（易错复习讲义）常考易错知识点专题突破（八大专题35个易错点）-2025-2026学年四年级上册数学期末复习（苏教版）

该小学数学讲义通过八大专题35个易错点的框架式梳理构建知识体系，结合表格对比（如单位进率表）、典型错例分析呈现知识脉络，覆盖升和毫升、除法运算等核心模块，突出单位换算漏写单位、试商位置错误等高频易错点的内在联系。 讲义亮点在于“易错专练”分层设计，每个易错点配套5道梯度习题（如“升和毫升”中单位选择、进率换算、实际应用题），培养量感（容器单位判断）、运算能力（除法试商调商），如“最多与至少”问题辨析题，基础题巩固概念，变式题提升应用，附易错点标注和解题思路提示，支持学生自主纠错，助力教师精准教学。

常考易错知识点专题突破 2025-2026学年四年级上册数学 （八大专题35个易错点） 目录 专题一升和毫升 3 易错点1：对毫升和升的认识不准确，选择单位时错误 3 易错点2：混淆“升”和“毫升”的单位进率​ 5 易错点3：单位换算时漏写或错写单位​ 7 易错点4：实际生活问题中计算错误​ 9 专题二两、三位数除以两位数 11 易错点1：商没有写在对应位置。 11 易错点2：用整十数试商时,错误地将整十数参与了运算。 13 易错点3：末尾有0的除法处理不当。 16 易错点4：试商判断失误或调商错误。 19 易错点5：根据商不变的规律进行计算时,没有将余数末尾的0添上。 21 易错点6：“最多”与“至少”问题混淆​。 23 专题三观察物体 24 易错点1：观察物体时，没有从观察者的角度进行判断。 25 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 30 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 34 专题四统计表和条形统计图（一） 37 易错点1：忽略统计表中每格所代表的数量。 37 易错点2：进行分段统计时,数据出现错误。 42 易错点3：绘制条形统计图时，“一格代表几个单位”设定不合理。 47 易错点4：根据统计图解决问题时提出数据错误，导致解决问题错误。 52 易错点5：求平均数时,没有找对总数和总份数。 55 专题五解决问题的策略 59 易错点1：列表整理信息时，数量关系对应错误。 59 易错点2：示意图中各数量之间的逻辑关系理解错误。 66 易错点3：没有明确题意及数量关系。 68 专题六可能性 73 易错点1：混淆“确定性事件”与“不确定性事件”的描述。 73 易错点2：误用生活经验代替逻辑推理判断可能性。 75 易错点3：不能根据条件变化准确判断可能性的变化。 77 易错点4：判断游戏是否公平，关键是看每个参与者获胜的机会是否相同，而不是单纯比较物品的数量。 79 专题七整数四则混合运算 81 易错点1：混合运算中常出现的错误是不按运算顺序进行计算。 81 易错点2：括号使用不当，未能正确改变运算顺序。 87 易错点3：根据分式列综合算式错误。 92 易错点4：解决多步问题时，列式顺序与解题思路不符。 94 专题八垂直与平行线 96 易错点1：直线、射线、线段概念混淆。 96 易错点2：量角器摆放位置不对或者说使用量角器的方法错误。 98 易错点3：角度计算忽略重叠部分。 100 易错点4：钟表角度计算错误。 103 易错点5：画角后未标注度数。 105 易错点6：平行与垂直判断错误。 107 专题一升和毫升 易错点1：对毫升和升的认识不准确，选择单位时错误 【易错专练1】在括号里填合适容量单位。 一瓶果汁500（ ）。 一个电热水器60（ ）。 【答案】毫升/mL 升/L 【分析】根据生活经验、对容积单位和数据大小的认识可知， 计量比较少的液体，通常用毫升作单位。十几滴水的容量大约是1毫升，所以计量牛奶的容量用“毫升”作单位比较合适，计量一瓶果汁的容量用“毫升”作单位比较合适。 计量水、油、饮料等液体的多少，通常用升作单位。1瓶酱油的容量大约是1升，所以计量热水器的容量用“升”作单位比较合适，计量一个电热水器的容量用“升”作单位比较合适。 【解答】一瓶果汁500毫升。 一个电热水器60升。 【易错专练2】在括号里填合适的单位。 奇奇放学回到家，用100（ ）水洗了手，然后来到餐厅，拿起桌上容量为2（ ）的水壶，倒了一杯50（ ）的水，一口气喝了下去。 【答案】毫升/mL 升/L 毫升/mL 【分析】常用的容积单位有升和毫升，生活中1瓶酱油的容量大约是1升，十几滴水的容量大约是1毫升， 根据生活经验、对容积单位和数据大小的认识可知，计量洗手所需的水的多少用毫升作单位；计量水壶的容积用升作单位，计量一杯水的容积用毫升作单位；据此可解此题。 【解答】由分析可知，奇奇放学回到家，用100毫升水洗了手，然后来到餐厅，拿起桌上容量为2升的水壶，倒了一杯50毫升的水，一口气喝了下去。 【易错专练3】在括号里填合适的容量单位。 健康成年人体内的血液总量大约4～5（ ），义务献血时，健康成年人每次的献血量一般是200～400（ ），小祥爸爸参加完义务献血后喝了一瓶250（ ）的牛奶。 【答案】升/L 毫升/mL 毫升/mL 【分析】根据生活经验对容积单位和数据大小的认识，计量水、油、饮料等液体的多少，通常用升（L）作单位，一桶油大概是4升，所以健康成年人体内的血液总量用“升”作单位比较合适；计量比较少的液体，通常用毫升（mL）作单位，一瓶矿泉水大概是500毫升，所以健康成年人每次的献血量用“毫升”作单位比较合适；牛奶的容量用“毫升”作单位比较合适。 【解答】健康成年人体内的血液总量大约4～5升，义务献血时，健康成年人每次的献血量一般是200～400毫升，小祥爸爸参加完义务献血后喝了一瓶250毫升的牛奶。 【易错专练4】在括号里填上“升”或“毫升”。 （1）一瓶沐浴露大约750（ ）。 （2）一个成年人的总血量约为5（ ）。 （3）一桶大豆油约6（ ）。 （4）一个纸杯可盛水约150（ ）。 【答案】（1）毫升 （2）升 （3）升 （4）毫升 【分析】常用的容积单位有毫升，升。我们知道，十几滴水的体积大约是1毫升，两瓶矿泉水的体积大约是1升。据此分析。 【解答】（1）一瓶沐浴露的容量较小，所以括号里填毫升比较合适。 一瓶沐浴露大约750毫升。 （2）一个成年人的总血量很多，所以括号里填升比较合适。 一个成年人的总血量约为5升。 （3）一桶大豆油很多，所以括号里填升比较合适。 一桶大豆油约6升。 （4）一个纸杯可盛水的体积较小，所以括号里填毫升比较合适。 一个纸杯可盛水约150毫升。 【易错专练5】在括号里填上合适的单位。 阳阳放学回家到水龙头下放了大约600（ ）水洗好手，拿起桌上容量是5（ ）的水壶，倒了一杯200（ ）的水，走到餐厅，发现家中新买了一台容量是600（ ）的大冰箱。 【答案】毫升/mL 升/ L 毫升/ mL 升/ L 【分析】液体体积常用单位有升，毫升等，1升相当于一大瓶可乐的容量，一瓶口服液的体积大约是20毫升，所以阳阳放学回家到水龙头下放了大约600 毫升水洗好手，拿起桌上容量是5 升的水壶，倒了一杯200毫升的水，走到餐厅，发现家中新买了一台容量是600升的大冰箱。 【解答】由分析可知，阳阳放学回家到水龙头下放了大约600 毫升水洗好手，拿起桌上容量是5 升的水壶，倒了一杯200毫升的水，走到餐厅，发现家中新买了一台容量是600升的大冰箱。 易错点2：混淆“升”和“毫升”的单位进率​ 【易错专练1】5000毫升＝（ ）升    8升＝（ ）毫升 【答案】5 8000 【分析】根据1升＝1000毫升，大单位换算成小单位乘相应的进率，小单位换算成大单位除以相应的进率，据此进行单位换算。 【解答】5000毫升＝（5000÷1000）升＝5升； 8升＝（8×1000）毫升＝8000毫升。 综上可知，5000毫升＝5升，8升＝8000毫升。 【易错专练2】7000毫升＝（ ）升        2升－500毫升＝（ ）毫升 【答案】7 1500 【分析】根据1升＝1000毫升，把7000毫升转化成相应的升数即可。 根据1升＝1000毫升，把2升转换成相应的毫升，再与500毫升相减即可。 【解答】1升＝1000毫升，7000毫升＝7升。 2升＝2000毫升，2000－500＝1500（毫升），所以，2升－500毫升＝1500毫升。 【易错专练3】如图中，量杯中的水是（ ）毫升，再倒入（ ）毫升水正好是1升。 【答案】600 400 【分析】水面对的刻度正好是600，即有600毫升的水，而1升＝1000毫升，再用1000减600即可求得，再倒入多少毫升的水正好是1升。 【解答】1升＝1000毫升 1000－600＝400（毫升） 如图中，量杯中的水是600毫升，再倒入400毫升水正好是1升。 【易错专练4】一瓶2升的酸奶，倒出一半后还剩（ ）毫升，剩下的全部倒进容量为350毫升的一次性杯子中，至少需要（ ）个一次性杯子。 【答案】1000 3 【分析】用酸奶的总体积除以2，求出一半是多少升，即2÷2＝1（升），1升＝1000毫升，即可求出倒出一半后还剩多少毫升，将1000毫升牛奶导入350毫升的一次性杯子中，要求至少需要几个一次性杯子，也就是求1000里面有几个350，350×2＝700（毫升），350×3＝1050（毫升），也就是可以完全倒满2杯350毫升的一次性杯子，还多1000－700＝300（毫升），需要倒入额外的一个杯子，那么至少需要2＋1＝3（个）一次性杯子。 【解答】2÷2＝1（升） 1升＝1000毫升 350×2＝700（毫升） 350×3＝1050（毫升） 1000－700＝300（毫升） 2＋1＝3（个） 所以一瓶2升的酸奶，倒出一半后还剩1000毫升，剩下的全部倒进容量为350毫升的一次性杯子中，至少需要3个一次性杯子。 【易错专练5】商场搞促销活动，同一种饮料，罐装250毫升，每罐8元，买三送一，瓶装1升，每瓶22元，买（ ）装更划算。 【答案】瓶 【分析】由题意可知：罐装250毫升，每罐8元，买三送一，则4瓶罐装饮料有：250×4＝1000毫升＝1升，买4瓶罐装饮料需要花：8×3＝24（元），即买1升罐装饮料需要花费24元；已知瓶装1升，每瓶22元，则在买相同量饮料的前提下，哪个花费更少，哪个就更划算，据此作答。 【解答】根据上述分析可得： 买4瓶罐装饮料需要花：8×3＝24（元） 250×4＝1000毫升 1000毫升＝1升 则买1升罐装饮料需要花费24元，买1升瓶装饮料需要花费22元。 24＞22，所以买瓶装更划算。 易错点3：单位换算时漏写或错写单位​ 【易错专练1】7000毫升＝（ ）            1升＝（ ） 【答案】7升 1000毫升 【分析】1升＝1000毫升，所以有几升就等于几千毫升。 【解答】 1000毫升＝1升，所以7000毫升＝7升；1升＝1000毫升。 【易错专练2】3升＝（ ）     50000毫升＝（ ） 【答案】3000毫升 50升 【分析】根据1升＝1000毫升，将单位换算后填空即可。 【解答】1升＝1000毫升，3升＝3000毫升； 1升＝1000毫升， 50000毫升＝50升。 【易错专练3】9000毫升＝（ ）            4升＝（ ） 【答案】9升 4000毫升 【分析】1升＝1000毫升，把高级单位换算成低级单位，就乘单位间的进率。把低级单位换算成高级单位，就除以单位间的进率。 【解答】9000毫升＝（9000÷1000）升＝9升            4升＝（4×1000）毫升＝4000毫升 【易错专练4】5升＝（ ）   2000毫升＝（ ）   7000毫升＝（ ） 【答案】5000毫升 2升 7升 【分析】1升＝1000毫升，把高级单位换算成低级单位，就乘单位间的进率。把低级单位换算成高级单位，就除以单位间的进率。 【解答】5升＝（5×1000）毫升＝5000毫升    2000毫升＝（2000÷1000）升＝2升    7000毫升＝（7000÷1000）升＝7升 【易错专练5】10升＝（ ）      9000毫升＝（ ）     2升40毫升＝（ ） 【答案】10000毫升 9升 2040毫升 【分析】第1题，根据1升＝1000毫升，10升就是10个1000，即为10000毫升； 第2题，9000毫升就是9个1000毫升，即为9升； 第3题，根据1升＝1000毫升，2升即为2000毫升，再将2000与40相加即可。 【解答】10升＝10000毫升； 9000毫升＝9升； 2升＝2000毫升，2000＋40＝2040（毫升），2升40毫升＝2040毫升。 【点评】此题主要考查学生对升与毫升之间进率的掌握情况。 易错点4：实际生活问题中计算错误​ 【易错专练1】小明和他的4个好朋友一起去饮料店买果汁，每人买1杯果汁，每杯果汁200毫升，他们一共买了多少升果汁？ 【答案】1升 【分析】此题考查的是升与毫升之间换算，熟记它们之间的进率是解答此题的关键。 “小明和他的4个好朋友”总共5个人，先用乘法求出5个人一共买了多少毫升的果汁，再根据1000毫升＝1升，进行单位换算将单位化成升 即可。 【解答】1+4＝5（人） 5×1＝5（杯） 5×200＝1000（毫升） 1000毫升＝1升 答：他们一共喝了1升果汁。 【易错专练2】中秋节，小明和爸爸回老家看望奶奶，他们掂了一大提纯牛奶。已知一大提纯牛奶有两小箱，每小箱有12盒，每盒纯牛奶有250毫升。那么一大提纯牛奶一共有多少毫升？合多少升？ 【答案】6000毫升；6升 【分析】先用每小箱的盒数乘小箱的个数，从而计算出这一大提纯牛奶的总盒数，然后用这一大提纯牛奶的总盒数乘每盒牛奶的容量，即可计算出这一大提纯牛奶的总容量，最后再根据“1000毫升＝1升”将单位化成升即可。 【解答】2×12×250 ＝24×250 ＝6000（毫升） 6000毫升＝6升 答：一大提纯牛奶一共有6000毫升，合6升。 【易错专练3】有10位小朋友给小丁丁过生日。如果每人喝300毫升饮料，那么一瓶2升装的橙汁饮料可以分给多少个小朋友喝？ 【答案】6个 【分析】1升＝1000毫升，把2升换算成用毫升作单位的数，再除以每人喝的饮料量，即可算出一瓶2升装的橙汁饮料可以分给多少个小朋友喝。 【解答】2升＝2000毫升 2000÷300＝6（个）……200（毫升） 答：一瓶2升装的橙汁饮料可以分给6个小朋友喝。 【点评】此题考查的是升与毫升的换算，熟记进率是解题关键。 【易错专练4】小明把1升牛奶倒入2个相同的杯中，每个杯子都倒满。如果每个杯子的容量是280毫升，那么牛奶瓶中还剩多少毫升牛奶？ 【答案】440毫升 【分析】1升＝1000毫升，用减法分别减去两个杯子的容量即可解答。 【解答】1升＝1000毫升； 1000－280－280 ＝720－280 ＝440（毫升） 答：那么牛奶瓶中还剩440毫升牛奶。 【点评】掌握升和毫升的单位换算是解题的关键。 【易错专练5】算一算。 （1）饮料瓶里还剩多少毫升的饮料？ （2）如果把这瓶饮料全部倒进1升的容器里，容器能装满吗？还差多少？ 【答案】（1）300毫升 （2）不能装满；还差200毫升 【分析】（1）分析题意，用原来的饮料容积数减去倒出的数量，即可得出剩下的容积. （2）这瓶饮料一共800毫升，根据进率1升＝1000毫升来解答问题，用1升减去这瓶饮料的容量解答。 【解答】（1）800－500＝300（毫升） 答：饮料瓶里还剩300毫升的饮料。 （2）1升＝1000毫升 1000－800＝200（毫升） 答：如果把这瓶饮料全部倒进1升的容器里，容器不能装满，还差200毫升。 专题二两、三位数除以两位数 易错点1：商没有写在对应位置。 【易错专练1】竖式计算（的要验算）。 405÷27＝        864÷72＝        4320÷240＝ 【答案】15；12；18 【分析】除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的高位除起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小。验算时用商×除数＝被除数。 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。所以被除数和除数末尾有0时，根据商不变的规律简便计算。 【解答】405÷27＝15                             864÷72＝12             验算         4320÷240＝18 【易错专练2】列竖式计算，带★的要验算。 609÷21＝               684÷57＝              ★890÷35＝ 【答案】29；12；25……15 【分析】除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的最高位除起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小，除到被除数的某一位不够除时，应商0占位。有余数除法可以利用“被除数＝除数×商＋余数”进行验算。 【解答】609÷21＝29 684÷57＝12 ★890÷35＝25……15                       验算： 【易错专练3】用竖式计算，带☆的要验算。 354÷58＝         790÷28＝         ☆970÷30＝ 【答案】6……6；28……6；32……10 【分析】三位数除以两位数的计算法则，从被除数的最高除起，先用除数去除被除数的前两位数，如果前两位比除数小，就看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；除到被除数的中间或末尾不够商1，就商0；每一步除得的余数要比除数小。 有余数除法的验算方法是：根据被除数＝商×除数＋余数；据此解答。 【解答】354÷58＝6……6      790÷28＝28……6     ☆970÷30＝32……10                   验算： 【易错专练4】用竖式计算。（带★的要验算） 432÷73＝    830÷40＝    ★790÷28＝ 【答案】5……67；20……30；28……6 【分析】三位数除以两位数，先看被除数的前两位，如果它比除数小就看被除数的前三位，除到哪一位就把商写在那一位上面，每次除后余数要比除数小。除法可以用被除数＝商×除数＋余数进行验算。 【解答】432÷73＝5……67        830÷40＝20……30          790÷28＝28……6               验算： 【易错专练5】列竖式计算（带*的要验算）。 204÷52＝            *970÷30＝          774÷43＝ 【答案】3……48；32……10；18 【分析】（1）（2）（3）三位数除以两位数的笔算法则：从被除数的最高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果它比除数小，再试除前三位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商。求出每一位商，余下的数必须比除数小。验算时，如果没有余数，就用商乘除数看是否等于被除数。如果有余数，就用商乘除数再加上余数看是否等于被除数。 【解答】204÷52＝3……48          970÷30＝32……10              774÷43＝18      验算：    易错点2：用整十数试商时,错误地将整十数参与了运算。 【易错专练1】先想一想各题的商的位置，再计算。                               【答案】3……17；2……9；8……14；3……2 【分析】（1）三位数除以两位数，就用被除数的百位和十位组成两位数与除数进行比较，如果比除数小商就是一位数，如果比除数大或等于除数，商就是两位数。观察发现，本题的4小题的商都是一位数，商都要写在个位上。 （2）除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的高位数起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小。 【解答】观察发现，本题的4小题的商都是一位数，商都要写在个位上。                                    【易错专练2】根据试商情况，说出各题应商几。 【答案】商3；商3；商8 【分析】结合图示信息观察可以发现，题中的余数要么等于除数，要么大于除数，说明试商试小了，除数不是整十数，为了能用乘法口诀试商，利用四舍五入的方法将除数变成整十数进行，试出来的商在计算后，可能会出现商大或者商小的情况，如果商大了则商减一后再进行计算，商小了就商加一再进行计算，如果还是大（或小）则重复这个流程直到找到合适的商即可。 【解答】 此处试商2，发现余数是27等于除数，说明商小了，商加一变成3后计算发现27×3＝81，刚好余数为0，故应该商3； 此处试商2，发现余数是28大于除数，说明商小了，商加一变成3后计算发现26×3＝78，80－78＝2，余数为2，故应该商3； 此处试商7，发现余数是42大于除数，说明商小了，商加一变成8后计算发现39×8＝312，315－312＝3，余数为3，故应该商8。 【易错专练3】先说说把除数分别看作几十来试商，再计算。 【答案】看作30试商，2……4；看成30试商，3……3； 看成50试商，7……26；看成60试商，7……19 【分析】试商一般用四舍五入法将除数看成整十数，以此来试商，再按照除数是两位数是除法算理进行计算。需要注意的是，如果试商后运算的结果比被除数大，则需要将商减1再计算，如果还大则重复此流程继续计算，如果试商后运算的结果有余数，并且余数大于除数，则需要将商加1再计算。 第一个将32看成30进行试商，商2，再进一步进行除法竖式计算； 第二个将29看成30试商，商3，再进一步进行除法竖式计算； 第三个将48看成50试商，商5，再进一步进行除法竖式计算； 第四个将63看成60试商，商7，再进一步进行除法竖式计算。 【解答】 【易错专练4】先说一说把除数看作几十来试商，再算一算。                         【答案】看作30，2……8；看作30，5……19；看作50，7……3；看作50，7……22 【分析】根据四舍五入法，将除数看作与它接近的整数，三位数或者两位数除以两位数的计算方法：（1）从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；（2）除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；（3）每次除后余下的数必须比除数小。 【解答】（1）先把除数看作30                         （2）先把除数看作30                                                 （3）先把除数看作50                         （4）先把除数看作50                                        【易错专练5】根据试商的情况，很快说出各题准确的商。                           