江苏省南通市海安高级中学2025-2026学年高二上学期自主练习（二）数学试卷10.26

海安高级中学2025-2026学年度第一学期高二年级自主练习（二） 数学学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.经过原点00,0)与点P(1,1)的直线的倾斜角为() A.309 B.45o C.609 D.135 2.点(4,0)到双曲线。-二=1的一条渐近线的距离为（). 916 16 A.5 B.2 5 c D. 3.已知双曲线C若云-a>0,b>0的焦点r到渐近线距%与顶点A到箭近线距背之比为31，则双 曲线C的渐近线方程为() A.y=±2W2x B.y=tv2x C.y= b. 4.椭圆X+=1的焦点为乃，乃，椭圆上的点P满足∠P3=60°，则点P到x轴的距离为() A.4V3 B. 91V3 C.323 3 3 9 5。与椭圆c名+言1共焦点且过点仁)的双曲线的标准方程为《) A.x=1 B.y2-2x2=1 3 c.上=1 22 n背-r1 6.已知圆x2+(y+2)2=2(>0)上到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是() A.(0,1) B.1,3) C.(3,+0) D.(0,+0) 7.过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sna=() A.1 B.5 C.vio D.6 4 4 8已流国若+芳1a~6>0》的焦点为只，及，：是流圆上一点，且2听丽=网原若AK明 的内切圆的半径r满足P=3rsi∠R,P,则a+21e(其中e为椭圆C的离心率)的最小值为(） 7b 试卷第1页，共5页 A.V10 B.3v10 c.②i D.221 10 10 7 7 二、多项选择题：本题共6小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目 要求的.全部选对的得6分，部分选对的得相应部分分，有选错的得0分. 9.(多选)已知曲线c:r+-1,则（) 44 A.若m=n>0,则曲线C表示圆，其半径为元 2 B.若m>n>0,则曲线C是椭圆，其焦点在x轴上 C.若曲线c过点(2.)5， 则C是椭圆 2 D.若m=0,则曲线C不表示任何图形 10已知桃圆C哥+若=Ka>60的、右焦点分别为风，R且到K2,点0砂在循圆内部，点2在 椭圆上，则以下说法正确的是() A.2r+|QP|的最小值为2a-1 B.椭圆C的短轴长可能为2 C,椭园C的离心率的取值范围为Q) D.若PF=O,则椭圆C的长半轴长为√5+√17 L,己知椭圆C:5+1b>0,R,R分别为其左、右焦点，椭圆C的离心率为e,点M在椭圆上 点N(2,√2)在椭圆内部，则以下说法正确的是（) A.离心率e的取值范围为 V15 5 B.不存在点M,使得M+M,=可 C.当e-时，M+的最大值为 1 D.四+w瓜的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 试卷第2页，共5页 12.设m∈R,过定点A的动直线x+y+=0和过定点B的动直线x-y-m+2=0交于点P(x,y),则 |PAI+|PB的取值范围是 13.已知椭圆c:千长-1a>b>0)的左、右焦点分别为只、k,点、3在精网c上，满是识，巫=0， a+ AF=FB,若椭圆C的离心率e 「3√2 3’2 则实数取值范围为一 14.已知双面线C若-1a>0的上、下供点分别为因，R,点P在C上，且P明上y轴，过点E作∠牙PE 的平分线的垂线，与直线PF交于点A,若点A在圆O:x2+y2=上，则a的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)a=√3，焦点是(-3,0)，(3,0)的双曲线： (2)两个焦点在坐标轴上，且经过A(V3,-2)和B(-2W3,1)两点 16.己知直线1过点P(4,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点， (I)求三角形OAB面积取最小值时直线l的方程； (2)求OA+PB取最小值时直线l的方程. 试卷第3页，共5页 1如图.已知点-5)和点T(气可列在双商线C号千-a>0b>0)上双找c的左顶点为A, 过点L(,0)且不与x轴重合的直线l与双曲线C交于P,2两点，直线AP,AQ与圆O:x2+y2=分别交 于M,N两点 M (1)求双曲线C的标准方程： (2)设直线AP,AQ的斜率分别为k,k2,求kk的值： (3)证明：直线MW过定点 18已：点e)在双圃线C若广=a>》上，直线I交C于八Q两点，直线4识AQ的斜字之和为 0. (1)求1的斜率： (2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积. 试卷第4页，共5页 19.已知椭圆CX+式a>b>0的离心率为3，下顶点为A,右顶点为B,IABi0. 3 (1)求C的方程： (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AP斗AR=3. (i)设P(,),求R的坐标（用，n表示)： ()设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PO的最大值. 试卷第5页，共5页海安高级中学2025-2026学年度第一学期高二年级自主练习（二） 数学学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.经过原点O0,0)与点P1,1)的直线的倾斜角为() A.30° B.45 C.60° D.135 【答案】B 【分析】由题意，根据倾斜角与斜率的关系，可得答案， 1-0=1, 【详解】设过点O与点P的直线的倾斜角为a,因为直线OP的斜率tama=k=1-0 又0°≤a<180°，所以=45°， 故选：B 2点40到双前线兮后1的一条茶近线的距爽为() .16 B. 12 6 5 c.5 D. 5 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式进行求解即可 详解】双曲线父y1的浙近线方程为：三士，因为点40在横轴上 916 所以不妨设其中一条渐近线的方程为4x-3y=0, 因此点(4,0)到双曲线 =1的一条渐近线的距离为： 916 4×4 16 V4+(-3)2 5, 故选：A 3.已知双线C若若1a>0,6>0的焦点P到精近线距窝与顶点4到新近线面之比为3，则双 曲线C的渐近线方程为() A.y=+2v2x B.y=±V2x C.y= 2 D.y= 试卷第1页，共21页 【答案】D 【分析】设出渐近线方程为y-=0,利用点到直线距离公式列出方程，求出c=3a,结合c2=a2+b2, 得到渐近线方程 【详解】根据题意，可设一条渐近线为y-=0, 取F(0,c,A(0,a), bc 所以+ ba -=3,解得：c=3a,因为c2=a2+b2, √a+b 故b2=8a2, 因此双曲线的渐近线方程为y=士只x=±巨， b 4 故选：D 4.椭圆 =1的焦点为耳，E,,椭圆上的点P满足∠EPE,=60°，则点P到x轴的距离为() 10064 A. 64V3 B. 91v5 c.32W5 3 3 9 D. 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得PPR,一方面S。55=P四P四si血60，另一方 面设点P到x轴的距离为d,则3子，k小d,所以in6水d,即可求解 【详解】易得c=√a2-b=6.设P=5,PF引=，则5+5=20 在△P耳F中，由余弦定理得(2c)=2+-25cos60°， 即144=+月-5=G+方)户-35=400-35，则=25 所以5s=号5m60-2565-645 1 2323 设点P到x轴的距窝为d,则Ss-rd=日，故6d=645,解得d=5 1 3 故选：C 5.与椭圆c:之+二=1共焦点且过点1,3)的双曲线的标准方程为() 1612 A.-少=1 B.y2-2x2=1 3 C.x2 221 D. 3=1 试卷第2页，共21页 【答案】C 【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得a的值，再由b=√c2-a2可求得b的值，结合双 曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程 【详解】祸圆C的焦点坐标为Q±2，设双曲线的标准方程为若若=1a>0>0), 由双曲线的定义可得2a k5+2可45-2可6+)6-=25 a=√2，c=2,b=√c2-ad=2, 因此，双曲线的方程为父_二-1 2-2 故选：C 6.已知圆x2+(y+2)=r2(>0)上到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是() A.(0,1) B.1,3) C.(3,+m) D.(0,+m) 【答案】B 【分析】先求出圆心E(0,-2)到直线y=√3x+2的距离，然后结合图象，即可得出结论 【详解】由题意， 在圆x2+(y+2)=2(r>0)中，圆心E(0,-2),半径为r, 到直线y=V3x+2的距离为1的点有且仅有2个， “圆心B(0,-2)到直线y=√3x+2的距离为：d= x3-(21+月-2 3+( 故由图可知， 当r=1时， 圆x2+(y+2)=r2(r>0)上有且仅有一个点(A点)到直线y=√3x+2的距离等于1： 试卷第3页，共21页 当r=3时， 圆x2+(y+2)'=2(口>0)上有且仅有三个点(B,C,D点)到直线y=√3x+2的距离等于1； 当则r的取值范围为(1,3)时， 圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线y=√5x+2的距离等于1. 故选：B 7.过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=() A.1 B.V15 C.vio D.6 4 4 4 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长， 结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k+8k+1=0,利用韦达定理结合 夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为x2+y2-4x-1=0,即(x-2)+y2=5,可得圆心C(2,0),半径r=√5， 过点P(0,-2)作圆C的切线，切点为A,B, 因为PC=V2+(←2=22，则PA=VPC-2=3, 可得smPC5i0n 焉平w心-点华 则sim∠APB=sim2∠APC=2in∠APCcs∠APC=2xM0V5i正， 4 4 4 即∠APB为钝角， 所以sina=sin(π-∠APB)=sim∠APB= v15 4 法二：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=√5， 过点P(O,-2)作圆C的切线，切点为A,B,连接AB, 可得PC=V22+(←2)=22，则|PA=|PB=VPC-r2=5, 因为PA+PBP-2 PA.PB cos∠APB=CA1+B1-2 4 CB cos∠ACB 试卷第4页，共21页 且∠ACB=π-∠APB,则3+3-6coS∠APB=5+5-10cos(π-∠APB), 即3-c0s∠APB=5+5cos∠APB,解得c0s∠APB=-10, 4 即∠APB为钝角，则cosa=c0s(π-∠APB)=-cos∠APB= 4 且a为锐角，所以s咖a=cosg=5: 4 方法三：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=√5， 若切线斜率不存在，则切线方程为x=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意： 若切线斜率存在，设切线方程为y=kx-2,即-y-2=0, 则2k-3=5,整理得k+8k+1-0,且A=64-4=60>0 Vk2+1 设两切线斜率分别为k,k2,则k+k2=-8kk2=1, 可得k-=V低+k)广-4kk,=25, 所以tana= -=5,即ng=5,可得cosa= sin a 1+kk2 cos a V15, sincon1, 15 且ae(0,),则sina>0,解得sin= v5 4 故选：B. 8.已知椭圆+y2 元+1(a>b>0)的焦点为R,乃，P是椭圆上一点，且2P丽P丽=P丽P,若△RPg 的内切圆的半径r满足|PR=3rsin∠RE,P,则心+21e 7b (其中e为椭圆c的离心率)的最小值为() A. @ B.3v0 c.V2 D.2W2 10 10 7 【答案】B 试卷第5页，共21页 【分析】由已知即向量数量积定义可得08∠P明-分应用余孩定理求得P明P明一等， 根据等面积 3 法可得r= √3b2 3(a+c)' 再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立 条件 【详解】由题设2所丽-2p丽P丽啊水sRP明丽丽小枚os∠RP照=分， 又4PR4,则∠RPR子 由余弦定理知： COSZRPE-IPRF+IPEF-IEEE QPEI+IPED-21PKIPEI-IEBF 2|PF‖PEI 2 PEPE 4a2-c2)-1= 4b2 2|PFI川PE12P℉|PE/ 所PR阳-，面S限1mP呢6， 2 3 1 因为△FPB的内切圆的半径r,故S5=0PR+PE+|E,D=(a叶gr， 2 所以a+cr=5b,则r= V362 3 3(a+c) FF,2c PR 庙P=3sm∠R驱2，即sin FPR sin9mFsP分 3 所以36k a+c万，整理得7e+4e-3=(e-3e+)=0且0<e<1, 3 所以e=7 9 9 9 a2+21e a2+9 a+ a+ 2,a- a Va30,当且仅当a=3时等号成立， 7b 7a-c2 7-e2 2W1021010 所以目标式最小值为3@ 10 故选：B 二、多项选择题：本题共6小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目 要求的.全部选对的得6分，部分选对的得相应部分分，有选错的得0分. 试卷第6页，共21页 9.(多选)己知曲线c:mr+四=1，则（) 44 A.若=n>0,则曲线C表示圆，其半径为 B.若m>n>0,则曲线C是椭圆，其焦点在x轴上 C.若曲线c过点（√2，），、 9 则C是椭圆 D.若m=0,则曲线C不表示任何图形 【答案】AC 【分析】分别根据，的范围及圆，椭圆，直线的解析式特征判断各个选项即可. 【详解】若m=n>0,曲线C可化为x2+y=4,其表示半径为 2 的圆，A正确： L √ x2,y2 当m>心>0时，曲线C可化为年+4=1，表示椭圆，因为0<4<4，所以其焦点在y轴上，B错误： nn m n l+=1, 24 m=1, 对于C,依题意得 解得 n=2, 则曲线C为椭圆，C正确： g1 取m=4,n=0,此时曲线C:x2=1,其表示两条直线，D错误. 故选：AC 义○、已细随圆C:2女少 F1a>b>0)的左、右焦点分别为只，R且R=2,点PL)在椭圆内部，点Q在 椭圆上，则以下说法正确的是() A.2+|2P的最小值为2a-1 B.椭圆C的短轴长可能为2 C.椭圆C的离心率的取值范围为0， 5-1 2 D.若P死=2，则椭圆C的长半轴长为√5+7 【答案】AC 【分析】利用椭圆的定义计算判断A;点P在椭圆内建立不等式，推理计算判断BC;求出点Q的坐标，列 出方程计算判断D作答 【详解】对于A,由FF=2,得F(-1,o),F(1,0),PF=1,则+2P=2a-pF2+pP 试卷第7页，共21页 =2a-(QF|-|QP)≥2-P上2a-1,当2，，P三点共线时取等号，A正确： 因于B。由点P山)在椭圆内部，得子+京<1，则1，有b>1,椭圆C的短轴长大于2，B错误 对于c因为宁京<1，月心-公=1，于是宁1，回a-r-小0 解得r,3+5_Q±，即a>1+5,因此e=51,椭圆C的离心率的取值范国为0,5马， 2 4 2 2 2 C正确： 对于D,由P丽=0，得R为线段P的中点，即0(-3，-l),则是+京=1，又-b=1, 即a-1r+9-0.解得G-1+_5+,则a=5+匝，桃圆c的长半销长为5+ 2 4 2 2 错误。 故选：AC Q F F2 F2 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体 现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数 关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围。 Ⅱ.已如能圆C:号+后=1b>0.B,男分别为其左、右焦点，椭题c的离心辛为e,点在箱圆上， 点N(2,√2)在椭圆内部，则以下说法正确的是() V15 A.离心率e的取值范围为 5 B.不存在点M,使得M匠+ME=0 C,当e=时，E+的最大值为5 D. 四Mg的最小值为1 【答案】ABC 【分折】A:根据点N化)在楠置内部可得音会<山，从而可得6？的取值袍出，从面可求高心本的取值 试卷第8页，共21页 范围；B:根据相反向量的概念即可求解；C:求出c和E,利用椭圆定义将M化为M,,数形结合即 可得到答案；D利用M+M=2a可得 网+网2a网m项a+-aC2 11 2a ME MF 利用基本不等式即可求解 【详解】对于A由已知可得，音+忌<1，所以公>】品 ,故A正确： 对于B,由M瓜+ME,=O可知，点M为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确： 对于C,由已知e=c=1 }a=3,所以c=( 根据椭圆的定义可得M+M,=2a=6, 所以M+MW=6-MF,+MW, 由图可知，-Nr,sMW-M≤N, (M0 F (M0 所以-1=6-R+as6-N-5 当且仅当M,N,,三点共线时，取得等号. 15 故M+N的最大值为，故C正确： 对于D,因为M+ME引=6， 高+-阙】 试卷第9页，共21页 6 ME ME 当且仅当 ME ME, 即M=M=3时，等号成立 所以， M g的最小值为，故D错误。 故选：ABC 【点睛】本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设M∈R,过定点A的动直线x+y+=0和过定点B的动直线x-y-+2=0交于点P(x,y),则 IPA+|PB|的取值范围是 【答案】「V10,251 【分析】利用直线的点斜式方程及两点间的距离，结合三角换元、辅助角公式及三角函数的性质即可求解 【详解】由题意可知，动直线x+w+m=0经过定点A(0,-1), 动直线x-y-m+2=0,即y-2=m(x-1),经过定点B(1,2), 所以AB=V0-1)2+(-1-2)2=0, 显然动直线x+y+=0和动直线x-y-+2=0始终垂直， 又因为P是两条直线的交点，所以PA⊥PB, 所以PA+PB=AB=10, 设∠ABP=日，则PA=V10sim6,PB=V10cos8, 因为40HPm0.可物00 所以24HlP9osu6ocas0=25ma+9到 因为0引所以+牙 所以sm0+}s1,即而s25m0+)25 0 4 所以PA+PB的取值范围是「V10,25] 试卷第10页，共21页