江苏省海门中学2025-2026学年高二上学期周测数学试题（9.26）

海门中学高二数学每周一练(9.26) 一、单选题 1.已知点A(a,-3,5),B(0,b,2),C(2,7,-1),若A,B,C三点共线，则a,b的值分别是() A.-2,3 B.-1,2 C.1,3 D.-2,2 【答案】D 【分析】由A,B,C三点共线，得AB与BC共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为A(a,-3,5),B(0,b,2),C(2,7,-1), 所以AB=(-4,b+3,-3),BC=(2,7-b,-3), 因为A,B,C三点共线，所以存在实数k,使AB=kBC, 所以(-4，b+3,-3)=k(2,7-b,-3), 「-a=2k 所以b+3=k(7-b),解得k=1,a=-2,b=2. -3=-3k 故选：D 2.“k=1”是“两点A(1,2)B(3,4)到直线1：y=kx的距离相等的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】两点到直线距离相等分两种情况，1∥AB或I过AB的中点，结合斜率和中点公式即可求解，再由 命题的充分、必要条件判断即可 【详解】“两点A(1,2),B(3,4)到直线：y=kx的距离相等台“1∥AB或1过AB的中点” 当1/B时，由。品-1得，=1： 当I过AB的中点时，由AB的中点为(2,3)得，k=3 2 所以“两点A(1,2),B(3,4)到直线1：y=kx的距离相等台“k∈1， 故选：A. 3.已知直线l的方程为x+sin8+3=0(8∈R),则直线l的倾斜角x的取值范围是() 试卷第1页，共22页 兀π A.[0,) B. 42 「π3π c.44] [引 D. 【答案】C 【分析】根据条件，分sin日=0和sinO≠0两种情况讨论，再结合k=tana的图像，即可求出结果. 【详解】当如0=0时，直线！的倾斜角口为受 当sin6≠0时，由x+sin0+3=0得到y=-1 3 sine sine' 又易知sin0∈[-l,所以-L∈（←m,小[l+o),即k∈（←，小[L+), sine ππ.【π3π] 由k=tana的图像可知， 4224 综上，&∈ π3 44 k本 3π 元π1 42 k=tand 故选：C 4.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几 何问题加以解决，如：√(x-a)+(y-b)可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离·结合上述观点， 可得f(x)=Vx2+4x+20+√x2+2x+10的最小值为() A.2W5 B.52 C.4 D.8 【答案】B 【分析】化简得f()=V区+2)+(0-4)2+√x+1)2+(0+3)2,表示平面上点M(x,0)与点N(-2,4), H(-1,-3)的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论. 【详解】f(x)=Vx2+4x+20+Vx2+2x+10 =V(x+2)2+(0-4)2+V(x+1)2+(0+3)2, 试卷第2页，共22页 表示平面上点M(X,0)与点N(-2,4),H(-1,-3)的距离和， 连接NH,与x轴交于M(X,0), 由题得kw=kH· *+22+7x=10 0-44+3 10。 所以M-气，0： .f(x)的最小值为V(-2+1)2+(4+3)2=5√2， 故选B。 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键. 5.以下命题中，不正确的个数为() ①1ā1-b曰a+”是“立，b共线的充要条件：②若a/1乃，则存在唯一的实数1，使得a=b:③若a.五=0， i.c=0,则a=c;④若{a,五，c为空间的一个基底，则a+i,i+c,c+a构成空间的另一个基底： ⑤1(a.b-cHa:1B1-1c A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】利用不等式1a-|b1寸ā+b1等号成立的条件判断①即可： 利用0与任意向量共线，来判断②是否正确： 利用共面向量定理判断③是否正确： 根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可： 代入向量数量积公式验证即可. 【详解】解：对①，向量ā、b同向时，|a-a+1,.只满足充分性，不满足必要性，∴①错误： 对②，当ā为零向量，5为零向量时，1不唯一，当b为零向量，a不为零向量时，1不存在；∴②错误： 对③，a.五=0，b.c=0则cos<a,0,月cos<c,5x0,不能得到a=c,故③错误： 对④，用反证法，若{ā+b,b+c,c+a不构成空间的一个基底： 设a+b=x(6+c)+(1-x)c+)→xa=(x-1)5+c→c=xā+1-x)b,即a,6,e共面，{a,b,c}为空间的一个 基底，④正确： 对⑤，|(a.b)c日adb·ccos(a,b),∴.⑤错误. 故选：C. 试卷第3页，共22页 【点睛】本题借助考查命题的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量积公 式，属于中档题 6.如图，在三棱锥O-ABC中，点G为底面VABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过 点M的平面分别交棱O4,OB,0C于点D,B,R,若OD=kOa,Oi=mOB.O示=0C,则2+1+-() k m n M E G 子 A. 13 B. D. 3 2 【答案】D 【分析】由空间向量基本定理，用OA,OB,OC表示OM,由D,E,F,M四点共面，可得存在实数，L,使 DM=1DE+DF,再转化为OM=1-入-)kOA+mOB+OC,由空间向量分解的唯一性，分析即得 解。 【详解】由题意可知， oM-3c3ai+a0引oi+号u+40]} a-0丽-a+c-网--丽+c 因为D,E,F,M四点共面，所以存在实数，4，使DM=DE+DF,所以 OM-OD=(OE-OD)+4(OF-OD),所以 OM=1-1-)OD+2OE+uOF=(1-1-)kOA+mOB+mOC,所以 0-元-四k=2 ,所以以+片0-2-0+号2+2u- 9 99 2L= 9 `k'n2 2 2 2 ln= 故选：D 试卷第4页，共22页 7.已知实数a,b,c,d满足分=3=3，则a-c)+b-的最小值为() A. 1 B.5 c器 n号 【答案】A 【解析】由已知等式变形可得点(a,b)在一条直线上，点c,d)在一条直线上，这两条直线是平行线，求出两 平行线间的距离，距离的平方即为所求最小值。 【样解1：实数0…。a演起号号 .3a-4b=0,3c-4d+9=0, .点(a,b)在直线3x-4y=0上，点(c,d)在直线3x-4y+9=0上， ∴(a-c)'+仍-d)'的几何意义就是直线3x-4y=0上的点到直线3x-4y+9=0上点的距离的平方，故所求 最小值为 19-01 81 V32+42 2 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查求代数式的最小值，解题方法是利用平方和的几何意义：表示两点间距离的 平方，确定参数为坐标的两点分别在一条直线上，且两条直线是平行线，由平行线间距离可得结论，注意 如果是分式型的代数式可能的几何意义是两点间连线的斜率. 8.已知正方体ABCD-AB,CD棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是() D D B A。若D-0,则异面直线BP与CD所成角的余弦值为写 B.若BP=BC+BB(2∈[O,1]),三棱锥P-ABC的体积不是定值 C.若BP=BC+号BB(∈[0，，有且仅有一个点P,使得AC1平面AB,P 试卷第5页，共22页 D.若AP=AD(2∈[O,1),则异面直线BP和CD所成角取值范围是 42 【答案】D 【分析】A:P为AD,中点，连接BP,BC,BD,若E,O分别是BC,BD中点，连接OE,ED,找到异面直线 BP与C,D所成角为∠OED,或其补角，求其余弦值；B:P在B,C(含端点)上移动，△PBC面积恒定，A 到面PBC的距离恒定，即可判断；C:若E,F分别是BB,CC中点，P在EF(含端点)上移动，证明AC⊥ 面AB,D,易知要使AC⊥面ABP,则P必在面AB,D内，即可判断；D构建空间直角坐标系，设 P(0,a,2-a),a∈[0,2]，应用向量夹角的坐标表示求cos<BP,CD>,进而判断夹角的范围. 【详解】A:由D-40,即P为A0中点，连接BR,BCBD,若&.0分别是BC,BD中点， A D 夕 A1 D B 连接OE,ED,则OE/1CD, 又BE=PD且BE//PD,即BEDP为平行四边形，所以BP//ED, 所以异面直线BP与CD所成角，即为∠OED或其补角， 而0gD0=5,Bm=6,0n=6,放csDn=2t66 2x2x√66 ,错误： B:由BP=BC+BB(2∈[O,1])知：P在B,C(含端点)上移动，如下图示， 试卷第6页，共22页 D D B C △PBC面积恒定，A到面PBC的距离恒定，故P-ABC的体积是定值，错误； C:若B,F分别是BB,CC中点，由BP=BC+BB(2∈[0,1])知：P在EF(含端点)上移动， D 111 11 D B C 由CDL面ADDA,CDC面DCA,则面ADDA⊥面DCA, 由AD⊥AD,面ADDA1∩面DCA=AD,ADC面ADDA, 所以AD⊥面DCA,ACC面DCA,则AD⊥AC,同理可证：AB,⊥AC, 由ADO AB=A,AD、AB,C面ABD,故AC⊥面ABD, 而面ABP⌒面ABD=AB,要使AC⊥面ABP,则P必在面AB,D内， 显然EF丈面AB,D,故错误； D:由AP=2AD(2∈[0,1)知：P在AD(含端点)上移动， 如下图建系C(2,2,0),D(0,2,2),B(2,0,2),则CD=(2,0,2), 设P(0,a,2-a),a∈[0,2]，则BP=(-2,a,-a, 所以cos<B2CD4-2a2-a 22v4+2a22+,令2-a=x∈0,2， 试卷第7页，共22页 A D B A! 当a2,即0时，cos<亚CD0,此时直线BP和CD所成角是 当a≠2，即x∈(0,2]时，则s<BF,GD> 1 1 1 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据向量的线性关系判断P的位置，结合异面直线夹角的定义、锥体体积公式、线 面垂直的判定及向量夹角的坐标求法，证明或求解线面垂直、体积、异面直线夹角范围等 9.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与 棱AB垂直，若AB=√2，AC=1,BD=2,则CD的长为(). A.2 B.3 C.25 D.4 【答案】B 【分析】由CD=CA+AB+BD,两边平方后展开整理，即可求得CD,则CD的长可求， 【详解】解：CD=CA+AB+BD, CD'=CA'+AB+BD'+CAAB+2CA BD+24B BD, ·CA⊥AB,BD⊥AB, :CA.AB=0,BD.AB=0, 试卷第8页，共22页 C48DC418D1c0s80°-120)=x1x2=1. .CD=1+2+4+2×1=9, CD=3, 故选：B· 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象 能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 二、多选题 10.已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的有() A.AB⊥AC B.与A正共线的单位向量是(1,1,0) C.丽与Bc夹角的余弦值是-5⑤ 11 D.平面ABC的一个法向量是(1，-2,5) 【答案】ACD 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD,根据共线向量和单位向量判断B,根据向量夹角的坐标 运算判断C. 【详解】因为A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1), 所以AB=(2,1,0),AC=（1,2,1),BC=(-3,1,1), 对于选项A:AB.AC=-2+2+0=0,故AB⊥AC,A正确： 对于选项B:(1,1,0)不是单位向量，且(1,1,0)与AB=(2,1,0)不共线，B错误； 选项c:cos(瓜，BC)- AB.BC-6+1+055 AB BC5×而-11，C正确： 选项D:设m=(1,-2,5),则m.AB=2-2+0=0,m·AC=-1-4+5=0, 所以⊥AB,m⊥AC, 又AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC, 所以向量(1，-2,5)是平面ABC的一个法向量，D正确； 试卷第9页，共22页 故选：ACD 11.下列说法正确的是（) A.“a=-1”是直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”的充要条件 B.“1=-2”是“直线r+2y+a2=0与直线x+(a+1)y+1=0互相平行的充要条件 c直线血ay120的倾斜角0的取值范田足0[ D.若点AL,0),B(0,2),直线1过点P(2,1)且与线段AB相交，则1的斜率k的取值范围是- 1 ≤k≤1 【答案】BCD 【分析】对于A:根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B:由题意可得k=tanB=-sinu∈[-l,1], 进而可得倾斜角的范围：对于C:根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D:根据图形结合斜率 公式分析求解 【详解】对于选项A:当a=-1时，直线x-y+1=0与直线x+y-2=0斜率分别为1，-1， 斜率之积为-1，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”， 则a2+a=0,故a=0或a=-1, 所以得不到a=-1,即必要性不成立，故A错误； a(a+1)=2 对于选项B:由直线平行得 ,解得a=-2, a≠a2 所以“a=-2”是“直线r+2y+a2=0与直线x+(a+1)y+1=0互相平行”的充要条件，故B正确： 对于选项C:直线的倾斜角为O,则k=tan6=-sina∈[-l,1], 故C正确； 对于选项D:如图所示： 试卷第10页，共22页海门中学高二数学每周一练(9.26) 一、单选题 1.已知点A(a,-3,5),B(0,b,2),C(2,7,-1),若A,B,C三点共线，则a,b的值分别是() A.-2,3 B.-1,2 C.1,3 D.-2,2 2.“k=1”是“两点A(1,2),B(3,4)到直线：y=kx的距离相等”的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知直线l的方程为x+sin8+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角a的取值范围是() A.[0, B. ππ】 4’2 π3π C.44 D [引侣别 4.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几 何问题加以解决，如：√(x-a)+(y-b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离结合上述观点， 可得f(x)=√x2+4x+20+Vx2+2x+10的最小值为( A.2W5 B.52 C.4 D.8 5.以下命题中，不正确的个数为() ①1a-1ba+1是“a,b共线”的充要条件；②若a/1b,则存在唯一的实数元，使得a=2.b;③若a.b=0, i.c=0,则a=c;④若{a,b,c为空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a码构成空间的另一个基底： ⑤1(a.b.cHal-161.1cl A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图，在三棱锥O-ABC中，点G为底面VABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过 点M的平面分别交棱OA,OB,0C于点D,B,R,若OD=kOa,O正=m0B,O示=n0c,则上+L+-(） 'k nn 试卷第1页，共6页 13 A3 c 7.已知实数a,b,c,d满起名}子则a-9+b-d0的最小值为() 81 A.25 B.5 c D号 8.己知正方体ABCD-AB,CD棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是() A.若-西，则异面直线BP与CD所成角的余弦值为5 B.若BP=BC+BB(2∈[0,1])，三棱锥P-ABC的体积不是定值 C.若BP=Bc+与B5,(a[0,),有且仅有一个点P,使得ACL平面AB,P D.若AP=AD(2∈[0,1])，则异面直线BP和CD所成角取值范围是 引 二、多选题 9.已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的有() A.AB⊥AC B.与AB共线的单位向量是(1,1，O) C.丽与BC夹角的余弦值是-V5丽 11 D.平面ABC的一个法向量是(1，-2,5) 10.下列说法正确的是（) A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-四-2=0互相垂直”的充要条件 B.“a=-2”是“直线r+2y+a2=0与直线x+(a+1)y+1=0互相平行的充要条件 c.点线血ay:0陷领斜布0的取位包到[子小 D.若点AL0),B(0,2),直线1过点P(2,1)且与线段4B相交，则1的斜率k的取值范围是-≤k≤1 2 11.下列四个命题中正确的是() 试卷第2页，共6页 A.过点(3,1)，且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y-2=0 B.若直线x-y-k-1=0和以M(-3,),N3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为k≤- C.若三条直线x+y=0,x-y=0,x+y=3-a不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合为 {-1,1 D.若直线1沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该 直线/的剂率为-号 三、填空题 12.两个非零向量a,方，定义1a×b曰a1sina,b).若a=4,0,1),i=(0,2,2),则ax= 13.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与 棱AB垂直，若AB=√2，AC=1,，BD=2,则CD的长为 y-2=a+1 14.写出使得关于x,y的方程组 x-1 无解的一个a的值为 ·(写出一个即可) (a2-1)x+(a-1)y=12 四、解答题 15.如图，四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=√3. D B (I)若AD⊥PB,证明：ADW平面PBC: (2若ADLDC,且二面角A-CP-D的正弦值为匝，求AD. 试卷第3页，共6页 16.已知VABC的顶点坐标分别是A(0,5),B(1,-2),C(-7,4). (1)求BC边上的中线所在直线的方程： (2)求过点C且与直线AB平行的直线方程： (3)若点D1,m2-2+5)，,当meR时，求直线AD倾斜角的取值范围. 17.已知直线1：(2m+1)x+(-1)y-5-1=0,且与坐标轴形成的三角形面积为s.求： (1)求证：不论m为何实数，直线l过定点P; (2)分别求S=3和S=5时，所对应的直线条数： (3)针对s的不同取值，讨论集合{}直线1经过P,且与坐标轴围成的三角形面积为S中的元素个数 试卷第4页，共6页 18.《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐 至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既 是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体'由三 个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称埃舍尔多面体”（图2） 图1 图2 埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形A,BCD,n=1,2,3 的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为P,2,将极点？，2，分别与正方 形A,B,C2D2的顶点连线，取其中点记为Em,Fm,m=1,2,3,4,如（图3）埃舍尔多面体可视部分是由12 个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为框架点”，底面四边形由两个“极点与两个“中点”构成，为了便于理解， 图4我们构造了其中两个四棱锥A-PEPE2与A-PE耳 B P B P D. D A3 A3 E C D,S O D P B A C B 3 B D 9 图3 图4 (1)求异面直线A,与2B2成角余弦值： (2)求平面？AE1与平面AE,P的夹角正弦值： (3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 试卷第5页，共6页 3 19.如图，设直线1：x=0,12:3x-4y=0.点A的坐标为(1，aa>三 .过点A的直线l的斜率为k,且与1， 4 I分别交于点M,N(M,N的纵坐标均为正数). A(1,a) M -70 (1)求实数k的取值范围； (2)设a=1,求△MOW面积的最小值； 11 (3)是否存在实数a,使得OM十ON的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a:若不存在，说明理 由. 试卷第6页，共6页