【答案】4；7；9；8 【分析】根据除数是两位数的试商方法：把除数要看作和它接近的整十数进行试商，如果余数比除数大，说明商小了，要调大；如果余数比除数小或没有余数，说明商正好；如果商与除数的积大于被除数，商大了要调小，如果余数小于除数，说明商正好，据此解答。 【解答】（1）207÷42，42按40试商，商4，42×4＝168，207－168＝39，39＜42，所以商是4； （2）268÷38，38按40试商，商6，38×6＝228，268－228＝40，40＞38，所以商是7； （3）293÷31，31按30试商，商9，31×9＝279，293－279＝14，14＜31，所以商是9； （4）233÷28，28按30试商，商7，28×7＝196，233－196＝37，37＞28，所以商是8； 易错点3：末尾有0的除法处理不当。 【易错专练1】用竖式计算。（带☆题要验算） ☆890÷36＝    ☆9000÷700＝ 【答案】24……26；12……600 【分析】三位数除以两位数，先看被除数的前两位，如果够除，就先用被除数的前两位除以除数；如果前两位不过此处，再看被除数的前三位，除到被除数的哪一位，商就写在那一位上面，每次相除后，余下的数都要比除数小。被除数和除数末尾有0的除法，根据被除数和除数同时缩小原来的几分之几，商不变的原则，故同时去掉一个0，商不变；但余数也会缩小原来的几分之几，所以余数应当相应地扩大多少倍，验算方法：商×除数＋余数＝被除数。 【解答】☆890÷36＝24……26 ☆9000÷700＝12……600   验算：验算： 【易错专练2】竖式计算并验算。 850÷28＝        9400÷180＝ 【答案】30……10；52……40 【分析】先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 有余数除法验算根据被除数＝除数×商＋余数。 【解答】850÷28＝30……10      9400÷180＝52……40 验算：      验算： 【易错专练3】用竖式计算，带*的要验算。 182÷60＝              *860÷70＝ 【答案】3……2；12……20 【分析】计算除数是两位数的除法，先用除数去除被除数的前两位，前两位不够除再除前三位，除到哪一位就把商写在那一位上面，除到被除数中间或末尾一位不够商1要商0，每一步除得的余数都要比除数小；被除数和除数末尾有0，可以去掉相同个数的0再相除，商不变，最后把余数添上相同个数的0；可以用商乘除数加余数，看结果是否等于被除数进行验算。据此计算。 【解答】182÷60＝3……2 *860÷70＝12……20               验算： 【易错专练4】用简便方法计算。          【答案】39；8……20；12 【分析】首先根据被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变； 根据被除数和除数的末尾都有0且没有余数的除法的简便算法：先将被除数和除数的末尾同时划去相同个数的0，再计算，商不变； 用简便方法计算被除数和除数末尾都有0且有余数的除法时，被除数和除数末尾同时划去几个0，就在余数末尾添上几个0。（注意：当被除数和除数末尾的0的个数不同时，同时划去的0的个数应以末尾0的个数较少的数为准，任何数中间的0都不能划去。）进行计算即可。 【解答】780÷20＝39               500÷60＝8……20         8400÷700＝12 【易错专练5】竖式计算（用简便方法计算）。 540÷70            730÷80           480÷20 【答案】7……50；9……10；24 【分析】被除数和除数末尾都有0，同时去掉被除数和除数末尾相同个数的0再除。被除数和除数末尾同时去掉几个0，就在除得的余数后面添上相同个数的0。 【解答】540÷70＝7……50 730÷80＝9……10   480÷20＝24                           易错点4：试商判断失误或调商错误。 【易错专练1】309÷53的商是（ ）位数，将除数53看作（ ）试商，初商偏（ ）。 【答案】一 50 大 【分析】要判断三位数除以两位数商的位数，只需要将被除数的前两位数与除数进行比较，如果被除数前两位数大于或等于除数，则商是两位数；如果被除数的前两位数小于除数，则商是一位数。 除数是两位数试商时，把除数要看作和它最接近的整十数进行试商，将除数估大，初商可能偏小；将除数估小，初商可能偏大。据此可知，除数53接近50，则将除数53看作50试商，将除数估小了，则初商偏大。据此解答。 【解答】30＜53，因此309÷53的商是一位数，将除数53看作50试商，初商偏大。 【易错专练2】□57÷34要使商是一位数，□里最大可填（ ），此时把除数看作（ ）试商，初商可能偏（ ）（填“大”或“小”）。 【答案】2 30 大 【分析】三位数除以两位数，如果被除数的前两位大于等于除数，商是两位数，如果被除数的前两位小于除数，商是一位数； 三位数除以两位数试商时，把两位数看成与它接近的整十数，再计算；把除数看小，那么初商可能会偏大，把除数看大，那么初商可能会偏小；据此解答。 【解答】根据分析：要使商是一位数，则□57中的□5需小于34，则□里可以填1、2，所以□里最大可填2；257÷34时，把除数看作30试商，除数看小了，那么初商可能偏大。 【易错专练3】如果☐75÷45的商是两位数，☐里最小填（ ）；3☐☐÷64商的最高位是（ ）位，把64看作60来试商，初商可能会偏（ ）。（填“大”或“小”） 【答案】4 个 大 【分析】三位数除以两位数，如果被除数的前两位大于等于除数，商是两位数，如果被除数的前两位小于除数，商是一位数； 三位数除以两位数试商时，把两位数看成与它接近的整十数，再计算；把除数看小，则商可能会偏大，把除数看大，则商可能会偏小；据此解答。 【解答】根据分析：要使☐75÷45的商是两位数，则☐75中的☐7需大于或等于45，☐里可以填4、5、6、7、8、9，所以☐里最小填4；观察发现3☐☐中的3☐小于除数64，则商是一位数，所以3☐☐÷64商的最高位是个位，把64看作60来试商，也就是将除数看小来试商，所以初商可能会偏大。 【易错专练4】在算式□45÷54的商是一位数，□里最大填（ ），此时把除数看作（ ）来试商，初商可能偏（ ）。（填“大”或“小”） 【答案】4 50 大 【分析】三位数除以两位数的商是两位数还是一位数，可以用被除数的前两位和除数比较。当被除数的前两位比除数大，或者和除数相等时，说明够除，商是两位数，商的首位写在十位上。当被除数的前两位比除数小，说明不够除，商是一位数，商的首位写在个位上。 在除数是两位数的除法计算中，通常把除数看作与它接近的整十数，如果把除数看大了，商容易偏小，调商时就要调大一些，如果把除数看小了，商容易偏大，调商时就要调小一些；所以把除数看作50来试商，由于把除数看小了，所以初商可能会偏大。据此解答。 【解答】根据分析可知： 要使□45÷54的商是一位数，则被除数的前两位不够除，也就是□4要小于54，则□中的数要小于5，最大是4。 在算式□45÷54的商是一位数，□里最大填4，此时把除数看作50来试商，初商可能偏大。 【易错专练5】245÷35，商的最高位在（ ）位，计算时把“35”看作（ ）来试商，这时初商会（ ）（填“偏大”或“偏小”）。 【答案】个 40 偏小 【分析】三位数除以两位数，当被除数的前两位比除数大或者等于除数时，商是两位数，商的最高位在十位。当被除数的前两位比除数小，商是一位数，商的最高位在个位。计算时根据四舍五入的方法，把除数看成与它接近的整十数进行试商。当除数看大了，这时初商会偏小。当除数看小了，初商会变大。这是因为，被除数一定，除数越大，商越小；除数越小，商越大。据此解答。 【解答】245÷35，被除数的前两位24＜35，所以，商是一位数，商的最高位在个位，35最接近40，计算时把“35”看，40来试商，除数看大了，这时初商会偏小。 易错点5：根据商不变的规律进行计算时,没有将余数末尾的0添上。 【易错专练1】根据，写出下面各式的商和余数。 （ ）……（ ）        （ ）……（ ） 【答案】8 20 8 200 【分析】商和余数的变化规律：被除数和除数同时乘或除以几（0除外），商不变，余数要同时乘或除以相同的数；据此即可解答。 【解答】420÷50 ＝（42×10）÷（5×10） ＝8……（2×10） ＝8……20 4200÷500 ＝（42×100）÷（5×100） ＝8……（2×100） ＝8……200 即420÷50＝8……20；4200÷500＝8……200。 【易错专练2】根据780÷50＝15……30，7800÷500＝（ ）……（ ）。根据A÷B＝20，那么（A÷5）÷（B÷5）＝（ ），（A×25）÷B＝（ ）。 【答案】15 300 20 500 【分析】根据商的变化规律可知，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以相同的数（0除外）；除数不变，被除数扩大几倍，商也扩大几倍；据此解答。 【解答】，根据解析可知，被除数和除数同时乘10，商还是15，余数乘10即可，所以……300； 根据解析可知，A和B同时除以5，商不变，所以； 根据解析可知，B不变，A乘25，商也乘25， 所以。 【易错专练3】根据69÷4＝17……1，完成下面的填空。6900÷400＝（ ）……（ ）；我准备这样验算：（ ）×（ ）＋（ ）＝6900。 【答案】17 100 400 17 100 【分析】被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变，但有余数的余数也同时乘或除以相同的不为0的数。有余数的除法验算规则：除数乘商加上余数等于被除数。以此答题。 【解答】根据69÷4＝17……1，完成下面的填空。6900÷400＝17……100；我准备这样验算：400×17＋100＝6800＋100＝6900。 【易错专练4】选择正确的余数填在括号里。 （1）……（ ）（3，30） （2）……（ ）（5，50，500） （3）……（ ）（1，10，100） 【答案】（1）30 （2）500 （3）100 【分析】求余数，根据余数＝被除数－商×除数；由此解答即可。 【解答】（1）710－40×17 ＝710－680 ＝30 （2）3500－600×5 ＝3500－3000 ＝500 （3）1900－300×6 ＝1900－1800 ＝100 【点评】根据在有余数的除法里，被除数、除数、商和余数之间的关系进行解答。 易错点6：“最多”与“至少”问题混淆​。 【易错专练1】一瓶牛奶860毫升，要把这些牛奶倒入容量只有65毫升的玻璃杯中，至少需要准备多少个玻璃杯？ 【答案】14个 【分析】根据除法的意义，用860÷65即可求出至少需要准备多少个玻璃杯，如果有余数，则商加1即为需要准备的玻璃杯个数。 【解答】860÷65＝13（个）……15（毫升） 13＋1＝14（个） 答：至少需要准备14个玻璃杯。 【易错专练2】某体育用品厂生产了500副乒乓球拍，每40副装一箱，要装完这些球拍至少需要准备多少个箱子？ 【答案】13个 【分析】根据题意可知，乒乓球拍的总数是500副，每40副装一箱求至少准备多少个箱子，也就是求500里面有多少个40。用500÷40计算，商表示箱子的个数，余数表示还剩下的球拍数量，剩下的球拍不够装满一箱，但是也需要一个箱子去装这些剩下的球拍，所以需要把商加1，得数表示需要的箱子的总数。 【解答】500÷40＝12（个）……20（副） 12＋1＝13（个） 答：至少需要准备13个箱子。 【易错专练3】四年级的288名同学和8位老师去参观科技馆，每辆客车最多坐44人，至少要用多少辆客车？ 【答案】7辆 【分析】根据题意，首先用四年级学生的人数加上老师的人数，求出老师和学生的总人数，再用老师和学生的总人数除以每辆客车最多坐的人数，求出的商如果有余数，用商加1，就是至少要用的车辆数。 【解答】288＋8＝296（人） 296÷44＝6（辆）……32（人） 6＋1＝7（辆） 答：至少要用7辆客车。 【易错专练4】阳光小学22位老师带362位学生参加研学活动，租用的客车每辆能坐36人（不包括司机），至少需要租多少辆车？ 【答案】11辆 【分析】首先用老师人数加学生人数计算出总人数，即用362＋22，然后用总人数除以客车每辆能坐的人数，如果有余数，商再加1即为所求。 【解答】362＋22＝384（人） 384÷36＝10（辆）……24（人） 10＋1＝11（辆） 答：至少需要租11辆车。 【易错专练5】某渔场收获了348箱草鱼和239箱鲈鱼。用这辆车至少要运多少次才能运完这些鱼？ 【答案】14次 【分析】根据题意，先用草鱼的箱数加上鲈鱼的箱数，求出一共有多少箱鱼，用鱼的总箱数除以每次能运的箱数，如果正好能整除，则商为至少运的次数，如果有余数，则商加1是至少运的次数。 【解答】348＋239＝587（箱） 587÷43＝13（次）……28（箱） 13＋1＝14（次） 答：用这辆车至少要运14次才能运完这些鱼。 专题三观察物体 易错点1：观察物体时，没有从观察者的角度进行判断。 【易错专练1】下面三个立体图形从（    ）看到的形状相同。 A．前面 B．上面 C．右面 【答案】A 【分析】 观察，从前面看到，从上面看到，从右面看到。 观察，从前面看到，从上面看到，从右面看到。 观察，从前面看到，从上面看到，从右面看到。 【解答】由分析得： 三个立体图形从前面看到的形状相同。 故答案为：A 【易错专练2】观察一个物体，从右面看到的图形是，这个物体可能是下面的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，需要逐个分析选项中的立体图形从右面看到的形状，然后找出满足题意的即可。 【解答】 A．从右面看到的图形是，不满足题意。 B．从右面看到的图形是，不满足题意。 C．从右面看到的图形是，满足题意。 D．从右面看到的图形是，不满足题意。 故答案为：C 【易错专练3】用5个同样的小正方体摆成右边的物体，从上面观察，看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形，从上面看，可以看到两行，下面一行有三个正方体摆成一排，上面一行有一个正方体右对齐，摆在最右边。据此得解。 【解答】 根据分析可知，用5个同样的小正方体摆成右边的物体，从上面观察，看到的图形是。 故答案为：C 【易错专练4】下列每组物体，从右面看到的形状相同的是（    ）。     A．①、②、③ B．①、③、④ C．①、②、④ 【答案】C 【分析】观察发现①从右面看到两层，下面一层有2个正方形，上面一层有1个正方形，右对齐；②从右面看到两层，下面一层有2个正方形，上面一层有1个正方形，右对齐；③从右面看到两层，下面一层有3个正方形，上面一层有1个正方形，上层的正方形对齐下层中间的正方形；④从右面看到两层，下面一层有2个正方形，上面一层有1个正方形，右对齐；逐个画出从从右面看到的形状，再进行选择；据此解答。 【解答】根据分析： ①从右面看是； ②从右面看是； ③从右面看是； ④从右面看是； 所以从右面看到的形状相同的是①、②、④。 故答案为：C 【易错专练5】下面的物体是由4个同样大的小正方体摆成的，从（    ）看这四个物体的形状相同。 A．前面 B．上面 C．右面 D．后面 【答案】C 【分析】根据题意，分别画出四个物体从所有选项方向查看的形状，然后比较即可。 【解答】四个物体从不同方向查看的形状如下图： 由图可知，从右面看这四个物体的形状相同。 故答案为：C 【易错专练6】观察物体，从（ ）面看到的是。 【答案】右 【分析】从前面看有上、下两行，下面一行有3个小正方形，上面一行有1个小正方形与下面那行中间对齐；从上面看有上、下两行，下面一行有1个小正方形，上面一行有3个小正方形，左齐；从右面看有上、下两行，下面一行有2个小正方形，上面一行有1个小正方形，右齐；据此可解此题。 【解答】根据分析： 从前面看到的是：； 从上面看到的是：； 从右面看到的是：。 综上可知，观察物体，从右面看到的是。 【易错专练7】用同样大小的正方体搭出下面的立体图形。 （1）从前面看是的有（ ）。 （2）从右面看是的有（ ）。 （3）从上面看是的有（ ）。 【答案】（1）②、④、⑤ （2）②、④、⑤ （3）①、③、⑥ 【分析】 从前面看的是，从上面看的是，从右面看的是。 从前面看的是，从上面看的是，从右面看的是。 从前面看的是，从上面看的是，从右面看的是。 从前面看的是，从上面看的是，从右面看的是。 从前面看的是，从上面看的是，从右面看的是。 从前面看的是，从上面看的是，从右面看的是。 （1）、和从前面看到的是，据此解答即可。 （2）、和从右面看到的是，据此解答即可。 （3）、、从上面看到的是。 【解答】（1） 由分析可知，从前面看是的有②、④、⑤。 （2） 由分析可知，从右面看是的有②、④、⑤。 （3） 由分析可知，从上面看是的有①、③、⑥。 【易错专练8】下面图是用6个小正方体摆出的形状，看图填一填。 （1）从（ ）面看到的形状是。 （2）从（ ）面看到的形状是。 （3）从（ ）面看到的形状是。 【答案】（1）右 （2）上 （3）前 【分析】观察一个用小正方体搭建的立方立方体图形，发现从不同的位置观察到图形的形状可能是不同的，但是只要从物体的前面、左面、上面这三个方向观看一个立体图形，就会得到描述这个立体图形的三张平面图形。 从右面看到的是有两层，下层三个正方形，上层靠左有一个正方形； 从前面看到的是有两层，下层三个正方形，上层中间有一个正方形； 从上面看到的是有三层，下层两个正方形，中层靠右有一个正方形，上层在中层上有一个靠右还有一个共两个正方形共两个。 根据分析填空即可。 【解答】（1）从右面看到的形状是。 （2）从上面看到的形状是。 （3）从前面看到的形状是。 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 【易错专练1】一个几何体，从上面看是，从左面看是，要搭成这样的几何体，最少需要（ ）个小正方体，最多可以有（ ）个小正方体。 【答案】6 9 【分析】这个几何体从上面看，至少有5个小正方形，从左面看有两层，说明至少在后排的4个正方体任意一个上面加1个小正方形，所以正方体最少需要5＋1＝6（个）；小正方体最多的摆法，就是把后面一排全部补满，即第一层有5个，第二层有4个，共有5＋4＝9（个），据此解答。 【解答】5＋1＝6（个） 5＋4＝9（个） 一个几何体，从上面看是，从左面看是，要搭成这样的几何体，最少需要6个小正方体，最多可以有9个小正方体。 【易错专练2】仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员从正面、上面观察到的形状都是，这堆正方体货箱最多有（ ）个，最少有（ ）个。 【答案】12 9 【分析】 仓库管理员从正面、上面观察到的形状都是，要求这堆正方体货箱最多有几个，那么有2层，下面这层有2排，每排3个，共2×3＝6（个），上面这层跟下面那层的个数相同，也是6个，则最多有（6×2）个； 求这堆正方体货箱最少有几个，那么有2层，下面这层有2排，每排3个，共2×3＝6（个），上面这层只有1排，1排3个，则最少有（6＋3）个；据此解答。 【解答】根据分析： 2×3×2＝12（个） 2×3＋3 ＝6＋3 ＝9（个） 所以这堆正方体货箱最多有12个，最少有9个。 【易错专练3】用几个同样大的正方体摆成一种造型，从前面和右面看到的图形如下图所示，则摆成物体的正方体个数最多是（ ）个，最少是（ ）个。 【答案】7 5 【分析】根据题意，从前面看到的图形是，说明这个物体上下有两层，上面一层至少有1个正方体，靠左对齐；下面一层至少有1排3个正方体； 从右面看到的图形是，说明这个物体上面一层只有1个正方体，靠前对齐；下面一层有两排，前面一排有3个正方体，后面一排至少有1个正方体，最多有3个正方体；据此解答。 【解答】根据分析，摆成的物体如下： 正方体个数最多：，有7个； 正方体个数最少：或或，有5个。 所以，摆成物体的正方体个数最多是7个，最少是5个。 【易错专练4】由若干个正方体摆成一个物体。从三个面看到的形状分别如图所示，这个物体是由（ ）个小正方体摆成。 【答案】5 【分析】根据从上面、前面看到的图形可知，此立体图形有2层，第一层有4个小正方体，分2排，上面一排有3个，下面一排1个，居中，第二层有1个小正方体，居中；再从右面、前面看到的图形可知，第2层有1个小正方体，居中对齐，第一层有4个小正方体，分2排，第一排3个，第二排1个与第1排的中间对齐；解答即可。 【解答】结合分析可知，该立体图形如下所示： 可以知道这个物体是由5个小正方体摆成。 【易错专练5】一个立体图形从上面看到的图形是，从右面看到的图形是，它至少是用（ ）个正方体搭成的，这时从它的上面和前面看到的图形（ ）（填“相同”或“不同”）。 【答案】5 相同 【分析】 一个立体图形从上面看到的形状是，由此可知，第一层有4个小正方体，先将4个小正方体排成两排，后一排（上面一排）1个小正方体，且靠左，前一排（下面一排）3个小正方体。要想从右面看到，至少在后排第二层已有小正方体上面再摆放一个小正方体，即4＋1＝5个。从上面看到的图形不变，即。从前面看到两层，第一层有3个小正方形，第二层有1个小正方形，且靠左，即，据此判断即可。 【解答】 根据分析可知：一个立体图形从上面看到的图形是，从右面看到的图形是，它至少是用（5）个正方体搭成的，这时从它的上面和前面看到的图形（相同）（填“相同”或“不同”）。 【易错专练6】一个物体从前面看到的是，从右面看到的也是，这个物体至少是由（ ）个小正方体摆成的，最多是由（ ）个小正方体摆成的。 【答案】2 4 【分析】 从前面看到的图形是这样的，可以确定这个物体有一层，两列。从右面看到的图形也是这样的，可以确定这个物体有一层，两行。这个物体最多由4个小正方体组成，最少由2个小正方体组成。 【解答】通过分析可知，这个物体至少是由2个小正方体摆成的，最多是由4个小正方体摆成的。如图所示： 【易错专练7】观察一个物体，从前面看到，从上面看到从右面看到这个物体用（ ）个大小相同的小正方体摆成。 【答案】5 【分析】先根据从上面看到的图形判断底层的个数为4个，再根据从前面和右面看到的图形判断第2层有一个小正方体，且在左起第一列的最后一行，，一共有5个小正方体。 【解答】根据分析可知：观察一个物体，从前面看到，从上面看到从右面看到这个物体用（5）个大小相同的小正方体摆成。 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 【易错专练1】按要求给添加一个同样大的正方体。 （1）如果从右面看到的是，那么正方体应添加在它的哪一面呢？ （2）如果从前面看到的是，那么正方体应添加在它的哪一面呢？ 【答案】（1）上面或下面 （2）左面或右面 【分析】在不同位置观察由小正方形平摆的物体，并判断观察到物体的平面图，在哪一位置观察，就从哪一面数出小正方形的数量并确定摆出的形状，注意视线应垂直于所要观察的平面。