第09讲 函数与平面直角坐标系（复习讲义，4考点6题型2重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“函数与平面直角坐标系”核心模块，覆盖平面直角坐标系中的点坐标特征、变换规律及函数概念、图像信息等中考必考考点，以“考情剖析-知识导航-考点解析-命题洞悉-重难突破-分层练习”为架构，通过考点梳理（如坐标变换规则）、方法指导（规律问题探究）、真题训练（2025山东中考题）帮助学生系统构建知识网络，突破几何动点与函数图像等难点。 特色在于“命题洞悉”模块按题型分类（平移/对称/旋转变换、图像信息获取等），结合典例变式训练培养学生几何直观与推理意识，“重难突破”环节通过坐标与图像综合题（如菱形中心对称作图）提升应用意识。分层练习含基础巩固、能力提升及全国新趋势题型，配合即时反馈机制，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生应试能力。

第三章 函数 第09讲 函数与平面直角坐标系 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 17 命题点一 平面直角坐标系 题型01 平移变换 题型02 轴对称变换 题型03 旋转变换 题型04 规律性问题 命题点二 函数 题型01 从图像获取信息 题型02 几何动点与函数图像 05·重难突破·思维进阶难 39 突破一 坐标与图象综合 突破二 坐标系中的动点问题 06·优题精选·练能提分 52 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 点的坐标 特征与变换 山东卷 T14 山东威海T9 山东潍坊T16 山东滨州T12 山东东营T16 山东卷 T16 山东威海T7 山东潍坊T12、T17 山东淄博T12 山东青岛T15 山东泰安T18、T12 山东日照T12 山东东营T8、T13、T18 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标.对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形.在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系.在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应 函数 山东东营T9 山东济南T14 山东卷T10 山东淄博T10 山东东营T14 山东潍坊T4 山东威海T10 山东烟台T10 山东济南T15 山东潍坊T18 山东威海T15 山东滨州T5 山东烟台T16 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例;能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析;能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值;能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义;结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 命题预测 结合数轴表示、科学记数法表示和实数的混合运算等情境考查实数相关知识，题型一般以选择题和计算题为主。在数轴考点中，常见实数与数轴点的对应关系、式子正负判断、绝对值意义等；科学记数法考点中，考查大数或小数的科学记数法表示，常与实际问题结合；实数的运算考点中，考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程和准确性。 考点一 有序数对与坐标 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【答案】(1)见解析，，； (2)见解析． 【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图——平移变换，中心对称，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，，的坐标分别为，，建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求对称中心的坐标和点的对应点的坐标； （）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系， ∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是； （2）解：画出平移后的菱形，如图所示． 2．（2025·山东烟台·一模）如图，线段的长度分别是，且平分．若将点表示为，点表示为，则点可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查有序数对表示位置，角平分线的定义，根据角平分线的定义，可得的度数，根据角的和差，可得根据已知点的坐标的表示方法，可得答案． 【详解】解：∵点表示为，点表示为， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴点可表示为， 故答案为：． 3．（2023·山东枣庄·中考真题）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，再根据旋转的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵B，C的坐标分别为， ∴坐标系的位置如图所示：    ∴点的坐标为：， 连接，将绕点顺时针旋转后，如图，叶柄上点A对应点的坐标为； 故答案为： 【点睛】本题考查坐标与旋转．解题的关键是确定原点的位置，熟练掌握旋转的性质． 考点二 由坐标的位置求参数 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：平移后对应点C的坐标为， 点的横坐标加上了4，纵坐标加1， ， 点坐标为， 即， 故答案为：． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （）分别求出的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入得，， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 考点三 函数 一、函数的相关概念： 1.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 3.函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 4.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 5.函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 6.函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 2．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 3．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【答案】/ 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 考点四 自变量取值范围 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 2.确定自变量取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 1．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 2．（2025·山东临沂·一模）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶时，剩余电量；行驶了后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中耗电量是均匀的，若剩余电量用表示，行驶路程用表示． (1)求该车y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键． （1）设，由题意知：当时，；当时，，用待定系数法即可求解； （2）令，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：设，由题意知：当时，；当时，， 代入得，． 解得：，， ； （2）解：令，则， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 平移变换 / 1. 确定平移方向和距离：明确图形是沿水平方向（左右）还是垂直方向（上下）进行平移，以及平移的单位长度。例如，将一个点(x,y)向右平移a个单位长度，那么新的横坐标为(x + a)，纵坐标不变；向上平移b个单位长度，则新的纵坐标为(y + b)，横坐标不变。 2.应用到所有关键点：对于多边形等图形的平移，需要找到图形的各个关键点（如顶点），按照上述规则分别对这些点进行平移操作，然后再连接这些平移后的点，得到平移后的图形。 【典例】（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，两点中点坐标公式，熟知反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． 由平移的性质可得，设，则，则，，，由两点中点坐标公式得到，则由待定系数法可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 点A的坐标是，点B的坐标是， ，． 设，则， ，，． 点F为中点， ． 函数的图象经过点C和点F， ． 解得． ． 故答案为：6； 【变式】1．