江苏省海门中学2025-2026学年高二上学期周测数学试题（12.5）

海门中学高二数学周末练习2025.12.5 一、单选题 1.记等差数列{a}的前n项和为Sn,若4+a,=a4+5,4,=7,则Ss=() A.90 B.100 C.108 D.126 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由4，+4，=4+5，可得4+a,=4+5,所以4。=5， 又43=7，所以4，+43=5+7=12， 所以S.=18(6+a）_18a+a-912=108 2 故选：C 2.如图，在三棱锥S-ABC中，点B,F分别是S4,BC的中点，点G满足G=}BF,若4=ā，S西=6， SC=c,则SG=() E G B A. a+2B+ 6 6 1 1÷1 B.3 a+二b+二c 66 c.+6 ++ D. a+6+c 333 【答案】B 【分析】根据点E,F,G的位置，由空间向量的线性运算即可求解， 【详解】由题意得E,F分别是SA,BC的中点，点G满足BG=1EF, 2 可得5-亚+丽-+兮环号+7-到 2 3 试卷第1页，共22页 ++网网+x 1,1元1- -a+-b+-c 36 6 故选：B 3.“a=1”是“点A(0,1),B(1,0)到直线x+y+1=0的距离相等的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件 【答案】A 【分析】由点到线的距离公式列出等式求得a,即可判断 【详解】解：点A(0,1)到直线的距离：4-1×0+x1+12+ V12+d2 点B(L,0)到直线的距离：4=Lx1+ax0+12 v12+ V2+1 由d=d2,得 a+1 2 即a+1=2, Va2+1√a+1 解得a+1=2或a+1=-2,即a=1或a=-3。 故“a=1”是“点A、B到直线距离相等”的充分不必要条件. 故选：A 4.点9为直线1：x+y-2=0上的一点，过点2作圆C:(x+2)2+y2=1的两条切线，切点分别为A,B,则 四边形QACB面积的最小值为() A.√万 B.2√2 C.2 D.4 【答案】A 【分析】当圆心与点Q的距离最小时，切线长QA,QB最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的 垂线段.然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可. 【详解】由圆方程知圆心为C(-2,0),半径为1， 因为OA,OB为圆的切线，所以AB⊥OC,CA⊥QA,CB⊥QB,QA=|QB, 试卷第2页，共22页 S边形0Aa=2AHC=pA,要使得S四边形o4c最小，只要|24最小， 由切线长公式知，只要2C最小. 当ac11时，2L.2+0-22w5,此时24-=Nec-4-V万. √2 所以S四边形Q4c的最小值是√万， 故选：A g-5n-7 5.已知两个等差数列{a,}和私.}的前n项和分别为S和7.，且立n+1, 为整数的正整数n的 则使得b 个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分折】根据思衣，由等差蒙列前n项和的性质可相台5一分要使会为整数，只需要u为6的因爱即可。 【详解】 S. 5m-7_50+0-12-5_12 T n+1 +1 n+1 (2n-1)(a1+a2a-) 又g=2g=4+41 2 SA b.2b。b+ba-1 (2n-1)(b+b2m-)Tx-1 2 52n-)-7_10m-251256, 2n-1+12 2n n 当=12.36时，5e乙，所以使得公为整数的正整数加的个数是4个 故选：D 6.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为边AD的中点，点P为线段DB上的动点，设 DP=DB,则下列正确的个数为() 试卷第3页，共22页 D A B E : B ①当入=三时，EP∥平面ABC 1 ②当2=一时，P取得最小值，其值为√ ③PA+PC的最小值为4v6 3 ④当G∈平面cBP时，2=1 4 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【分析】对于①，可研究EP与平面AB,C的法向量是否垂直即可： 对于②，研究函数PE=V1-2)2+(-2)2+(-2+2)2的最值即可； 对于③，可研究函数PA+PC=2√(2-2)2+(2)2+(2-2)2的最值即可： 对于④，可求解C亚与平面CCE的法向量垂直条件即可. 【详解】以点D为坐标原点，分别以DA,DC,DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 D B P 2-- -c A B 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,2),B(2,2,2), C(0,2,2),D(0,0,2),E(1,0,0), 试卷第4页，共22页 设点P(x,y,),因为DP=DB, 所以DP=1DB,即(x,y,2-2)=(2,2,-2), x=2元 解之可得y=21,所以P(2元，22,2-2) z=2-2 当时，呢 所以m-兮号静，4c-(20,瓜=@2. 设平面AB,C的法向量为1=(：，y,), mAC=0 「-2x1+2y=0 则 m4B=0' 即 2y+2z=01 取=1，则%=1,3=-1， 所以m=(1,1,-1) 因为m丽-1x(3+1子x等-10， 所以m上E严不成立，所以EP与平面AB,C不平行.故①错误： 因为PE=1-21,-22,-2+2), 所以PE到=PE=V-202+(←22+(-2+22 =V1222-121+5 =12-为+2 所以当天时。P阳取得最小值，且最小值为5，故@正痛 因为P4+PC=V2-2)2+(2)+(2-2为2+2)2+(2-2)2+(2-2)2 =4W322-41+2 所以当2-号时，P+PC取得最小值，且最小值为6故③正确： 3 当C,∈平面CEP时，点Pe平面CCE, 试卷第5页，共22页 因为EC=(1,2,0),CC=(0,0,2),CP=(21,2-21,21-2), 设平面C,CE的法向量为n=(:2,y2,二2)， i.EC=0n「-x2+2y2=0 则 ,即{ n.CC=0 22=0 取x2=2,则2=1，三2=0，所以n=(2,1,0) 因为CP.n=(2)×2+(2-2)×1+(2元-2)×0=2-61， 点Pe平面C(cE,所以2-61=0，所以元-号故@借误 故选：C 7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲 线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成 MO 果之一，指的是：已知动点M与两定点Q,P的距离之比 MP =入(1>0，元≠1)，那么点M的轨迹就是 阿波罗尼斯圆，己知动点的M与定点Q(L,O)和定点P 、20的距离之比为2，其方程为x+y=1,若点 B(1,1),则2MP+MB的最小值为() A.6 B.√万 C.10 D.11 【答案】C 【分析】令M(x,y),应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数，进而得Q(-2,O), 再由2MP+MB=M⊙+MB,数形结合求目标式最小值. 【详解】由题设O2,令M,,则 x-02+y2 =4 MPI x+2+y2 -1-1 所以x+4+20x+少=心，1，则 →m=-2,即Q(-2,0), 3 3 4+2m=0 3 又12+1>1，即B(1,1)在圆外，(-2)2+12>1，即2(-2,0)在圆外， 试卷第6页，共22页 PO 由2MP+MB=|Mg+M瓜≥Bq=√10，当且仅当B,M,Q共线上等号成立， 所以2MP+MB的最小值为√o 故选：C 8.阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点P作长轴AB的 垂线（点P与点A,B均不重合），垂足为Q,则 心为常数太若女行则该椭圆的离心率的取伯范 B 围是() .c 【答案】B ref 【分折1建立华标系，设程覆方西手长-1a>6:0小，A(a0,Ba0,P化求hC 根据关系列不等式，结合离心率定义求结论！ 【详解】以椭圆的中心为原点，以AB为x轴的正方向建立平面直角坐标系， 设精圆方程若若-1a>b>0,A〔a0.8a0,P,为.2,0. 则4g=a+:0=a-,等产-1， 试卷第7页，共22页 因为即g。,又 a229’ 1, 故0<e=C心-Bb8 a a21、 又0<e<1, 所以0<e52 3 故选：B p Q B 二、多选题 9.数列{a,}的前n项和为S。,已知S,=-t+7n,则下列说法正确的是() A.{a}是递增数列 B.40=-12 C.当n>4时，an<0 D.当n=5时，S,取得最大值 【答案】BC [S,n=1 【分析】根据a。= S-S4≥2’求出a,然后逐项分析即可 【详解】n=1时，4=S,=6, n≥2时，a.=S。-S1=-m+71--(n-1'+7(0n-1)=-2n+8, 综上，a.=-2n+8, 所以，数列{a}是递减数列，故A错误： 4。=-20+8=-12,故B正确； n>4时，a.<0,故C正确： S。=-n2+7n,所以当n=3或n=4时，Sn取得最大值，故D错误； 故选：BC 试卷第8页，共22页 10.抛物线y2=4x上点P处的切线1分别交x、y轴于M、N,抛物线焦点为F,PF交抛物线于异于点P 的2.则以下说法正确的有() N A.N为PM中点 B.△PMF一定为等腰三角形 C.若P列=4，则1的斜率为上5 D.若M在准线上，则PM=4 【答案】ABC 【分析】求出切线I的方程，进而可求出点M、N的坐标，可判断A选项；利用斜率关系证明出FN⊥PM, 可判断B选项；利用抛物线的定义求出点P的坐标，结合斜率关系可判断C选项：求出点M的坐标，可得 出点P的坐标，结合两点间的距离公式，可判断D选项 【详解】由题意可知，点P不与原点重合 设P(x,yo),设切线1的方程为y-y。=k(x-x),其中k≠0 联立 y-儿=(r=)可得2-4y-4+4,=0,即-4y-+4,=0 y2=4x 由题意可得△=16-4(4-)=4(，-2=0，解得k=3 此时直线的方程为y-6二二(-)，即%=2x+2x 对于A选项，在直线I的方程中令y=0可得x=-x。,即点M(-x,O), 在直线1的方程中令x0可得)=为，即点203了 故点N为线段PM的中点，A对： 对于B适项，易知点FL0),kw=2 yo-0 ’kw=2 y, 0-12 试卷第9页，共22页 所以kwkw=-1,故PM⊥FN, 又因为N为PM的中点，所以FM=FP,即△PMF为等腰三角形，B对； 对于C选项，抛物线的准线方程为x=-1, 由抛物线的定义可得PF=x+1=4,可得x,=3,则M点坐标为(-3,0)，且6=4x,=12,故%=士23， 当点P3.2)时、=286 3+33 当点P3-2同时，k355 3+33 综上所述，若P列=4，则1的斜率为± 3,C对： 对于D选项，当点M在准线上时，点M(-1,0),则P(1,±2)， 此时|PM=V(-1-1)2+(±2)2-2W2,D错. 故选：ABC l1.给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算×b: ①axb是与a,b都垂直的向量： ②a,b,a×b三个向量构成右手系（如图1）： ③lax=l5sina,b. 如图2，在长方体ABCD-ABCD中， AB=AD=1,AA=2,则下列结论正确的是() D D 图1 图2 A.AB×AD=AA B.AB×AD=-AD×AB C.(AB+AD)XAA=AB×AA+AD×AA1 试卷第10页，共22页海门中学高二数学周末练习2025.12.5 一、单选题 1.记等差数列{a}的前n项和为Sn,若a+4=a+5,A3=7,则Ss=() A.90 B.100 C.108 D.126 2.如图，在三棱锥S-ABC中，点E,F分别是S4,BC的中点，点G满足G=}亚，若=ā，8=万， 31 SC=c,则SG=() E B 1 A. 56+ + 6 B五+ C. 2a+5+之 6 6 D.3 3 3 3.“a=1”是“点A(0,1),B(1,0)到直线x+y+1=0的距离相等的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件 4.点Q为直线1：x+y-2=0上的一点，过点2作圆C:(x+2)+y2=1的两条切线，切点分别为A,B,则 四边形OACB面积的最小值为() A.√7 B.2V2 C.2万 D.4 5.已知两个等差数列和}和物，}的前”项和分别为S和7，且三=5”7 刀n+1,则使得 为整数的正整数n的 个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为边AD的中点，点P为线段DB上的动点，设 DP=DB,则下列正确的个数为() 试卷第1页，共6页 D D ①当元=时，BP∥平面AB:C 3 ②当元=时，P四取得最小值，其值为V2 2 ③P4+PC的最小值为4V6 3 ④当Ce平面CBP时，元=47 A.0 B.1 C.2 D.3 7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲 线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成 MO 果之一，指的是：已知动点M与两定点Q,P的距离之比 元(1>0，元≠1)，那么点M的轨迹就是 MP 阿波罗尼斯圆，己知动点的M与定点Q(,O)和定点P 30/ 的距离之比为2，其方程为x2+y2=1,若点 B(1,1),则2MP+MB的最小值为() A.√6 B.√万 C.0 D.11 8.阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点P作长轴AB的 匪线（点2与点4，均不重合》，垂足为Q,则9为常数k,若。，则稀圆的离心率的数值苑 4BO 围是() D. 二、多选题 试卷第2页，共6页 9.数列{a}的前n项和为Sn,已知S。=-t+7n,则下列说法正确的是() A.{a}是递增数列 B.40=-12 C.当n>4时，an<0 D.当n=5时，Sn取得最大值 10.抛物线y2=4x上点P处的切线1分别交x、y轴于M、N,抛物线焦点为F,PF交抛物线于异于点P 的Q.则以下说法正确的有() M A.N为PM中点 B.△PM一定为等腰三角形 C.若P=4,则1的斜率为土 3 D.若M在准线上，则PM=4 11.给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算a×b: ①axb是与a,b都垂直的向量： ②a,b,a×b三个向量构成右手系（如图1）： ③axB=-l5sina,b. 如图2，在长方体ABCD-ABGD中， AB=AD=1,AA=2,则下列结论正确的是() 图1 A.AB×AD=AA B.AB×AD=-ADxAB 试卷第3页，共6页 C.(AB+AD x AA1=AB×AA1+AD×AA D.长方体ABCD-ABCD的体积V=AB×AD)AA 三、填空题 12.已知等差数列-2,1,4,7,10，，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{a}, 则数列{a}的第23项为 13.已知直线1过3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且横截距等于纵截距，则直线1的一般式方程 为 14.已知双曲线C: 之：=(a>0,b>0的左、石焦点分别为B,马，椭圆C:3+=1的离心率为， 4 直线MN过点E,且与双曲线交于M,N两点，若cos∠FN=cos∠FF,M,且 FM =e,则双曲线C的离 EN 心率为 四、解答题 a+1:若6-1 15.已知数列{a}满足a=1,a1=8 a (1)求证：b}是等差数列： (2)求数列{a}的通项公式 16.已知点A(-1,-1),B(-1,3),C1,3) (1)求△ABC的外接圆E的标准方程： (2)已知P(x,y)为圆E上的动点，求x+y的取值范围. 试卷第4页，共6页 17.在四棱锥P-ABCD中，AB=V3,BC=3,∠ABC=90°，∠BCD=∠ADC=60°，且PA⊥平面ABCD, (1)证明：AC⊥平面PAD: (2)若PA=1,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值； (3)过点A的平面a与侧棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G,若四边形AEFG为菱形，求PA的长， 18.己知以F(1,0)为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C 的两条切线PA、PB,其中A、B为切点，设直线PA、PB的斜率分别为k、k,· VA (1)求抛物线C的标准方程； (2)若点P的纵坐标为1，计算k·k2的值： (3)求证：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标. 试卷第5页，共6页 19.双曲线第二定义：设动点M到定点F(c,0)(c>0)的距离与点M到定直线1：x=g的距离的比是C,当 a C>1时，该动点M的轨迹为双曲线.定点F为双曲线焦点，定直线1：x=a为双曲线准线，比值e=为双 曲线离心率.已知动点M满足到定点F(2,0)的距离与到定直线1：x=2的距离的比是2，点A坐标为(3,2). (1)求点M的轨迹方程E及2MA+M的最小值； (2)直线1与轨迹E的右支交于两点P,Q. (①若直线I过点F且与两渐近线分别交于点M,N,求P巴 的取值范围： W (ii)若P,Q两点关于直线1'对称，并且1'过点K(0,4).求∠PKQ的取值范围. 试卷第6页，共6页