从右面看到的是两个正方形竖排在一起，则说明小正方体会有两层；从前面看到的是两个正方形横排在一起，则说明小正方体一层会并排两个。 【解答】答：（1）正方体应添加在它的上面或下面。 （2）正方体应添加在它的左面或右面。 【易错专练2】用几个同样大的正方体摆一个物体，从前面看到的图形是，从右面看到的图形是，从上面看到的图形是。摆一摆，数一数，摆这个物体用了几个正方体？ 【答案】； 5个正方体 【分析】 从前面看到的图形是 ，这个物体有2层，下层3个，上层1个。从右面看到的图形是，这个物体有2层，下层2个，上层1个。从上面看到的图形是，这个物体有2层，上层3个，下层1个。 【解答】 答：摆这个物体用了5个正方体。 【易错专练3】先想一想，再用4个同样大的正方体摆一摆。 （1）从前面看到的是，从右面看到的是。 （2）从上面看到的是。 你能想出不同的摆法吗？ 【答案】见详解 【分析】 从前面看到的是，说明有一行有两个， 从右面看到的是，说明有3行；摆法是摆成两列，一列为3个，另一列的1个小正方形体可以在这列的左或右任意1个的旁边； （2）从上面看到的是，说明最底层形状为；最上层的1个正方形可以在下层3个正方体的任意一个上面。 【解答】 （1） 答：左侧的这个1个小正方形体也可以放在这列正方体的左或右任意1个的旁边。 （2） 答：最上层的1个正方形可以在下层3个正方体的任意一个上面。 【易错专练4】用若干个完全相同的正方体摆一个物体，分别从前面、右面和上面看，看到的都是下面的图形，这个物体至少由多少个正方体摆成？请试着摆一摆。 【答案】6个 【分析】从前面、右面和上面看到的形状，均是有两层，每层都能看到两个小正方形，需要得到满足这个条件的物体至少由多少个正方体摆成。因此第一层摆放两排，每排两个小正方形，可满足从上面看得到的图形，第二层交错摆放两个小正方形，可满足从前面和右面看得到的图形，将两层的小正方形数相加，即可得到这个物体至少由多少个正方体摆成。 【解答】根据分析可知，第一层有4个小正方体，第二层有2个小正方体。 4＋2＝6（个） 答：这个物体至少由6个正方体摆成。 这个物体如图所示： 【易错专练5】用3个同样大的正方体摆一个物体，并与同学交流。 （1）从前面看到的是，有几种不同的摆法？ （2）从上面看到的是，有几种不同的摆法？ 【答案】（1）2种 （2）2种 【分析】（1）先把2个正方体叠放，然后把剩下的1个平放在最下面的正方体的前面或后面，共有种2种不同的摆法； （2）先把2个正方体放成一行，然后把剩下1个叠放在2个正方体上面，共有2种不同的摆；据此可解此题。 【解答】根据分析： （1）从前面看到的是，可能是或者，所以有2种不同的摆法； （2）从上面看到的是，可能是或者 ，所以有2种不同的摆法。 专题四统计表和条形统计图（一） 易错点1：忽略统计表中每格所代表的数量。 【易错专练1】四年级（1）班有39个学生，如图是全班学生血型情况统计图。 （1）图中每格代表（ ）人。 （2）四年级（1）班B型血的人比O型血多（ ）人。 【答案】（1）2 （2）7 【分析】（1）根据统计图可知，O型血的人数是4小格加上一个半格，则每格代表的人数一定是双数，一共有19小格加上一个半格，代表39个学生，据此计算出每小格表示的人数即可。 （2）根据（1）中计算出的每格人数，分别计算出B型血和O型血的人数，用B型血的人数减去O型血的人数即可求解。 【解答】（1）（1）假设每格表示2人：19×2＋1＝38＋1＝39（人），符合题意。 图中每格代表2人。 （2）B型血：8×2＝16（人） O型血：4×2＋1＝8＋1＝9（人） 16－9＝7（人） 四年级（1）班B型血的人比O型血多7人。 【易错专练2】如图是某天中国部分城市的平均空气污染指数统计图。 （1）横轴上一格表示的污染指数为（ ）。 （2）在图上统计的几个城市中，（ ）污染最严重，（ ）空气质量最好。 【答案】（1）25 （2）枣庄 杭州 【分析】（1）观察空气污染指数统计图的横轴，可以发现横轴上一格表示的污染指数为25，据此解答即可。 （2）观察空气污染指数统计图，青岛的污染指数为110，枣庄的污染指数为147，昆明的污染指数为64，杭州的污染指数为22，北京的污染指数为31，上海的污染指数为40，比较各地的污染指数的大小，即可求出哪个城市污染最严重，哪个空气质量最好。 【解答】（1）由分析可知，横轴上一格表示的污染指数为25。 （2）147＞110＞64＞40＞31＞22 所以枣庄污染最严重，杭州空气质量最好。 【易错专练3】三辆车分别从不同的地点同时出发，给山区运输物资，3小时后同时到达同一目的地。三辆车行驶的路程见下图。 （1）第（ ）辆车出发时离目的地最远，是（ ）km。 （2）第二辆车平均每小时行驶（ ）km。 （3）第（ ）辆车速度最快。 【答案】（1）三 210 （2）50 （3）三 【分析】（1）条形统计图的纵轴表示行驶的路程，从图中可以看出，第一辆车行驶了180km，第二辆车行驶了150km，第三辆车行驶了210km，比较三辆车行驶的路程即可。 （2）速度＝路程÷时间，第二辆车行驶的路程除以行驶的时间，即可算出第二辆车平均每小时行驶多少km。 （3）速度＝路程÷时间，每辆车行驶的路程除以行驶的时间，即可算出每辆车的速度，再比较大小。 【解答】（1）（1）150＜180＜210 第三辆车出发时离目的地最远，是210km。 （2）150÷3＝50（km） 第二辆车平均每小时行驶50km。 （3）180÷3＝60（km/h） 150÷3＝50（km/h） 210÷3＝70（km/h） 50＜60＜70 第三辆车速度最快。 【易错专练4】小华调查了实验小学四（2）班同学的睡眠时间，调查结果统计如下： 四（2）班同学睡眠时间情况统计图 （1）上面的统计图中，每1个小格表示（ ）人。 （2）上面的统计图中，睡眠时间在（ ）的人数最多，睡眠时间在（ ）的人数最少。 （3）专家建议：小学生的睡眠时间每天应不少于10小时，四（2）班有（ ）人的睡眠时间不足。 【答案】（1）2 （2）10小时及以上 7小时 （3）26 【分析】（1）根据对条形统计图的了解，最左边竖着的数据代表人数，每1个小格表示2人。 （2）观察条形统计图，对应睡眠时间的长条最高的则表示该时间段的人数最多；长条最低的则代表该时间段的人数最少。 （3）将7小时、8小时、9小时三个时间段的人数相加，即为睡眠时间不足的人数。 【解答】（1）上面的统计图中，每1个小格表示2人。 （2）上面的统计图中，睡眠时间在10小时及以上的人数最多，睡眠时间在7小时的人数最少。 （3）6＋12＋8＝26（人） 专家建议：小学生的睡眠时间每天应不少于10小时，四（2）班有26人的睡眠时间不足。 【易错专练5】根据下图，按要求填空。 （1）纵轴上一个长度单位表示的产量是（ ）万吨。 （2）（ ）年的产量最高，（ ）年的产量最低。 （3）2021年的产量比2022年少（ ）万吨，2020年的产量比2022年少（ ）万吨。 【答案】（1）5 （2）2022 2020 （3）4 8 【分析】（1）根据统计图纵轴，一个长度单位表示的数量是5； （2）将三个年份的产量进行比较大小，由此可得哪年的产量最高，哪年的产量最低； （3）用2022年的产量减去2021年的产量，即可求出2021年的产量比2022年少多少万吨；用2022年的产量减去2020年的产量，即可求出2020年的产量比2022年少多少万吨。 【解答】（1）纵轴上一个长度单位表示的产量是5万吨。 （2）15＜19＜23 因此2022年的产量最高，2020年的产量最低。 （3）23－19＝4（万吨） 23－15＝8（万吨） 即2021年的产量比2022年少4万吨，2020年的产量比2022年少8万吨。 易错点2：进行分段统计时,数据出现错误。 【易错专练1】下面是几个城市某天的空气污染指数情况统计表。 城市 北京 天津 太原 长春 郑州 石家庄 哈尔滨 空气污染指数 57 80 59 107 54 95 80 （1）当天空气污染指数最高的城市是（    ），最低的城市是（    ）。 （2）国家规定空气污染指数0~50空气质量为优，51~100空气质量为良，101~150空气质量为轻微污染，151~200空气质量为轻度污染，201~300空气质量为中度污染，300以上空气质量为重度污染。根据以上数据整理并填入下表。 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 重度污染 城市数量 【答案】（1）长春；郑州；（2）见详解 【分析】（1）根据表中数据进行比较即可解答。 （2）根据表格（1）中的数据找到对应的空气污染指数范围，整理后填入表格（2）中。 【解答】（1）107＞95＞80＞59＞57＞54 当天空气污染指数最高的城市是（长春），最低的城市是（郑州）。 （2）空气污染指数0~50的没有，51~100空气质量为良的有北京、天津、太原、郑州、石家庄、哈尔滨共6个，101~150空气质量为轻微污染有长春，151~200空气质量为轻度污染，201~300空气质量为中度污染，300以上空气质量为重度污染的城市都没有。 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 重度污染 城市数量 0 6 1 0 0 0 【易错专练2】亮亮调查了甲、乙两组同学的1分钟跳绳成绩，数据如下。（单位：个） 甲组：123，109，113，107，108，118，127，105，115，126 乙组：123，114，132，124，126，116，89，97，135，145 （1）明明想比较两组的跳绳成绩，于是列出了下表，请你填一填。 成绩/个 100以下 100－110 111－120 121－130 131－140 140以上 甲组人数 乙组人数 （2）根据上表，请你比较两组同学的跳绳成绩有什么不同？写一写。 【答案】（1）0；4；3；3；0；0； 2；0；2；3；2；1； （2）见详解 【分析】（1）甲组中，100以下的0人；100－110的有109、107、108、105，一共4人；111－120的有113、118、115，一共3人；121－130的有123、127、126，一共3人；131－140的0人；140以上的0人； 乙组中，100以下的有89、97，一共2人；100－110的有0人；111－120的有114、116，一共2人；121－130的有123、124、126，一共3人；131－140的有132、135，一共2人；140以上的有145，一共1人； （2）观察表格可知，甲组的跳绳成绩在100－130之间，没有特别低或者特别高的成绩，乙组成绩100以下的有2人，140以上的有1人，最高成绩和最低成绩差距较大，据此解答。 【解答】（1）填表如下： 成绩/个 100以下 100－110 111－120 121－130 131－140 140以上 甲组人数 0 4 3 3 0 0 乙组人数 2 0 2 3 2 1 （2）分析可知，甲组没有特别低或者特别高的成绩；乙组有100以下的较低成绩，也有140以上的较高成绩。（答案不唯一） 【易错专练3】下面是聪聪调查的班上一部分学生的身高记录。（单位：厘米） 134  143  138  136  146  150  149  148 135  128  138  137  148  149  143  146 136  128  135  145  147  147  128  152 （1）用画“正”字的方法完成下表。 身高（厘米） 120－129 130－139 140－149 150－159 画“正”字 人数 （2）身高在（    ）厘米的人数最多，身高在（    ）厘米的人数最少。 （3）从统计表中你还能得到什么信息？ 【答案】（1）见详解 （2）140－149；150－159 （3）见详解 【分析】（1）“正”字一笔画代表1人，根据身高记录数据可知，身高在120－129厘米的有3人，身高在130－139厘米的有8人，身高在140－149厘米的有11人，身高在150－159厘米的有2人，据此画“正”字填表； （2）比较各个身高段的人数，即可得出人数最多和人数最少的分别在哪个身高段； （3）用身高在130－139厘米的人数减去身高在150－159厘米的人数，由此可得出高在150－159厘米的比身高在130－139厘米的少多少人；合理即可。 【解答】（1）填表如下： 身高（厘米） 120－129 130－139 140－149 150－159 画“正”字 正 正正 人数 3 8 11 2 （2）2＜3＜8＜11 所以身高在140－149厘米的人数最多，身高在150－159厘米的人数最少。 （3）8－2＝6（人） 身高在150－159厘米的比身高在130－139厘米的少6人。（答案不唯一） 【易错专练4】李明整理了四年级①班45名同学的身高数据，制成了如下的统计表。 身高（厘米） 120~129 130~139 140~149 150及以上 人数 6 16 5 （1）根据提供的数学信息，把统计表补充完整。 （2）身高（    ）厘米段的人数最多。 （3）刘丽身高是149厘米，按由高到矮的顺序，大约排第（    ）。 （4）李明身高是130厘米，按由矮到高的顺序，大约排第（    ）。 【答案】（1）18 （2）140~149 （3）6 （4）7 【分析】（1）要知道140~149身高段的人数，可以用总人数分别减去120~129、130~139、150及以上的身高段的人数即可。 （2）观察统计表各身高段的人数，即可知道身高在哪个段的人数最多。 （3）根据统计表中的数据可知：150厘米及以上的人数为5人，所以按由高到矮的顺序，排在140~149这个身高段中，由此可以知道，大约排第几。 （4）根据统计表中的数据可知：120~129的人数是6人，所以按由矮到高的顺序，130厘米属于130~139这个身高段中，由此可以知道，大约排第几。 【解答】（1）45－6－16－5 ＝39－16－5 ＝23－5 ＝18（人） 完整的统计表如下所示： 身高（厘米） 120~129 130~139 140~149 150及以上 人数 6 16 18 5 （2）根据统计表，身高140~149厘米段的人数最多。 （3）150厘米及以上的人数为5人，所以按由高到矮的顺序，刘丽149厘米大约排第6。 （4）120~129身高段的人数是6人，所以按由矮到高的顺序，李明身高是130厘米，大约排第7。 【易错专练5】某班同学1分仰卧起坐成绩如下。（单位：个） 男同学1分仰卧起坐的成绩： 39  29  38  36  32  28  39  28  33  37 40  44  37  32  35  29  31  34  33  38 女同学1分仰卧起坐的成绩： 32  40  27  40  33  28  35  36  35  41 33  29  38  36  28  34  29  28  31  22 （1）把上面的数据分段整理并填入下表中。 成绩段/个 40以上 36～40 31～35 30及以下 男同学/人 女同学/人 （2）是男同学1分仰卧起坐的成绩好还是女同学1分仰卧起坐的成绩好？ 【答案】（1）见详解 （2）男同学 【分析】（1）分段整理男同学、女同学1分仰卧起坐的成绩，填写表格。 （2）先用加法求出男同学、女同学1分仰卧起坐的成绩之和，再分别除以20，求出男同学、女同学1分仰卧起坐的平均成绩，比较大小，即可得解。 【解答】（1）如下表： 成绩段/个 40以上 36～40 31～35 30及以下 男同学/人 1 8 7 4 女同学/人 1 5 7 7 （2）（39＋29＋38＋36＋32＋28＋39＋28＋33＋37＋40＋44＋37＋32＋35＋29＋31＋34＋33＋38）÷20 ＝692÷20 ＝34.6（个） （32＋40＋27＋40＋33＋28＋35＋36＋35＋41＋33＋29＋38＋36＋28＋34＋29＋23＋31＋22）÷20 ＝650÷20 ＝32.5（个） 34.6＞32.5 答：是男同学1分仰卧起坐的成绩好。 易错点3：绘制条形统计图时，“一格代表几个单位”设定不合理。 【易错专练1】三年级一班进行“我的梦想”情况调查，下面是情况调查表。 医生 科学家 军人 教师 9 10 12 7 根据统计表把下图补充完整。 【答案】见详解 【分析】根据统计表，完成统计图即可，这里一格代表一个单位。 【解答】 【易错专练2】下面是演讲比赛中四位小选手前两轮的得分记录，请你绘制两个条形统计图。 1号 2号 3号 4号 第一轮 8 10 9 7 第二轮 8 9 9 9 【答案】见详解 【分析】观察统计表中的数据信息可知，第一轮演讲比赛中，四位小选手的得分分别是：1号8分、2号10分、3号9分、4号7分，据此绘制“演讲比赛四位小选手第一轮得分情况统计图”，如下。 第二轮演讲比赛中，四位小选手的得分分别是：1号8分、2号9分、3号9分、4号9分，据此绘制“演讲比赛四位小选手第二轮得分情况统计图”，如下。 【解答】绘制“演讲比赛四位小选手第一轮得分情况统计图”，如下 绘制“演讲比赛四位小选手第二轮得分情况统计图”，如下： 【点评】熟练掌握从统计表的数据中获取信息并正确地绘制条形统计图，是解答此题的关键。 【易错专练3】下面是四（1）班同学最喜欢的运动项目统计表。 运动项目 跳绳 踢毽子 跑步 打篮球 人数 12 8 10 6 根据统计表完成下面的统计图。（要求依数据绘制直条） 【答案】见详解 【分析】根据题意可知，可绘出统计图中一格表示2人，把统计表中各个项目最喜欢的学生人数用直条在统计图中表示出来，完善统计即可。 【解答】 【易错专练4】下面是2023年杭州亚运会奖牌榜前四个国家的奖牌情况。 国家 金牌（枚） 银牌（枚） 铜牌（枚） 总数（枚） 中国 201 111 71 383 日本 52 67 69 188 韩国 42 59 89 190 印度 28 38 41 107 （1）选择一类奖牌，把这四个国家的奖牌情况在下图中表示出来。 （2）我选择表示的是（    ）奖牌的数量，每格代表（    ）枚。 【答案】（1）见详解 （2）铜；10（答案不唯一） 【分析】（1）选择一类奖牌，如果选择金牌，中国获得金牌数最多，是201枚，纵轴一共10个格，每格代表25枚金牌比较合适。然后在对应横轴上“中国”的位置，根据金牌数量201枚，在纵轴合适刻度位置绘制高度对应的直条，直条顶端接近201对应的刻度处。在横轴“日本”对应的位置，按照其金牌数量52枚，绘制相应高度的直条。在“韩国”对应的横轴位置，依照其42枚金牌的数量绘制直条。在“印度”对应的横轴位置，依据其28枚金牌数量绘制直条。 如果选择银牌，中国获得银牌数最多，是111枚，纵轴一共10个格，每格代表15枚银牌比较合适。然后在对应横轴上“中国”的位置，根据银牌数量111枚，在纵轴合适刻度位置绘制高度对应的直条，直条顶端接近111对应的刻度处。在横轴“日本”对应的位置，按照其银牌数量67枚，绘制相应高度的直条。在“韩国”对应的横轴位置，依照其59枚银牌的数量绘制直条。在“印度”对应的横轴位置，依据其38枚银牌数量绘制直条。 如果选择铜牌，韩国获得铜牌数量最多，是89枚，纵轴一共10个格，每格代表10枚铜牌比较合适。然后在对应横轴上“中国”的位置，根据铜牌数量71枚，在纵轴合适刻度位置绘制高度对应的直条，直条顶端接近71对应的刻度处。在横轴“日本”对应的位置，按照其铜牌数量69枚，绘制相应高度的直条。在“韩国”对应的横轴位置，依照其89枚铜牌的数量绘制直条。在“印度”对应的横轴位置，依据其41枚铜牌数量绘制直条。 如果选择总数，中国获得奖牌总数最多，是383枚，纵轴一共10个格，每格代表40枚奖牌比较合适。然后在对应横轴上“中国”的位置，根据奖牌总数383枚，在纵轴合适刻度位置绘制高度对应的直条，直条顶端接近383对应的刻度处。在横轴“日本”对应的位置，按照其奖牌总数188枚，绘制相应高度的直条。在“韩国”对应的横轴位置，依照其190枚奖牌总数绘制直条。在“印度”对应的横轴位置，依据其107枚奖牌总数绘制直条。 （2）写出自己选择的是哪类奖牌，每格代表多少枚即可。 【解答】（1）如图： 选择金牌： 选择银牌： 选择铜牌： 选择总数： （答案不唯一） （2）我选择表示的是金牌奖牌的数量，每格代表25枚。 我选择表示的是银牌奖牌的数量，每格代表15枚。 我选择表示的是铜牌奖牌的数量，每格代表10枚。 我选择表示的是总数奖牌的数量，每格代表40枚。（答案不唯一） 易错点4：根据统计图解决问题时提出数据错误，导致解决问题错误。 【易错专练1】下面是四年级学生参加各类兴趣组情况（每人只参加一个兴趣组）统计图。 （1）四年级一共有（ ）人参加了这五类兴趣小组。 （2）剪纸组同学传承中华文化，本学期每人创作了15幅作品，这个组一共创作了（ ）幅作品。 （3）春节前夕，书法组同学每人创作了5幅春联，绘画组同学每人创作了3幅画，一起送给社区的老人们。他们一共创作了（ ）幅作品。 【答案】（1）80 （2）180 （3）168 【分析】（1）观察发现参加剪纸的有12人，参加书法的有24人，参加绘画的有16人，参加电脑的有20人，参加舞蹈的有8人，用加法计算出四年级一共有多少人参加了这五类兴趣小组； （2）用每人创作的作品数乘剪纸组的人数，计算出这个组一共创作了多少幅作品； （3）用书法组的人数乘5计算出春联的作品数，用绘画组的人数乘3计算出绘画的作品数，最后将两个结果相加，计算出他们一共创作了多少幅作品；据此解答。 【解答】（1）12＋24＋16＋20＋8＝80（人），所以四年级一共有80人参加了这五类兴趣小组。 （2）15×12＝180（幅），所以这个组一共创作了180幅作品。 （3）24×5＋16×3＝120＋48＝168（幅），所以他们一共创作了168幅作品。 【易错专练2】新趋势图表信息下面是四年级五班学生身高情况统计图。 四年级五班学生身高情况统计图 （1）按从高到矮的顺序排列，小明的身高在班上排第10，他的身高在（ ）厘米之间。 （2）四年级五班共有（ ）人。学校篮球队选拔队员，要求身高在145厘米以上，这个班级有（ ）人可以报名。 【答案】（1）141~145 （2）40 6 【分析】（1）150厘米以上的有2人，146厘米~150厘米的有4人，141厘米~145厘米的有12人，2＋4＝6人，6＋12＝18人，按从高到矮的顺序排列，第7~18名的身高都在141厘米~145厘米之间，所以小明的身高在班上排第10名，他的身高在141厘米~145厘米之间。 （2）把各个身高段的人数相加即等于四年级五班的人数；150厘米以上的人数加146厘米~150厘米的人数，即等于这个班可以报名选拔篮球队队员的人数。 【解答】（1）按从高到矮的顺序排列，小明的身高在班上排第10名，他的身高在141~145厘米之间。 （2）6＋16＋12＋4＋2 ＝22＋12＋4＋2 ＝34＋4＋2 ＝38＋2 ＝40（人） 4＋2＝6（人） 四年级五班有40人。学校选拔篮球队队员，要求身高在145厘米以上，这个班有6人可以报名。 【易错专练3】布克调查了学校图书室一个星期借阅书籍的情况，并制成了统计图。 （1）图上1格的长度表示（ ）本。 （2）借阅的故事类比文学类多（ ）本，比历史类多（ ）本。 （3）如果你是图书管理员，从借阅情况来看，你有什么建议？（    ）（填序号） A．多采购科普类 B．多采购历史类 C．多采购故事类 D．多采购文学类 【答案】（1）50 （2）165 75 （3）A 【分析】（1）从图中观察横轴图上1格的长度表示50本；（2）故事类275本，文学类110本，用减法计算借阅的故事类比文学类多几本；历史类200本，用故事类书数量减去历史类书数量求出故事类比历史类多几本；（3）这四类书比较借阅情况，多购买借阅数量最多的书。 【解答】（1）图上1格的长度表示50本。 （2）275－110＝165（本）；275－200＝75（本） 借阅的故事类比文学类多165本，比历史类多75本。 （3）330＞275＞200＞110 借阅的科普书最多，建议多采购科普书。 故答案为：A 【易错专练4】根据统计图，下列说法哪个符合实际情况。选择（ ）。 ①9月份大约用水43吨。 ②3月份用水100吨或者更多。 说明选择的理由： 。 【答案】② 因为第三季度的7月和8月这两个月学校放假，基本不用水，第三季度的130吨用水主要用在9月份，所以①9月份大约用水43吨这种说法不符合实际情况；而第一季度的三个月平均用水大约是100吨，所以3月份用水100吨或者更多。 【分析】第三季度是7月、8月和9月，结合7月和8月这两个月学校放假实际情况进行判断①； 第三季度是1月、2月和3月，这个季度用水320吨，用320除以3，即可求出这三个月平均每月用水多少吨；据此判断即可。 【解答】第三季度是7月、8月和9月，而7月和8月这两个月学校放假，基本不用水，因此第三季度的130吨用水主要用在9月份，①9月份大约用水43吨这种说法不符合实际情况； 320÷3≈300÷3＝100（吨），因此3月份用水100吨或者更多；因此第②种说法符合实际情况。 即根据统计图，题干说法符合实际情况的是②；因为第三季度的7月和8月这两个月学校放假，基本不用水，第三季度的130吨用水主要用在9月份，所以①9月份大约用水43吨这种说法不符合实际情况；而第一季度的三个月平均用水大约是100吨，所以3月份用水100吨或者更多。 易错点5：求平均数时,没有找对总数和总份数。 【易错专练1】在一次数学竞赛中，甲、乙、丙、丁四人的平均分为95分，甲、丙两人的平均分与乙的分数相等，乙比丁多考了12分，甲比丁多考了10分。甲、乙、丙、丁各考了多少分？ 【答案】甲：96分；乙：98分；丙：100分；丁：86分 【分析】根据总分＝平均分×人数，可得四位同学的总分为：95×4＝380分，乙比丁多考了12分，甲比丁多考了10分，所以甲比乙少12－10＝2分，即甲的分数＝乙的分数－2，因为甲、丙两人的平均分与乙的分数相等，那么甲和丙的总分数就是乙分数的2倍，所以丙比乙多2分，即丙的分数＝乙的分数 ＋2，由于乙比丁多12分，所以丁的分数＝乙的分数－12，四人总分380分加上12分，正好是乙的分数的4倍，那么用四人总分380分与12分的和除以4即可求出乙的分数，然后用乙的分数减去12就是丁的分数，用丁的分数加上10就是甲的分数，用四位同学的总分减去乙、丁、甲的分数和就是丙的分数。 【解答】95×4＝380（分） 乙：（380＋12）÷4 ＝392÷4 ＝98（分） 丁：98－12＝86（分） 甲：86＋10＝96（分）   丙：380－（98＋86＋96） ＝380－（184＋96） ＝380－280 ＝100（分） 答：甲考了96分，乙考了98分，丙考了100分，丁考了86分。 【易错专练2】下表是外卖员小王一个星期送外卖单数的记录。 星期 一 二 三 四 五 六 日 单数 25 29 35 31 38 45 42 （1）这个星期，外卖员小王平均每天送多少单外卖？ （2）按照这个星期平均每天送的单数计算，小王10月份一共能送多少单外卖？ 【答案】（1）35单 （2）1085单 【分析】（1）先把一个星期送外卖单数的数据相加，再除以7，即可求出这个星期，外卖员小王平均每天送多少单外卖； （2）10月份有31天，用小王平均每天送外卖的单数乘天数，即可求出小王10月份一共能送多少单外卖。 【解答】（1） （单） 答：外卖员小王平均每天送35单外卖； （2）（单） 答：小王10月份一共能送1085单外卖。 【易错专练3】实验小学少年宫兴趣小组开展踢毽子比赛，第一组5个人6分钟共踢了750个毽子；第二组4个人6分钟共踢了552个毽子。哪一组平均每人每分钟踢得更多？ 【答案】第一组 【分析】根据平均数的意义，利用除法先分别求出两组平均每人每分钟踢多少下，再比较大小，据此解答。 【解答】根据分析可得： 第一组： 750÷（5×6） ＝750÷30 ＝25（个） 第二组： 552÷（4×6） ＝552÷24 ＝23（个） 25＞23  所以是第一组平均每人每分钟踢得更多； 答：第一组平均每人每分钟踢得更多。 【易错专练4】我当小老师。 四（1）班同学在参加“制作树叶标本”活动中，各小组制作的标本的数量如下： 第一小组 第二小组 第三小组 制作标本数/件 140 169 158 参加人数/人 15 15 15 （1）我能直接判断出第（ ）小组平均每人制作的标本的数量最多。 （2）我是这样想的：（ ）。 【答案】（1）二 （2）除数相同，被除数越大，商越大，这里都是15人，且140＜158＜169，所以第二组平均每人制作的标本的数量最多。 或，140÷15的商是一位数，169÷15的商是11，158÷15的商是10。由此可知第二小组平均每人制作的标本数量最多。 【分析】根据题意可知：求平均每人制作的标本数量，可以用制作标本的总数除以参加的人数。因为这里的参加人数是相同的，也就是除数相同。当除数相同时，被除数越大，商就越大，据此可以解答。 也可以根据三位数除以两位数的商来判断。当被除数的前两位小于除数，商是一位数。当被除数的前两位大于或者等于除数，商是两位数。并可以估算出商是几十多，据此也可解答。 【解答】（1）因为三个小组的参加人数都是15人，但是140＜158＜169，所以我能直接判断出第二小组平均每人制作的标本数量最多。 （2）除数相同，被除数越大，商越大，这里都是15人，且140＜158＜169，所以第二组平均每人制作的标本的数量最多。 或者，140÷15的商是一位数，169÷15的商是11，158÷15的商是10。由此可知第二小组平均每人制作的标本数量最多。 【易错专练5】下面是新悦小区4户人家的住房情况。 户名 小丽家 小青家 小白家 小文家 住房面积/平方米 88 95 126 155 人数 4 5 3 5 人均住房面积/平方米 （1）这4家各自人均住房面积是多少？算一算，填在上面的表格里。 （2）（    ）家的人均住房面积最大，（    ）家的人均住房面积最小。 （3）南京市的人均住房面积是24平方米，如果有一个三口之家，可能住多少平方米的住房？ 【答案】（1）22；19；42；31 （2）小白；小青 （3）72平方米 【分析】（1）根据题意，用每家的住房面积除以每家的人数，即可求出这4家各自人均住房面积是多少，据此完成表格即可。 （2）比较（1）中这4家各自人均住房面积，判断哪家的人均住房面积最大；哪家的人均住房面积最小。 （3）根据题意，用人均住房面积乘人数，即可求出可能住多少平方米的住房。 【解答】（1）小丽家：88÷4＝22（平方米） 小青家：95÷5＝19（平方米） 小白家：126÷3＝42（平方米） 小文家：155÷5＝31（平方米） 户名 小丽家 小青家 小白家 小文家 住房面积/平方米 88 95 126 155 人数 4 5 3 5 人均住房面积/平方米 22 19 42 31 （2）19＜22＜31＜42 小白家的人均住房面积最大，小青家的人均住房面积最小。 （3）24×3＝72（平方米） 答：可能住72平方米的住房。 专题五解决问题的策略 易错点1：列表整理信息时，数量关系对应错误。 【易错专练1】张大伯种了15行梨树，18行桃树和8行苹果树。梨树每行17棵，桃树每行8棵，苹果树每行9棵。苹果树比桃树少多少棵？（先根据问题整理条件，再列式解答） 梨树 桃树 苹果树 【答案】72棵 【分析】根据题干信息，将数据填入表格即可；用苹果树、桃树的行数乘每行的棵数求出树的棵数，再用桃树的棵数减去苹果树的棵数即可。 【解答】 梨树 桃树 苹果树 15行 18行 8行 每行17棵 每行8棵 每行9棵 18×8－8×9 ＝144－72 ＝72（棵） 答：苹果树比桃树少72棵。 【易错专练2】春江小学三年级有4个班，四年级有4个班，五年级有5个班。三年级每班有46人，四年级每班有48人，五年级每班有45人。 （1）三年级和五年级一共多少人？先根据问题选择并整理条件，再解答。 三年级 （    ）个班 每班（    ）人 五年级 （    ）个班 每班（    ）人 （2）根据条件，提一个两步或两步以上的问题：（    ）？ 【答案】（1）4；46 5；45 409人 （2）四年级和五年级一共有多少人；417人 【分析】（1） 要求三年级和五年级一共多少人，分别先求出三年级、五年级各有多少人，然后在相加即可解答；在分别求三年级、五年级的总人数时，根据春江小学三年级有4个班，五年级有5个班。三年级每班有46人，五年级每班有45人。用乘法计算，即用每个班级的人数乘该年级的班数即可； 据此解答。 （2）可以提问：四年级和五年级一共有多少人？（答案不唯一）根据春江小学四年级有4个班，五年级有5个班。四年级每班有48人，五年级每班有45人，用乘法分别先计算四年级人数，五年级人数，然后用加法计算一共有多少人。 【解答】（1） 三年级 4个班 每班46人 五年级 5个班 每班45人 4×46＋5×45 ＝184＋225 ＝409（人） 答：三年级和五年级一共409人。 （2）根据条件，提的问题：四年级和五年级一共有多少人？（答案不唯一） 4×48＋5×45 ＝192＋225 ＝417（人） 答：四年级和五年级一共有417人。 【易错专练3】四年级三个班在实验田里种向日葵，一班种了34行，每行18棵；二班种了26行，每行24棵；三班种了30行，每行25棵。哪个班种的向日葵最多？最多的比最少的多多少棵？（先列表整理，再解答） 【答案】列表见详解；三班；138棵 【分析】根据已知的数据进行列表整理即可；然后用每行的棵数乘行数，分别求出每班种的棵数，然后再比较三个班种的向日葵的数量，找出种向日葵最多和最少的班级，最后再用最多的减去最少的，即可解答。 【解答】列表整理如下： 一班 34行 每行18棵 二班 26行 每行24棵 三班 30行 每行25棵 一班：34×18＝612（棵） 二班：26×24＝624（棵） 三班：30×25＝750（棵） 750＞624＞612 750－612＝138（棵） 答：三班种的向日葵最多，最多的比最少的多138棵。 【易错专练4】 王阿姨用去多少元？李阿姨能买几双？（先利用下表整理条件和问题，再解答） 吴阿姨 4双 48元 王阿姨 （    ）元 李阿姨 （    ）双 【答案】见详解 36元；9双 【分析】根据题意，已知王阿姨要买3双拖鞋，要求他需要用去多少钱；已知李阿姨带了108元，要求她能买几双，据此整理表格即可；先用吴阿姨花的钱数除以买的双数，求出一双拖鞋的价格，王阿姨买了3双，用一双拖鞋的价格乘3即可求出王阿姨花了多少钱；李阿姨有108元，则用108除以一双拖鞋的价格，即可求出能买几双。 【解答】 吴阿姨 4双 48元 王阿姨 3双 （  ？ ）元 李阿姨 （  ？ ）双 108元 48÷4＝12（元） 12×3＝36（元） 108÷12＝9（双） 答：王阿姨用去36元，李阿姨能买9双。 【易错专练5】先列表整理，再解答。 少年宫的王老师买了3盒水彩笔，2块画板和15本绘画纸。 水彩笔 画板 绘画纸 （1）买水彩笔和绘画纸一共花了（    ）元。 （2）买画板比水彩笔贵多少元？ 【答案】表见详解 （1）96   （2）14元 【分析】根据图片信息可知，一盒水彩笔是12元，一块画板是25元，一本绘画纸是4元，王老师买了3盒水彩笔，2块画板和15本绘画纸，第一列写单价，第二列写数量，据此进行填表。 （1）总价＝单价×数量，据此求出买水彩笔和绘画纸各花多少钱，然后加一起即为所求。 （2）利用单价×数量先求出买画板和水彩笔各花了多少元，然后再用买画板的钱减去买水彩笔花的钱即可。 【解答】 水彩笔 12 3 画板 25 2 绘画纸 4 15 （1）12×3＝36（元） 4×15＝60（元） 36＋60＝96（元） 买水彩笔和绘画纸一共花了96元。 （2）25×2＝50（元） 12×3＝36（元） 50－36＝14（元） 答：买画板比水彩笔贵14元。 【易错专练6】四年级同学积极参加学校运动会活动，有8组同学在跳绳，每组12人；有4组同学在拔河，每组20人；有5组同学在踢毽子，每组14人。 （1）列表整理题中的条件。 跳绳 有（    ）组 每组（    ）人 拔河 有（    ）组 每组（    ）人 踢毽子 有（    ）组 每组（    ）人 （2）拔河的同学比跳绳的同学少多少人？ 【答案】（1）8；12 4；20 5；14    （2）16人 【分析】（1）将题中信息填入表格中。 （2）拔河的组数乘每组人数，可以算出参加拔河的人数；跳绳的组数乘每组人数，可以算出参加跳绳的人数；参加跳绳的人数减去参加拔河的人数，即可算出拔河的同学比跳绳的同学少多少人。 【解答】（1）列表整理题中的条件。 跳绳 有8组 每组12人 拔河 有4组 每组20人 踢毽子 有5组 每组14人 （2）4×20＝80（人） 8×12＝96（人） 96－80＝16（人） 答：拔河的同学比跳绳的同学少16人。 【易错专练7】赵经理买了15个保温杯共375元，18个玻璃杯共198元。整理信息填入下表，再解答。 保温杯 （    ）个 （    ）元 玻璃杯 （    ）个 （    ）元 （1）照这样计算，买23个保温杯要用多少元？ （2）一个保温杯比一个玻璃杯贵多少钱？ 【答案】表见详解；（1）575元；（2）14元 【分析】把保温杯和玻璃杯的个数及价钱分别填入表中相应栏中。 （1）375除以15等于保温杯的单价，再乘23即等于买23个保温杯的价钱。 （2）单价＝总价÷数量，把数据代入分别计算出保温杯和玻璃杯的单价，然后相减即可解答。 【解答】 保温杯 （15）个 （375）元 玻璃杯 （18）个 （198）元 （1）375÷15×23 ＝25×23 ＝575（元） 答：买23个保温杯要用575元。 （2）375÷15－198÷18 ＝25－11 ＝14（元） 答：一个保温杯比一个玻璃杯贵14元钱。 【点评】熟练掌握总价、单价和数量三者之间的关系是解答本题的关键。 易错点2：示意图中各数量之间的逻辑关系理解错误。 【易错专练1】看图列式计算。 【答案】20元 【分析】看图可知，每个足球40元，每个皮球20元，求3个足球的价格比5个皮球的价格多多少元？首先，总价＝单价×数量，据此求出3个足球和5个皮球的总价分别是多少，再用3个足球的总价减去5个皮球的总价即为所求。 【解答】40×3－20×5 ＝120－100 ＝20（元） 即3个足球的价格比5个皮球的价格多20元。 【易错专练2】看图列式计算。 【答案】48×3＋48＝192（棵）或48×（3＋1）＝192（棵） 【分析】根据题意，仔细观察线段图，已知苹果树有48棵，梨树是苹果树的3倍，先用48乘3，求出梨树的棵数；再加上48；就是两种树的总棵数；也可以根据两种树的总棵数是苹果树的（3＋1）倍，用48×（3＋1），求出两种树的总棵数；列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 方法一： 48×3＋48 ＝144＋48 ＝192（棵） 方法二： 48×（3＋1） ＝48×4 ＝192（棵） 【易错专练3】看图列式计算。 【答案】40×3－20×5＝20（元） 【分析】看图可知，每个足球40元，每个皮球20元，求3个足球的价格比5个皮球的价格多多少元？首先，总价＝单价×数量，据此求出3个足球和5个皮球的总价分别是多少，再用3个足球的总价减去5个皮球的总价即为所求。 【解答】40×3－20×5 ＝120－100 ＝20（元） 即3个足球的价格比5个皮球的价格多20元。 【易错专练4】看图列式计算。 【答案】9元 【分析】根据图示，求第二副手套比第一副手套贵多少钱，即用第二副手套的单价减去第一副手套的单价，第一副手套的单价＝总价÷数量，据此作答。 【解答】由上分析可列式为： 15－18÷3 ＝15－6 ＝9（元） 所以，第二副手套比第一副手套贵9元。 【易错专练5】仔细看一看，列式解决问题。 【答案】11岁 【分析】根据题图可知，爸爸和妈妈同岁，妈妈比小丫大24岁。用三人的总岁数加上24岁，求出3个妈妈的岁数，再除以3，即可求出妈妈的岁数。用妈妈的岁数减去24岁，求出小丫的岁数。 【解答】（81＋24）÷3－24 ＝105÷3－24 ＝35－24 ＝11（岁） 则小丫11岁。 【易错专练6】看图列式计算。 学校图书室买来一批新书，其中： 【答案】375本 【分析】通过观察上图可知，科技书是童话书的4倍，童话书看作1份，科技书有4份，科技书比童话书多3份，1份有125本，125乘3即等于科技书比童话书多的本数。 【解答】125×（4－1） ＝125×3 ＝375（本） 易错点3：没有明确题意及数量关系。 【易错专练1】一盒药共有120粒，病人每次吃2粒，一天吃2次，这盒药可以吃多少天？ 【答案】30天 【分析】用总粒数除以每次吃的粒数求出总次数。再用总次数除以每天吃的次数求出天数。 【解答】120÷2÷2 ＝60÷2 ＝30（天） 答：这盒药可以吃30天。 【易错专练2】一列火车全长约200米，每秒行驶32米。这列火车通过一条长728米的隧道，需要多少秒？ 【答案】29秒 【分析】火车完全通过隧道，需要整辆车都驶出去，行驶的总路程是隧道长度与火车车长的和，即728米加200米。用总路程除以火车速度即可求出所需时间。 【解答】（200＋728）÷32 ＝928÷32 ＝29（秒） 答：需要29秒。 【易错专练3】一张大桌子，需要4个小朋友一起抬。6个小朋友要把桌子从教室180米远的地方抬到操场，平均每个小朋友要抬多少米？ 【答案】120米 【分析】桌子移动180米远，需要4个人抬，用180×4求出总工作量，再除以6人求出平均每人要抬的米数。 【解答】180×4÷6 ＝720÷6 ＝120（米） 答：平均每个小朋友要抬120米。 【易错专练4】用一个杯子装满水，向装有水的瓶里倒水。倒进3杯水，瓶里共有水450毫升；如果倒进8杯水，瓶里共有水850毫升。1杯水有多少毫升？瓶里原有多少毫升水？ 【答案】1杯水有80毫升，瓶里原有210毫升水。 【分析】根据题意可知：倒进3杯水，瓶里共有水450毫升；倒进8杯水，瓶里共有水850毫升。可以用两次瓶里总水量相减，求出5杯水有多少毫升，再用求出的结果除以5，就可以求出一杯水有多少毫升。求瓶里原有的水，可以先求出3杯水一共多少毫升，再用瓶里共有的水减去它即可。 【解答】杯数差：（杯） 5杯水的量：（毫升） 1杯水的量：（毫升） 3杯水的量：（毫升） 瓶里原有水量：（毫升） 答：1杯水有80毫升，瓶里原有210毫升水。 【易错专练5】贵州糯米饭是一道颇具特色的民间小吃，软糯可口，深受大家喜爱。某餐馆早上卖出106份糯米饭，中午卖出的份数比早上的一半多14份，中午卖出多少份糯米饭？ 【答案】67份 【分析】根据题意，中午卖出的份数比早上的一半多14份，先用早上卖出的糯米饭份数除以2求出早上卖出的一半是多少份，再加上多的14份，即可求出中午卖出多少份糯米饭。 【解答】106÷2＋14 ＝53＋14 ＝67（份） 答：中午卖出67份糯米饭。 【易错专练6】春节将近，四（1）班老师计划将糖果包装起来送给学生，如果每个盒子里装4个，那么刚好装满48个盒子。如果每个盒子里装6个，那么刚好可以装满多少个盒子？ 【答案】32个 【分析】如果每个盒子里装4个，可以装满48个盒子，则一共有（4×48）个糖果。用糖果的总个数除以6，求出每盒装6个时可以装的盒数。 【解答】4×48÷6 ＝192÷6 ＝32（个） 答：可以装满32个盒子。 【易错专练7】随着信息技术的飞速发展，5G网络已经来到了我们身边。李叔叔用4G网络每秒大约下载3MB（MB是计算机中的一种储存单位），用它下载某部电影大约需要14分钟，换成5G网络后，下载这部电影大约只要20秒。李叔叔用5G网络每秒大约下载多少MB？ 【答案】126MB 【分析】1分钟＝60秒，将14分钟转化为秒，再乘3，算出这部电影是多少MB，已知换成5G网络后，下载这部电影大约只要20秒，根据“下载速度＝电影大小÷下载时间”，计算出李叔叔用5G网络每秒大约下载多少MB。 【解答】14×60＝840（秒） 14分钟＝840秒 3×840÷20 ＝2520÷20 ＝126（MB） 答：李叔叔用5G网络每秒大约下载126MB。 【易错专练8】某水泥厂原计划20天完成一批任务，每天应生产45吨水泥，改进技术后，每天比原计划多生产15吨，这样需要几天完成？ 【答案】15天 【分析】某水泥厂原计划20天完成一批任务，每天应生产45吨水泥，用原计划每天需生产的水泥乘生产的天数，即可得到水泥厂需要生产的水泥总量。改进技术后，每天比原计划多生产15吨，用原计划每天可生产的水泥量加15吨，即可得到改进技术后每天可生产的水泥量，用需要生产的水泥总量除以改进技术后每天可生产的水泥量，即可得到改进技术后需要几天完成。 【解答】20×45＝900（吨） 45＋15＝60（吨） 900÷60＝15（天） 答：改进技术后，每天比原计划多生产15吨，这样需要15天完成。 【易错专练9】椰汁加工厂，每天从8：00开始往储罐中注入椰汁，储罐中椰汁的液面高度记录如右表。照这样计算，到20：00时储罐中的椰汁液面高度是多少厘米？要使储罐中的液面高度达到180厘米共需要几小时？ 时间 10：00 14：00 16：00 高度/厘米 12 24 36 48 【答案】72厘米；30小时 【分析】通过表格可以看出每2小时储罐中的椰汁液面高度增加12厘米，那么每1小时储罐中的椰汁液面高度增加6厘米；先计算出8：00到20：00有多少个小时，再乘6即可解答。 用椰汁液面高度除以1小时椰汁液面增加的厘米数，即可求出到达一定的高度需要几小时。 【解答】每小时椰汁液面高度增加6厘米 20：00－8：00＝12小时 6×12＝72（厘米） 180÷6＝30（小时） 答：照这样计算，到20：00时储罐中的椰汁液面高度是72厘米，要使储罐中的液面高度达到180厘米共需要30小时。 【易错专练10】第一届冬奥会于1924年在法国的夏蒙尼市举办，只有16个比赛项目。经过近百年的发展，冬奥会的规模持续扩大，北京冬奥会的比赛项目比第一届冬奥会的6倍多13个。北京冬奥会的比赛项目比第一届冬奥会多多少个？ 【答案】93个 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，先求出16的6倍是多少，再加13，求出北京冬奥会的比赛项目，再用北京冬奥会的比赛项目减去第一届冬奥会比赛项目即可解答。 【解答】16×6＋13 ＝96＋13 ＝109（个） 109－16＝93（个） 答：北京冬奥会的比赛项目比第一届冬奥会多93个。 【易错专练11】寒冬来临，大兴安岭居民需要将食物储藏过冬。一袋土豆放在地窖，需要2位男青年一起抬。4位男青年轮流把一袋土豆从离家600米的地方抬回家，平均每位男青年要抬多少米？ 