= 6 故选：A 2.已知直线3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是() A.4 B.10 C.vio D.710 20 4 20 【答案】D 【分析】根据两直线平行的充要条件求出m,再利用两平行线间距离公式求解 【详解】由直线平行可得2-1+-3，即3-6=0，解得m=2, 6 则直线方程为6x+2y+1=0,即3r+y+-0, 2 则两平行线间的距离是 2+ 7V10 V32+12 20 故选：D 3.圆心在直线2x一y=3上，且与两条坐标轴相切的圆的标准方程为() A.(x-3)2+(y-3)2=9 B.(x-1)+(y+1)2=1 C.(x-3)2+(y-3)2=16或(x-1)2+(y+1)2=4 D.(x-3)2+(y-3)2=9或(x-1)2+(y+1)2=1 【答案】D 【详解】由题，因为所求圆与两条坐标轴均相切，则可设圆心坐标为(x,x)或(x,-x)代入直线2x-y=3 得x=y=3，或x=1,y=-1故圆的标准方程为：(x-3)2+(y-3)2=9或(x-1)2+(y+1)2=1.选D 4.已知圆C过点(5,2)，(3,4)，(1,2)，过点(0,3)且斜率为k的直线1与圆C交于P,0两点，若PQ≥2W3, 则k的最小值为() A.-1 B.-3 C.3 4 D. 【答案】C 【分析】根据题意先求出圆的方程x2+y2-6x-4y+9=0及圆心(3,2)和半径2，然后利用直线与圆的弦长 公式从而可求解 】设圆C:X++Dx+y+F=0,易知-号=3，解得D: 所以x2+y2-6x+Ey+F=0, 7+4E+F=0 E=-4 将(3,4)，(1,2)代入可得， -1+2E+F=0'解得 F=9 国庆假期数学自主作业（二） 第1页共9页 所以圆C的方程x2+y2-6x-4y+9=0,则圆心C坐标为(3,2)，半径为2. 设直线上y=+3,则圆心(6,2)到直线y=+3的距离d=3k-2+3_3+1 Vk2+1 Vk2+11 又2N4-之25，则a≤1，即3t+1,整理得8+6≤0，解得-3sk≤0， 3 k2+1 4 所以k的最小值为，故C正确 故选：C. 5.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一 条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(3,1),B(4,2),C(2,3),则△ABC的欧 拉线方程为() A.x+y+1=0 B.x-y+1=0 C.x+y+5=0 D.x+y-5=0 【答案】D 【分析】根据已知条件结合重心公式计算出重心坐标，再求AB,AC两边上的高线方程并联立求出垂心坐 标，最后利用重心和垂心坐标确定欧拉线方程. 【详解】己知△ABC的顶点分别为A(3,1),B(4,2),C(2,3), 因为重心为三角形三个顶点对应坐标的平均数，即重心坐标为G 3+4+21+2+3 3,3 即G(3,2), 图为k是，则边B上的高线斜率为=一山 因边AB上的高线过点C,故其方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0① 同理k。=多}-2，则边4C上的商线斜率太=无。方 11 2-3 因边AC上的高线过点B,故其方程为y-2=(x-4),即x-2y=0②， 3 105 由①，②联立，解得， 即△ABC的垂心坐标为H 33 V= 3 2 由愿意，欧拉线过重心G和垂心H,则△1C的欧拉线方程为y-2-品(c-3) 3- 3 即x+y-5=0. 故选：D 6图C的方程为+产-圆C的方程a-cas旷+-mr=云aE.过8上任查一点：作圆C 25 的两条切线PM、PN,切点分别为MN,则∠MPN的最大值为() A君 B.4 c.3 D. 2 【答案】C 【分析】设O为C的圆心，OP=d由图可得cos∠OPM= 4 25d ,由dmin=Vsin28+cos26-二可得 (cos OPM)mn,从而求出（∠OPM)ms可得答案. 国庆假期数学自主作业（二） 第2页共9页 1 D ·01 【详解】 0 M 4 d2 设O为C2的圆心，OP=d由图可 cos∠OPM=PM 25 4, OP d 25d 又d。=Vsin20+cos26-1=1-1_4 425V3 5 -L5行，所以(OPM)--25×16 2 所以(oP0m君 所以∠MPN的最大值为 故选：C 二、多选题 7.对于直线1：x+2y+3a=0,l2:3x+(a-1)y+3-a=0.以下说法正确的有() A.1∥l的充要条件是a=3 B当a-号时，41h C.直线l一定经过点M(-3,0) D.点P(1,3)到直线l的距离的最大值为5 【答案】BCD 【分析】求出∥的充要条件即可判断A验证a-时，两直线斜率之积是香为1，判断B,求出直线经 过的定点即可判断C,判断何种情况下点P(1,3)到直线马的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当l∥，时，a(a-1)-6=0解得a=3或a=-2, 省☑=-2时，两直线为x-y+3=0,x-y+=0，符合题意 当a=3时，两直线为3x+2y+9=0,3x+2y=0,符合题意，故A错误； 当a号时，两直线为x+5y+3=015x-3y+18=0,么长-片5=1， 所以⊥12，故B正确： 直线l:ax+2y+3a=0即直线a(x+3)+2y=0,故直线过定点(-3,0)，C正确： 因为直线l:ax+2y+3a=0过定点(-3,0)，当直线4：ax+2y+3a=0与点P(1,3)和(-3,0)的连线垂直时， P(1,3)到直线4的距离最大，最大值为√1+3)+(3-0)2=5， 故D正确， 故选：BCD 8.已知直线：x-y-k=0,圆Mx2+y2+Dx+Ey+1=0的圆心坐标为(2,1)，则下列说法正确的是() 国庆假期数学自主作业（二） 第3页共9页 A.直线1恒过点1,0) B.D=4,E=2 C.直线1被圆M截得的最短弦长为2√互 D. 当k=1时，圆M上存在无数对点关于直线1对称 【答案】ACD 【分析】求出直线1所过定点，判断A:根据圆的一般式方程结合圆心可求得D,E的值，判断B;根据过 圆内一点的最短弦长的求法可判断C;判断直线1过圆M的圆心，结合圆的性质可判断D. 【详解】对于A,直线l:x-y-k=0即l:k(x-1)-y=0,则直线l过定点A,0),A正确： 对于B,圆Mx2+y2+Dx+Ey+1=0的圆心坐标为(2,1)， 即号2号1，放D4=-,B错谈： 对于C,圆Mx2+y2+Dx+Ey+1=0,即Mx2+y2-4x-2y+1=0,半径为2， 由于12+02-4-2×0+1<0，即点A(1,0)在圆M内， 当直线1与AM的连线垂直时，直线l被圆M截得的弦长最短， AM=V(2-1)2+1-0)2=√2，故最短弦长为222-（√2）2=2√2，C正确： 对于D,当k=1时，直线l:a-y-k=0即1：x-y-1=0, 圆M的圆心(2,1)在该直线上，即直线1通过圆M的圆心， 所以圆M上存在无数对点关于直线I对称，D正确， 故选：ACD 9.已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1,点P是圆M上一动点，过点P作圆O的两条切线， 切点为A,B,下列说法正确的是() A.圆心M的轨迹方程为y=x-4 B.圆O和圆M始终相离 C.存在某个位置使得∠APB=90° 若存在点P使得∠APB=60°，则a的取值范围是 2、 2 D. 2 【答案】ABD 【分析】根据圆的相关知识，对每个选项逐一分析即可 【详解】对于A,圆心M为(a,a-4),令x=a,y=a-4,所以y=x-4,圆心M的轨迹方程为y=x-4, 故A正确： 对于B,圆心M为(a,a-4),O(0,0),loM=Va2+(a-4)2=√2(a-2)2+8≥2W2, 圆M的半径为1，圆O的半径为1，OM>1+1,所以圆O和圆M始终相离，故B正确： 对于C,存在某个位置使得∠APB=90°，则∠AP0=45°，则PO=√2， 由圆M的半径为1，圆心M为(a,a-4),可得OM-1≤PO≤OM+1, 所以√a2+(a-4)2-1≤√2≤Va2+(a-4)2+1,整理得2a2+8a+13-22≤0 △=(-8)2-4×2x13-2W2)=8×(-5+2W2)<0,不等式无解，故C错误： 对于D,圆O的半径为1，圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线，切点分别为A,B,使得∠APB=60°， 则∠APO=30°. 在Rt△PAO中，PO=2, 所以OM-1≤PO≤OM+1 又圆M的半径为1，圆心M为(a,a-4), 国庆假期数学自主作业（二） 第4页共9页 所以MO=Va2+a-④ 所以Va+(a-4-1≤2≤Va2+(a-4}+1, 解得2- 2 a≤2+V2 则a的取值范围 2 /2 2x 故D正确 2 故选：ABD 三、填空题 10.已知直线12：x+(m+2)y+2-1=0,若直线l,在两个坐标轴上的截距相等，则实数m的值 为 【答案】或-1 0丙种特视时之，当。时求出百装在华标特上的德，即可相到 2m-1≠0 【分析】分2m-1=0与 方程，解得即可. 【详解】当21-1=0，即m=时，直线x+3=0,直线马在两个坐标轴上的截距均为0，符合题意： 2≠0，即m≠且m≠-2时， 当 对于直线：x+(m+2)y+2-1=0,令y=0,解得x=1-2,令x=0,解得y=1-2" +2 依题意可得二2=1-2，即1 m+2 0m+21,解得m=-1: 1 综上可得=二或-1. 2 故答案为：号或-1 11.已知点P(1,2)和圆C:x2+y2++2y+k=0,过点P作圆C的切线有两条，则实数k的取值范围 是 【容案】k号组大：2 【分析】由过点P可作圆的两条切线知，点P在圆的外部，根据点与圆的位置关系可得关于k的不等式， 结合C:x2+y2++2y+k=0为圆的一般方程，可知k满足的不等式，联立即可求解 【详解】因为C:x2+y2++2y+k=0为圆，所以k2+4-4k>0,解得k≠2， 又过点P作圆C的切线有两条，所以点P在圆的外部，故1+4+及+4+k>0,解得k>-9 ，综上可知 2 k>9且k+2 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系的应用，圆的一般方程，圆的切线的条数，属于中档题， 12.已知直线l:ax-y-4a=0与函数y=√4-x2交于A,B两点，当△AOB的面积取最大值时，实数a的值 为 【答案】-⑦ 7 【分析】根据题意可知函数y=√4-x2的图像为以原点O(0,0)为圆心，2为半径的上半圆，由圆的性质可 知当△AOB的面积取最大值时，则∠AOB=90°，结合圆心到直线的距离运算求解 【详解】由y=√4-x2可得x2+y2=4(y≥0)， 国庆假期数学自主作业（二） 第5页共9页 其图像为以原点O(0,0)为圆心，2为半径的上半圆， 可知S.Aom=,×04B sin.∠AOB=2sim∠AOB≤2， 2 即当△AOB的面积取最大值时，则∠AOB=90°，则AB=2√5， B2 -2 2 所以圆心O到直线的距离为d=4丛=AB=5, a2+1 即8a2=a2+1,解得a=± 7 因为是上半圆，且直线过定点(4,0)，所以a=-互 7 故答案为： 7 四、解答题 13.(1)己知直线1的方程为+(a-1)y+3=0,求直线1恒过定点的坐标. (2)已知点A(-2,3),B(3,-1),M(1,-2),若过点M的直线1与线段AB有公共交点，求直线1的斜率k 的取值范围. 【案1D定点(33：2（引[+ 【分析】将线1的方程为+(a-1)y+3=0分离参数a,解方程组可得答案； 2)作出示忘图，求出宁点=子可附答案 【详解】(1)由已知可得x+y-y+3=0,即a(x+y)-y+3=0, x+y=0 则 y-3=0 ,解得x=-3,y=3, ∴.直线1恒过定点(-3,3). (2)如图示，当直线1在直线MB和MA之间绕点M转动时，符合题意， B 5 2 3, 国庆假期数学自主作业（二） 第6页共9页 ,过点M的直线I与线段AB有公共交点， 51[1 则ke-o,32+ 14.已知圆C经过点(2,2)，且圆心为C(2,0). (1)求圆C的标准方程： (2)直线l经过点A(4,1),且1与圆C相交所得弦长为2√3，求直线4的方程： (3)求与圆C关于直线x+y+1=0对称的圆D的一般方程. 【答案】(1)(x-2)2+y=4 (2)y-1=0或4x-3y-13=0 (3)(x+2)2+(y+42=4 【分析】(1)根据点点距离求解半径，即可得圆的方程， (2)根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式，即可求解， (3)根据点关于直线的对称，可得圆心坐标，即可求解圆的方程 【详解】(1)设圆C的圆的半径为r, 因为圆C经过点(2,2)，故r=V(2-2)2+(2-0)2=2 所以圆C的方程为(x-2)+y2=4. (2)依题意，圆C的圆心到直线的距离为22-(N=1 当直线无斜率时，方程为x=4,圆心到直线的距离为2，不符合题意， 设直线4方程为y-1=k(x-4),即c-y-4k+1=0, 对2=1，解得名-专点=0， √k2+1 ∴.直线4的方程为y-1=0或4x-3y-13=0 (3)由题意得圆C和圆D的圆心C和圆心D关于直线x+y+1=0对称，且半径相同， 直线x+y+1=0的斜率为k=-1 (m+2 n 设圆心D(川，则C,D的中点坐标为22) koo =n -2' 则m2x(D=1 m=-1 m+2++2=0 ,解得 n=-3 十 2 2 所以圆D的标准方程为(x+1)2+(y+3)=4, 15.已知半径为2的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线4x-3y-1=0与圆C相切. (1)求圆C的标准方程. PB (2)已知A(0,-1),P为圆C上任意一点，在y轴上找出定点B(异于点A),使得 为定值，不需证明 PA (3)在(2)的条件下，若点D(4,6),试求1PA+PD1的最小值， 【答案】(1)x2+(y-3)2=4 (2)(0,2) (3)4√2 【分析】(1)设圆C的圆心坐标为(0，b)(b>0),根据直线与圆相切，可求得圆心，进而得到方程： (2)假设存在定点B,设B(0,m(m≠-)，表示出 P P4,进而求解： (3)结合(2)可得PA+PD=PB+PD,进而转化为P、B、D三点共线问题 【详解】(1)由题意设圆C的圆心坐标为(0，b)(b>0),则圆C的方程为x2+(y-b)2=4, 国庆假期数学自主作业（二） 第7页共9页 因为直线4x-3y-1=0与圆C相切， 所以点C0,)到直线4x-3y-1=0的距离d-上36-1-2， 因为b>0,所以b=3,故圆C的标准方程为：x2+(0y-3)2=4. (2)假设存在定点B,设B(0,m)(m≠-1)， 设P(x,y),则x2+(y-3)2=4, 则PgP+y-m √(6-2my+m2-5 PA Vx2+(y+1)2 V8y-4 当6-2m-m2-5 PB 8 -4 0,即m=2或】（舍去)时，PA为定值，且定值为宁， PB 故存在定点B使得 PA 为定值，B的坐标为(0,2)： D o)白a-专女-4.从面4po=l4四 当且仅当卫、B、D三点共线时，PB+PD最小， 且PB+PD0=BD=V(4-0)+(6-2)'=4W2, 所以PA+PD的最小值为42 16.已知圆C:x2+(2-2)x+y2+2y+1-=0,eR. (1)证明：圆C过定点. (2)当1=2时，过P(1,3)作圆C的两条切线，切点分别为A,B,求直线AB的方程： (3)当2=2时，若直线：y=-1与圆C交于M,N两点，且OM.O<-2,其中O为坐标原点，求 k的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)x+5y+5=0 (3)(-1,1) 【分析】(1)化简圆的方程为(x-1)2+y2+2(x+2y-1)=0,令x+2y-1=0,即可求解： (2)根据切线的性质，得到过P作圆C的两条切线的切点A,B,都在以PC为直径的圆上，求得以PC为 直径的圆方程，结合圆与圆的公共弦方程的解法，即可求解： -2k -4 (3)将)y=红-1代入圆C,利用根与系数的关系，得到气+，1+在，=1+F,根据以O应O示<2， 结合数量积的运算公式，得出不等式，即可求解， 【详解】(1)解：由圆的方程C:x2+(2-2)x+y2+22y+1-元=0， 可得x2-2x+1+y2+(x+2y-1)=0,即(x-1)2+y2+(x+2y-1)=0, 令x+2y-1=0,可得(x-1)+y2=0,解得x=1,y=0, 所以圆C过定点，且定点的坐标为(1,0). 国庆假期数学自主作业（二） 第8页共9页 (2)解：当1=2时，圆C的标准方程为x2+(y+2)=5, 可得C(0,-2),且x2+y2+4y-1=0, 根据切线的性质知，过P作圆C的两条切线的切点A,B,都在以PC为直径的圆上， 设Pc中点为D,即为圆心，因为PL3)且C0,-2,可得D,Pg-V6. 测以C为直径的圆方程为c-学+0扩=号，即+y--y-6=0, 又因为AB为圆C和圆D的公共弦，两圆方程相减得直线AB得方程为x+5y+5=0. (3)解：当1=2时，圆C的标准方程为x2+(y+2)=5,即x2+y2+4y-1=0, 将y=x-1代入x2+y2+4y-1=0,整理得(1+k2)x2+2-4=0, 则△=42+16(1+k2)=16+20k2>0恒成立， 设M5W.N,则头==登=1在 所以OM.ON=xx+yy=x+(-1(,-1) =+5+H1=+产+E12, 整理得2<1，解得-1<k<1,所以k的取值范围是(-1,1) 国庆假期数学自主作业（二） 第9页共9页通州高级中学2024级高二数学自主作业【二) 组卷：高二数学备课组 一、单选题 1.在平面直角坐标系Oxy中，直线x-√5y-1=0的倾斜角等于() A君 B.骨 c D.5 6 2.已知直线3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是() A.4 B.V10 C.vio D.710 20 4 20 3.圆心在直线2x-y=3上，且与两条坐标轴相切的圆的标准方程为() A.(x-3)+(y-3)2=9 B.(x-1)2+(y+1)2=1 C.（x-3)+(y-3)=16或(x-1)+(y+1)=4 D.(x-3)+(y-3)=9或(x-1)+(y+)2=1 4.已知圆C过点(5,2)，(3,4)，(1,2)，过点(0,3)且斜率为k的直线1与圆C交于P,Q两点，若P9≥2W3, 则k的最小值为() A月 B.-3 C.3 4 D.青 5.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一 条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(3,1),B(4,2),C(2,3),则△ABC的欧 拉线方程为() A.x+y+1=0 B.x-y+1=0 C.x+y+5=0 D.x+y-5=0 6.圆C的方程为+2=名，圆C的方程x-cos6+0-sm0=250e,过G,上任意一点P作圆G 的两条切线PM、PN,切点分别为M、N,则∠MPN的最大值为() A.交 6 B c.胃 D. 二、多选题 7.对于直线l:ax+2y+3a=0,l2:3x+(a-)y+3-a=0.以下说法正确的有() A.1∥1的充要条件是a=3 A当a-号1☑ C.直线l一定经过点M(-3,0) D.点P(1,3)到直线4的距离的最大值为5 8.已知直线1：x-y-k=0,圆Mx2+y2+Dx+y+1=0的圆心坐标为(2,1)，则下列说法正确的是() A.直线1恒过点(1,0) B.D=4,E=2 C.直线1被圆M截得的最短弦长为2√2 D.当k=1时，圆M上存在无数对点关于直线I对称 9.已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1,点P是圆M上一动点，过点P作圆O的两条切线， 切点为A,B,下列说法正确的是() A.圆心M的轨迹方程为y=x-4 B.圆O和圆M始终相离 C.存在某个位置使得∠APB=90° D.若存在点P使得∠APB=60°，则a的取值范围是 2-52+5 2 2 三、填空题 10.已知直线l,:x+(m+2)y+2m-1=0,若直线l2在两个坐标轴上的截距相等，则实数m的值 为 11.已知点P(1,2)和圆C:x2+y2+x+2y+k=0,过点P作圆C的切线有两条，则实数k的取值范围 是」 12.已知直线：ax-y-4a=0与函数y=V4-x2交于A,B两点，当△AOB的面积取最大值时，实数a的值 为 四、解答题 13.(1)已知直线1的方程为a+(a-1)y+3=0,求直线1恒过定点的坐标 (2)已知点A(-2,3),B(3,-1),M(1,-2),若过点M的直线1与线段AB有公共交点，求直线1的斜率k 的取值范围 14.已知圆C经过点(2,2)，且圆心为C(2,0). (1)求圆C的标准方程： (2)直线l经过点A(4,),且1与圆C相交所得弦长为2√3，求直线（的方程； (3)求与圆C关于直线x+y+1=0对称的圆D的一般方程. 15.已知半径为2的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线4x-3y-1=0与圆C相切. (1)求圆C的标准方程. PB (2)已知A(0,-I),P为圆C上任意一点，在y轴上找出定点B(异于点A),使得 为定值，不需证明 (3)在(2)的条件下，若点D(4,6),试求)PA+PD的最小值 16.己知圆C:x2+(2-2)x+y2+2y+1-元=0，元∈R. (1)证明：圆C过定点. (2)当元=2时，过P(1,3)作圆C的两条切线，切点分别为A,B,求直线AB的方程： (3)当元=2时，若直线1：y=kx-1与圆C交于M,N两点，且OM.ON<-2,其中O为坐标原点，求 k的取值范围.