江苏省海门中学2025-2026学年高二上学期周测数学试题（10.8）

海门中学高二数学作业(2) 一、单选题 1.在空间直角坐标系Oxz中，已知点A(2,2,2),B(4,-2,0),若点P与点A关于Oz平面对 称，则BP=() A.2W14 B.√13 C.23 D.√1 2.若{a,b,}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是() A.五，b+E,五+b+EB.a+6,6+c,-aC.3i-2b,i+,6-aD.i-E,2i+6,2E+b 3.“直线ax+4y-3=0与直线x+(a-3)y-2=0平行”是“a=-1”的（) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.直线1过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,V3)为端点的线段有公共点，则直线1的斜率范围 是() 5.圆(x+1)2+(y-1)2=4关于直线x-y-1=0对称的圆的方程为( A.(x-2)2+(y+2)2=1 B.(x+2)2+(y-2)2=1 C.(x-2)2+(y+2)2=4 D.(x+2)2+(y-2)2=4 6.在平面直角坐标系xOy中，曲线C: 是+1的周长为() A.4 B.6 C.8 D.10 7.在棱长均相等的平行六面体ABCD-ABCD中，∠AAB=∠AAD=∠DAB=60°，则向 量AC在向量AA上的投影向量为() A.2BB B.晒 C.3BB, D.2BB 8.如图，己知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，VAOB是 直角三角形，∠A0B=90°，0B=20A,点B在反比例函数y= 上 若点A在反比例函数y=上，则k的值为() 第1页共14页 A.月 B c. 二、多选题 9.设m,为不重合的两条直线，a,B为不重合的两个平面，下列命题正确的是() A.若/la且nlla,则mlln B.若m⊥a且n⊥a,则mln C.若m/1a且m/1B,则alWB D.若m⊥且⊥B,则lB 10.在空间直角坐标系中，向量ā=(2，-1，m),b=(4,2,4),下列结论不正确的是() A.若a∥b,则m=2 B.若园=6，则m=5 c.若a,}为能角，期m号 D. 若ā在6上的投影向量为上五，则m=4 6 11.下列说法正确的是() A.如果AC<0,B.C>0,则直线Ax+By+C=0不通过第二象限 B.向量a=(2,-3)是直线2x+3y+4=0的一个方向向量 C.直线2x-y-1=0与直线x-2y+4=0关于直线x-y+1=0对称 D.“=-2”是“直线x+2y+3-2=0与直线3x+(-1)y+7=0平行”的充分不必要条件 三、填空题 12.如图，直线、1的斜率k、k,k的大小关系是 13.圆心在直线2x-y=3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方 程是。 14.已知正三棱柱ABC-AB,C的底面边长为2，M是BC的中点，若线段CC上有一点N, 使得MN⊥AB,则侧棱AA长的取值范围是 四、解答题 15.如图，己知平行六面体ABCD-AB,CD中，底面ABCD是边长为1的正方形， AA=2,∠AAB=∠AAD=60°，设AB=a,AD=b,AA=C. (1)用ai,c表示AC,并求AC:(2)求cosA4,BD 第2页共14页 16.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABC1D中，平面BED,F分别交侧棱CC,AA于点 E,F. (I)求三棱锥E-BDD的体积： (2)求证：平面ACD⊥平面BEDF. B 17.根据下列条件，求圆的方程 (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)： (2)经过点A(4,-5),B(6,-1),且以线段AB为直径的圆的方程； (3)已知VABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求VABC的外接圆方程. 第3页共14页 18.如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60,DE⊥AB于点E,将VADE沿DE 折起到△ADE的位置，使AD L BE D 如图2. D (I)求多面体A-BCD的体积： B (2)求二面角E-AD-B的余弦值： E B 图1 图2 (3)在线段BD上是否存在点P,使 平面4EPL平面ABP?若存在，求出 BD 的值；若不存请说明理由. 19.在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，定义点P(:,)与点Q(x2,y2)的曼哈顿距 离为d(P,2)=-x+-2.若点耳（-1,0)，点(1,0)， (1)求d(F,F): (2)已知直线2x-y+2=0,求点F到直线上动点的曼哈顿距离”最小值： (3)求平面内与两定点和F的曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积. 第4页共14页 《高二数学国庆作业2》参考答案 题号 1 2 4 6 8 9 10 答案 A ⊙ B 0 B BD ABC 题号 11 答案 AC 1.A【分析】先得到P(-2,2,2),从而得到BP=(-6,4,2),利用模长公式得到答案 【详解】若点P与点A关于Oz平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等。 又A(2,2,2),则P(-2,2,2),又B(4,-2,0),所以BP=(-6,4,2), BP=V(62+4+2=24.故选：A 2.C【分析】根据基底定义以及空间向量共面定理对选项逐一判断即可得出结论 【详解】依题意ā，五，c不共面，对于A,假设存在实数，4满足a+b+c=ā+u(⑥+c),显 然入=1，u=1,由共面定理可知五，6+E,五+b+共面，即A错误， 同理对于B,易知存在=-l,4=1,使得c-a=2(a+)+(+,因此a+6,6+c,c-a共 面，即B错误；对于C,假设存在实数，4满足3ā-2=2(6+c)+u亿-a), [u=-3 此时需满足}入=-2，显然此方程组无解， 2+u=0 即不存在满足题意的元，山，因此36-25，b+,-五不共面，即C正确： 对于D,易知存在=-2，u=1,使得2c+5=2(a-c)+u(2a+6), 因此五-，2i+b,2正+6共面，即D错误：故选：C 3.B【分析】先根据直线与直线平行可得a=4或a=-1,再根据充分条件和必要条件定义 进而可判断 【详解】因为直线ax+4y-3=0与直线x+(a-3)y-2=0平行， 所以4 a2-3a-4=0 1a-3即 a≠3，解得a=4或a=-1. 当a=4时，两直线分别为4x+4y-3=0,x+y-2=0,不重合满足题意： 当a=-1时，两直线分别为-x+4y-3=0,x-4y-2=0,不重合满足题意， 故由直线ax+4y-3=0与直线x+(a-3)y-2=0平行可得a=4或a=-1, 第1页共14页 所以“直线m+4y-3=0与直线x+(a-3)y-2=0平行不能推出“a=-1,反之可以. 故“直线ax+4y-3=0与直线x+(a-3)y-2=0平行”是“a=-1”的必要不充分条件.故选：B 4.B【分析】分别计算直线1过点A,B的斜率，数形结合，即得解 【详解】当直线过点B时，设直线的斜率为k,则 6 当直线1过点4时，设直线的斜率为k,则k,=)0=1 2-1 故要使直线1过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,√3)为端点的线段有 公共点，则直线的斜率的取值范围为：k≥1或k≤-√3.故选：B. 5.C【分析】求出己知圆的圆心关于直线的对称点即所求圆的圆心，两圆半径相同，得到 所求圆， 【详解】由(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心为C(-1,1),半径r=2, (m-1_n+1-1=0, 设圆心C(-1,1)关于直线x-y-1=0的对称点为C"(m,m),则 22 n-1x1=-1, +1 1=2, 解得 故所求圆的方程为(x-2)+(y+2)2=4.故选：C n=-2, 6.C【分析】利用方程可判断曲线的对称性，再研究第一象限的线段，根据对称性即可求 得周长 【详解】在曲线C的方程 +b以=1中，令x用-x或y用-y代换，曲线方程都没有变， 3 所以曲线C关于x轴，y轴对称，原点对称， 当x之0，)之0时，曲线C的方程为方+y=1,表示以(5,0)和(0，山为顶点的线段。 其长度为√3)+1=2，根据对称性知，其他三条线段的长也为2， 所以曲线C: 3+以1的周长为4x2=8故选：C 7.D【分析】利用基底法结合空间向量数量积公式及投影向量公式可求得投影向量 【详解】设平行六面体ABCD-ABCD棱长为a,:AC=AC+CC=AB+AD+AA, 第2页共14页 且A4=a2,∠4AB=∠AAD=∠DAB=60, .AA·AC=AA·AB+AD+AA)=AA·AB+AA·AD+A4 =a×a×c0s60°+u×a×c0s60°+2=2a2, :AC在A4上的投影向量为 AAC.A4=2A4=2BB故选：D. 4 8.B【分析】由OB=2OA,且两直线垂直，因而将两点坐标设为A(aCoS,asin), B(2acsA2as血)，u和P分别为两直线的倾斜角，且由于垂直，a-川-号进面将两点 代入两反比例函数，利用三角函数的恒等变换求k 【详解】设直线OA的倾斜角为a,直线OB的倾斜角为阝 因为0A10B,所以口--受 因为OB=2OA,设A(acosa,asin),B(2ac0SB,2 asin),其中OB=2OA=2a. 因为点B在反比例函数y=2的图像上，所以2asim0= 2 2acos B ，即sin= 2 因倾斜角5[Q,且血pcop>0,因此A∈(0到 而倾斜角acD.且-小-子因此ac(臣小故a-B- 2 因为点A在反比例函数y=冬的图像上，所以asin= k ,即a sin a cos a=k: acosa 两式相除得， sin acos a=2k sin Bcos B π】 由诱导公式得，sinB=sina- cosa cos B=cos a- =-sin a. 2 因此ino=-1=2k,故k=-}故选：B 1 -cosasin a 2 9.BD【分析】根据线面的位置关系和面面的位置关系逐项判断 【详解】对于A:若m/1a且l/a,则m与n也可能相交、平行或异面直线，故A错误： 对于B:根据“垂直于同一平面的两条直线互相平行”，若m⊥且n⊥a,则n,故B 正确； 对于C:若m/1o且m/1B,则平面x与平面B可能平行，也可能相交，故C错误； 对于D:根据“垂直于同一直线的两个平面互相平行”，若mLa且m⊥B,则B,故D 正确故选：BD 第3页共14页 10.ABC【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长可判 断B选项；分析可得ā.b<0且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利 用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【解】对达顶4，不后5。则子}？解得以=-之，数越项A皓误 对于选项B,若=6，则√2+(-1)+m2=6,解得m=±√31，故选项B错误： 对于选项C,若（位.）为钝角，则a6=8-2+4m=4m-10<0且m≠-2，解得m<且m≠-2， 故选项C错误； 对于选项D,a在石上的投影向量为cosa,) a65-a56-4106,则 36 4-101 36 解得m=4,故选项D正确。故选：ABC 11.AC【分析】选项A,通过将直线的一般式转换成斜截式，从斜率和截距考虑直线走向； 选项B,通过选取直线上任意两点求出该直线的一个方向向量，再判断题中向量与该方向向 量是否共线；选项C,通过考虑两直线与第三直线的垂线的交点，距离第三条直线是否相等 来判断第三条直线是否对称轴；选项D,根据判断两直线平行的充要条件进行判断 【详解】对于选项A.因为AC<0,BC>0,故A,B,C均不为0. 直线方程A+By+C=0变形得，y=-Ax-C -Bx-B 因BC>0,所以-S<0,又因AC<0,所以A.CB-C<0,即48<0，所以- B B>0. 因此该直线y轴截距小于0，斜率大于0，故不经过第二象限故选项A正确。 对于项B.直线2x+3y+40,当三-2时.=0：当x三0时，y号 放该直线经过〔-20)利Q》因比向显万=2-)是该直线的一个方向向配 而向量i与向量=(2，-3)并不共线，故向量a不是该直线的方向向量.故选项B错误， 对于选项C.对于直线x-y+1=0,变形得，y=x+1,与该直线垂直的直线都可以表示为 y=-x+b,b∈R 该垂线与直线2.x-y-1=0和直线x-2y+4=0分别交于 6+1,2b-1和2b-4,6+4 33和33 b-5 而此两交点距离直线x-y+1=0的距离均为 3W2 第4页共14页 故两直线关于直线x-y+1=0对称.选项C正确. 对于选项D.当=-2时，直线-2x+2y-8=0与直线3x-3y+7=0平行.因此前者是后者的 充分条件 当直线x+2y+3m-2=0与直线3x+(m-1)y+7=0平行时，(m-1)=2×3,解得m=3或 =-2.因此前者不是后者的必要条件」 故“m=-2”是“直线x+2y+3m-2=0与直线3x+(-1)y+7=0平行”的充分不必要条件 选项D错误故选：AC 12.k<k<k2 【分析】由图可得直线、，、1，倾斜角大小关系，据此可得斜率关系. 【详解】设直线4，、的倾斜角分别为%，由图可得： &>%>4>0,则taa,>ta4>0>tama,→k,>k,>k,故答案为：店<k<店 13.(x-3)+0-3)2=9或(x-1)2+(y+1)2=1 2a-b=3 【分析】设圆心坐标为(a,b),半径为，由题意可得 lla==r' 求解即可. a=3 a=1 2a-b=3 【详解】设圆心坐标为(a,b),半径为r,则 d=|=r'解得b=3或b=-1 r=3r=1 所以圆的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=9或(x-1)+(y+1)2=1. 故答案为：(x-3)2+(y-3)2=9或(x-1)2+(y+1)2=1. 14.[山，+∞)【分析】M瓜=-C死+C示，又AB=CC+CB-CA,根据垂直得到数量积为0， 列出等式即可求解 【详解】 N 设侧棱AA长为x,则CC长为x,由题意 M MN-MC+CN=-CB+CN, 第5页共14页 又西-丽+西-a-西+西-，其中∠4cB=背AcC=∠BcC,= 故C.Cm-C.a=0,西.a=网回网o8∠4c8=2x2×2. 又w1,故MmA=-丽c+c历-) -+m.西-cwa-684+cM =Cw.Cc-2+1=0即c.cC=1,又cW≤c,所以1=.c℃=℃kx2, 所以x≥1，即侧棱A4长的取值范围是[，+∞)，故答案为：[1+∞) 15.(1)AC=a+b+c,V10;(2)0. 【分析】(1)根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到AC=+b+c,再由向量数 量积的运算公式和模的计算公式，求得AC的值； (2)根据题意，求得BD=五-，AA=c,利用数量积的计算公式，求得AA·BD=0,进而 求得cos44,BD的值. 【详解】(1)解：因为AB=,AD=b,AA=c,且BC=AD,CC=L4, 所以AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA=a+b+c, 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且A4=2,∠AAB=∠AAD=60°， 所以4C=V(a+b+c=a2+b+2+五-.b+五-c+2五.c 1+1+4+0+2x1x2xg+2x1×2x:=0. 2 2 (2)解：因为底面ABCD是边长为1的正方形，且A4=2,∠AAB=∠AAD=60°， 又由BD=AD-AB=i-a,A4=c,所以 D aBD=6-ac=c-6-c-a=2x1×;-2x1x片-0，所 以 2 2 cos4,BD=4B西-0 ABD 16.)2.(2)证明见解析【分析】(1)根据体积公式可求三棱锥的体积： 6 第6页共14页