【答案】300米 【分析】根据题意，2位男青年一起抬走600米，相当于2个人一共走了2×600＝1200米，现在把这2位男青年走的1200米用4个人来分担，用除法计算出平均每位男青年抬几米。由此解答。 【解答】2×600÷4 ＝1200÷4 ＝300（米） 答：平均每位男青年要抬300米。 专题六可能性 易错点1：混淆“确定性事件”与“不确定性事件”的描述。 【易错专练1】下面是李叔叔收到的一条气象台发布的信息，根据信息可以判断（    ）。 气象台发布消息，受强降雨云团影响，预计未来3小时内，我市主城区将有小到中雨，降水量毫升，请注意防范。 A．未来3小时内一定降水 B．未来3小时内不可能降水 C．未来3小时内可能降水 【答案】C 【分析】根据事件的确定性与不确定性以及可能性逐项分析判断。 【解答】A．虽然预计未来3小时内主城区将有小到中雨，但“预计”并非绝对，不能肯定未来3小时内就“一定”降水，存在极小概率，因特殊情况降水不发生，所以该选项不准确。 B．信息中明确提到“受强降雨云团影响，预计未来3小时内，我市主城区将有小到中雨”，说明是有降水倾向的，并非“不可能降水”，该选项错误。 C．“预计”表明了未来3小时内可能有降水，符合信息所传达的意思，该选项正确。 所以根据信息可以判断未来3小时内可能降水。 故答案为：C 【易错专练2】一枚质地均匀的硬币，随机抛了9次，共有2次正面朝上，7次反面朝上。如果再抛一次，下面说法正确的是（    ）。 A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．正、反面朝上都有可能 【答案】D 【分析】抛硬币时，硬币只有正反两面。每次抛硬币的结果都是不确定的，而且每次抛硬币正面朝上和反面朝上的机会是一样多的。再扔一次硬币，它的结果和前面9次的扔硬币结果没有关系，所以，只需考虑这一次扔硬币的结果，可能正面朝上，也可能反面朝上，据此解答即可。 【解答】由分析可知再抛一次，正、反面朝上都有可能。 故答案为：D 【易错专练3】为了解学生的体质健康情况，学校进行了体质测试。乐乐是这所学校的学生，他的身高（    ）是160厘米。根据以下信息，选一选。 明明：同学的平均身高是147厘米。 林林：我的身高是97厘米，是同学中最矮的。 悦悦：我的体重是72千克，是同学中体重最重的。 A．可能 B．不可能 C．一定 【答案】A 【分析】平均数反应的是一组数据的平均值，平均身高反映的是全校学生身高的平均值，乐乐是这所学校的学生，乐乐的身高比最高的矮，比最矮的高。 【解答】平均身高是147厘米，最矮的是97厘米，乐乐的身高应该大于97厘米，可能是160厘米，有可能是大于等于97厘米的其他数。 故答案为：A 【易错专练4】袋中放了黑、白两色的球（如图），小林从袋中每次任意摸出一个球，摸后放回。一共摸了10次，前9次摸出的都是黑球，第10次他摸出的球（    ）。 A．一定是黑球 B．一定是白球 C．可能是黑球，也可能是白球 D．可能是黄球 【答案】C 【分析】无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件；在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。 根据题意，袋中放了黑、白两种颜色的球，那么无论第几次摸球，就有可能摸到这两种颜色球中的任何一个，据此解答。 【解答】袋中只有黑、白两色的球，所以小林第10次摸出的球可能是黑球，也可能是白球。 故答案为：C 【易错专练5】学校下周五要举行运动会，明明查看了天气预报，下周五预报为晴天。关于下周五的天气，下列说法更合理的是（    ）。 A．一定是晴天 B．可能是晴天 C．不可能是雨天 【答案】B 【分析】根据事件发生的确定性和不确定性进行分析：下周五预报为晴天，属于不确定事件中的可能性事件，可能下雨，也可能不下雨。 【解答】由分析知，下周五的天气可能是晴天。 故答案为：B 易错点2：误用生活经验代替逻辑推理判断可能性。 【易错专练1】下表是小军摸球游戏的记录，她一共摸了20次，每次摸后放回。盒子里可能（ ）球少，下次摸到（ ）球的可能性大。 红球 正正正 15次 白球 正 5次 【答案】白 红 【分析】从表中观察小军摸了20次，红球出现15次，白球5次。摸到次数少的白球，说明盒中白球数量可能较少；摸到次数多的红球，数量可能较多。数量多的红球被摸到的可能性更大，因此下次更可能摸到红球。 【解答】由分析可知：下表是小军摸球游戏的记录，她一共摸了20次，每次摸后放回。盒子里可能白球少，下次摸到红球的可能性大。 【易错专练2】妈妈煮了一锅饺子，其中鸡蛋韭菜馅的有20个，萝卜大肉馅的有12个，香菇大肉馅的有10个，乐乐任意盛一个，是（ ）馅的可能性最大。 【答案】鸡蛋韭菜 【分析】首先比较各种馅的饺子的个数，饺子个数多的盛到的可能性就大；20＞12＞10，所以乐乐任意盛一个，是鸡蛋韭菜馅的可能性最大。 【解答】20＞12＞10 妈妈煮了一锅饺子，其中鸡蛋韭菜馅的有20个，萝卜大肉馅的有12个，香菇大肉馅的有10个，乐乐任意盛一个，是鸡蛋韭菜馅的可能性最大。 【易错专练3】把数字卡片2、7、8、3、5打乱次序，反扣在桌上，从中任意摸出一张，摸出的结果有（ ）种可能；摸出（ ）（填“单数”或“双数”）的可能性大。 【答案】5 单数 【分析】每张卡片摸到的可能性都有，单数、双数哪个个数多，摸到的可能性就大，反之摸到的可能性就小。 【解答】反扣在桌上，从中任意摸出一张，摸出的结果可能是2或7或8或3或5，即有5种可能； 其中单数有3个，双数有2个 3＞2 则摸到单数的可能性大 所以把数字卡片2、7、8、3、5打乱次序，反扣在桌上，从中任意摸出一张，摸出的结果有5种可能；摸出单数的可能性大。 【易错专练4】某小学举行诗词接龙大会，老师准备了除诗句不同外，其他完全相同的卡片。其中杜甫的诗有5首，李白的诗有3首，孟浩然的诗有2首，从中任意抽出一张卡片，抽到的诗的作者有（ ）种可能，其中抽到（ ）的诗可能性最大。 【答案】3/三 杜甫 【分析】从中任意抽出一张卡片，求抽到的诗的作者有几种可能，观察有几位作者即可，有几位作者，抽到的可能性就有几种； 数量越多抽到的可能性就越大，数量越少抽到的可能性越小，数量相等抽到的可能性相同；据此解答。 【解答】根据分析：作者有：杜甫、李白、孟浩然，所以从中任意抽出一张卡片，抽到的诗的作者有3种可能；5＞3＞2，所以其中抽到杜甫的诗可能性最大。 【易错专练5】在一个正方体的6个面上分别写上这6个数字，甲、乙两人各抛了10次，落下后朝上面数字大于4算甲赢，否则算乙赢。在这个游戏中，（ ）赢的可能性大。 【答案】乙 【分析】当条件对事件的发生有利时，发生的可能性就大一些。当条件对事件的发生不利时，发生的可能性就小一些。判断事件发生的可能性大小，要先列举出整个事件中所有可能出现的结果，再根据列举出的结果进行判断。 【解答】这6个数字大于4可能有5，6这2种情况，小于等于4的有1，2，3，4这4种情况，2小于4，所以乙赢的可能性大。 易错点3：不能根据条件变化准确判断可能性的变化。 【易错专练1】盒子里放了3个黄球、4个蓝球和5个绿球，至少要摸（ ）个球才能保证一定有一个是黄球。 【答案】10 【分析】最不利的情况是先把蓝球和绿球全部摸完，因为蓝球和绿球都不是要保证摸到的黄球。如果前9个球是4个蓝球和5个绿球，那么再摸第10个球一定是黄球，据此解答即可。 【解答】4＋5＋1＝10（个） 所以盒子里放了3个黄球、4个蓝球和5个绿球，至少要摸10个球才能保证一定有一个是黄球。 【易错专练2】在一个口袋里装有形状、大小相同的9个黄球和7个白球，从袋里任意摸出1个球，摸到（ ）球的可能性大；至少要摸出（ ）个球，才能保证其中一定有白球。 【答案】黄 10 【分析】可能性的大小与物体数量的多少有关，哪种球的数量越多，摸到哪种球的可能性就越大。确定至少摸出几个球能保证一定有白球，要考虑最不利的情况，也就是先把所有的黄球都摸出来，再摸一个球就一定是白球了。据此解答。 【解答】口袋里装有9个黄球和7个白球，因为9＞7，即黄球的数量比白球多，所以从袋里任意摸出1个球，摸到黄球的可能性大。 口袋里有9个黄球，先把这9个黄球全部摸出后，再摸1个球，此时这个球必然是白球，所以至少要摸出（个）球，才能保证其中一定有白球。 在一个口袋里装有形状、大小相同的9个黄球和7个白球，从袋里任意摸出1个球，摸到黄球的可能性大；至少要摸出10个球，才能保证其中一定有白球。 【易错专练3】盒子里放着7个除颜色外其它完全一样的小球，其中3个是红球，4个是白球，摸出（ ）球的可能性大。如果要使摸出红球的可能性大，至少要拿走（ ）个白球。 【答案】白 2 【分析】可能性的大小与个体占总体的数量有关。个体占总体的数量越多，可能性就越大。个体占总体的数量越少，可能性就越小。据此解答。 【解答】有3个红球，4个白球，白球的数量多，所以摸出白球的可能性大。如果要使摸出红球的可能性大，红球的数量要多于白球，所以至少要拿走2个白球。 【易错专练4】如图，口袋里装有4个白球和6个黑球，从中任意摸一球，摸到（ ）球的可能性大。如果要使摸到白球和黑球的可能性相等，至少要再放入（ ）。 【答案】黑 2个白球 【分析】可能性的大小与它在总数中所占数量的多少有关。在总数中占的数量越多，摸到的可能性就越大，占的数量越少，摸到的可能性就越小。从数量上分析，4个白球、6个黑球。从中任意摸一个球，摸到数量最多的那种球的可能性最大。则将两种球的数量比较大小解答。要使摸到黑球和白球的可能性相等，则黑球和白球的数量应相等。将黑球和白球的数量相减求差即可。 【解答】6＞4 6－4＝2（个） 如图，口袋里装有4个白球和6个黑球，从中任意摸一球，摸到黑球的可能性大。如果要使摸到白球和黑球的可能性相等，至少要再放入2个白球。 【易错专练5】一个袋子里有9个白球，5个黄球，摸到（ ）球的可能性大。至少摸出（ ）个球，才能保证摸出的球中一定有白球。如果要使摸到白球和黄球的可能性相同，可以增加（ ）个黄球。 【答案】白 6 4 【分析】根据题意，袋子里白球9个，黄球5个，数量多的球被摸到的可能性更大，因此摸到白球的可能性更大。保证有白球：最坏情况下先摸完所有黄球（5个），再摸1个必为白球，因此至少摸5＋1＝6个球。使可能性相同：要使两种球数量相等，黄球需增加到9个（与白球数量一致），因此需要增加9－5＝4个黄球。 【解答】9＞5；5＋1＝6（个）； 9－5＝4（个） 一个袋子里有9个白球，5个黄球，摸到白球的可能性大。至少摸出6个球，才能保证摸出的球中一定有白球。如果要使摸到白球和黄球的可能性相同，可以增加4个黄球。 易错点4：判断游戏是否公平，关键是看每个参与者获胜的机会是否相同，而不是单纯比较物品的数量。 【易错专练1】7个小朋友站成一排玩抢凳子的游戏，同时开始，谁先抢到谁获胜，你觉得这种游戏方式公平吗？说说你的理由。如果你觉得不公平，请设计一种公平的抢凳子游戏方式。 【答案】不公平；让队伍站成圆形 【分析】由图可知，队伍呈一条直线排列，位于队列最中间的人离凳子最近（如下图） 由图可知，中间的小朋友离凳子最近，对其他人不公平。要使游戏公平，那么每个人到凳子的距离应该相等，他们可以站成一个圆形。 【解答】答：中间的小朋友离凳子最近，对其他人不公平。要使游戏公平，所有人可以站成一个圆形。 【易错专练2】下图是一个转盘，若转到红色区域，则小明胜；若转到黑色区域，则小东胜。如果你认为这个游戏是公平的，请说明理由；如果你认为这个游戏不公平，请改动转盘的颜色分布，使游戏变得公平。 【答案】不公平；因为红色区域的面积比黑色区域的面积大，即小明获胜的可能性更大；改动见详解 【分析】由题意得，红色区域和黑色区域哪个区域的面积大，谁获胜的可能性就大。由图可知，红色区域的面积比黑色区域的面积要大，所以小明获胜的可能性就更大，即这个游戏不公平；要使这个游戏变得公平，那么红色区域的面积和黑色区域的面积得一样大。据此解答。 【解答】 答：这个游戏不公平，因为红色区域的面积比黑色区域的面积要大，所以小明获胜的可能性就比小东要大，即这个游戏不公平；要使这个游戏变得公平，转盘的颜色分布应该如上图。（答案不唯一） 【易错专练3】四年级（3）班举行趣味运动会，接力赛跑有A、B两组同学，每组选三名队员，A组三名队员分别跑100米、200米、300米，B组三名队员分别跑300米、200米、100米。这样比赛公平吗？为什么？ 【答案】公平；因为每组跑的总长度是一样的 【分析】分别将每组三名队员跑步路程相加，求出每组跑步总路程，根据加法交换律进行判断即可。 【解答】100＋200＋300＝300＋200＋100＝600（米） 答：公平，因为每组跑的总长度是一样的。 【易错专练4】小红和小明进行摸球游戏，小红的口袋里面有一红一黄两个球，小明的口袋里面也有一红一黄两个球。两人从自己口袋里任意摸一个球出来，如果球色相同小红赢，球色不同小明赢， 那么这个游戏规则公平吗？为什么？ 【答案】公平 【分析】不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小。两人从自己口袋里任意摸一个球出来，有可能出现以下情况：两人都摸出红球、两人都摸出红球、小红摸出红球且小明摸出黄球、小红摸出黄球且小明摸出红球，据此可知球色相同的有2种情况，球色不同的有2种情况，所以出现球色相同的可能性和出现球色不同的可能性相同，所以两人赢的可能性一样。据此解答。 【解答】根据分析可知，球色相同的有2种情况，球色不同的有2种情况，所以出现球色相同的可能性和出现球色不同的可能性相同，所以两人赢的可能性一样。所以这个游戏是公平的。 【点评】本题考查可能性大小的判断，理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关。 【易错专练5】吴亮和陈军用转盘做游戏，指针停在红色区域算吴亮赢，停在黄色区域算陈军赢。 （1）用（ ）号转盘，吴亮赢的可能性大。 （2）陈军想让自己赢的可能性大一些，选（ ）号和（ ）号转盘都可以。 （3）用（ ）号转盘，游戏才是公平的。 【答案】（1）③ （2） ① ④ （3）② 【分析】比较区域大小，区域面积大的，赢的可能性大，据此解答；（1）③号红色占的区域大，所以要想吴亮赢，那么用3号转盘； （2）①号和④号转盘黄色区域面积大，所以要想陈军赢，选①号和④号； （3）②号转盘红色和黄色区域占的面积相同，所以选择②号转盘，游戏才公平。 【解答】（1）用③号转盘，吴亮赢的可能性大。 （2）陈军想让自己赢的可能性大一些，选①号和④号转盘都可以。 （3）用②号转盘，游戏才是公平的。 专题七整数四则混合运算 易错点1：混合运算中常出现的错误是不按运算顺序进行计算。 【易错专练1】脱式计算。 375÷（75÷3）        （815－125）÷46        19×45÷57 【答案】15；15；15 【分析】同级运算，从左往右依次计算，既有乘除，又有加减的，先算乘除，再算加减，有括号的，先算括号里面的。 （1）375÷（75÷3），先算括号里的除法，再算括号外面的除法，依此计算即可。 （2）（815－125）÷46，先算括号里的减法，再算除法，依此计算即可。 （3）19×45÷57，先算乘法，再算除法，依此计算即可。 【解答】375÷（75÷3） ＝375÷25 ＝15 （815－125）÷46 ＝690÷46 ＝15 19×45÷57 ＝855÷57 ＝15 【易错专练2】计算下面各题。                      【答案】200；12 【分析】2400÷5−14×20要先同时计算两边的除法和乘法，再算减法； 144÷[720÷（207−147）]要先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的除法。据此计算。 【解答】2400÷5−14×20 ＝480－280 ＝200 144÷[720÷（207−147）] ＝144÷[720÷60] ＝144÷12 ＝12 【易错专练3】计算下面各题。 300÷15＋60×4      12×（390÷13－19）          13×［（270＋190）÷23］ 【答案】260；132；260 【分析】先算乘法和除法，再算加法。 含有小括号的混合运算，先算小括号里的除法，再算小括号里的减法，最后算小括号外的乘法。 含有小括号、中括号的混合运算，先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法。 【解答】300÷15＋60×4 ＝20＋240 ＝260 12×（390÷13－19） ＝12×（30－19） ＝12×11 ＝132 13×［（270＋190）÷23］ ＝13×［460÷23］ ＝13×20 ＝260 【易错专练4】脱式计算。 91－300÷60×5        24×[144÷（48－36）]       25×（24＋576÷32） 【答案】66；288；1050 【分析】算式91－300÷60×5先算除法，再算乘法，最后计算减法； 算式24×[144÷（48－36）]先算小括号内的减法，再算中括号内的除法，最后算中括号外的乘法； 算式25×（24＋576÷32）先算小括号内的除法，再算小括号内的加法，最后算小括号外的乘法。 【解答】91－300÷60×5 ＝91－5×5 ＝91－25 ＝66 24×[144÷（48－36）] ＝24×[144÷12] ＝24×12 ＝288 25×（24＋576÷32） ＝25×（24＋18） ＝25×42 ＝1050 【易错专练5】用递等式计算。 450＋300÷6×7         （28×15＋42）÷33         32×[168－（43＋65）] 【答案】800；14；1920 【分析】根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。 （1）先算除法，再算乘法，最后算加法。 （2）先算括号里的乘法，再算括号里的加法，最后算除法。 （3）先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算乘法。 【解答】450＋300÷6×7 ＝450＋50×7 ＝450＋350 ＝800                （28×15＋42）÷33    ＝（420＋42）  ÷33 ＝462÷33       ＝14     32×[168－（43＋65）] ＝32×[168－108] ＝32×60 ＝1920 【易错专练6】脱式计算。 170－18×14÷63          490×[240÷（72－12）] 25×12＋280÷8           714÷（61－81÷3） 【答案】166；1960 335；21 【分析】（1）先算乘法，再算除法，最后算减法； （2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法； （3）先同时计算两边的乘法和除法，再算加法； （4）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的减法，最后算小括号外面的除法。 【解答】170－18×14÷63 ＝170－252÷63 ＝170－4 ＝166 490×[240÷（72－12）] ＝490×[240÷60] ＝490×4 ＝1960 25×12＋280÷8 ＝300＋35 ＝335 714÷（61－81÷3） ＝714÷（61－27） ＝714÷34 ＝21 【易错专练7】计算下面各题。                                       【答案】69；20； 58；2300 【分析】（1）有除有加，先计算除法再计算加法； （2）有小括号先计算小括号里的除法，再计算小括号里的加法，最后计算小括号外面的除法； （3）先同时计算乘法和除法，再计算减法； （4）先计算小括号里的加法，再计算中括号里的减法，最后计算中括号外面的乘法；据此计算。 【解答】 ＝27＋42 ＝69 ＝180÷（3＋6） ＝180÷9 ＝20 ＝70－12 ＝58 ＝[175－75]×23 ＝100×23 ＝2300 【易错专练8】计算下面各题。 770÷（11＋24）    [125－（4＋21）]÷5 216－80÷16×25    750÷[（75－25）÷2] 【答案】22；20 91；30 【分析】（1）先算小括号里的加法，再算除法； （2）先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后计算除法； （3）先算除法，再算乘法，最后计算减法； （4）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后计算括号外面的除法。 【解答】（1） （2） （3） （4） 易错点2：括号使用不当，未能正确改变运算顺序。 【易错专练1】下面的算式中，去掉小括号后不改变运算的结果的是（    ）。 A．54÷（9÷3） B．（7＋3）×9 C．5×（2×4） D．28÷（7－3） 【答案】C 【分析】只有加减法的混合运算或只有乘除法的混合运算，从左往右计算；含有小括号的混合运算，先算小括号里面的，再算小括号外面的；既有加减法又有乘除法的混合运算，先算乘除法，再算加减法。结合运算顺序，算出原式的结果与去掉小括号运算后的结果，比较一下即可。 【解答】A．54÷（9÷3） ＝54÷3 ＝18 54÷9÷3 ＝6÷3 ＝2 18≠2 B.（7＋3）×9 ＝10×9 ＝90 7＋3×9 ＝7＋27 ＝34 90≠34 C. 5×（2×4） ＝5×8 ＝40 5×2×4 ＝10×4 ＝40 40＝40 D. 28÷（7－3） ＝28÷4 ＝7 28÷7－3 ＝4－3 ＝1 7≠1 所以去掉小括号后不改变运算的结果的是5×（2×4）。 故答案为：C 【易错专练2】下面哪道题的小括号去掉后不影响计算结果？（    ） A．（40＋60）÷20 B．300÷（5×6） C．200－（60×2） D．540÷（6＋3） 【答案】C 【分析】按照整数混合运算的运算顺序：先计算乘除，后计算加减，从左至右依次计算；有小括号的，按照先计算乘除、再计算加减的运算顺序先计算小括号内的，再计算小括号外的；逐一分析去掉括号前后的运算顺序，即可得出答案。 【解答】A．＝＝，去掉括号后，变为＝＝，运算顺序发生了变化，影响了计算结果； B．＝＝，去掉括号后，变为＝＝，运算顺序发生了变化，影响了计算结果； C．＝＝；去掉括号后，变为＝＝，运算顺序没有发生变化，不影响计算结果； D．＝＝，去掉括号后，变为＝＝；运算顺序发生了变化，影响了计算结果。 故答案为：C 【易错专练3】下面算式中的括号去掉后，计算结果不变的是（    ）。 A．240÷（6×4） B．80－（30－10） C．25×（4÷2） 【答案】C 【分析】混合运算的计算顺序是先算乘除法，再算加减法；有小括号时，应先算小括号里面的，再算小括号外面的；据此计算出去掉括号前后的结果，即可解答。 【解答】A．240÷（6×4） ＝240÷24 ＝10 240÷6×4 ＝40×4 ＝160 括号去掉后，计算结果变了； B．80－（30－10） ＝80－20 ＝60 80－30－10 ＝50－10 ＝40 括号去掉后，计算结果变了； C．25×（4÷2） ＝25×2 ＝50 25×4÷2 ＝100÷2 ＝50 括号去掉后，计算结果不变； 下面算式中的括号去掉后，计算结果不变的是25×（4÷2）。 故答案为：C 【易错专练4】下面各题，去掉小括号后不影响计算结果的是（    ）。 A．26＋（14×70）－30 B．800－432÷（6×9） C．6×58－（74＋89） D．25×（22＋576÷32） 【答案】A 【分析】根据整数四则混合运算规律，有小括号的先计算小括号里的内容，然后计算乘除法，最后计算加减法，据此分析每个选项，先出去掉小括号后不影响计算结果的即可。 【解答】A．26＋（14×70）－30先计算小括号里的乘法，再按顺序从左到右依次计算加法和减法，去掉小括号后是26＋14×70－30，则先计算乘法，再按顺序从左到右依次计算加法和减法，不影响计算结果，符合题意； B．800－432÷（6×9）先计算小括号里的乘法，再计算除法，最后计算减法，去掉小括号后是800－432÷6×9，则先计算除法，再计算乘法，最后计算减法，影响计算结果，不符合题意； C．6×58－（74＋89）先计算小括号里的加法，再计算乘法，最后计算减法，去掉小括号后是6×58－74＋89，则先计算乘法，再按顺序计算减法和加法，影响计算结果，不符合题意； D．25×（22＋576÷32）先计算小括号里的除法，再计算括号里的加法，最后计算乘法，去掉小括号后是25×22＋576÷32，则先同时计算乘法和除法，最后计算加法，影响计算结果，不符合题意。 即去掉小括号后不影响计算结果的是26＋（14×70）－30。 故答案为：A 【易错专练5】下面算式的小括号去掉后，不影响计算结果的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】（40＋60）÷20，先计算括号内的加法，再计算除法，如果去掉括号后需要先算除法，结果发生变化；300÷（5×6）先计算乘法，再计算除法，去掉括号后先计算除法再计算乘法，结果发生变化；200×（60×2）先计算括号内的乘法，再计算括号外的乘法，去掉括号后是连乘，结果不变；（420－42×7）÷63先计算括号内的乘法，再计算括号内的减法，最后计算除法，去掉括号后，先计算乘法再计算除法，最后计算减法。 【解答】A．（40＋60）÷20小括号去掉后，影响计算结果； B．300÷（5×6）小括号去掉后，影响计算结果； C．200×（60×2）小括号去掉后，不影响计算结果； D．（420－42×7）÷63小括号去掉后，影响计算结果； 下面算式的小括号去掉后，不影响计算结果的是200×（60×2）。 故答案为：C 【易错专练6】下列算式中，去掉括号后不改变运算顺序的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整数四则混合运算的运算顺序是：同级运算时，从左到右依次计算；不同级运算时，先乘除，后加减；有括号时，先算括号里面的，据此逐项分析解答。 【解答】根据分析可得： A．120÷（4＋6）×9，原计算顺序是先算括号里的加法，再从左往右依次计算，去掉括号变成了120÷4＋6×9，就应该先算除法和乘法，再算加法，运算顺序改变，不符合题意。 B．50＋（32×3）×12，原计算式因为有小括号所以先算小括号里的，再算括号外的乘法，最后算加法，去掉括号，变成50＋32×3×12，依然是先算32×3，再算×12，运算顺序不变，符合题意。 C．450÷（85－15×5），原计算应该是先算括号里的乘法，再算括号里的减法，最后算括号外的除法，去掉括号，变成了450÷85－15×5，就应该先算除法和乘法，最后再算减法，运算顺序改变，不符合题意。 D．（48－12）×（26＋17），原计算应该是先算两个括号里面的加法和减法，最后算括号外面的乘法，去掉括号变成了48－12×26＋17，就应该先算12×26，然后再从左往后计算减法和加法，改变了运算顺序，不符合题意。 故答案为：B 易错点3：根据分式列综合算式错误。 【易错专练1】在300÷20＋5×2中，添上一个括号，使结果最大，算式是（ ），使结果最小，算式是（ ）。 【答案】（300÷20＋5）×2 300÷（20＋5×2） 【分析】解析：要使结果最大，就要使乘数尽量大，因此要给添上括号；要使结果最小，就要使除数尽量大，因此要给添上括号。 【解答】在300÷20＋5×2中，添上一个括号，使结果最大，算式是，使结果最小，算式是。 【易错专练2】按要求填一填，然后在横线上列出求△的综合算式。 △＝（ ）        ☆＝（ ）    ○＝（ ） 【答案】252 213 6 [219－（713－500）]×42＝252 【分析】根据题意，先算除法，再算减法，最后算减法，且，则； ，则；，则。再根据整数四则混合运算的运算顺序：在没有括号的混合运算中，只有加减法或乘除法，从左往右依次计算，既有加减法又有乘除法时，先乘除后加减，有小括号时，先算小括号里面的，再算小括号外面的，有中括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的，据此列出综合算式即可。 【解答】由分析可得： ；； 在求△的过程中，先算减法，再算减法，最后算乘法。 列出综合算式：。 【易错专练3】把下列算式合并成一道综合算式是：30－18＝12，12×15＝180，180÷9＝20： 。 【答案】（30－18）×15÷9＝20 【分析】根据题意可知，先用30减去18，求出差，然后用求出的差乘15求出积，最后用求出的积除以9即可；所以需要先计算减法，则加上小括号，然后计算乘法，最后计算除法；据此列式即可。 【解答】把下列算式合并成一道综合算式是：30－18＝12，12×15＝180，180÷9＝20：（30－18）×15÷9＝20。 【易错专练4】把35＋55＝90、90×5＝450两个算式，合并成一道综合算式：（ ）。 【答案】（35＋55）×5＝450 【分析】把35＋55＝90替换掉算式90×5＝450中的90，要先算加法，再算乘法，要在加法算式上加小括号，列综合算式：（35＋55）×5＝450。 【解答】把35＋55＝90、90×5＝450两个算式，合并成一道综合算式：（35＋55）×5＝450。 【易错专练5】把205－198＝7，7×12＝84，420÷84＝5合并成一道综合算式是（ ）。 【答案】420÷[（205－198）×12]＝5 【分析】无括号时，先算乘除，后算加减；有括号时；先算小括号内的数，再算中括号内的，最后算括号外的数；205－198＝7，7×12＝84，420÷84＝5，说明先算减法，205－198加小括号，再算乘法，加中括号，最后算除法。据此解答即可。 【解答】把205－198＝7，7×12＝84，420÷84＝5合并成一道综合算式是420÷[（205－198）×12]＝5。 【易错专练6】根据232－220＝12，168÷12＝14，37×14＝518，列出综合算式是： 。 【答案】37×[168÷（232－220）]＝518 【分析】根据题意可知：第一步计算232减220的差，第二步计算168除以它们的差，第三位计算37乘前面的结果；即运算顺序为先算减法，再算除法，最后算乘法。根据四则混合运算顺序，可以用括号把需要先算的部分括起来，从而改变运算顺序；据此解答。 【解答】37×[168÷（232－220）] ＝37×[168÷12] ＝37×14 ＝518 所以，根据232－220＝12，168÷12＝14，37×14＝518，列出综合算式是：37×[168÷（232－220）]＝518。 易错点4：解决多步问题时，列式顺序与解题思路不符。 【易错专练1】实验小学四年级航模组有男生9人，女生5人，书法组的人数是航模组的2倍，合唱组有84人，合唱组的人数是书法组的几倍？（列综合算式解答） 【答案】3倍 【分析】根据题意，用男生人数加女生人数是航模组的总人数。因为书法组的人数是航模组的2倍，所以书法组的人数为航模组人数乘2，已知合唱组有84人，要求合唱组的人数是书法组的几倍，用合唱组的人数除以书法组的人数即可。 在计算时，先算加法，再算乘法，最后算除法。所以列综合算式在加法那里加小括号，乘法那里加中括号。据此解答即可。 【解答】84÷［（9＋5）×2］ ＝84÷［14×2］ ＝84÷28 ＝3 答：合唱组的人数是书法组的3倍。 【易错专练2】张欣妈妈去自动取款机上取钱准备买一个扫地一体机。第一次取出钱数比存款的一半多500元，第二次取出钱数比余下的一半还多180元，这时卡里还剩1570元。张欣妈妈原来存款多少元？ 【答案】8000元 【分析】用还剩的1570元加180元是第一次取钱后余下的一半，再乘2是余下的钱，再加500元是存款的一半，最后乘2是原来的存款。 【解答】[（1570＋180）×2＋500]×2 ＝[1750×2＋500]×2 ＝[3500＋500]×2 ＝8000（元） 答：张欣妈妈原来存款8000元。 【易错专练3】有5个容量相同的盒子，里面装满了果汁。如果从每个盒子里倒出160毫升，那么余下的果汁装在一起正好够一盒。原来每盒有果汁多少毫升？ 【答案】200毫升 【分析】先求出总共倒出的果汁量，倒出果汁后剩下的果汁装在一起正好够一盒，这意味着倒出的果汁量相当于原来5－1＝4盒果汁的量，再用倒出的果汁量除以4求出原来每盒果汁的量。 【解答】160×5÷（5－1） ＝800÷4 ＝200（毫升） 答：原来每盒有果汁200毫升。 【点评】解题关键是理解“从每个盒子倒出160毫升，余下的装一起正好够一盒”，这意味着倒出的总量等于原来4盒的量。先算出倒出总量，再用它除以4，就能得到原来每盒的果汁量。 【易错专练4】一本《环游世界》共147页，小红看了7天后还剩63页，这7天平均每天看多少页？如果只能借阅10天，从第8天起，平均每天要看多少页？ 【答案】12页；21页 【分析】用总页数减去剩余页数，再除以7，就是7天平均每天看多少页；再用剩余页数除以剩余借阅天数即可求得从第8天起，平均每天要看多少页，剩余的借阅天数等于总借阅天数减去已经看的天数。据此解答。 【解答】（147－63）÷7 ＝84÷7 ＝12（页） 63÷（10－7） ＝63÷3 ＝21（页） 答：这7天平均每天看12页，从第8天起，平均每天要看21页。 【易错专练5】黄山是世界自然和文化双遗产，以奇松、怪石、云海、温泉、冬雪“五绝”著称于世。聪聪一家自驾去黄山游玩，3小时行驶了210千米，照这样的速度。出发5小时以后，他们距目的地还有20千米，聪聪家到黄山一共多少千米？ 【答案】370千米 【分析】根据题意，用210÷3＝70（千米），求出每小时行驶的速度，用70×5，求出5小时行驶的路程，再用5小时行驶的路程加上20千米，即可求出聪聪家到黄山一共多少千米。 【解答】210÷3×5＋20 ＝70×5＋20 ＝350＋20 ＝370（千米） 答：聪聪家到黄山一共370千米。 【易错专练6】小红的妈妈用325元买了一套衣服和一条围巾。买4条这样的围巾需多少元？ 【答案】180元 【分析】用小红妈妈花的总钱数减一套衣服的价格，可以求出一条围巾的价格，然后乘4，计算4条围巾的钱数即可。 【解答】 ＝ ＝ ＝180（元） 答：买4条这样的围巾需180元。 专题八垂直与平行线 易错点1：直线、射线、线段概念混淆。 【易错专练1】射线可以向一端无限延伸，所以无法量出射线的长度。（ ） 【答案】√ 【分析】根据直线、射线和线段的含义：直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度；射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度；线段有两个端点，不能向两端延伸，可以量出长度；据此解答即可。 【解答】射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，因此无法测量其长度，因为长度是有限的，而射线是无限的，所以无法用具体的数值表示射线的长度；故原题说法正确。 故答案为：√ 【易错专练2】小卓量得一条直线长18厘米。（ ） 【答案】× 【分析】直线是一条笔直的线，没有端点，可以向两端无限延长，无法测量长度；射线是直线的一部分，只有一个端点，可以向一端无限延长，无法测量长度；线段是直线的一部分，有两个端点，长度是有限的，可以测量长度，不能向两端延长；据此判断。 【解答】直线无限长，小卓不可能量得出一条直线的长度，原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练3】图中只能数出3条线段、1条直线。（ ） 【答案】× 【分析】线段有两个端点，图中单独的线段有3条，由两条单独的线段组成的线段有2条，由三条单独的线段组成的线段有1条，一共有6条线段；直线没有端点，图中有1条直线。据此判断即可。 【解答】图中能数出6条线段，1条直线，原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练4】把一条线段向两端各延长1000米，得到的还是一条线段。（ ） 【答案】√ 【分析】线段是直的，有两个端点，可以度量长度，两个端点之间的距离，就是线段的长度。据此解答。 【解答】由分析可知，把一条线段向两端各延长1000米，尽管延长了1000米，但是它还是有两个端点，所以得到的还是一条线段。题目说法正确。 故答案为：√ 【易错专练5】经过下面3个点，共可以画出2条直线。（ ） 【答案】× 【分析】根据直线的性质可知，过两点可以画一条直线，且只能画一条直线。假设这3个点分别是A、B、C，过AB两点画1条直线，过AC两点画1条直线，过BC两点画1条直线，据此解答。 【解答】 如图所示，经过3个点，共可以画出3条直线。 故答案为：× 【点评】本题考查直线的性质，关键是明确两点确定一条直线。 易错点2：量角器摆放位置不对或者说使用量角器的方法错误。 【易错专练1】量出下面角的度数。 ∠1＝（ ）。 【答案】135° 【分析】用量角器进行测量，方法是：先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【解答】 ∠1＝135° 【易错专练2】小丽在用量角器量一个锐角的度数时，由于读错了量角器的内外圈，结果读成了135度，实际上这个角是（ ）度。 【答案】45 【分析】在量角器上同一刻度处，内外圈的度数和为180度，用180度－135度即可。 【解答】180－135＝45（度） 小丽在用量角器量一个锐角的度数时，由于读错了量角器的内外圈，结果读成了135度，实际上这个角是（45）度。 【易错专练3】度量一个角，角的一条边对着量角器上内圈“100”的刻度，如果另一条边对着内圈“70”的刻度，这个角是（ ）度；如果另一条边对着外圈“50”的刻度，那么这个角是（ ）度。 【答案】30 30 【分析】用量角器内圈与角的一边重合大的刻度减去量角器内圈与角的一边重合小的刻度，可得出角的度数；同一刻度线上，量角器内圈度数和量角器外圈度数和是180°，如果另一条边对着外圈“50”的刻度，则另一条边对着内圈“180－50”的刻度，用量角器内圈与角的一边重合大的刻度减去量角器内圈与角的一边重合小的刻度，可得出角的度数；据此可解此题。 【解答】100－70＝30（度） 180－50＝130（度） 130－100＝30（度） 综上可知，如果另一条边对着内圈“70”的刻度，这个角是30度；如果另一条边对着外圈“50”的刻度，那么这个角是30度。 【易错专练4】观察量角器上的刻度，填出每个角的度数。 （ ）°                          （ ）° 【答案】50 50 【分析】由图可知，第一幅图角的一条边指向量角器的0°刻度线，另一条边指向量角器的50°刻度线，所以第一个角的度数为50°。 第二幅图的一条边指向量角器的70°刻度线，另一条边指向量角器的120°刻度线，所以第二个角的度数为120°－70°＝50°。 【解答】如图： 【易错专练5】看一看，说一说。 上面用量角器量角方法正确的有（ ）。 【答案】B和D 【分析】用量角器量角的步骤是：把量角器的中心的角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【解答】A方法，量角器的中心的角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，但角的另一边没有对应的量角器上的刻度，量角方法不正确。 B方法，法量角器的中心的角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边对应的量角器上的刻度，量角方法正确。 C方法，量角器的中心与角的顶点不重合，量角方法不正确。 D方法，法量角器的中心的角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边对应的量角器上的刻度，量角方法正确。 所以用量角器量角方法正确的有B和D。 易错点3：角度计算忽略重叠部分。 【易错专练1】用一张长方形的纸折成如下图的样子，已知∠1＋∠2＋∠3＝210°，那么∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】30 150 【分析】观察发现∠1＋∠2＝平角，∠2＋∠3＝平角，平角为180°，那么180°＋180°＝∠1＋∠2＋∠2＋∠3，再减去∠1＋∠2＋∠3所表示的度数，可以计算出∠2的度数，再用180°减去∠2的度数，计算出∠1的度数；据此解答。 【解答】根据分析： ∠1＋∠2＋∠2＋∠3＝180°＋180°＝360° ∠2＝360°－210°＝150° ∠1＝180°－150°＝30° 所以∠1＝30°，∠2＝150°。 【易错专练2】如图，将一张长方形纸折起来一角，∠2＝140°，则∠1＝（ ）°。 【答案】20 【分析】根据图示，∠1是由虚线处的角折叠上去的，因此∠1等于虚线处的角，∠2、∠1和虚线处的角组成1个平角，平角等于180°，用180°－140°，求出∠1和虚线处角的和，再用∠1和虚线处角的和除以2，即可求出∠1的度数。 【解答】180°－140°＝40° 40°÷2＝20° 将一张长方形纸折起来一角，∠2＝140°，则∠1＝20°。 【易错专练3】如图，把一张长方形纸像这样折起来后，如果∠1＝30°，∠2＝25°，那么∠3＝（ ）°。 【答案】70 【分析】根据题意，首先明确图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形，可以判断∠1与∠2折叠前虚线处的角相等，那么可以∠1与∠2的度数各乘2，再加上∠3的度数和就是180°，求∠3的度数就是180°减去∠1与∠2的度数各乘2，列式计算即可。 【解答】根据分析计算如下： ∠3＝180°－30°×2－25°×2＝180°－60°－50°＝120°－50°＝70° 【易错专练4】如图，小明想用一张长方形纸折出一个正方形。图中∠1＝（ ）°。 【答案】135 【分析】 正方形四个角都是直角，如图所示，∠2＝∠3，∠2＋∠3＝90°，∠2＝∠3＝90°÷2＝45°，∠1＝∠2＋90°，据此解题。 【解答】90°÷2＋90° ＝45°＋90° ＝135° 如图，小明想用一张长方形纸折出一个正方形。图中∠1＝135°。 【易错专练5】小红将两张长方形纸上下摆放（如图），下面的一张纸固定不动，上面的一张纸绕点A方向顺时针旋转，她发现在旋转过程中，∠1和∠2的度数都在变化。想一想，完成下面表格。 ∠1 20° 80° ∠2 70° 50° 【答案】40°；10° 【分析】直角为90°，平角为180°，观察图可以发现，∠1、∠2和一个直角组成平角，用180°减去90°，即可求出∠1和∠2的总度数，即180°－90°＝90°，当∠2为50°时，∠1等于90°－50°＝40°，当∠1为80°时，∠2等于90°－80°＝10°，据此解答即可。 【解答】180°－90°＝90° 当∠2为50°时，∠1： 90°－50°＝40° 当∠1为80°时，∠2： 90°－80°＝10° 如表： ∠1 20° 40° 80° ∠2 70° 50° 10° 易错点4：钟表角度计算错误。 【易错专练1】下午6时，时针与分针所成的角是（ ），下午3时30分，时针与分针所成的角是（ ）。（填“锐角”“直角”“钝角”或“平角”） 【答案】平角 锐角 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。6时的时针指着6，分针指着12，形成的角是180°；3时30分的时针在钟面上3和4之间，分针指着6，形成的角小于90°；锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°小于180°，平角等于180°；据此解答。 【解答】下午6时，时针与分针所成的角是平角，下午3时30分，时针与分针所成的角是锐角。 【易错专练2】如图，现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是（ ）°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是（ ）°。 【答案】120 45 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，4时整，时针走了4大格，即4×30°＝120°；再过30分钟，即4时＋30分钟＝4时30分，4时30分，时针过了4，在4和5的中间位置，分针指在6上，时针和分针相距1个半格，半个为30°÷2＝15°，时针和分针所成的角是15°＋30°＝45°，据此解答即可。 【解答】4×30°＝120° 30°÷2＝15° 15°＋30°＝45° 现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是120°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是45°。 【易错专练3】钟面上，分针从数字12走到数字3，走过的角度是（ ）角，从数字3走到数字（ ）时，分针走过的角是平角。 【答案】直 9 【分析】根据对钟面的了解，一共有12大格，每大格的夹角是30°，分针从数字12走到数字3，则经过了3大格，用30°×3即可求出走过了多少度，根据锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°且小于180°，平角等于180°，周角等于360°，据此判断是什么角即可；要使分针走过的角是平角，30°×6＝180°，则经过了6格，用3＋6即可求出从数字3走到数字几时，分针走过的角是平角。 【解答】30°×3＝90° 3＋6＝9 钟面上，分针从数字12走到数字3，走过的角度是直角，从数字3走到数字9时，分针走过的角是平角。 【易错专练4】钟面上4时整，时针和分针组成较小的角是（ ）角，是（ ）°；钟面上（ ）时整，时针和分针组成的角是平角。 【答案】钝 120 6/18 【分析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12个大格，每1个大格也就是两数之间夹角是30°，钟面上4时整，时针指向4，分钟指向12，时针和分钟相隔4个大格，是30°×4＝120°，大于90°小于180°的角是钝角。 平角的度数是180°，要想在某个整时让时针和分针组成的角是平角，那么时针与分针之间有180°÷30°＝6（大格），整时时分针指向12，那么时针指向6，是6时整或者18时整；据此填空即可。 【解答】由分析可知，钟面上4时整，时针和分针组成较小的角是钝角，是120°；钟面上6时整，时针和分针组成的角是平角。 【易错专练5】小卓下午5时30分在踢球，这时钟面上分针和时针所成角是（ ）角，这个角是（ ）度。 【答案】锐 15 【分析】大于0°且小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°且小于180°的角是钝角，180°的角是平角，360°的角是周角； 钟面上有12个大格，每个大格是30°；5时30分，钟面上时针指向5和6之间，分针指向数字6，时针和分针之间有半个大格；据此解答。 【解答】根据分析可知， 30°÷2＝15° 0°＜15°＜90° 则小卓下午5时30分在踢球，这时钟面上分针和时针所成角是锐角，这个角是15度。 易错点5：画角后未标注度数。 【易错专练1】用三角板画一个75度和105度的角。 【答案】见详解 【分析】先画一条射线，把射线的端点与三角尺中30°角的顶点重合，射线与30°角的一边重合，再沿着三角尺画出30°角的另一边，再把30°角的一边与三角尺中45°角的一边重合，角的顶点与45°角的顶点重合，在30°角的外部沿着45°角的另一边画出这个角的另一边，即可得到一个75°的角。因为60°与45°的和是105°，借助三角尺，再按照上面同样的方法画出这个105°的角。 【解答】30°＋45°＝75° 60°＋45°＝105° 【易错专练2】数学课上，老师要求画出下面各角，小明只用一副三角尺就巧妙地完成了任务。你能画出来吗？试一试。 30°   75°   120° 【答案】见详解 【分析】一副三角尺分为直角三角尺和等腰直角三角尺。直角三角尺的角的度数分别是30°、60°、90°，等腰直角三角尺的度数是45°、90°、45°，把它们进行组合可得到：90°－60°＝30°， 45°＋30°＝75°，30°＋90°＝120°，据此画出各角即可。 【解答】 【易错专练3】画出下面的角。 30°        65°        135° 【答案】见详解 【分析】用量角器画角的步骤： 1、两重合：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2、点度数：在量角器所画角的度数对应的刻度线的地方点上一个点。 3、画射线：以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【解答】 【易错专练4】以下面射线的端点为顶点，射线为边，画一个60°的角。 【答案】见详解 【分析】使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。找准内圈还是外圈，在量角器60°刻度线的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出60°的角。 【解答】 【易错专练5】用量角器分别画出60°、125°、80°的角。 【答案】图见详解 【分析】画角的步骤是：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器60°，125°和80°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，依次画图即可。 【解答】如图： 易错点6：平行与垂直判断错误。 【易错专练1】下图中，与线段DE互相平行的是线段（ ），与线段DC互相垂直的有线段（ ）和线段（ ）。 【答案】AB AD BC 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；据此解答即可。 【解答】根据解析可知，与线段DE互相平行的是线段AB，与线段DC互相垂直的有线段AD和线段BC。 【易错专练2】下面各组直线中，互相垂直的是（ ），互相平行的是（ ）。（填序号） 【答案】③ ② 【分析】同一平面内，不相交的两条直线互相平行。两条直线相交成90度，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。据此解答。 【解答】根据分析，互相垂直的是③，互相平行的是②。 【易错专练3】如图的字母中，有线段互相平行的有（ ）个，有线段互相垂直的有（ ）个。 【答案】5 4 【分析】根据平行和垂直的性质：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；据此判断即可。 【解答】如图的字母中，有线段互相平行的有E、F、H、N、Z，共5个，有线段互相垂直的有E、F、H、L，共4个。 【易错专练4】图中，ABDC与CDFE都是长方形，那么，线段AB与线段BF相互（ ）直线与直线相互（ ）。 【答案】垂直 平行 【分析】根据长方形的特点，它的对边互相平行且相等，相邻的边互相垂直。在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；平行于同一条直线的两直线平行。两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。据此可以解答。 【解答】因为ABDC与CDFE都是长方形，所以线段AB与线段CD互相平行且相等。线段CD与线段EF互相平行且相等。那么线段AB与线段BF相互垂直，直线a与直线c相互平行。 【易错专练5】补充完整下表。 图形 平行线段的组数 2 垂直线段的组数 【答案】见详解 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线相互垂直。在同一平面内不相交的两条直线互相平行。 （1）由图可知，平行四边形的上下两条边、左右两条边互相平行，即有2组平行线段。没有边互相垂直，所以有0组垂直线段。 （2）由图可知，梯形的上下两条边互相平行，即只有1组平行线段。没有边互相垂直，所以有0组垂直线段。 （3）由图可知，正方形的上下两条边、左右两条边互相平行，即有2组平行线段。相邻的两条边互相垂直，所以有4组垂直线段。 【解答】 图形 平行线段的组数 2 1 2 垂直线段的组数 0 0 4 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年四年级上册数学 （八大专题35个易错点） 目录 专题一升和毫升 3 易错点1：对毫升和升的认识不准确，选择单位时错误 3 易错点2：混淆“升”和“毫升”的单位进率​ 5 易错点3：单位换算时漏写或错写单位​ 6 易错点4：实际生活问题中计算错误​ 7 专题二两、三位数除以两位数 8 易错点1：商没有写在对应位置。 8 易错点2：用整十数试商时,错误地将整十数参与了运算。 9 易错点3：末尾有0的除法处理不当。 10 易错点4：试商判断失误或调商错误。 11 易错点5：根据商不变的规律进行计算时,没有将余数末尾的0添上。 12 易错点6：“最多”与“至少”问题混淆​。 13 专题三观察物体 14 易错点1：观察物体时，没有从观察者的角度进行判断。 14 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 16 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 18 专题四统计表和条形统计图（一） 20 易错点1：忽略统计表中每格所代表的数量。 20 易错点2：计进行分段统计时,数据出现错误。 22 易错点3：绘制条形统计图时，“一格代表几个单位”设定不合理。 25 易错点4：根据统计图解决问题时提出数据错误，导致解决问题错误。 27 易错点5：求平均数时,没有找对总数和总份数。 29 专题五解决问题的策略 31 易错点1：列表整理信息时，数量关系对应错误。 31 易错点2：示意图中各数量之间的逻辑关系理解错误。 34 易错点3：没有明确题意及数量关系。 36 专题六可能性 38 易错点1：混淆“确定性事件”与“不确定性事件”的描述。 38 易错点2：误用生活经验代替逻辑推理判断可能性。 40 易错点3：不能根据条件变化准确判断可能性的变化。 41 易错点4：判断游戏是否公平，关键是看每个参与者获胜的机会是否相同，而不是单纯比较物品的数量。 42 专题七整数四则混合运算 44 易错点1：混合运算中常出现的错误是不按运算顺序进行计算。 44 易错点2：括号使用不当，未能正确改变运算顺序。 46 易错点3：根据分式列综合算式错误。 47 易错点4：解决多步问题时，列式顺序与解题思路不符。 48 专题八垂直与平行线 50 易错点1：直线、射线、线段概念混淆。 50 易错点2：量角器摆放位置不对或者说使用量角器的方法错误。 51 易错点3：角度计算忽略重叠部分。 52 易错点4：钟表角度计算错误。 53 易错点5：画角后未标注度数。 55 易错点6：平行与垂直判断错误。 55 专题一升和毫升 易错点1：对毫升和升的认识不准确，选择单位时错误 【易错专练1】在括号里填合适容量单位。 一瓶果汁500（ ）。 一个电热水器60（ ）。 【易错专练2】在括号里填合适的单位。 奇奇放学回到家，用100（ ）水洗了手，然后来到餐厅，拿起桌上容量为2（ ）的水壶，倒了一杯50（ ）的水，一口气喝了下去。 【易错专练3】在括号里填合适的容量单位。 健康成年人体内的血液总量大约4～5（ ），义务献血时，健康成年人每次的献血量一般是200～400（ ），小祥爸爸参加完义务献血后喝了一瓶250（ ）的牛奶。 【易错专练4】在括号里填上“升”或“毫升”。 （1）一瓶沐浴露大约750（ ）。 （2）一个成年人的总血量约为5（ ）。 （3）一桶大豆油约6（ ）。 （4）一个纸杯可盛水约150（ ）。 【易错专练5】在括号里填上合适的单位。 阳阳放学回家到水龙头下放了大约600（ ）水洗好手，拿起桌上容量是5（ ）的水壶，倒了一杯200（ ）的水，走到餐厅，发现家中新买了一台容量是600（ ）的大冰箱。 易错点2：混淆“升”和“毫升”的单位进率​ 【易错专练1】5000毫升＝（ ）升    8升＝（ ）毫升 【易错专练2】7000毫升＝（ ）升        2升－500毫升＝（ ）毫升 【易错专练3】如图中，量杯中的水是（ ）毫升，再倒入（ ）毫升水正好是1升。 【易错专练4】一瓶2升的酸奶，倒出一半后还剩（ ）毫升，剩下的全部倒进容量为350毫升的一次性杯子中，至少需要（ ）个一次性杯子。 【易错专练5】商场搞促销活动，同一种饮料，罐装250毫升，每罐8元，买三送一，瓶装1升，每瓶22元，买（ ）装更划算。 易错点3：单位换算时漏写或错写单位​ 【易错专练1】7000毫升＝（ ）            1升＝（ ） 【易错专练2】3升＝（ ）     50000毫升＝（ ） 【易错专练3】9000毫升＝（ ）            4升＝（ ） 【易错专练4】5升＝（ ）   2000毫升＝（ ）   7000毫升＝（ ） 【易错专练5】10升＝（ ）      9000毫升＝（ ）     2升40毫升＝（ ） 易错点4：实际生活问题中计算错误​ 【易错专练1】小明和他的4个好朋友一起去饮料店买果汁，每人买1杯果汁，每杯果汁200毫升，他们一共买了多少升果汁？ 【易错专练2】中秋节，小明和爸爸回老家看望奶奶，他们掂了一大提纯牛奶。已知一大提纯牛奶有两小箱，每小箱有12盒，每盒纯牛奶有250毫升。那么一大提纯牛奶一共有多少毫升？合多少升？ 【易错专练3】有10位小朋友给小丁丁过生日。如果每人喝300毫升饮料，那么一瓶2升装的橙汁饮料可以分给多少个小朋友喝？ 【易错专练4】小明把1升牛奶倒入2个相同的杯中，每个杯子都倒满。如果每个杯子的容量是280毫升，那么牛奶瓶中还剩多少毫升牛奶？ 【易错专练5】算一算。 （1）饮料瓶里还剩多少毫升的饮料？ （2）如果把这瓶饮料全部倒进1升的容器里，容器能装满吗？还差多少？ 专题二两、三位数除以两位数 易错点1：商没有写在对应位置。 【易错专练1】竖式计算（的要验算）。 405÷27＝        864÷72＝        4320÷240＝ 【易错专练2】列竖式计算，带★的要验算。 609÷21＝               684÷57＝              ★890÷35＝ 【易错专练3】用竖式计算，带☆的要验算。 354÷58＝         790÷28＝         ☆970÷30＝ 【易错专练4】用竖式计算。（带★的要验算） 432÷73＝    830÷40＝    ★790÷28＝ 【易错专练5】列竖式计算（带*的要验算）。 204÷52＝            *970÷30＝          774÷43＝ 易错点2：用整十数试商时,错误地将整十数参与了运算。 【易错专练1】先想一想各题的商的位置，再计算。                               【易错专练2】根据试商情况，说出各题应商几。 【易错专练3】先说说把除数分别看作几十来试商，再计算。 【易错专练4】先说一说把除数看作几十来试商，再算一算。                         【易错专练5】根据试商的情况，很快说出各题准确的商。                           易错点3：末尾有0的除法处理不当。 【易错专练1】用竖式计算。（带☆题要验算） ☆890÷36＝    ☆9000÷700＝ 【易错专练2】竖式计算并验算。 850÷28＝        9400÷180＝ 【易错专练3】用竖式计算，带*的要验算。 182÷60＝              *860÷70＝ 【易错专练4】用简便方法计算。          【易错专练5】竖式计算（用简便方法计算）。 540÷70            730÷80           480÷20 易错点4：试商判断失误或调商错误。 【易错专练1】309÷53的商是（ ）位数，将除数53看作（ ）试商，初商偏（ ）。 【易错专练2】□57÷34要使商是一位数，□里最大可填（ ），此时把除数看作（ ）试商，初商可能偏（ ）（填“大”或“小”）。 【易错专练3】如果☐75÷45的商是两位数，☐里最小填（ ）；3☐☐÷64商的最高位是（ ）位，把64看作60来试商，初商可能会偏（ ）。（填“大”或“小”） 【易错专练4】在算式□45÷54的商是一位数，□里最大填（ ），此时把除数看作（ ）来试商，初商可能偏（ ）。（填“大”或“小”） 【易错专练5】245÷35，商的最高位在（ ）位，计算时把“35”看作（ ）来试商，这时初商会（ ）（填“偏大”或“偏小”）。 易错点5：根据商不变的规律进行计算时,没有将余数末尾的0添上。 【易错专练1】根据，写出下面各式的商和余数。 （ ）……（ ）        （ ）……（ ） 【易错专练2】根据780÷50＝15……30，7800÷500＝（ ）……（ ）。根据A÷B＝20，那么（A÷5）÷（B÷5）＝（ ），（A×25）÷B＝（ ）。 【易错专练3】根据69÷4＝17……1，完成下面的填空。6900÷400＝（ ）……（ ）；我准备这样验算：（ ）×（ ）＋（ ）＝6900。 【易错专练4】选择正确的余数填在括号里。 （1）……（ ）（3，30） （2）……（ ）（5，50，500） （3）……（ ）（1，10，100） 易错点6：“最多”与“至少”问题混淆​。 【易错专练1】一瓶牛奶860毫升，要把这些牛奶倒入容量只有65毫升的玻璃杯中，至少需要准备多少个玻璃杯？ 【易错专练2】某体育用品厂生产了500副乒乓球拍，每40副装一箱，要装完这些球拍至少需要准备多少个箱子？ 【易错专练3】四年级的288名同学和8位老师去参观科技馆，每辆客车最多坐44人，至少要用多少辆客车？ 【易错专练4】阳光小学22位老师带362位学生参加研学活动，租用的客车每辆能坐36人（不包括司机），至少需要租多少辆车？ 【易错专练5】某渔场收获了348箱草鱼和239箱鲈鱼。用这辆车至少要运多少次才能运完这些鱼？ 专题三观察物体 易错点1：观察物体时，没有从观察者的角度进行判断。 【易错专练1】下面三个立体图形从（    ）看到的形状相同。 A．前面 B．上面 C．右面 【易错专练2】观察一个物体，从右面看到的图形是，这个物体可能是下面的（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练3】用5个同样的小正方体摆成右边的物体，从上面观察，看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练4】下列每组物体，从右面看到的形状相同的是（    ）。     A．①、②、③ B．①、③、④ C．①、②、④ 【易错专练5】下面的物体是由4个同样大的小正方体摆成的，从（    ）看这四个物体的形状相同。 A．前面 B．上面 C．右面 D．后面 【易错专练6】观察物体，从（ ）面看到的是。 【易错专练7】用同样大小的正方体搭出下面的立体图形。 （1）从前面看是的有（ ）。 （2）从右面看是的有（ ）。 （3）从上面看是的有（ ）。 【易错专练8】下面图是用6个小正方体摆出的形状，看图填一填。 （1）从（ ）面看到的形状是。 （2）从（ ）面看到的形状是。 （3）从（ ）面看到的形状是。 易错点2：观察由小正方体组成的图形时，对“看不见”的部分容易遗漏或重复计算。 【易错专练1】一个几何体，从上面看是，从左面看是，要搭成这样的几何体，最少需要（ ）个小正方体，最多可以有（ ）个小正方体。 【易错专练2】仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员从正面、上面观察到的形状都是，这堆正方体货箱最多有（ ）个，最少有（ ）个。 【易错专练3】用几个同样大的正方体摆成一种造型，从前面和右面看到的图形如下图所示，则摆成物体的正方体个数最多是（ ）个，最少是（ ）个。 【易错专练4】由若干个正方体摆成一个物体。从三个面看到的形状分别如图所示，这个物体是由（ ）个小正方体摆成。 【易错专练5】一个立体图形从上面看到的图形是，从右面看到的图形是，它至少是用（ ）个正方体搭成的，这时从它的上面和前面看到的图形（ ）（填“相同”或“不同”）。 【易错专练6】一个物体从前面看到的是，从右面看到的也是，这个物体至少是由（ ）个小正方体摆成的，最多是由（ ）个小正方体摆成的。 【易错专练7】观察一个物体，从前面看到，从上面看到从右面看到这个物体用（ ）个大小相同的小正方体摆成。 易错点3：根据平面图形还原立体图形时，对“层”与“列”的对应关系想象不清。 【易错专练1】按要求给添加一个同样大的正方体。 （1）如果从右面看到的是，那么正方体应添加在它的哪一面呢？ （2）如果从前面看到的是，那么正方体应添加在它的哪一面呢？ 【易错专练2】用几个同样大的正方体摆一个物体，从前面看到的图形是，从右面看到的图形是，从上面看到的图形是。摆一摆，数一数，摆这个物体用了几个正方体？ 【易错专练3】先想一想，再用4个同样大的正方体摆一摆。 （1）从前面看到的是，从右面看到的是。 （2）从上面看到的是。 你能想出不同的摆法吗？ 【易错专练4】用若干个完全相同的正方体摆一个物体，分别从前面、右面和上面看，看到的都是下面的图形，这个物体至少由多少个正方体摆成？请试着摆一摆。 【易错专练5】用3个同样大的正方体摆一个物体，并与同学交流。 （1）从前面看到的是，有几种不同的摆法？ （2）从上面看到的是，有几种不同的摆法？ 专题四统计表和条形统计图（一） 易错点1：忽略统计表中每格所代表的数量。 【易错专练1】四年级（1）班有39个学生，如图是全班学生血型情况统计图。 （1）图中每格代表（ ）人。 （2）四年级（1）班B型血的人比O型血多（ ）人。 【易错专练2】如图是某天中国部分城市的平均空气污染指数统计图。 （1）横轴上一格表示的污染指数为（ ）。 （2）在图上统计的几个城市中，（ ）污染最严重，（ ）空气质量最好。 【易错专练3】三辆车分别从不同的地点同时出发，给山区运输物资，3小时后同时到达同一目的地。三辆车行驶的路程见下图。 （1）第（ ）辆车出发时离目的地最远，是（ ）km。 （2）第二辆车平均每小时行驶（ ）km。 （3）第（ ）辆车速度最快。 【易错专练4】小华调查了实验小学四（2）班同学的睡眠时间，调查结果统计如下： 四（2）班同学睡眠时间情况统计图 （1）上面的统计图中，每1个小格表示（ ）人。 （2）上面的统计图中，睡眠时间在（ ）的人数最多，睡眠时间在（ ）的人数最少。 （3）专家建议：小学生的睡眠时间每天应不少于10小时，四（2）班有（ ）人的睡眠时间不足。 【易错专练5】根据下图，按要求填空。 （1）纵轴上一个长度单位表示的产量是（ ）万吨。 （2）（ ）年的产量最高，（ ）年的产量最低。 （3）2021年的产量比2022年少（ ）万吨，2020年的产量比2022年少（ ）万吨。 易错点2：计进行分段统计时,数据出现错误。 【易错专练1】下面是几个城市某天的空气污染指数情况统计表。 城市 北京 天津 太原 长春 郑州 石家庄 哈尔滨 空气污染指数 57 80 59 107 54 95 80 （1）当天空气污染指数最高的城市是（    ），最低的城市是（    ）。 （2）国家规定空气污染指数0~50空气质量为优，51~100空气质量为良，101~150空气质量为轻微污染，151~200空气质量为轻度污染，201~300空气质量为中度污染，300以上空气质量为重度污染。根据以上数据整理并填入下表。 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 重度污染 城市数量 【易错专练2】亮亮调查了甲、乙两组同学的1分钟跳绳成绩，数据如下。（单位：个） 甲组：123，109，113，107，108，118，127，105，115，126 乙组：123，114，132，124，126，116，89，97，135，145 （1）明明想比较两组的跳绳成绩，于是列出了下表，请你填一填。 成绩/个 100以下 100－110 111－120 121－130 131－140 140以上 甲组人数 乙组人数 （2）根据上表，请你比较两组同学的跳绳成绩有什么不同？写一写。 【易错专练3】下面是聪聪调查的班上一部分学生的身高记录。（单位：厘米） 134  143  138  136  146  150  149  148 135  128  138  137  148  149  143  146 136  128  135  145  147  147  128  152 （1）用画“正”字的方法完成下表。 身高（厘米） 120－129 130－139 140－149 150－159 画“正”字 人数 （2）身高在（    ）厘米的人数最多，身高在（    ）厘米的人数最少。 （3）从统计表中你还能得到什么信息？ 【易错专练4】李明整理了四年级①班45名同学的身高数据，制成了如下的统计表。 身高（厘米） 120~129 130~139 140~149 150及以上 人数 6 16 5 （1）根据提供的数学信息，把统计表补充完整。 （2）身高（    ）厘米段的人数最多。 （3）刘丽身高是149厘米，按由高到矮的顺序，大约排第（    ）。 （4）李明身高是130厘米，按由矮到高的顺序，大约排第（    ）。 【易错专练5】某班同学1分仰卧起坐成绩如下。（单位：个） 男同学1分仰卧起坐的成绩： 39  29  38  36  32  28  39  28  33  37 40  44  37  32  35  29  31  34  33  38 女同学1分仰卧起坐的成绩： 32  40  27  40  33  28  35  36  35  41 33  29  38  36  28  34  29  28  31  22 （1）把上面的数据分段整理并填入下表中。 成绩段/个 40以上 36～40 31～35 30及以下 男同学/人 女同学/人 （2）是男同学1分仰卧起坐的成绩好还是女同学1分仰卧起坐的成绩好？ 易错点3：绘制条形统计图时，“一格代表几个单位”设定不合理。 【易错专练1】三年级一班进行“我的梦想”情况调查，下面是情况调查表。 医生 科学家 军人 教师 9 10 12 7 根据统计表把下图补充完整。 【易错专练2】下面是演讲比赛中四位小选手前两轮的得分记录，请你绘制两个条形统计图。 1号 2号 3号 4号 第一轮 8 10 9 7 第二轮 8 9 9 9 【易错专练3】下面是四（1）班同学最喜欢的运动项目统计表。 运动项目 跳绳 踢毽子 跑步 打篮球 人数 12 8 10 6 根据统计表完成下面的统计图。（要求依数据绘制直条） 【易错专练4】下面是2023年杭州亚运会奖牌榜前四个国家的奖牌情况。 国家 金牌（枚） 银牌（枚） 铜牌（枚） 总数（枚） 中国 201 111 71 383 日本 52 67 69 188 韩国 42 59 89 190 印度 28 38 41 107 （1）选择一类奖牌，把这四个国家的奖牌情况在下图中表示出来。 （2）我选择表示的是（    ）奖牌的数量，每格代表（    ）枚。 易错点4：根据统计图解决问题时提出数据错误，导致解决问题错误。 【易错专练1】下面是四年级学生参加各类兴趣组情况（每人只参加一个兴趣组）统计图。 （1）四年级一共有（ ）人参加了这五类兴趣小组。 （2）剪纸组同学传承中华文化，本学期每人创作了15幅作品，这个组一共创作了（ ）幅作品。 （3）春节前夕，书法组同学每人创作了5幅春联，绘画组同学每人创作了3幅画，一起送给社区的老人们。他们一共创作了（ ）幅作品。 【易错专练2】新趋势图表信息下面是四年级五班学生身高情况统计图。 四年级五班学生身高情况统计图 （1）按从高到矮的顺序排列，小明的身高在班上排第10，他的身高在（ ）厘米之间。 （2）四年级五班共有（ ）人。学校篮球队选拔队员，要求身高在145厘米以上，这个班级有（ ）人可以报名。 【易错专练3】布克调查了学校图书室一个星期借阅书籍的情况，并制成了统计图。 （1）图上1格的长度表示（ ）本。 （2）借阅的故事类比文学类多（ ）本，比历史类多（ ）本。 （3）如果你是图书管理员，从借阅情况来看，你有什么建议？（    ）（填序号） A．多采购科普类 B．多采购历史类 C．多采购故事类 D．多采购文学类 【易错专练4】根据统计图，下列说法哪个符合实际情况。选择（ ）。 ①9月份大约用水43吨。 ②3月份用水100吨或者更多。 说明选择的理由： 。 易错点5：求平均数时,没有找对总数和总份数。 【易错专练1】在一次数学竞赛中，甲、乙、丙、丁四人的平均分为95分，甲、丙两人的平均分与乙的分数相等，乙比丁多考了12分，甲比丁多考了10分。甲、乙、丙、丁各考了多少分？ 【易错专练2】下表是外卖员小王一个星期送外卖单数的记录。 星期 一 二 三 四 五 六 日 单数 25 29 35 31 38 45 42 （1）这个星期，外卖员小王平均每天送多少单外卖？ （2）按照这个星期平均每天送的单数计算，小王10月份一共能送多少单外卖？ 【易错专练3】实验小学少年宫兴趣小组开展踢毽子比赛，第一组5个人6分钟共踢了750个毽子；第二组4个人6分钟共踢了552个毽子。哪一组平均每人每分钟踢得更多？ 【易错专练4】我当小老师。 四（1）班同学在参加“制作树叶标本”活动中，各小组制作的标本的数量如下： 第一小组 第二小组 第三小组 制作标本数/件 140 169 158 参加人数/人 15 15 15 （1）我能直接判断出第（ ）小组平均每人制作的标本的数量最多。 （2）我是这样想的：（ ）。 【易错专练5】下面是新悦小区4户人家的住房情况。 户名 小丽家 小青家 小白家 小文家 住房面积/平方米 88 95 126 155 人数 4 5 3 5 人均住房面积/平方米 （1）这4家各自人均住房面积是多少？算一算，填在上面的表格里。 （2）（    ）家的人均住房面积最大，（    ）家的人均住房面积最小。 （3）南京市的人均住房面积是24平方米，如果有一个三口之家，可能住多少平方米的住房？ 专题五解决问题的策略 易错点1：列表整理信息时，数量关系对应错误。 【易错专练1】张大伯种了15行梨树，18行桃树和8行苹果树。梨树每行17棵，桃树每行8棵，苹果树每行9棵。苹果树比桃树少多少棵？（先根据问题整理条件，再列式解答） 梨树 桃树 苹果树 【易错专练2】春江小学三年级有4个班，四年级有4个班，五年级有5个班。三年级每班有46人，四年级每班有48人，五年级每班有45人。 （1）三年级和五年级一共多少人？先根据问题选择并整理条件，再解答。 三年级 （    ）个班 每班（    ）人 五年级 （    ）个班 每班（    ）人 （2）根据条件，提一个两步或两步以上的问题：（    ）？ 【易错专练3】四年级三个班在实验田里种向日葵，一班种了34行，每行18棵；二班种了26行，每行24棵；三班种了30行，每行25棵。哪个班种的向日葵最多？最多的比最少的多多少棵？（先列表整理，再解答） 【易错专练4】 王阿姨用去多少元？李阿姨能买几双？（先利用下表整理条件和问题，再解答） 吴阿姨 4双 48元 王阿姨 （    ）元 李阿姨 （    ）双 【易错专练5】先列表整理，再解答。 少年宫的王老师买了3盒水彩笔，2块画板和15本绘画纸。 水彩笔 画板 绘画纸 （1）买水彩笔和绘画纸一共花了（    ）元。 （2）买画板比水彩笔贵多少元？ 【易错专练6】四年级同学积极参加学校运动会活动，有8组同学在跳绳，每组12人；有4组同学在拔河，每组20人；有5组同学在踢毽子，每组14人。 （1）列表整理题中的条件。 跳绳 有（    ）组 每组（    ）人 拔河 有（    ）组 每组（    ）人 踢毽子 有（    ）组 每组（    ）人 （2）拔河的同学比跳绳的同学少多少人？ 【易错专练7】赵经理买了15个保温杯共375元，18个玻璃杯共198元。整理信息填入下表，再解答。 保温杯 （    ）个 （    ）元 玻璃杯 （    ）个 （    ）元 （1）照这样计算，买23个保温杯要用多少元？ （2）一个保温杯比一个玻璃杯贵多少钱？ 易错点2：示意图中各数量之间的逻辑关系理解错误。 【易错专练1】看图列式计算。 【易错专练2】看图列式计算。 【易错专练3】看图列式计算。 【易错专练4】看图列式计算。 【易错专练5】仔细看一看，列式解决问题。 【易错专练6】看图列式计算。 学校图书室买来一批新书，其中： 易错点3：没有明确题意及数量关系。 【易错专练1】一盒药共有120粒，病人每次吃2粒，一天吃2次，这盒药可以吃多少天？ 【易错专练2】一列火车全长约200米，每秒行驶32米。这列火车通过一条长728米的隧道，需要多少秒？ 【易错专练3】一张大桌子，需要4个小朋友一起抬。6个小朋友要把桌子从教室180米远的地方抬到操场，平均每个小朋友要抬多少米？ 【易错专练4】用一个杯子装满水，向装有水的瓶里倒水。倒进3杯水，瓶里共有水450毫升；如果倒进8杯水，瓶里共有水850毫升。1杯水有多少毫升？瓶里原有多少毫升水？ 【易错专练5】贵州糯米饭是一道颇具特色的民间小吃，软糯可口，深受大家喜爱。某餐馆早上卖出106份糯米饭，中午卖出的份数比早上的一半多14份，中午卖出多少份糯米饭？ 【易错专练6】春节将近，四（1）班老师计划将糖果包装起来送给学生，如果每个盒子里装4个，那么刚好装满48个盒子。如果每个盒子里装6个，那么刚好可以装满多少个盒子？ 【易错专练7】随着信息技术的飞速发展，5G网络已经来到了我们身边。李叔叔用4G网络每秒大约下载3MB（MB是计算机中的一种储存单位），用它下载某部电影大约需要14分钟，换成5G网络后，下载这部电影大约只要20秒。李叔叔用5G网络每秒大约下载多少MB？ 【易错专练8】某水泥厂原计划20天完成一批任务，每天应生产45吨水泥，改进技术后，每天比原计划多生产15吨，这样需要几天完成？ 【易错专练9】椰汁加工厂，每天从8：00开始往储罐中注入椰汁，储罐中椰汁的液面高度记录如右表。照这样计算，到20：00时储罐中的椰汁液面高度是多少厘米？要使储罐中的液面高度达到180厘米共需要几小时？ 时间 10：00 14：00 16：00 高度/厘米 12 24 36 48 【易错专练10】第一届冬奥会于1924年在法国的夏蒙尼市举办，只有16个比赛项目。经过近百年的发展，冬奥会的规模持续扩大，北京冬奥会的比赛项目比第一届冬奥会的6倍多13个。北京冬奥会的比赛项目比第一届冬奥会多多少个？ 【易错专练11】寒冬来临，大兴安岭居民需要将食物储藏过冬。一袋土豆放在地窖，需要2位男青年一起抬。4位男青年轮流把一袋土豆从离家600米的地方抬回家，平均每位男青年要抬多少米？ 专题六可能性 易错点1：混淆“确定性事件”与“不确定性事件”的描述。 【易错专练1】下面是李叔叔收到的一条气象台发布的信息，根据信息可以判断（    ）。 气象台发布消息，受强降雨云团影响，预计未来3小时内，我市主城区将有小到中雨，降水量毫升，请注意防范。 A．未来3小时内一定降水 B．未来3小时内不可能降水 C．未来3小时内可能降水 【易错专练2】一枚质地均匀的硬币，随机抛了9次，共有2次正面朝上，7次反面朝上。如果再抛一次，下面说法正确的是（    ）。 A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．正、反面朝上都有可能 【易错专练3】为了解学生的体质健康情况，学校进行了体质测试。乐乐是这所学校的学生，他的身高（    ）是160厘米。根据以下信息，选一选。 明明：同学的平均身高是147厘米。 林林：我的身高是97厘米，是同学中最矮的。 悦悦：我的体重是72千克，是同学中体重最重的。 A．可能 B．不可能 C．一定 【易错专练4】袋中放了黑、白两色的球（如图），小林从袋中每次任意摸出一个球，摸后放回。一共摸了10次，前9次摸出的都是黑球，第10次他摸出的球（    ）。 A．一定是黑球 B．一定是白球 C．可能是黑球，也可能是白球 D．可能是黄球 【易错专练5】学校下周五要举行运动会，明明查看了天气预报，下周五预报为晴天。关于下周五的天气，下列说法更合理的是（    ）。 A．一定是晴天 B．可能是晴天 C．不可能是雨天 易错点2：误用生活经验代替逻辑推理判断可能性。 【易错专练1】下表是小军摸球游戏的记录，她一共摸了20次，每次摸后放回。盒子里可能（ ）球少，下次摸到（ ）球的可能性大。 红球 正正正 15次 白球 正 5次 【易错专练2】妈妈煮了一锅饺子，其中鸡蛋韭菜馅的有20个，萝卜大肉馅的有12个，香菇大肉馅的有10个，乐乐任意盛一个，是（ ）馅的可能性最大。 【易错专练3】把数字卡片2、7、8、3、5打乱次序，反扣在桌上，从中任意摸出一张，摸出的结果有（ ）种可能；摸出（ ）（填“单数”或“双数”）的可能性大。 【易错专练4】某小学举行诗词接龙大会，老师准备了除诗句不同外，其他完全相同的卡片。其中杜甫的诗有5首，李白的诗有3首，孟浩然的诗有2首，从中任意抽出一张卡片，抽到的诗的作者有（ ）种可能，其中抽到（ ）的诗可能性最大。 【易错专练5】在一个正方体的6个面上分别写上这6个数字，甲、乙两人各抛了10次，落下后朝上面数字大于4算甲赢，否则算乙赢。在这个游戏中，（ ）赢的可能性大。 易错点3：不能根据条件变化准确判断可能性的变化。 【易错专练1】盒子里放了3个黄球、4个蓝球和5个绿球，至少要摸（ ）个球才能保证一定有一个是黄球。 【易错专练2】在一个口袋里装有形状、大小相同的9个黄球和7个白球，从袋里任意摸出1个球，摸到（ ）球的可能性大；至少要摸出（ ）个球，才能保证其中一定有白球。 【易错专练3】盒子里放着7个除颜色外其它完全一样的小球，其中3个是红球，4个是白球，摸出（ ）球的可能性大。如果要使摸出红球的可能性大，至少要拿走（ ）个白球。 【易错专练4】如图，口袋里装有4个白球和6个黑球，从中任意摸一球，摸到（ ）球的可能性大。如果要使摸到白球和黑球的可能性相等，至少要再放入（ ）。 【易错专练5】一个袋子里有9个白球，5个黄球，摸到（ ）球的可能性大。至少摸出（ ）个球，才能保证摸出的球中一定有白球。如果要使摸到白球和黄球的可能性相同，可以增加（ ）个黄球。 易错点4：判断游戏是否公平，关键是看每个参与者获胜的机会是否相同，而不是单纯比较物品的数量。 【易错专练1】7个小朋友站成一排玩抢凳子的游戏，同时开始，谁先抢到谁获胜，你觉得这种游戏方式公平吗？说说你的理由。如果你觉得不公平，请设计一种公平的抢凳子游戏方式。 【易错专练2】下图是一个转盘，若转到红色区域，则小明胜；若转到黑色区域，则小东胜。如果你认为这个游戏是公平的，请说明理由；如果你认为这个游戏不公平，请改动转盘的颜色分布，使游戏变得公平。 【易错专练3】四年级（3）班举行趣味运动会，接力赛跑有A、B两组同学，每组选三名队员，A组三名队员分别跑100米、200米、300米，B组三名队员分别跑300米、200米、100米。这样比赛公平吗？为什么？ 【易错专练4】小红和小明进行摸球游戏，小红的口袋里面有一红一黄两个球，小明的口袋里面也有一红一黄两个球。两人从自己口袋里任意摸一个球出来，如果球色相同小红赢，球色不同小明赢， 那么这个游戏规则公平吗？为什么？ 【易错专练5】吴亮和陈军用转盘做游戏，指针停在红色区域算吴亮赢，停在黄色区域算陈军赢。 （1）用（ ）号转盘，吴亮赢的可能性大。 （2）陈军想让自己赢的可能性大一些，选（ ）号和（ ）号转盘都可以。 （3）用（ ）号转盘，游戏才是公平的。 专题七整数四则混合运算 易错点1：混合运算中常出现的错误是不按运算顺序进行计算。 【易错专练1】脱式计算。 375÷（75÷3）        （815－125）÷46        19×45÷57 【易错专练2】计算下面各题。                      【易错专练3】计算下面各题。 300÷15＋60×4      12×（390÷13－19）          13×［（270＋190）÷23］ 【易错专练4】脱式计算。 91－300÷60×5        24×[144÷（48－36）]       25×（24＋576÷32） 【易错专练5】用递等式计算。 450＋300÷6×7         （28×15＋42）÷33         32×[168－（43＋65）] 【易错专练6】脱式计算。 170－18×14÷63          490×[240÷（72－12）] 25×12＋280÷8           714÷（61－81÷3） 【易错专练7】计算下面各题。                                       【易错专练8】计算下面各题。 770÷（11＋24）    [125－（4＋21）]÷5 216－80÷16×25    750÷[（75－25）÷2] 易错点2：括号使用不当，未能正确改变运算顺序。 【易错专练1】下面的算式中，去掉小括号后不改变运算的结果的是（    ）。 A．54÷（9÷3） B．（7＋3）×9 C．5×（2×4） D．28÷（7－3） 【易错专练2】下面哪道题的小括号去掉后不影响计算结果？（    ） A．（40＋60）÷20 B．300÷（5×6） C．200－（60×2） D．540÷（6＋3） 【易错专练3】下面算式中的括号去掉后，计算结果不变的是（    ）。 A．240÷（6×4） B．80－（30－10） C．25×（4÷2） 【易错专练4】下面各题，去掉小括号后不影响计算结果的是（    ）。 A．26＋（14×70）－30 B．800－432÷（6×9） C．6×58－（74＋89） D．25×（22＋576÷32） 【易错专练5】下面算式的小括号去掉后，不影响计算结果的是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练6】下列算式中，去掉括号后不改变运算顺序的是（    ）。 A． B． C． D． 易错点3：根据分式列综合算式错误。 【易错专练1】在300÷20＋5×2中，添上一个括号，使结果最大，算式是（ ），使结果最小，算式是（ ）。 【易错专练2】按要求填一填，然后在横线上列出求△的综合算式。 △＝（ ）        ☆＝（ ）    ○＝（ ） 【易错专练3】把下列算式合并成一道综合算式是：30－18＝12，12×15＝180，180÷9＝20： 。 【易错专练4】把35＋55＝90、90×5＝450两个算式，合并成一道综合算式：（ ）。 【易错专练5】把205－198＝7，7×12＝84，420÷84＝5合并成一道综合算式是（ ）。 【易错专练6】根据232－220＝12，168÷12＝14，37×14＝518，列出综合算式是： 。 易错点4：解决多步问题时，列式顺序与解题思路不符。 【易错专练1】实验小学四年级航模组有男生9人，女生5人，书法组的人数是航模组的2倍，合唱组有84人，合唱组的人数是书法组的几倍？（列综合算式解答） 【易错专练2】张欣妈妈去自动取款机上取钱准备买一个扫地一体机。第一次取出钱数比存款的一半多500元，第二次取出钱数比余下的一半还多180元，这时卡里还剩1570元。张欣妈妈原来存款多少元？ 【易错专练3】有5个容量相同的盒子，里面装满了果汁。如果从每个盒子里倒出160毫升，那么余下的果汁装在一起正好够一盒。原来每盒有果汁多少毫升？ 【易错专练4】一本《环游世界》共147页，小红看了7天后还剩63页，这7天平均每天看多少页？如果只能借阅10天，从第8天起，平均每天要看多少页？ 【易错专练5】黄山是世界自然和文化双遗产，以奇松、怪石、云海、温泉、冬雪“五绝”著称于世。聪聪一家自驾去黄山游玩，3小时行驶了210千米，照这样的速度。出发5小时以后，他们距目的地还有20千米，聪聪家到黄山一共多少千米？ 【易错专练6】小红的妈妈用325元买了一套衣服和一条围巾。买4条这样的围巾需多少元？ 专题八垂直与平行线 易错点1：直线、射线、线段概念混淆。 【易错专练1】射线可以向一端无限延伸，所以无法量出射线的长度。（ ） 【易错专练2】小卓量得一条直线长18厘米。（ ） 【易错专练3】图中只能数出3条线段、1条直线。（ ） 【易错专练4】把一条线段向两端各延长1000米，得到的还是一条线段。（ ） 【易错专练5】经过下面3个点，共可以画出2条直线。（ ） 易错点2：量角器摆放位置不对或者说使用量角器的方法错误。 【易错专练1】量出下面角的度数。 ∠1＝（ ）。 【易错专练2】小丽在用量角器量一个锐角的度数时，由于读错了量角器的内外圈，结果读成了135度，实际上这个角是（ ）度。 【易错专练3】度量一个角，角的一条边对着量角器上内圈“100”的刻度，如果另一条边对着内圈“70”的刻度，这个角是（ ）度；如果另一条边对着外圈“50”的刻度，那么这个角是（ ）度。 【易错专练4】观察量角器上的刻度，填出每个角的度数。 （ ）°                          （ ）° 【易错专练5】看一看，说一说。 上面用量角器量角方法正确的有（ ）。 易错点3：角度计算忽略重叠部分。 【易错专练1】用一张长方形的纸折成如下图的样子，已知∠1＋∠2＋∠3＝210°，那么∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【易错专练2】如图，将一张长方形纸折起来一角，∠2＝140°，则∠1＝（ ）°。 【易错专练3】如图，把一张长方形纸像这样折起来后，如果∠1＝30°，∠2＝25°，那么∠3＝（ ）°。 【易错专练4】如图，小明想用一张长方形纸折出一个正方形。图中∠1＝（ ）°。 【易错专练5】小红将两张长方形纸上下摆放（如图），下面的一张纸固定不动，上面的一张纸绕点A方向顺时针旋转，她发现在旋转过程中，∠1和∠2的度数都在变化。想一想，完成下面表格。 ∠1 20° 80° ∠2 70° 50° 易错点4：钟表角度计算错误。 【易错专练1】下午6时，时针与分针所成的角是（ ），下午3时30分，时针与分针所成的角是（ ）。（填“锐角”“直角”“钝角”或“平角”） 【易错专练2】如图，现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是（ ）°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是（ ）°。 【易错专练3】钟面上，分针从数字12走到数字3，走过的角度是（ ）角，从数字3走到数字（ ）时，分针走过的角是平角。 【易错专练4】钟面上4时整，时针和分针组成较小的角是（ ）角，是（ ）°；钟面上（ ）时整，时针和分针组成的角是平角。 【易错专练5】小卓下午5时30分在踢球，这时钟面上分针和时针所成角是（ ）角，这个角是（ ）度。 易错点5：画角后未标注度数。 【易错专练1】用三角板画一个75度和105度的角。 【易错专练2】数学课上，老师要求画出下面各角，小明只用一副三角尺就巧妙地完成了任务。你能画出来吗？试一试。 30°   75°   120° 【易错专练3】画出下面的角。 30°        65°        135° 【易错专练4】以下面射线的端点为顶点，射线为边，画一个60°的角。 【易错专练5】用量角器分别画出60°、125°、80°的角。 易错点6：平行与垂直判断错误。 【易错专练1】下图中，与线段DE互相平行的是线段（ ），与线段DC互相垂直的有线段（ ）和线段（ ）。 【易错专练2】下面各组直线中，互相垂直的是（ ），互相平行的是（ ）。（填序号） 【易错专练3】如图的字母中，有线段互相平行的有（ ）个，有线段互相垂直的有（ ）个。 【易错专练4】图中，ABDC与CDFE都是长方形，那么，线段AB与线段BF相互（ ）直线与直线相互（ ）。 【易错专练5】补充完整下表。 图形 平行线段的组数 2 垂直线段的组数 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $