山东省莱西市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

一、单选题 1．若集合，，则的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的子集个数为：2． 故选：B． 2．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为其终边上一点，且， 由三角函数的定义，可得，解得或或， 又因为是第二象限角，所以，所以. 故选：D. 3．已知幂函数与指数函数的图像都过点，则（    ） A． B． C． D．方程有两个解 【答案】C 【详解】设，且， 则，可得，则， ，因为且，解得，所以，， 对于A选项，，即所以A错误； 对于BCD选项，在同一直角坐标系中作出函数、的图像如下图所示： 由图可知，当时，；当时，. 所以，B错误； ，C正确； 函数、的图像有三个公共点，即方程有三个解，D错误. 故选：C. 4．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由题意. ，即， 当且仅当时等号成立. 所以此三角形面积的最大值为3. 故选：B. 5．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】函数的定义域为，又， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、D； 当时，，，所以，故排除C. 故选：A 6．如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则的最小值为（   ）（参考数据：， A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【详解】设该生物原来的数量为， 由题意知，，则， 所以，因为，所以的最小值为12． 故选：D． 7．已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D 8．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若对恒成立，则， 所以， 又，所以，即， 则，由周期性可取， 所以函数， 令， 所以的单调递增区间是. 故选：C 二、多选题 9．已知是第二象限角，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】依题意，，所以，所以，A选项正确. 当时，，B选项错误. 因为①，所以，C选项正确. 由①得，当时，时，此时，D选项错误. 故选：AC 10．如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ） A．在起始位置，扇形的面积为 B．经过，点的坐标为 C．经过，扇形的弧长为 D．经过，点在单位圆上第二次重合 【答案】ABD 【详解】对于A，由点，可得，扇形的面积为，所以A正确； 对于B，经过，点转过了，所以点的坐标为，所以B正确； 对于C，经过，在的终边上，在的终边上， 所以扇形的弧长为，所以C错误； 对于D，要使得第二次相遇，则有走过的弧长减去走过的弧长=， 即设经过秒后，有，解得，所以D正确. 故选：ABD. 11．已知函数，若存在四个实数，使得，则（    ） A．t的范围为 B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AD 【详解】函数的图象，如图： 对于A，函数的图象与直线交于4点，则，A正确； 对于B，由，得，而，即， 则，即，且，由，得或， 由，得，B错误； 对于C，.B错误 对于D，，由， 得，则，， ，而对勾函数在上单调递增，则， 因此，所以，D正确. 故选：AD 三、填空题 12．化简 ＝ （α为第二象限角）. 【答案】 【详解】因为， 且为第二象限角， 所以， 故答案为： 13．已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则 ． 【答案】 【详解】由题意，，则． 当时，根据时，函数图象位于最低点，可得， 所以． 当时，根据时函数图像位于最低点， 可得， 故． 综上，． 故答案为：. 14．方程有______个实根 【详解】∵，∴， 两边平方得，令，，则原方程化为， ∵函数与函数在有两个交点， 设其横坐标分别为，且，则 ∵在有唯一解；在有两解， ∴原方程有个根. 四、解答题 15．已知全集，集合，函数的定义域为． (1)求： (2)已知集合，若，求实数的取值范围． 【详解】（1）解不等式，即，解得，得 对于函数，有，解得，则 ，则； （2）因为，所以， 当时，，得到，符合题意， 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是. 16．已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递增， 由题意得，解得，故. （2）因为，函数的图象对称轴为， 因为在上不是单调函数，所以，解得. 故实数的取值范围为. 17．已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【详解】（1） ，，即. ，. （2） . （3） 因为，，所以正余弦值异号，即为第二象限角， 所以. 18．已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【详解】（1）由且； （2）由题设及（1）知，而 （3）由题设，即， 所以，可得， 所以，即， 所以，即. 19．若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”. (1)分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； (2)若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 【答案】(1)不是“函数”，是“函数” (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）对举反例即可，利用作差法结合因式分解并利用指数函数性质即可判断； （2）（i）令，，不断迭代即可证明； （ii）根据并结合，再根据其定义性质即可证明. 【详解】（1）对于，取， 则，. 因为，不满足， 故不是“函数”； 对于，对任意的正数，， 有 ， 因为，则，所以函数是“函数”. （2）（i）令，， ， . （ii）因为当时，， 所以对任意，有， 又，则， 又， 所以， 由（i）知，则， 所以， 则， 故. 试卷第8页，共10页 试卷第7页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季高一数学 一、单选题 1．若集合，，则的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 3．已知幂函数与指数函数的图像都过点，则（    ） A． B． C． D．方程有两个解 4．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 5．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   6．如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则的最小值为（   ）（参考数据：， A．9 B．10 C．11 D．12 7．已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 8．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知是第二象限角，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ） A．在起始位置，扇形的面积为 B．经过，点的坐标为 C．经过，扇形的弧长为 D．经过，点在单位圆上第二次重合 11．已知函数，若存在四个实数，使得，则（    ） A．t的范围为 B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 三、填空题 12．化简 ＝ （α为第二象限角）. 13．已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则 ． 14．方程有 个实数根 四、解答题 15．已知全集，集合，函数的定义域为． (1)求： (2)已知集合，若，求实数的取值范围． 16．已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 17．已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 18．已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 19．若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”. (1)分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； (2)若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $