精品解析：河南省驻马店市驿城区第四中学2025-2026 学年上学期12月月考九年级数学试题

河南省驻马店市驿城区第四中学2025-2026+学年上学期12月月考九年级数学试题 一、单选题（共30分） 1. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 在下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A B. C. D. 3. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ） A B. C. D. 4. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 5. 如图，给出下列条件：①，②，③，④，其中不能判定的条件为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知如图各抛物线所对应的函数解析式分别为①②③④则比较a、b、c、d的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 已知二次函数的图象上有三点,,,则,,的大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共15分） 11. 如果，则_______． 12. 将二次函数的图象向下平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_____． 13. 在同一时刻太阳光下，测得一根高为1米的竹竿影长为2米，测得一栋楼的影长为20米，那么这栋楼的高度为________米． 14. 在一个不透明的布袋中，有红球、白球共30个，除颜色外其它完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在，则白球的个数是____． 15. 如图，菱形的边长为，，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到；则线段的最小值为____________，最大值为____________． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片． （1）从中任意取出1张卡片，图案为“哪吒”概率为多少？ （2）取出第一张卡片不放回再取一张，两次取出的卡片图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为多少？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在平面直角坐标系中画出； （3）的面积为______． 19. 如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求长． 20. 如图，直线与双曲线相交于，两点． （1）求，对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据图象，直接写出关于不等式的解集． 21. 河南省洛阳市应天门是隋唐洛阳城·宫城——紫微城的正南门，俗称五凤楼．应天门是一座由门楼、朵楼和东西阙楼及其间的廊庑为一体的“凹”字形巨大建筑群，两侧的阙高的高度相同，被称为“天下第一门”．某校数学兴趣小组要测量应天门两侧的阙高的高度，如图，他们在点处测得应天门两侧的阙的最高点的仰角为，再往应天门两侧阙高方向前进至点处，测得应天门两侧阙的最高点的仰角为，根据这个兴趣小组测得的数据，计算应天门两侧阙高的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 22. 有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 23. 综合与实践： （1）问题情景：如图1，已知等边和它内部一点D，把线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，射线交于点F，则与数量关系是___________， __________°． （2）类比探究：如图2，在等腰中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，将绕点A旋转得到，连接，，在旋转的过程中，设直线交于点F，探索和的数量关系和的度数； （3）拓展应用：如图3，在中，，以为斜边作等腰直角三角形，若求线段的长（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省驻马店市驿城区第四中学2025-2026+学年上学期12月月考九年级数学试题 一、单选题（共30分） 1. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 2. 在下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，形如（其中为常数，且)的函数是二次函数，据此问题可求解． 【详解】解：A．，不是二次函数； B．，可能为0，所以不一定是二次函数； C．，，是二次函数； D．，是分式函数，不是整式，不是二次函数； 故选：C． 3. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得解，熟练掌握相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比为， ∴面积比为， 故选：A． 4. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数系数与几何图形面积的关系，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积为， ∴． 故选：D． 5. 如图，给出下列条件：①，②，③，④，其中不能判定的条件为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．由图可知与中为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】解：①，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； ④中不是已知的比例线段的夹角，不正确 故选：D． 6. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和正切，利用勾股定理求出三角形的三条边，并利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，最后根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 已知如图各抛物线所对应的函数解析式分别为①②③④则比较a、b、c、d的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据开口判断a、b、c、d与0的关系，在根据张口的大小关系判断a、b、c、d绝对值的大小即可得到答案． 【详解】解：由图像开口方向可得， ，，，， 根据张口大小可得， ，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查抛物线的性质：开口向上，开口向下，的绝对值越大张口越小． 8. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 9. 已知二次函数的图象上有三点,,,则,,的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点值越大,继而得出答案． 【详解】解:∵, ∴抛物线开口向下,对称轴为直线, ∵,,, ∴, ∴, 故选：D． 10. 二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数a、b、c的符号及相关式子的正误． 【详解】解：由抛物线开口向上，得；对称轴，得；抛物线与轴交于负半轴，得． ①（，三数相乘为正），此结论正确； ②，此结论正确； ③，，无法判定，此结论错误； ④顶点时函数取最小值，时，此结论错误． 综上，正确结论有2个． 故选：B． 二、填空题（共15分） 11. 如果，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 将二次函数的图象向下平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象平移，涉及知识点：二次函数图象的平移规律（“上加下减”，即图象上下平移时，直接在函数表达式的常数项上加减平移的单位）．解题方法是根据“向下平移减”的规律，在原函数表达式后减去平移的单位；解题关键是掌握“上加下减”的平移法则，易错点是混淆上下平移与左右平移的规律． 【详解】由“上加下减”原则，将二次函数的图象向下平移4个单位长度，所得抛物线的表达式为． 故答案为． 13. 在同一时刻太阳光下，测得一根高为1米的竹竿影长为2米，测得一栋楼的影长为20米，那么这栋楼的高度为________米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用同时同地物高与影长成正比是解题的关键．根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解． 【详解】解：设楼的高度是米，由题意得：， 解得：． 故答案为：10． 14. 在一个不透明的布袋中，有红球、白球共30个，除颜色外其它完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在，则白球的个数是____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据频率估计概率可知，摸到红球的概率为，然后先计算红球个数，再求白球个数即可解答． 【详解】解：由题意，摸到红球的频率稳定在，故红球的概率为， 则红球个数为（个）， 所以白球个数为（个）． 故答案为：18． 15. 如图，菱形的边长为，，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到；则线段的最小值为____________，最大值为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，根据菱形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，可得出点在的角平分线上运动，故当时，的值最小，最后利用直角三角形的角所对直角边等于斜边的一半即可求值；当与点重合时，的值最大，过作于点，根据等边三角形的性质，旋转的性质，以及勾股定理即可求值． 【详解】解：如图，连接，   四边形为菱形， ，，． ，， 为等边三角形， ，， ， 同理可证，为等边三角形． 由旋转得，，， ， ， ， ， 点在的角平分线上运动， 如图，当时，的值最小， 在中，， ， 即线段的最小值为； 当与点重合时，的值最大，如图，过作于点，设与交于点，连接， 由上可知，， ． 为等边三角形，， ，， ， ， ． 由旋转得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行实数的加减和乘法运算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，同时计算乘方和负整数指数幂、零指数幂，再进行实数的加减和乘法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 有4张印有《哪吒之魔童闹海》图案的卡片，分别是：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片． （1）从中任意取出1张卡片，图案为“哪吒”概率为多少？ （2）取出第一张卡片不放回再取一张，两次取出的卡片图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片为“哪吒”、“敖丙”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”、“敖丙”的结果有：，，一共2种， ∴取出的2张卡片为“哪吒”、“敖丙”的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在平面直角坐标系中画出； （3）的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形，坐标与图形，熟练掌握位似的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）在坐标系中分别画出点关于轴对称的点，再顺次连接三点就可得所求三角形； （2）将，坐标乘以得到，再顺次连接三点就可得所求三角形； （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求得的面积． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所作图形． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所作图形． 【小问3详解】 解：的面积为． 19. 如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，证明，可得，即可得． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 小问2详解】 解：∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 20. 如图，直线与双曲线相交于，两点． （1）求，对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）求出点P的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量取值范围即可． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， ∴， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵轴交y轴于点P，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为：或． 21. 河南省洛阳市应天门是隋唐洛阳城·宫城——紫微城的正南门，俗称五凤楼．应天门是一座由门楼、朵楼和东西阙楼及其间的廊庑为一体的“凹”字形巨大建筑群，两侧的阙高的高度相同，被称为“天下第一门”．某校数学兴趣小组要测量应天门两侧的阙高的高度，如图，他们在点处测得应天门两侧的阙的最高点的仰角为，再往应天门两侧阙高方向前进至点处，测得应天门两侧阙的最高点的仰角为，根据这个兴趣小组测得的数据，计算应天门两侧阙高的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】设，在中，，可得，则，在中，，求出的值，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，，， 设， 在中，， ， ， 在中，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 应天门两侧阙高的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 22. 有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键． （1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可． （2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由抛物线对称性可知，为， ∵抛物线顶点在原点， ∴设解析式为，把代⼊得： ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵水位上升就达到警戒线的位置， ∴点C、D的纵坐标为， 当时， ， 解得：， ∴， ∴米． 23. 综合与实践： （1）问题情景：如图1，已知等边和它内部一点D，把线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，射线交于点F，则与数量关系是___________， __________°． （2）类比探究：如图2，在等腰中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，将绕点A旋转得到，连接，，在旋转的过程中，设直线交于点F，探索和的数量关系和的度数； （3）拓展应用：如图3，在中，，以为斜边作等腰直角三角形，若求线段的长（直接写出答案）． 【答案】（1）；60 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）分点在上方和下方，两种情况进行讨论求解． 【小问1详解】 解：∵等边， ∴， ∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（外角的性质）， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵等腰，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵将绕点A旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 当点D在的上方时，如图1所示， 过点D作交的延长线于点E，则：， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点D在的下方时，如图2所示，同理可得，． 综上：或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等和相似，本题蕴含手拉手全等模型，手拉手相似模型，属于中考中常见的几何综合压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $