江苏省海门中学2025-2026学年高二上学期周测数学试题（12.12）

海门中学高二数学周练2025.12.12 一、单选题 1.空间向量a=(2,0,2)在b=(0,1,1)方向上的投影向量为() A.2、 2 a B.B C.o D. 2.过原点可以作两条线与圆x2+y2-y+m-1=0相切，则实数的取值范围为（) A.(1,+0) B.(1,2)U(2,+w）C.[1,+0) D.[1,2)U(2,+o) .己知双曲线。1α>0，b>0的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为】 A.x±V3y=0 B.√3x±y=0 C.x±3y=0 D.3x±y=0 4.已知公差为d的等差数列{a}的前n项和为Sn,则满足对任意n∈N,Sn1>Sn恒成立的一个充要条件是 () A.4>0,d>0 B.4<0,d>0 C.42>0,d≥0 D.ad>0 5.在正项等比数列a中，a4=64,且a,号，10成等差数列，则a的值为《) A. 1 B号 C.18 D.24 6.在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点 叫作“完美顶点”，若在四面体ABCD中存在“完美顶点”A,AB=2,AC=3,AD=6,F为AD的中点，则CF 与BD所成角的余弦值为() A. B.5 c.35 D.22 6 6 10 5 7.己知点A(2,0),圆O:x2+y2=4,点B在圆O上运动，点M满足AM=2MB,动点N在直线x=3上， 则W的最小值为() B.2 D.1 8.已知等差数列{a,}的公差不为0，设b=4(i∈N),若，=2，n=5,=14,数列{b}为等比数列， 试卷第1页，共5页 则下列选项中一定是数列b}中的项是() A.ds B.421 C.422 D.423 二、多选题 9.已知圆C:x2+y2-4x+2y+2=0和圆C2:x2+y2-4y-12=0,则下列说法正确的是（) A.若=0，则圆C和圆C,相离 B.若m=0,则圆C和圆C,的公共弦所在直线的方程是x-y-3=0 C.若圆C1和圆C,外切，则m=2√2-2或-2√2-2 D.若圆G和圆C,内切，则=-2 10已如圆裤由线C号兰，1的离心半为对片，写，只分圳为线C的左，右店点，P为线C小一么， 则下列结论正确的是() A.k=17 B.△PF,的周长为12 C.△P耳E面积的最大值为4 D.PE·PE,的取值范围是[8,12] 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点P为线段B,C上的一个动点，则下列结论正确的是 () D B A D B A.BD⊥AP B.三棱锥A-APD的体积是 3 C.PA+PC,的最小值为√6+√2 D.直线AP与平面BCCB夹角正弦值的最大值为y6 试卷第2页，共5页 三、填空题 12.己知直线I的斜率k∈[-L,√3]，则该直线的倾斜角α的取值范围为 l3.已知等差数列{a}的前n项和是Sn,S。>0,S,<0,则数列{d}中最小的项为第 项 14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点M(x,2)到y轴的距离为1，动点P在C上，动点2 在圆N:(x-2)2+(y-1)2=1上，当P9+PF取最小值时，△PN的面积为 四、解答题 15.己知Sn是等差数列{a}的前n项和，且Sn=-n2+15n. (1)求数列{a}的通项公式： (2)n为何值时，Sn取得最大值并求其最大值， 16.已知圆C经过A(2,-1),B(0,5),且圆心在直线x-y+1=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)若直线：y=x+4截得圆C弦长最短时，求实数k的值 试卷第3页，共5页 17.在三棱柱ABC-AB,C中，点M为侧面正方形BB,CC的中心，AM⊥平面BB,CC,且BB,=√2，E为 AC的中点，直线EB,与平面BBC,C所成角的正切值为10 5 (1)证明：ABW平面B,CE； (2)求四棱锥A-BBCC的体积： (3)求平面ABC与平面BCE所成角的余弦值. 18.已知情圆C+号〔a>bg上右顶点到左焦点的距离为2-2，上顶点的s标为Q (1)求椭圆C的方程： (2)设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E,证明直 线AE与x轴相交于定点O; (3)在(2)的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求OM.ON的取值范围. 试卷第4页，共5页 19.已知A5,-1),B1,1),C(2,3)三点 (I)求△ABC外接圆方程； (2)若过点P(3,2)的直线1与中心在原点，过B,C两点的双曲线D相交于M,N两点，A能否是线段MN的 中点？请说明理由？ (3)S,T是双曲线D上的两个动点，且直线BS,BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值. 试卷第5页，共5页海门中学高二数学周练2025.12.12 一、单选题 1.空间向量a=(2,0,2)在b=(0,1,1)方向上的投影向量为() A. -a B.b D. 2 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义进行求解即可 【详解】空间向量a=(2,0,2)在b=(0,1,1)方向上的投影向量 a五b= 2 b=b P+1F） 故选：B 2.过原点可以作两条线与圆x2+y2-y+-1=0相切，则实数m的取值范围为（) A.(1,+0) B.(1,2)U(2,+0)C.[1,+o) D.[1,2)U(2,+) 【答案】B 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到半径”= Vm2-4m+4 ,求出的范围，再由原点在圆外， 2 得到原点到圆心的距离大于半径，从而求出参数的取值范围 【详解】圆x2+y2-y+m-1=0,, 即x+y- m2-4+4 2 4 圆心为0， 2 半径r=Vm2-4m+4 且m2-4m+4>0,.≠2 又因为过原点可作两条直线与圆x2+y2-y+m-1=0相切，所以原点在圆外， m-1>0 ≠2 ，解得m>1且m≠2 故选：B 3.已知双出线苦票-口>0,6>0)的离心率为2，则该双酯线的有近线方程为() A.x±V3y=0 B.V3x±y=0 C.x±3y=0 D.3x±y=0 【答案】B 试卷第1页，共17页 【分析】根据双曲线的离心率公式得-5，再利用渐近线公式即可得到答案 【详解】由双曲线若后-1的窝心率为2， 得1+a 2 =2,解得2-5， 而双曲线r少 b =1的渐近线方程为y=±二x,即y=±V3x, a2 b2 所以该双曲线的渐近线方程为√3x士y=0. 故选：B 4.己知公差为d的等差数列{a}的前n项和为Sn,则满足对任意n∈N,S>Sn恒成立的一个充要条件是 () A.4>0,d>0 B.a<0,d>0 C.4>0,d≥0 D.ad>0 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和S。与a,的关系，结合充要条件的定义对选项逐一分析即可. 【详解】Sn1>Sn台Sn+1-Sn>0一a1>0台a2>0,d≥0， 所以C是S+1>S的充要条件， A是Sa1>Sn的充分不必要条件， BD是既不充分也不必要条件 故选：C 5.在正项等比数列{a,}中，a4=64,且a,4,10成等差数列，则4，的值为〈) 3 A. 81 B. 32 C.18 D.24 2 9 【答案】C 【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可. 【详解】在正项等比数列{a,}中，设公比为q,q>0, 则a2=a,4=64a,=8,又a,0,10成等差数列， 3 则2=a,+10=184,=27,则g=22279 3 3 89 2 试卷第2页，共17页 故4=40=18， 故选：C 6.在一个四面体中，若存在一个项点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点 叫作“完美顶点”若在四面体ABCD中存在“完美顶点”A,AB=2,AC=3,AD=6,F为AD的中点，则CF 与BD所成角的余弦值为() A. B. 5 C.35 D.22 6 6 10 5 【答案】C 【分析】取AB的中点G,连接FG,CG,得∠CFG(或其补角)即为CF与BD所成的角，根据已知及余 弦定理求夹角余弦值 【详解】取AB的中点G,连接FG,CG, C D B 因为FGI1BD,所以∠CFG(或其补角)即为CF与BD所成的角， 图为G=D √4+36 2 =0,CG=√+1=0，CF=9+9=3W2, 所以cosCFG=CR2+G-CG2_18+10-1035 2CF.FG 2x3W2x1010, 即CF与BD所成角的余弦值为35 10 故选：C 7.已知点A(2,0),圆O:x2+y2=4,点B在圆O上运动，点M满足M=2MB,动点N在直线x=3上， 则MW的最小值为() A.3 B.2 C. 4 D.1 【答案】D 【分析】设出点M、B的坐标，结合向量坐标运算可得点M的轨迹方程，再利用圆上的点到定直线的距离 的最值求法计算即可得。 试卷第3页，共17页 【详解】设M(x,y),B(,n),则m2+n2=4, m=3x 由M=2MB,则 ag 2， n= 2 故+y=4,化筒得(-+-乡 即点M在国---上，谈回四心为居0小径专 则a时网-=3-号到含1 B M 故选：D 8.已知等差数列{a}的公差不为0，设b=4(i∈N),若=2，，=5，n=14,数列{b}为等比数列， 则下列选项中一定是数列b}中的项是() A.as B.a421 C.422 D.a23 【答案】C 【分析】根据题意计算得到d=2a,4,=2a·n-4,b,=4·3-1,依次判断每个选项是否满足得到答案 【详解】根据题意知：b,=4,b,=a,b,=44,数列b}为等比数列，故a,2=4·44, 故(a+4d)=(a+d)(a+13d),化简得到d=2a, 故a=2an-4,b,=43-1. a1=161a=bm=4·3m1,无整数解，排除： 421=241a=bn=a·3m1,无整数解，排除： 422=24301=bn=4·3m-1,m=6,满足； 试卷第4页，共17页 423=245a1=bn=a·3m1,无整数解，排除： 故选：C 【点睛】， 本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列知识的灵活运用. 二、多选题 9.已知圆C:x2+y2-4x+2y+m2=0和圆C2:x2+y2-4y-12=0,则下列说法正确的是（) A.若m=0,则圆C和圆C,相离 B.若=0，则圆C和圆C,的公共弦所在直线的方程是x-y-3=0 C.若圆C和圆C,外切，则m=22-2或-2√2-2 D.若圆C和圆C2内切，则=-2 【答案】BD 【分析】根据两圆的位置关系判断ACD,利用相交圆公共弦求法判断B. 【详解】圆C:（x-2)+(y+m)=4,圆心C(2,-m),半径为1=2， 圆C2:x2+(y-2)2=16,圆心C2(0,2),半径为2=4， 对于A,当m=0时，|CC=2W2,因为52-5=2<2W2<6=5+5, 故两圆相交，故A错误： 对于B,当=0时，两圆相交，公共弦所在直线的方程是x2+y2-4x-(x2+y2-4y-12)=0, 即x-y-3=0,故B正确： 对于C,由两圆外切，得√4+(2+)=6，解得m=-2±4√5，故C错误： 对于D,由两圆内切，得√4+(2+m2=2,解得=-2，故D正确。 故选：BD 10已知圆能唐线C兰；1的离心率为时，只.瓦分别为角线c的，右焦点，P为曲线C上一点， 则下列结论正确的是() A.k=17 B.△P耳F的周长为12 试卷第5页，共17页 C.△P耳E面积的最大值为4 D.PE·PE的取值范围是[8,12 【答案】ABD 21 【分析】由曲线C的轨迹为椭圆，得到后2，求得k=17,可判定A正确：根据椭圆的定义，求 得。PRR的周长，可判定B正确：根据S=R少小，结合椭圆的性质，可判定C错误：设点P的坐标 为m0,求得P呱P瓜=m+8,结合椭圆的性质，可判定D正确 4 【详解】对于A由圆锥曲线℃二十之1的离心车为，则前线c的轨迹为输】 可得a=√k-1,b=√k-5,则c=√k-1)-(k-)=2, 则可得e-后后日解得新=1…所以A正痛 对于B,由A得椭圆C的方程为+-1，可得a=4b=2√5，c=2, 1612 又由椭圆的定义，可得△P耳E的周长为P+PF+F=2a+2c=12,所以B正确： 对于C,由aPRR面积为S=R小，因为∈-25,25]， 所以当点P为短轴的端点时，△PE,面积取得最大值， 可得P5瓦面积的最大植为S-b-子4x25=45,所以C错误： 对于D,设点P的坐标为0m0,其中me[4,4利，则匹+花=1，所以心=12-3 1612 4, 因为F(-2,0),F,(2,0),可得PF=(-2-,-n),PE=(2-m,-n), 则PRP灭=（←2-m,-m-(2-m,-m）=m+-4=号m+8, 4 因为m∈[-4,4，可得心+8∈&，12]，即P丽P明取值范围为&，12]，所以D正确， 故选：ABD, 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点P为线段B,C上的一个动点，则下列结论正确的是 () 试卷第6页，共17页 D B Di B A.BD⊥AP B.三校能A-APD的体积是 C.PA+PC的最小值为√6+√2 D.直线AP与平面BCCB夹角正弦值的最大值为y6 【答案】ACD 【分析】对A,以D为原点建系，设BP=BC,利用坐标计算BD·AP=0;对B,由V4-AD=V,-4D求解： 对C,展开△BCC使其与△AB,C在同一平面，根据两点之间直线最短计算；对D,得出平面BCC,B,的 个法向量为m=(0,1,0),计算cos AP,的最大值。 【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系， D B B 则A(2,0,0),D(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0),B(2,2,2), 所以BD=(-2,-2,2),AB,=(0,2,2),B,C=（-2,0,-2), 设B,P=B,C=(←21,0，-21)，0≤1≤1，则AP=AB1+BP=（2元，2,2-2)， 则BD·AP=41-4+4-4元=0，故BD⊥AP,故A正确： 因DC⊥平面BCC,B,则平面BCCB的一个法向量为m=(0,1,0), 试卷第7页，共17页 则cosP,m= AP.m 2 1 Am42+4+(2-2)月 V222-21+2’ 当1-号时，27-21+2有最小位子c0正成有最大伯 3 故直线AP与平面BCCB夹角正弦值的最大值为 ,故D正确： 3 因平面AADD∥平面CBB,C1,B,Cc平面CBB,C1,则B,C∥平面AAD, 所以=-A-写2x2x2-故B错误 1 32 因APc平面AB,C,则展开△B,CC使其与△AB,C在同一平面，如图， A 则PA+PC的最小值为AC1, 因△BCC为边长为2√2等边三角形，△AB,C是腰长为2的等腰三角形， 则P为B,C的中点，则AC=√6+√2，故C正确. 故选：ACD, 三、填空题 12. 己知直线I的斜率k∈[-L,√3]，则该直线的倾斜角a的取值范围为 【答案】( 1 【分析】根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围求倾斜角的范围. 【详解】由-1≤k≤V5,得-1≤tana≤√3， 又ae,所以ae0gH[ 故答案为： l3.己知等差数列{a}的前n项和是S,S。>0,S,<0,则数列{C}中最小的项为第 项 试卷第8页，共17页 【答案】5 【分析】依题意根据等差数列求和公式得到a,<0、a,+a,>0,la,>α，即可得到等差数列{a}为递减 数列，即可求出数列{}中最小的项。 【详解】S,=9a)=如，<0，&=84a）=4(a4+a,)>0, 2 2 .a>0且a4>-a>0,h4>-a,故等差数列{an}为递减数列，即公差为负数， >a好，且0>a5>a6,-a6>-a>0,∴话>a,所以数列{a}中最小的项是第5项。 故答案为：5. 14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点M(x,2)到y轴的距离为1，动点P在C上，动点2 在圆N:(x-2)2+(y-1)2=1上，当P9+PF取最小值时，△PN的面积为 7 【答案】80875 【分析】过点P作准线x=-1的垂线，垂足为A,得到PA=PF,由PO≥PN-1,得到PO+PF≥2当 A,P,O,N四点共线且点O在点P,N之间时等号成立，即可求解 【详解】由题可知x。=1,所以点M(1,2)在抛物线C:y2=2x(p>0)上，则4=2p, 解得p=2,所以抛物线C:y2=4x,F(1,0),准线方程为x=-1, 由题知圆N的圆心为N(2,),半径为1. 过点P作准线x=-1的垂线，垂足为A,则PA=PF,又PQ≥PN-1, 当P,Q,N三点共线且点Q在点P,N之间时等号成立， 所以Pg+PF≥PW+PA-1≥AN-1=2, VA 当A,P,2,V四点共线且点Q在点卫，N之间时等号成立，所以Pg+PF列的最小值为2，此时y,=1,则x,=4, 1 试卷第9页，共17页 所以PW=2-1-7 44 17 7 所以当PO+PP列取最小值时，Sw=2×X1=8 故答案为：8 7 四、解答题 15.己知S,是等差数列{a}的前n项和，且Sn=-2+151. (1)求数列{a}的通项公式： (2)n为何值时，Sn取得最大值并求其最大值， 【答案】(1)a.=-2n+16 (2)n=7或n=8时，Sn取得最大值56 【分析】(1)根据a。与Sn关系求解： (2)法一，利用二次函数求最值：法二，由项的符号求最值 【详解】(1)由题意可知：Sn=-n2+15n, 当n=1时，a=S=-1+15=14, 当n≥2时，a.=Sn-Sn-1=-n2+15n-[-(-1)2+15(n-1]=-2n+16, 当n=1时，4=-2×1+16=14，符合4=S=14, ∴.数列{a}的通项公式a.=-21+16; 2》法8m+15=-a+ 4 由二次函数图象及neN知n=7或n=8时，Sn取得最大值56. 法二：当n≤7时，a=-21+16>0, 当n=8时，4.=-2n+16=0, 当n≥9时，a,=-21+16<0, 所以当n=7或8时，Sn有最大值S,=S。=56 试卷第10页，共17页