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形变换叫做图形的变换，如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查了新定义，平移，旋转，解直角三角形的计算，理解新定义，解直角三角形的计算是关键． 根据题意作图分析，先得到平移点，，，则是等腰直角三角形，，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，点先向上平移个单位得到，将点绕原点顺时针旋转得到点，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 2．（2025·河南·二模）如图，已知正方形的顶点与原点重合，顶点A、C分别在轴、轴上，顶点．将正方形向左平移，点恰好落在的图象上时，此时点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形平移，熟练掌握正方形性质，平移性质，一次函数性质，是解题的关键．当平移到上时，，求出x值，可得移动的距离，根据即得的坐标． 【详解】解：∵正方形的顶点与原点重合，顶点A、分别在轴、轴上，顶点． ∴， ∵将正方形向左平移，点恰好落在的图象上， ∴把代入中， 得， ∴． ∴平移的距离为， ∴的对应点的坐标为． 故答案为：． ►题型02 轴对称变换 / 1. 关于x轴对称：如果一个点(x,y)关于x轴对称，那么对称点的横坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标为(x,-y)。可以通过这种方式依次求出图形各个关键点关于x轴的对称点，然后连接这些点得到对称图形。 2.关于y轴对称：若点(x,y)关于y轴对称，其纵坐标不变，横坐标变为相反数，对称点坐标为(-x,y)。同样的方法用于求整个图形的对称图形。 3.关于其他直线对称：当涉及到关于非坐标轴的直线（如直线y = x或直线y=-x等）对称时，需要利用对称的性质来求解。以关于直线y = x对称为例，点(x,y)关于直线y = x对称的点坐标为(y,x)。对于一般的直线对称，可以通过求垂足、利用中点在对称轴上等性质来列方程求解对称点坐标。 【典例】（2025·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，函数与函数的图象相交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的结合，交点坐标的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握正比例函数和反比例函数的性质． 根据题意先求出点的坐标，再利用，两点关于原点对称，即可求解． 【详解】解：将点的坐标代入得， ， ∴点的坐标是， 由反比例函数图象和正比例函数的图象可知， ，两点关于原点对称， ∴点的坐标是， 故选：D． 【变式】1．（2025·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点的坐标为是线段上一点，且，沿折叠后点落在点处，那么点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了勾股定理、坐标与图形、折叠的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．作于点D，于点G，根据折叠的性质得到，，则，则，即可得到点F的坐标． 【详解】解：如图，作于点D，于点G， 正方形的点的坐标为， ， 正方形中，，沿折叠后点落在点处， ，， ， ， ，， 点的坐标为， 故答案为：． 2．（2025·河南安阳·三模）如图，矩形的顶点，在轴上，的长为6，顶点的坐标为，原点在边上，边与轴相交于点，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与翻折问题，涉及到勾股定理、解方程等知识点，解题的关键是勾股定理的灵活应用． 由矩形的翻折性可求得的长，再由勾股定理求得的长，进一步求得的长，设，则，于是在直角中由勾股定理建立方程，可求得x的值，即可得到答案． 【详解】解：如图当点恰好落在轴， ∵点C的坐标为， 则，，， ∴，即， ∵沿所在直线翻折得到， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， 设，则， 在直角中，．即 解得：， ∴， ∴ 故答案为：． ►题型03 旋转变换 / 1. 绕原点旋转(900)：如果是顺时针旋转900，点(x,y)旋转后的坐标变(y,-x)；如果是逆时针旋转900，点(x,y)旋转后的坐标变为(-y,x)。通过这种规律可以求出图形各关键点旋转后的坐标，进而得到旋转后的图形。 2.绕原点旋转1800：此时点(x,y)旋转后的坐标为(-x,-y)。 3.绕任意点(a,b)旋转：先将图形平移，使旋转中心(a,b)移到原点，进行旋转操作后，再将图形平移回去。 【典例】（2025·山东枣庄·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得对应，且点落在边上，交轴于点，则线段的长度是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查旋转性质、锐角三角函数、坐标与图形，掌握旋转性质是解答的关键．先根据三角函数求出，再由旋转的性质可知，，再求出的长，然后根据即可得出结果． 【详解】解：在中，，点A的坐标为， ，则， ，， 由旋转可知：，， ， ∴． 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东青岛·二模）如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是是解题的关键．先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 所以，，， 解得，， 所以． 故选：B． 2．（2025·山东淄博·一模）对于点P和线段，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到的弦（，分别是A，B的对应点），则称线段是的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点的，连接，已知线段是的以点P为中心的“和谐线段”，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，圆的基本特点，根据题意可得都在上，由，可得点B只能在C、D这两个位置，同理点A只能在，这两个位置，进而确定或，再确定对应情形下旋转的角度即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的半径为1， ∴都在上， 如图， ∵， ∴劣弧（不包括端点）上的任意一点到点P的距离都小于1，优弧（不包括端点）上任意一点到点P的距离大于1， ∴点B只能在C、D这两个位置， 同理可得点A只能在，这两个位置， ∴或， 当时，此时旋转角度为180度，符合题意， 当，此时点A旋转到其对应点时的旋转角度大于90度，点B旋转到其对应点时的旋转角为90度，不符合题意， ∴， 故选：B． ►题型04 规律性问题 / 1. 观察特殊点找规律：通过观察图形或数列中的前几个特殊点，分析其横坐标、纵坐标的变化情况，找出变化的规律，进而推测出一般性的规律。 2. 利用周期性找规律：当点的坐标变化呈现周期性时，先确定周期的长度，再根据所求点的序号与周期的关系，找到对应的规律。 3. 结合几何变换找规律：如果涉及到图形的平移、对称、旋转等几何变换，需要根据相应的变换规则来确定点的坐标变化规律。 4. 建立函数关系式找规律：将点的坐标之间的关系用函数表达式表示出来，从而更清晰地揭示规律。 5. 重新标号找规律：对有规律的点进行重新编号，把点的角标、横坐标、纵坐标都用新的序号表示，使问题简化，更容易发现其中的规律。 【典例】（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 【变式】1．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，反比例函数图象上点的特征，等腰直角三角形的性质等知识，利用等腰直角三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，通过设未知数建立方程求解，进而总结规律得出点的坐标． 【详解】解：过、、．．．分别作x轴的垂线，垂足分别为、、．．． 则， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵直角顶点在反比例函数， ∴，即， ∴， ∴， 设坐标为，则， ∵在上， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设坐标为， 则， ∵坐标在反比例函数， ∴， 即，整理得， ∴， ∵， ∴，， ∴， 总结：， ， ， … 则， ∴， ∴， 故答案为： 命题点二 函数 ►题型01 从图象获取信息 / 1.明确坐标轴意义：仔细查看横、纵坐标分别代表的实际变量，如时间、速度、路程、温度等，这是理解图象的基础。 2.分析特殊点：关注图象与坐标轴的交点、顶点、转折点、端点等特殊点的坐标及对应含义，比如在路程 - 时间图象中，起点表示开始运动的时刻和位置，终点表示运动结束的时刻和位置，与坐标轴的交点可能有特殊意义，如速度为零的时刻等。 3.观察图象趋势：判断图象是上升、下降还是水平，以此了解变量间的增减或恒定关系，例如在速度 - 时间图象中，上升线段表示加速，下降线段表示减速，水平线段表示匀速。 4.解读区间范围：确定图象覆盖的自变量、因变量区间，即函数的定义域和值域，从而明确变量的取值范围。 5.识别特征：留意图象的对称性、周期性等特征，进而推导函数的奇偶性、周期性等性质，比如正弦函数图象具有周期性和对称性 【典例】（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 【详解】，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确． 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东济南·一模）两地相距240千米，早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．甲、乙两车离开各自出发地的路程、（千米）与甲车出发的时间t（小时）之间的关系如图所示，下列描述中不正确的有 ． ①甲车的平均速度是60千米/小时； ②乙车的平均速度是80千米/小时； ③甲车与乙车在早上10点相遇； ④两车在10：40或10：58时相距20千米． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了观察图象，利用图中信息解题的能力．关键是设未知数列方程解题．观察图象，找出时间，路程求速度，再设未知数列方程解题． 【详解】解：①由图可知，甲车1小时行驶了60千米， 故甲车的平均速度为60千米/小时；①正确． ②由图可知， 乙车的速度为90千米/小时；②错误． ③设甲车与乙车在甲车出发x小时后相遇， 甲车在x小时的路程为千米， 乙车在x小时的路程为千米， ∴， 解得． 1.8小时1小时48分钟， 故甲车与乙车在10点48分相遇．③错误． ④在10：40时，两车还未相遇，经过8分钟相遇， 此时两车相距千米， 在10：58时，两车已相遇，并背向而行10分钟， 此时两车相距千米，故④错误． 故答案为：②③④． 2．（2025·山东青岛·三模）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图中线段表示小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题： (1)点的坐标是______； (2)请求出图中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象； (3)直接写出为何值时，两人相距米． 【答案】(1) (2)，图象见解答 (3)分钟或分钟或分钟 【分析】（1）分别求出小明和妈妈的速度，再求出妈妈到家所用时间和在家停留的时间，从而求出点的横坐标，求出此时小明离开家的距离，即的纵坐标，进而得到的坐标即可； （2）根据路程速度时间写出与的函数关系式，写出与的函数关系式并画出其图象即可； （3）根据的取值范围，当两人相距米时分别列关于的方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：小明的速度为米分钟，则妈妈的速度为米分钟， 妈妈到家所用时间为分钟， 妈妈在家停留的时间为分钟， 分钟， 点的坐标为， 米， 点的纵坐标为． 点的横坐标是． 故答案为：． （2）解：， 米与时间分钟的函数关系式及自变量的取值范围为． 当时，， 当时，， 当时，， 与的函数关系式为， 在图中画出妈妈和商店的距离米与时间分钟的函数关系的图象如图所示： （3）解：当时，两人相距米时，得， 解得或， 当时，两人相距米时，得， 解得舍去或舍去， 当时，两人相距米时，得， 解得． 答：为分钟或分钟或分钟时，两人相距米． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中路程、速度、时间的关系，以及分段函数的构建与求解．熟练掌握路程公式（路程=速度×时间）、分段分析运动过程、准确构建函数关系式是解题的关键． ►题型02 几何动点与函数图像 / 1. 判断趋势法 - 根据题意将几何图形的运动过程分段，分析每一段中变量的增减变化趋势。 2. 求解析式法 - 依据几何图形的性质和已知条件，求出每一段中两个变量之间的函数解析式，再结合函数的性质来确定函数图象。 3. 定点排除法 - 从选项中的函数图象关键转折点入手，将其与几何图形中动点运动的特殊情况相对应，如动点到达某个顶点、与某条边的交点等时刻，通过对比分析和排除不符合实际情况的选项。 4. 分类讨论法 - 由于几何动点在不同的运动阶段可能会出现不同的几何关系和数量变化，所以需要按照动点的运动路径、与其他元素的相对位置等因素进行分类讨论。 【典例】（2025·山东潍坊·二模）如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4.8 D．4.4 【答案】B 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，连接， 根据图2知：当点与点重合时，， 当与重合时，， ， ， 当点到达点时，， ， ． 故选：B． 【变式】1．（2025·山东日照·二模）如图，为矩形ABCD的边AD上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿BC运动到点停止，它们的速度都是．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与之间的函数图象如图所示．给出下列结论：①；②当时，；③在运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有3个；④与相似时，．以上结论正确个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由图2可知，整个运动过程分为段，故点到达时，点同时到达，由此可知，，，由勾股定理求得，由此分别分析各命题的正误． 【详解】解：由图可知，，，， 四边形是矩形， ，． ， ，①正确； 当时，点在上，点在处， ，②正确； 如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形； 作的垂直平分线，交于，交于，当点位于或处时，是等腰三角形． 综上，运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个，③错误； 是直角三角形， 当且仅当点在上时，与相似，此时，，，且， 或， 即或， 解得或（舍去）． 当与相似时，，④正确． 综上可得，正确的有：①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 2．（2025·山东烟台·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，已知动点以的速度从点向点运动，动点的速度是点的倍，从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为 ． 【答案】96 【分析】由题意可知：：：，设，则，过点作垂直于的延长线于点，过点作垂直于的延长线于点，由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为12，得出，则，在中，，得出，进而根据平行四边形的面积公式，即可求解． 【详解】解：由题意可知：：：，设，则， 如图，过点作垂直于的延长线于点， ，则， ， 在中，， ， 则，化简得：， 由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为12， ， ， 为正数， ， ，则， 如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，则， ， ， ． 故答案为：96． 突破一 坐标与图象综合 【典例】如图，已知点M在y轴正半轴上，与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点，点P在点Q的下方，且点P的坐标是，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，坐标与图形，勾股定理，过点作轴，连接，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：过点作轴，连接， ∵， ∴，， ∵与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为： 【变式】1．如图，直线与双曲线相交于第一象限的两点，连接，过点A作轴于点C，交于点D，已知． (1)设点A的横坐标为m，请直接写出点B的坐标；（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，请求出该双曲线的表达及的面积； (3)在（2）的条件下，请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【分析】（1）根据的横坐标为m，可得的横坐标为，可得的横坐标为，从而可得答案； （2）由，的横坐标可得方程组，求解，再进一步利用割补法求解即可； （3）直接根据图象可得关于x的不等式的解集． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为m，在双曲线的图象上， ∴y=k/m， ∵过点A作轴于点C，交于点D， ∴的横坐标为， ∵， ∴的横坐标为， ∵在反比例函数上， ∴； （2）解：∵直线与双曲线相交于第一象限的两点， ∴将A的横坐标代入和中， 得，， 将B的横坐标代入和中， 得，， 解方程组， 得， ∴该双曲线的表达为， 该直线的表达为， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 记直线与轴交于，与轴交于， 当，则，当，则， ∴， ∴ ； ∴的面积为9； （3）解：根据图象可得：关于x的不等式的解集为： 或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，图象与不等式的关系，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 2．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当线段时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长，与轴交于点，点为轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合正比例函数先求出点，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意设，进而得到，，再结合建立方程求解，即可解题； （3）方法一：根据坐标得到，结合等腰直角三角形性质证明，利用相似三角形性质进而求出，即可解题； 方法二：根据坐标得到，结合等腰直角三角形性质证明，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到，最后利用相似三角形性质进而求出，即可解题． 【详解】（1）解：∵正比例函数过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数过点， ∴， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点是在线段的延长线上， ∴设， ∵轴，且与的图象交于点，与x轴的交点为点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； （3）解：方法一：由（2）得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴ ， 解得， ∴； 方法二：由（2）得得，， ， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 解得， 解得， ∴． 突破二 坐标系中的动点问题 【典例】如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 【答案】(1) (2)或；；或 【分析】本题主要考查了利用平移的性质求解，坐标系中的动点问题（不含函数），解题关键是熟练掌握相关知识． （1）根据平移的性质可得，进而得解； （2）根据点的运动路线分类讨论； 结合结论建立方程求解即可； 分类讨论，根据面积表达式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度， ； （2）当点在上时，， 此时， ； 当点在上时，， 此时， ； 综上，或； 当时，则， 解得； 当时，， 解得，此时不符合题意，舍去； 综上所述，； ， ， 当时，点在上， ， ， ， ， 解得； 当时，点在上， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 【变式】1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，，点、分别为边、上的动点（不与端点重合），且，连接． (1)如图1，设的中点为，则点的坐标为 ． (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点的对应点为点），连接． ①当点的坐标为时，求线段的长； ②设点的坐标为的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设，则，然后根据四边形是矩形，表示点E的坐标，再用线段中点坐标公式计算即可； （2）①过点作于点，过点作于点，证出，求出F的坐标，再利用两点间的距离公式即可； ②当时，过点作于点，过点作交的延长线于点，可证，再利用三角形面积计算公式计算即可；当时，过点作于点，过点作于点，可证，再利用三角形面积计算公式计算即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）解：①，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，过点作于点，如图2，则， ，， ， ，即， ， 又∵， ∴， ， ， ； ②由①可得，， ， ， ， ， ， ， 当时，如图3-1， 过点作于点，过点作交的延长线于点，则， ， ， ，即， ， 又∵， ∴， ， 当时，如图3-2， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，过点作于点， 则， ， ， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ， ； 综上可知，关于的函数表达式为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，旋转的性质，三角形的综合． 2．在平面直角坐标系中，O为原点，有四边形，顶点． (1)填空：的长是______，的长是______； (2)点M，N分别为四边形边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒，的面积为S． ①当时，求S的值； ②当点M在线段上，且点N在线段上时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)若，请直接写出此时t的值．（直接写出结果即可） 【答案】(1)10，6 (2)①；② (3)或8或 【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题； （2）①如图中， 作轴于，连接，当时，点与重合，求的面积； ②如图中， 当时，点在线段上，，作于， 于，则，由， 推出 即，可得，由此即可解决问题； （3）分三种情形①当点在边长上，点在上时；②如图中，当、在线段上相遇之前，作于， 则，列出方程即可解决问题；③同法当、在线段上相遇之后，列出方程即可； 【详解】（1）解：在中， ， ， ∴， 故答案为： ， ； （2）①解：如图， 作轴于，连接， ， ， 在中，， 当时，点与重合，， ，即， ②如图中，设点的纵坐标为，当点在线段上，，作于， 于，则， ， ， ∵， ， ， ∵点在线段上， ， ； （3）解：①当点在边上， 点在上时， ， 解得(负根已经舍弃)； ②如图3中，当、在线段上，相遇之前， 作于E， 则， 由题意得， 解得 同法当、在线段上，相遇之后， 由题意得， 解得 ， 综上所述，若，此时的值或或 1．（2025·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则是由绕点P逆时针旋转得到，即可得出答案． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，相交于点P， 则是由绕点P逆时针旋转得到， ∴点P的坐标为． 故选：C． 2．（2025·山东临沂·一模）若点在第四象限，那么a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：点在第四象限， ， 解不等式①得，， 解不等式②鹅，， 所以，的取值范围是． 故选：A． 3．（2025·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切，点在上，它们的横坐标分别是0，18．若沿着轴向右作无滑动的滚动，当点第一次落在轴上时，此时点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆上的动点问题，圆的性质，切线定理，勾股定理，弧长公式等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 设与轴的交点为，过点作轴，交轴于点，连接，根据勾股定理求出，确定，求出点滚动的长度，然后利用对应点的长度即可求出点的坐标． 【详解】解：如图1，设与轴的交点为，过点作轴，交轴于点，连接， 轴，轴，点的坐标是， ， 即的半径为10， ， 在中，， 延长与相交，此时交点到点的距离为18，而点的横坐标为18， 故交点为点， ， 如图2，当点第一次落在轴上时，滚动了， 点滚动的距离为：， 点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为， 此时，，点的纵坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为， 故选：C． 4．（2025·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；（3）作射线交于H，则线段的长为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点H作于T，根据矩形的性质和点D的坐标可得 ，利用勾股定理可得，由作图方法可得平分，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点H作于T， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵O为线段的中点， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可知平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2025·山东济宁·三模）如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段的长度是，图②是y随x变化的关系图象．①的半径为；②A、B两点间的距离为1；③点P的运动速度为；④的度数为．以上说法正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是动点图象问题，正确记忆相关知识点是解题关键．由题图②得，抛物线顶点坐标，即时，最长，即此时是直径，据此可判定①、②、③，最后根据可对④进行判断． 【详解】解：由题图②得，当时，，即此时A、O、P三点共线，则的半径，故①正确； 当时，点P到达点B处，此时， ∴A、B两点间的距离为，故②正确； 点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为， ∴点P的运动速度是，故③正确； 当点P运动到点B时，，即， ∴，故④错误． 故选：A． 6．（2025·山东济南·一模）如图，已知的顶点，，，按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；③作射线，交边的延长线于点．则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点G作于点M，过点A作于点N．证明 ，推出可得结论． 【详解】解：如图，过点G作 于点M，过点A作 于点N，则． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 由作图可知平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G的纵坐标为． 故选：C． 7．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若线段的垂直平分线与线段恰好交于点B，则称点P为线段关于点A的对垂点．已知点，．若点P是线段关于点A的对垂点，则点P的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂直平分线的性质，根据新定义可得，即可得到点P在以B为圆心，长为半径的圆上，然后得到点P的纵坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵点P是线段关于点A的对垂点， ∴， ∴点P在以B为圆心，长为半径的圆上，即， ∴点P的纵坐标的取值范围是， 故答案为：． 8．（2020·山东济南·一模）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 【答案】 【分析】本题考查了由函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，再求出两直线的交点即可得到答案． 【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 联立， 解得：， 经过20分钟时，当两仓库快递件数相同， 故答案为：20． 9．（2025·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知为等边三角形，，点C为的中点，反比例函数的图象经过A，B两点，且与交于点D，，点B的横纵坐标之和为． (1)点C的坐标为________；（请直接写出结果） (2)求反比例函数的解析式； (3)求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点B作轴于M，过点A作轴于N，证明，得，，设，则，然后由中点坐标公式求解； （2）设B点坐标为，则．再根据，求得，即可求得，从而求解； （3）先由点C坐标求得，再证明是第一象限角的平分线，从而可得所在直线的解析式为，再联立，求得D点的坐标为，从而可求得的长， 然后由求解即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于M，过点A作轴于N，如图， 则， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵点C为的中点， ∴点， ∵点B的横纵坐标之和为， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设B点坐标为，则． ∵B的横纵坐标之和为， ∴． 解得． ∴． ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵ ∴， ∵为等边三角形，点C为的中点， ∴， ∴， ∴是第一象限角的平分线， ∴所在直线的解析式为． 联立， 解得， ∴D点的坐标为． ∴． ∴． ∴CD的长度为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，反比例与一次函数交点，等边三角形的性质，中点坐标公式等知识，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． 10．（2025·山东青岛·二模）在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“靓点”．举例：如图，过点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形的周长为18，面积也为18，周长与面积相等，所以点P是“靓点”． (1)已知点，是平面直角坐标系中的“靓点”的有 ；（填字母） (2)若靓点，恰好在一次函数的图像上，则 ， ． (3)若过点且平行于y轴的直线上有靓点，则靓点为 (4)在第一象限内，一次函数上，靓点为 ，从函数的角度研究“靓点”，已知点是第一象限内的点，求y与x的函数表达式 ． 【答案】(1)D、E (2)6；9 (3)或， (4)； 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，一次函数与几何综合等待，正确理解靓点的定义是解题的关键． （1）过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则四边形是矩形，则，据此求出四边形的周长和面积，再根据靓点的定义进行判断，同理可判断点D和点E； （2）根据一次函数解析式可求出，则点Q的坐标为，由坐标系中一点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值可知过点P分别作x轴，y轴的垂线，由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长和面积分别为，面积为，据此可得，解方程即可得到答案； （3）设过点且平行于y轴的直线上的靓点坐标为，则，解方程即可得到答案； （4）设在第一象限内，一次函数上的靓点坐标为，则，解方程即可得到答案；由点是第一象限内的靓点，可得，则． 【详解】（1）解：如图所示，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形的周长，四边形的面积为， ∵四边形的面积与周长不相等， ∴不是靓点； 同理可得过点D分别作x轴，y轴的垂线，如果由点D、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长为，面积为， ∴点D是靓点； 同理可得过点E分别作x轴，y轴的垂线，如果由点E、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长为，面积为， ∴点E是靓点； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴点Q的坐标为， ∵坐标系中一点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值， ∴过点P分别作x轴，y轴的垂线，由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长和面积分别为，面积为 ∵点是靓点， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设过点且平行于y轴的直线上的靓点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴过点且平行于y轴的直线上的靓点坐标为或； （4）解：设在第一象限内，一次函数上的靓点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴设在第一象限内，一次函数上的靓点坐标为； ∵点是第一象限内的靓点， ∴， ∴． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则的值为（    ）． A．54 B．52 C．50 D．48 【答案】B 【分析】先求解，，根据点运动的路径长为，，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值，同理求解，的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， 当时，由题意可知， ， 在中，由勾股定理得， 设， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ∴， ， 如图，当时，由题意可知，， 设， ， 在中，由勾股定理得， 在中由勾股定理得， 中，由勾股定理得， 即，   解得， ， ， ．   故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理，动态问题的函数图象，锐角三角函数的应用，运用了数形结合的思想解题是关键． 2．（2025·山东潍坊·三模）如图1，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．设同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图2（曲线为抛物线的一部分），下列结论正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．当时，的面积为 D．当时，与相似 【答案】BC 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定，解直角三角形．根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从秒到秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各小题分析解答即可． 【详解】解：根据图（1）可得，当点到达点时，点到达点， ∵点、的运动的速度都是秒， ， ， 根据图（2）得，从到的变化是秒， ， ， 在中，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，故A错误，不符合题意； ∵， ∴点的坐标为，故B正确，符合题意； 如图（1）过点作于点， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ∴的面积为， 故C正确，符合题意； 当秒时，点在上， 此时，，，， ∴，与不相似， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与不相似，故D错误，不符合题意． 故选：BC． 3．（2025·山东泰安·一模）三月的泰安，玉兰花迎着春风绽放，数学活动小组在绘制如“玉兰花”形的美丽图案，如图在平面直角坐标系中，等腰三角形．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点的对应点为，称点为第一个“玉兰花”的花瓣，点为第二个“玉兰花”的花瓣；……；按此规律，滚动2025次后停止滚动，则最后一个“玉兰花”的花瓣的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，过点作轴于C，由等腰三角形的性质得到，则可求出，，进而求出的长，则可求出的坐标，根据题意可得的纵坐标为，且是由（n为正整数）向右滚动3次得到的，且滚动的距离为个单位长度，据此求出2025除以3的商和余数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作轴于C， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得， ∴， ∴； ∴的横坐标为，纵坐标为， 由题意得，的纵坐标为，且是由（n为正整数）向右滚动3次得到的，且滚动的距离为个单位长度， ∵， ∴滚动2025次后，最后一个“玉兰花”的横坐标为，纵坐标为， ∴滚动2025次后，最后一个“玉兰花”的坐标为， 故答案为：． 四、解答题 4．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图1，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过C、D两点． (1)求点C的坐标并直接写出、的值； (2)如图2过点A作x轴的垂线L，在L上找一点P，当最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点D作轴，垂足为点H，交的图象于点E，点M为y轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）作轴于，作轴于，则，证明，求出；将代入可得；同理可得，从而可得，再利用待定系数法求解即可； （3）求得，结合勾股定理可得，设，，根据菱形的性质，分两种情况：当为对角线时，此时；当为边时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图：作轴于，作轴于，则， ， ∵在平面直角坐标系中点，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； 将代入可得：，即； 同理可得：， ∴，， ∴，即， 将代入可得：，即； （2）解：∵在平面直角坐标系中点，， ∴垂线为直线， 如图：作点关于垂线的对称点，连接，并延长交垂线于，连接， ， 由轴对称的性质可得：，， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最大，为， 由（1）可得， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：存在， 由（1）可得：，，， 当时，，即， ∴， 设，， ∵点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形， ∴当为对角线时，此时， 则， 解得：，即， 当为边时， 同理可得：或， 解得：或， 此时或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、反比例函数综合、菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）我们约定，在平面直角坐标系中，经过象限内某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”．例如，点的参照线有：，，，（如图1）．如图，正方形在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，分别在轴和轴上，点在正方形内部． (1)直接写出点的所有参照线：______； (2)若，点在线段的垂直平分线上，且点有一条参照线是，则点的坐标是______； (3)在（2）的条件下，点是边上任意一点（点P不与点A，B重合），连接，将沿着折叠，点的对应点记为，当点在点的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点的坐标______． 【答案】(1)，，， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合题、勾股定理、翻折变换、点的“参照线”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解； （1）根据参照线的定义可知，点的所有参照线为：，，，； （2）由题意可知，点的横坐标为3，再利用待定系数法即可解决问题； （3）分两种情形①如图1中，当点在参照线上时，设．②如图2中，当点在参照线上时，设．分别构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：根据参照线的定义可知，点的所有参照线为：，，，， 故答案为，，，； （2）解：，点在线段的垂直平分线上， 点的横坐标为3， 又点有一条参照线是， 时，， 点坐标为， 故答案为． （3）解：①如图1中，当点在参照线上时，设． ，，， ， ， 在中， ， ， ， ， ②如图2中，当点在参照线上时，设． ，，， ， 在中， ， ， ， ， 综上可知，点的坐标为或． 1．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案. 【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 2．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式． 把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 故选：． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 4．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 5．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 6．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由矩形性质得点，根据 D为的中点，得，得，得； （2）求出和直线解析式，求出，得，求出，，即得． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵反比例函数的图象交于点E， ∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形面积公式，是解题关键． 7．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】(1) (2) (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【分析】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转： （1）先证明四边形是正方形即可得到坐标； （2）根据，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长； （3）利用旋转即可． 【详解】（1）以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2）原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到． 8．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 10．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 【答案】(1)， (2) (3)该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. 【详解】（1）解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； （2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； （3）解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第09讲 函数与平面直角坐标系 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 平面直角坐标系 题型01 平移变换 题型02 轴对称变换 题型03 旋转变换 题型04 规律性问题 命题点二 函数 题型01 从图像获取信息 题型02 几何动点与函数图像 05·重难突破·思维进阶难 18 突破一 坐标与图象综合 突破二 坐标系中的动点问题 06·优题精选·练能提分 21 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 点的坐标 特征与变换 山东卷 T14 山东威海T9 山东潍坊T16 山东滨州T12 山东东营T16 山东卷 T16 山东威海T7 山东潍坊T12、T17 山东淄博T12 山东青岛T15 山东泰安T18、T12 山东日照T12 山东东营T8、T13、T18 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标.对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形.在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系.在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应 函数 山东东营T9 山东济南T14 山东卷T10 山东淄博T10 山东东营T14 山东潍坊T4 山东威海T10 山东烟台T10 山东济南T15 山东潍坊T18 山东威海T15 山东滨州T5 山东烟台T16 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例;能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析;能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值;能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义;结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 命题预测 结合数轴表示、科学记数法表示和实数的混合运算等情境考查实数相关知识，题型一般以选择题和计算题为主。在数轴考点中，常见实数与数轴点的对应关系、式子正负判断、绝对值意义等；科学记数法考点中，考查大数或小数的科学记数法表示，常与实际问题结合；实数的运算考点中，考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程和准确性。 考点一 有序数对与坐标 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 2．（2025·山东烟台·一模）如图，线段的长度分别是，且平分．若将点表示为，点表示为，则点可表示为 ． 3．（2023·山东枣庄·中考真题）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为 ．    考点二 由坐标的位置求参数 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 考点三 函数 一、函数的相关概念： 1.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 3.函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 4.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 5.函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 6.函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． B． C． D． 2．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 3．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 考点四 自变量取值范围 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 2.确定自变量取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 1．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm， 2．（2025·山东临沂·一模）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶时，剩余电量；行驶了后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中耗电量是均匀的，若剩余电量用表示，行驶路程用表示． (1)求该车y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 平移变换 / 1. 确定平移方向和距离：明确图形是沿水平方向（左右）还是垂直方向（上下）进行平移，以及平移的单位长度。例如，将一个点(x,y)向右平移a个单位长度，那么新的横坐标为(x + a)，纵坐标不变；向上平移b个单位长度，则新的纵坐标为(y + b)，横坐标不变。 2.应用到所有关键点：对于多边形等图形的平移，需要找到图形的各个关键点（如顶点），按照上述规则分别对这些点进行平移操作，然后再连接这些平移后的点，得到平移后的图形。 【典例】（2025·山东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是 ． 【变式】1．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形变换叫做图形的变换，如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 . 2．（2025·河南·二模）如图，已知正方形的顶点与原点重合，顶点A、C分别在轴、轴上，顶点．将正方形向左平移，点恰好落在的图象上时，此时点的对应点的坐标为 ． ►题型02 轴对称变换 / 1. 关于x轴对称：如果一个点(x,y)关于x轴对称，那么对称点的横坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标为(x,-y)。可以通过这种方式依次求出图形各个关键点关于x轴的对称点，然后连接这些点得到对称图形。 2.关于y轴对称：若点(x,y)关于y轴对称，其纵坐标不变，横坐标变为相反数，对称点坐标为(-x,y)。同样的方法用于求整个图形的对称图形。 3.关于其他直线对称：当涉及到关于非坐标轴的直线（如直线y = x或直线y=-x等）对称时，需要利用对称的性质来求解。以关于直线y = x对称为例，点(x,y)关于直线y = x对称的点坐标为(y,x)。对于一般的直线对称，可以通过求垂足、利用中点在对称轴上等性质来列方程求解对称点坐标。 【典例】（2025·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，函数与函数的图象相交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·河南南阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点的坐标为是线段上一点，且，沿折叠后点落在点处，那么点的坐标为 ． 2．（2025·河南安阳·三模）如图，矩形的顶点，在轴上，的长为6，顶点的坐标为，原点在边上，边与轴相交于点，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，线段的长度为 ． ►题型03 旋转变换 / 1. 绕原点旋转(900)：如果是顺时针旋转900，点(x,y)旋转后的坐标变(y,-x)；如果是逆时针旋转900，点(x,y)旋转后的坐标变为(-y,x)。通过这种规律可以求出图形各关键点旋转后的坐标，进而得到旋转后的图形。 2.绕原点旋转1800：此时点(x,y)旋转后的坐标为(-x,-y)。 3.绕任意点(a,b)旋转：先将图形平移，使旋转中心(a,b)移到原点，进行旋转操作后，再将图形平移回去。 【典例】（2025·山东枣庄·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得对应，且点落在边上，交轴于点，则线段的长度是 ．    【变式】1．（2025·山东青岛·二模）如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·一模）对于点P和线段，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到的弦（，分别是A，B的对应点），则称线段是的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点的，连接，已知线段是的以点P为中心的“和谐线段”，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． ►题型04 规律性问题 / 1. 观察特殊点找规律：通过观察图形或数列中的前几个特殊点，分析其横坐标、纵坐标的变化情况，找出变化的规律，进而推测出一般性的规律。 2. 利用周期性找规律：当点的坐标变化呈现周期性时，先确定周期的长度，再根据所求点的序号与周期的关系，找到对应的规律。 3. 结合几何变换找规律：如果涉及到图形的平移、对称、旋转等几何变换，需要根据相应的变换规则来确定点的坐标变化规律。 4. 建立函数关系式找规律：将点的坐标之间的关系用函数表达式表示出来，从而更清晰地揭示规律。 5. 重新标号找规律：对有规律的点进行重新编号，把点的角标、横坐标、纵坐标都用新的序号表示，使问题简化，更容易发现其中的规律。 【典例】（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【变式】1．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 命题点二 函数 ►题型01 从图象获取信息 / 1.明确坐标轴意义：仔细查看横、纵坐标分别代表的实际变量，如时间、速度、路程、温度等，这是理解图象的基础。 2.分析特殊点：关注图象与坐标轴的交点、顶点、转折点、端点等特殊点的坐标及对应含义，比如在路程 - 时间图象中，起点表示开始运动的时刻和位置，终点表示运动结束的时刻和位置，与坐标轴的交点可能有特殊意义，如速度为零的时刻等。 3.观察图象趋势：判断图象是上升、下降还是水平，以此了解变量间的增减或恒定关系，例如在速度 - 时间图象中，上升线段表示加速，下降线段表示减速，水平线段表示匀速。 4.解读区间范围：确定图象覆盖的自变量、因变量区间，即函数的定义域和值域，从而明确变量的取值范围。 5.识别特征：留意图象的对称性、周期性等特征，进而推导函数的奇偶性、周期性等性质，比如正弦函数图象具有周期性和对称性 【典例】（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【变式】1．（2025·山东济南·一模）两地相距240千米，早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．甲、乙两车离开各自出发地的路程、（千米）与甲车出发的时间t（小时）之间的关系如图所示，下列描述中不正确的有 ． ①甲车的平均速度是60千米/小时； ②乙车的平均速度是80千米/小时； ③甲车与乙车在早上10点相遇； ④两车在10：40或10：58时相距20千米． 2．（2025·山东青岛·三模）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图中线段表示小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题： (1)点的坐标是______； (2)请求出图中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象； (3)直接写出为何值时，两人相距米． ►题型02 几何动点与函数图像 / 1. 判断趋势法 - 根据题意将几何图形的运动过程分段，分析每一段中变量的增减变化趋势。 2. 求解析式法 - 依据几何图形的性质和已知条件，求出每一段中两个变量之间的函数解析式，再结合函数的性质来确定函数图象。 3. 定点排除法 - 从选项中的函数图象关键转折点入手，将其与几何图形中动点运动的特殊情况相对应，如动点到达某个顶点、与某条边的交点等时刻，通过对比分析和排除不符合实际情况的选项。 4. 分类讨论法 - 由于几何动点在不同的运动阶段可能会出现不同的几何关系和数量变化，所以需要按照动点的运动路径、与其他元素的相对位置等因素进行分类讨论。 【典例】（2025·山东潍坊·二模）如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4.8 D．4.4 【变式】1．（2025·山东日照·二模）如图，为矩形ABCD的边AD上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿BC运动到点停止，它们的速度都是．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与之间的函数图象如图所示．给出下列结论：①；②当时，；③在运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有3个；④与相似时，．以上结论正确个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·山东烟台·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，已知动点以的速度从点向点运动，动点的速度是点的倍，从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为 ． 突破一 坐标与图象综合 【典例】如图，已知点M在y轴正半轴上，与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点，点P在点Q的下方，且点P的坐标是，则的半径为 ． 【变式】1．如图，直线与双曲线相交于第一象限的两点，连接，过点A作轴于点C，交于点D，已知． (1)设点A的横坐标为m，请直接写出点B的坐标；（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，请求出该双曲线的表达及的面积； (3)在（2）的条件下，请直接写出关于x的不等式的解集． 2．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当线段时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长，与轴交于点，点为轴上一点，且满足，求点的坐标． 突破二 坐标系中的动点问题 【典例】如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 【变式】1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，，点、分别为边、上的动点（不与端点重合），且，连接． (1)如图1，设的中点为，则点的坐标为 ． (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转后得到线段（点的对应点为点），连接． ①当点的坐标为时，求线段的长； ②设点的坐标为的面积为，求关于的函数表达式． 2．在平面直角坐标系中，O为原点，有四边形，顶点． (1)填空：的长是______，的长是______； (2)点M，N分别为四边形边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒，的面积为S． ①当时，求S的值； ②当点M在线段上，且点N在线段上时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)若，请直接写出此时t的值．（直接写出结果即可） 1．（2025·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东临沂·一模）若点在第四象限，那么a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 3．（2025·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切，点在上，它们的横坐标分别是0，18．若沿着轴向右作无滑动的滚动，当点第一次落在轴上时，此时点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；（3）作射线交于H，则线段的长为（     ） A． B．1 C． D． 5．（2025·山东济宁·三模）如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段的长度是，图②是y随x变化的关系图象．①的半径为；②A、B两点间的距离为1；③点P的运动速度为；④的度数为．以上说法正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．（2025·山东济南·一模）如图，已知的顶点，，，按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；③作射线，交边的延长线于点．则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D．5 7．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若线段的垂直平分线与线段恰好交于点B，则称点P为线段关于点A的对垂点．已知点，．若点P是线段关于点A的对垂点，则点P的纵坐标的取值范围是 ． 8．（2020·山东济南·一模）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 9．（2025·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知为等边三角形，，点C为的中点，反比例函数的图象经过A，B两点，且与交于点D，，点B的横纵坐标之和为． (1)点C的坐标为________；（请直接写出结果） (2)求反比例函数的解析式； (3)求线段的长度． 10．（2025·山东青岛·二模）在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴，y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“靓点”．举例：如图，过点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形的周长为18，面积也为18，周长与面积相等，所以点P是“靓点”． (1)已知点，是平面直角坐标系中的“靓点”的有 ；（填字母） (2)若靓点，恰好在一次函数的图像上，则 ， ． (3)若过点且平行于y轴的直线上有靓点，则靓点为 (4)在第一象限内，一次函数上，靓点为 ，从函数的角度研究“靓点”，已知点是第一象限内的点，求y与x的函数表达式 ． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则的值为（    ）． A．54 B．52 C．50 D．48 2．（2025·山东潍坊·三模）如图1，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．设同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图2（曲线为抛物线的一部分），下列结论正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．当时，的面积为 D．当时，与相似 3．（2025·山东泰安·一模）三月的泰安，玉兰花迎着春风绽放，数学活动小组在绘制如“玉兰花”形的美丽图案，如图在平面直角坐标系中，等腰三角形．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点的对应点为，称点为第一个“玉兰花”的花瓣，点为第二个“玉兰花”的花瓣；……；按此规律，滚动2025次后停止滚动，则最后一个“玉兰花”的花瓣的坐标为 ． 4．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图1，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过C、D两点． (1)求点C的坐标并直接写出、的值； (2)如图2过点A作x轴的垂线L，在L上找一点P，当最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点D作轴，垂足为点H，交的图象于点E，点M为y轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）我们约定，在平面直角坐标系中，经过象限内某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”．例如，点的参照线有：，，，（如图1）．如图，正方形在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，分别在轴和轴上，点在正方形内部． (1)直接写出点的所有参照线：______； (2)若，点在线段的垂直平分线上，且点有一条参照线是，则点的坐标是______； (3)在（2）的条件下，点是边上任意一点（点P不与点A，B重合），连接，将沿着折叠，点的对应点记为，当点在点的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点的坐标______． 1．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 5．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 6．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 7．（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 8．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 10．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $