专题07 整式的乘法相关压轴题（8种类型64道）（期末复习压轴题专项训练，重庆专用）八年级数学上学期新教材人教版

命学科网·上好课 专题07 全册几何相关综合 性问题分类训练 目目 类型01 1.己知(x2+mx+n)(x-1)的展开式中 (1)求m,n的值： (2)先化简，再求值：（2m-n)(m-2n) 2.若x2+px+ x2-3x+g的展 28 (1)求p、9的值； www.zxxk.com 上好每一堂课 整式的乘法相关压轴题 8种类型64道) 类型“不含”问题 类型2错解还原 类型3整式的乘法相关规律性问题 类型4 整式的乘法相关定义新运算 类型5完全平方公式变形应用 类型6幂运算相关公式逆用 类型7多项式乘多顶式与图形面积 类型8乘法公式与图形面积 “不含”问题 不含x项和x2项， 4mn2-6m2n+2m3）÷-2m）. 干式中不含x2和x的项。 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 2)求代数式(-2p2g°+6pg3+p2024g2025的值. 3.若+m- 2-3x+n)的积中不含x与x3项. (1)求m、n的值； (2)求代数式(-2m'n2+m20”n2018的值. 4.若2+3mx-3 2-x+川的现中不含和e攻 (1)求m2-mn+二n2的值； (2)求代数式(-18m2n+(9mn)2+(3m)224n2026的值。 5.若关于x的代数式(3x+a)(x-2)计算后不含x的一次项. (1)当a=1时，化简原代数式： (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值。 6.己知(x2+mx+n(x-1)的展开式中不含x项和x2项. (1)求m,n的值； (2)先化简，再求值：（2m-n(m-2n+4mn2-6m2n+2m)÷(-2m) 7.己知计算(x2-2x3+mx)的结果中不含x项. (1)求m的值 (2)在（1)的条件下，求(m+1)m2-m+1的值 8.下面两道小题小明不会做，请你帮他写出解答过程. (1)如果9m+3×27m+1÷32m-1=81,求m的值； (2)已知(x2-2(x3+mx的结果中不含x项，求m的值 目目 类型02 错解还原 9.在计算(2x+a)(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x- 结果是2x2+14x+20. (1)求a、b的值： (2)求(2x+a(x+b)的正确结果， 2/14 上好每一堂课 24,乙错把Q看成了-a,得到的 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.在计算ax+1)(3x-b)时，小方同学看错了b的值，计算结果为6x2-x-2;小悦同学看错了a的值，计 算结果为3x2-2x-5. (1)求a,b的值. (2)计算(ax+1)(3x-b)的正确结果， 11.在计算(ax-1(2x+b)时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+2x-4;小张同学看错了a的值， 计算结果为4x2-12x-5. (1)求a,b的值； (2)计算(ax-1(2x+b)的正确结果 12.某同学在计算一个多项式A乘-3x2时，因抄错运算符号，算成了加上-3x2,得到的结果是x2-4x+1. (1)这个多项式A是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 13.淘气和笑笑两人分别计算一道整式乘法的题，淘气计算的题：(2x+m)(5x-4),笑笑计算的题： (4x+1)(4x-n,由于淘气将第一个多项式中m前面的符号抄成了”-”，得到的结果为10x2-33x+20;由于 笑笑将第二个多项式中n前面的符号抄成了“+”，得到的结果为16x2+8x+1. (1)求m,n的值. (2)请求出这两道题的正确结果. 14.小明与小刚共同解一道题：(2x+a)(3x+b),由于粗心，小明抄错了第一个多项式中a前面的符号， 得到的结果是6x2+11x-10;小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是2x2-9x+10. (1)求a,b的值； (2)算出正确的结果，并用你喜欢的一个数作为x的值代入求值. 15.小明和小刚共同解一道题(2x+a)(3x+b),由于粗心，小明抄错了第一个多项式中a前面的符号，得到 的结果为6x2+11x-10;小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是2x2-9x+10. (1)求a,b的值： (2)计算出正确的结果， 16.甲、乙二人共同计算(2x+α)(3x+b)时，均出现了失误：甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，即 把“+"抄成“-”，得到的结果为6x2+11x-10;乙由于抄漏了第二个多项式中x的系数，即把“3x”抄成“x”, 3/14 西学科网·上好课 上好每一堂课 得到的结果为2x2-9x+10. (1)求出a,b的值. (2)在(1)的条件下，试求(2x+a)(3x+b)的正确结果 目目 类型03 整式的乘法相关规律性问题 17.观察下列各式：(x-1(x+1=x2-1;（x-1)(x2+x+1=x3-1;（x-1)(x3+x2+x+1=x4-1; 根据前面各式的规律可得到(x-1)(x”+x”-1+x”-2+…+x+1= 18.观察下列各式及其展开式： (a+b)2=a2+2ab+b2; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)3=a3+5ab+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 请你猜想(2x-1)'的展开式中含x8项的系数是 19.宋代数学家贾宪发明了“贾宪三角”，“贾宪三角”可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项 式乘方展开式的系数规律： (a+b)0=1 1 展开式系数和为1 (a+b)'=a+b 11 展开式系数和为1+1 (a+b)2=a2+2ab+b2 121 展开式系数和为1+2+1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 133 1 展开式系数和为1+3+3+1 (a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b146 4 1展开式系数和为1+4+6+4+1 … … … 根据上述规律，(a+b)°展开式的系数和是 20.己知(x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)x2+x+1=x3-1,(x-1)x3+x2+x+1=x4-1,根据前面各式的规律， 可得：(2-1)25+24+2+22+2+1= 21.如图所示的“杨辉三角“告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数1,2,1)，恰好对 应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的系 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数，根据数表中前四行的数字所反映的规律计算： （G-5x6+10G-10x目+5x1= (a+b)' (a+b)2 (a+b)3 22.计算：①(a-1(a+1=a2-1; ②(a-1)(a2+a+1=a3-1; ③(a-1(a3+a2+a+1=a4-1; ④(a-1)(a4+a3+a2+a+1=a5-l; 那么(a-l0(a+a+a'+a+a+a+a3+a2+a+l= 23.根据(x-1(x+1=x2-1,（x-1)(x2+x+1)=x3-1,(x-1)x3+x2+x+1=x4-1, (x-1)(x4+x3+x2+x+1=x3-1,….所包含的规律，回答下列问题. (1)(2-1)×2+24+2+22+2+1的值为 (2)22025+22024+22023+…+23+22+2+1的个位数字是一 24.小明同学在计算(ax+b,)(a2x+b,)时发现一次项(ab+a,b,)x可以利用交叉相乘再相加的规律算得.例 如计算(2x+1)(x+2)时一次项为2x·2+x1=5x.仿照小明的方法，计算 (x+1)(x+2)(x+3)…(x+n-1)(x+n)展开式中x项的系数为·（用含n的代数式表示） 目目 类型04 整式的乘法相关定义新运算 25.定义一种新运算：a*b=(a+b)(a-b).例如：3*2=(3+2)(3-2)=5，则(x+1*(x-1的结果是 26.定义新运算：a⑧b=2ab-b2,则3n⑧n的运算结果是 27.定义一种新运算：若(a,x)=b,则a=x.例如，若(2,8)=3，则23=8.已知(a,m)=3,(a,m)=5,则 (（a,mn）= 28.规定一种新运算，a▲b=(a+b)(a-b),则a▲b+(a-b)▲a= 5/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 29.(新定义)定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差，且m-n>1,则称这个正整数 为“智慧优数”.例如：16=52-32,16就是一个智慧优数，可以利用m2-n2=(m+n)(m-n)进行研究.若 将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是 30.定义一种新的运算a⑧b=ab-b2,如5⑧4=5×4-42=4.则(2x+y)⑧(x-2y)= 31.若x,y为任意实数，定义运算：x*y=(x+1)(y+1-1,得到下列五个结论： ①x*y=y*x;②x*y+z=x*y+x*z;③(x+1)*(x-1=(x*x)-1;④x*0=0;⑤ (x+1)*(x+1)=x*x+2*x+1,其中正确的结论序号是 32.我们知道，同底数幂的乘法法则为am·a”=am+m(其中a≠0，m,n为正整数)，类似地，我们规定关于 任意正整数m,n的一种新运算：hm+n=h(m)·h(n),请根据这种新运算填空： 若0，则h2 (2)若h(1=k(k≠0)，那么h(n)h(2023)=·(用含n和k的代数式表示，其中n为正整数). 目目 类型05 完全平方公式变形应用 33.已知x+y=7,xy=9,求下列各式的值. (1)x2-2xy+y2: 2x2+y22. 34.已知x+y=6,y=4,求下列各式的值： (1)x2+y2; (2(x-y)2. 35.已知x+y=4,xy=3,求 (1)x2+y2的值： (2)x-y的值. 36.已知：(x+y)2=9,y=-2,求下列代数式的值： (1)x2+y2; (2)x-y. 37.己知a+b=6,ab=7,求下列式子的值： 6/14 品学科网·上好课 www.zxx k co m (1)a2+b2; (2)(a-b)2. 38.若a+b=7,ab=12,求下列各式的值： (1)a2+b2; (2)a-b. 39.已知a+b=4,ab=3. (1)求a2+b2的值. (2)若a<b,求a-b的值 40.已知m+n=5,mn=-3, (1)求(m-2)(n-2)的值 (2)求(m-n)2 目目 类型06 幂运算相关公式逆用 41.已知3=6,3=2计算： (1)3+y; (2)33r. 42.(1)若2"4”=64，求n的值； （2)已知am=6,a”=2,求a2m+3m的值. 43.若am=a”(a>0且a≠1，m、n是正整数)，则m=n,利用上 (1)如果3×9×27=326，求x的值； (2)已知m=6,n=54,用含m,1的式子表示3036. 44.已知2=2,2”=5. (1)求代数式2+y的值. (2)求8.4的值. 45.(1)已知20=8,2=16，求2+*3的值. (2)已知a+*:=24,a+=6,求的值. 46.计算： (1)已知x3=3,x6=9,求x的值. (2)已知2=64，求2*3的值. 7/14 上好每一堂课 面的结论解决下面的问题： 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 47.已知m=3,”=2. (1)求tm-"的值. (2)求t2m+1.t3m-1的值 48.己知：50=3,5=8,5=72， (1)求52a的值. (2)求5a-+e的值. 目目 类型07 多项式乘多项式与图形面积 49.为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为 (a+4b)米，宽为(a+3b)米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a 米，并计划将阴影部分改造为种植区. 4+3b (1)用含有α，b的式子分别表示出小路面积S,和种植区的总面积S2; (2)若a=3,b=5,求出此时种植区的总面积S2. 50.如图，一块长方形土地的长为2a+3b)米，宽为2a+b米，现准备在这块土地上修建一个长为 (2a+b)米，宽为a+2b)米的花坛，剩余部分修建成休息区域. 2a+b 2a+b a+2b 2a+3b (1)请用含α和b的代数式表示休息区域的面积（结果要化简）： (2)若x2+2x+18=x2+ax+16-2(x-2-b恒成立，求休息区域的面积. 51.如图，某江滩公园有一块长为4a+b)米、宽为3a+b)米的长方形地块，角上有两个边长均为(a-b)米 的小正方形，现要将阴影部分绿化. 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3a+b 4a+b (1)用含有a,b的代数式表示需要绿化部分的总面积（结果需要化简）. (2)若a=30,b=20,求需要绿化部分的总面积. 52.近年来，三门峡市以“口袋公园”为纽带，不断连接城区之间的绿化面积，让市民“推窗见绿、出门入园” 如图，在一块区域中，某部门准备用60米长的护栏围成一个一面靠墙且长为4a+b)米、宽为a+b)米的 长方形花园，然后在中间地块做一个边长为Q米的正方形水池（阴影部分），其余空白部分绿化. a+b a 4a+b (1)求空白部分的面积S:(需化简) (2)受场地条件的限制，a的取值范围为5≤a≤7，求b的取值范围。 53.如图，某学校设计在长为m,宽为36m的大长方形场地中，并排新建三个大小一样的篮球场，三个篮 球场之间及篮球场与长方形场地边缘的距离均为m,篮球场的宽为bm. ←b a 36m (1)用含a,b的代数式表示一个篮球场的周长： (2)当a=4,b=15时，求整个场地的面积. 54.现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花.设大长 方形的相邻两边长分别am和bm,小长方形的相邻两边长分别为rm和m, 9/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 45 60> b 图1 图2 (1)如图1，若a=45,b=60,求x和y的值； (2)如图2， ①若小长方形的周长为6m,求大长方形的周长： ②若y比x大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？ 55.如图，某中学校园内有一块长为x+2y)米，宽为2x+y)米的长方形地块，学校计划在中间留下一个 “T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场. yy (1)请用代数式表示图中两块空白地块的面积为平方米（结果写成最简形式）； (2)求文化广场的总面积（结果用含x,y的最简形式表示）： (3)若x=2,y=3,预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用. 56.计算图中阴影部分的面积 2b+1 2a+3b 2b+3a 目目 类型08 乘法公式与图形面积 57.如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方 形.设图1中阴影部分的面积为S,图2中阴影部分面积为S2. 10/14 专题07 整式的乘法相关压轴题 （8种类型64道） 1．已知的展开式中不含项和项．地 城 类型01 “不含”问题 (1)求的值； (2)先化简，再求值: ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含项和项，确定出与的值即可； （2）先利用整式运算法则对表达式进行化简，把m与n的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）原式 ， 展开式中不含项和项， ， 解得； 即； （2）原式 ， ． 2．若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； （2）解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 3．若的积中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． （1）利用条件中积不含与项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解：原式 积中不含项与项， ，， 解得：，； （2）解：， 原式 4．若的积中不含和项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值， （1）原式利用完全平方公式变形后，将与的值代入计算即可求出值； （2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ． 由积中不含和项，得， 解得． 则原式． （2）， ， ∴原式 ． 5．若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． 【详解】（1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 6．已知的展开式中不含项和项． (1)求m，n的值； (2)先化简，再求值： 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式乘除及化简求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先将多项式展开，根据不含项和项，得出对应系数为0，列方程求解m，n的值； （2）先分别化简两个代数式，再合并同类项，最后代入m，n的值． 【详解】（1） 展开式中不含项和项， ，， ，， （2）原式 ，， 原式． 7．已知计算的结果中不含项． (1)求的值． (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解； （2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可； 【详解】（1）解：， ， ， 的结果中不含项， ， 解得，； （2）解：， ， ， 当时，原式． 8．下面两道小题小明不会做，请你帮他写出解答过程． (1)如果，求m的值； (2)已知的结果中不含项，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查同底数幂的乘除法，多项式乘以多项式法则， （1）根据同底数幂乘除法法则变形，即可得到关于m的方程，由此求出m的值； （2）先计算多项式乘以多项式，再根据不含项的系数为零求出m的值． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴． （2）解：原式， ∵结果中不含项， ∴， 解得：． 9．在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是．地 城 类型02 错解还原 (1)求、的值； (2)求的正确结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）的的值代入代数式求解即可． 【详解】（1）解：甲错把看成了， ， 又， ， ． 乙错把看成了， ， 又， ， ， ． 故，． （2）解：由（1）得， ∴ 10．在计算时，小方同学看错了的值，计算结果为；小悦同学看错了的值，计算结果为． (1)求的值． (2)计算的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． （1）化简，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）中的值代入代数式，再进行多项式乘以多项式运算即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，，， ∴； （2）解：将，代入， 则． 11．在计算时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为． (1)求，的值； (2)计算的正确结果． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）化简，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）的的值代入代数式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意，可知：，， 即：，； （2）由（1）的结果，得： ， 12．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式混合运算，涉及单项式乘以多项式运算、去括号法则及合并同类项等知识，熟练掌握整式的乘法运算、整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）根据题意，列式后，运用去括号法则及合并同类项求解即可得到答案； （2）根据题意，列式后，运用单项式乘以多项式的运算法则及合并同类项求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， ； （2）解：正确的计算结果为： ． 13．淘气和笑笑两人分别计算一道整式乘法的题，淘气计算的题：，笑笑计算的题：，由于淘气将第一个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为；由于笑笑将第二个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为． (1)求的值． (2)请求出这两道题的正确结果． 【答案】(1) (2)淘气计算的题：；笑笑计算的题： 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式及解一元一次方程，熟练运用多项式乘多项式的法则是正确解答此题的关键． （1）分别计算及后得到关于的方程，解方程即可； （2）将分别代入原式计算对应的结果即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ， 所以， 解得； ， ， 所以， 解得； （2）解：淘气计算的题： ； 笑笑计算的题： ． 14．小明与小刚共同解一道题： ，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中a前面的符号，得到的结果是 ；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是 (1)求a，b的值； (2)算出正确的结果，并用你喜欢的一个数作为x 的值代入求值． 【答案】(1) (2)，时，原式 【分析】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出a与b的值是解题的关键． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出a与b的值； （2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：根据题意可知小明得到的算式： ， 由对应的系数相等，得， 小刚得到的算式：， 由对应的系数相等，得， ， 解得； （2）解：正确的式子：， 代入，则原式． 15．小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求a，b的值； (2)计算出正确的结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，   ， ∴，， 解得，； （2）解：由（1）可得：． 16．甲、乙二人共同计算时，均出现了失误：甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，即把“”抄成“”，得到的结果为；乙由于抄漏了第二个多项式中的系数，即把“”抄成“”，得到的结果为． (1)求出，的值． (2)在（1）的条件下，试求的正确结果． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，加减消元法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据甲抄错与乙抄漏，列出关于、的方程组求解； （2）将代入式子中，再利用多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ， 解得∶， ；； （2）解：由（1）得， 原式． 地 城 类型03 整式的乘法相关规律性问题 17．观察下列各式：；；；…… 根据前面各式的规律可得到 ． 【答案】 【分析】本题考查整式找规律和多项式乘多项式，理解题意，对比多个式子找到规律是关键． 通过观察给定等式，发现左边是 乘以一个从 的 次方开始降幂排列直到 的多项式，右边结果是 的 次方减 ，因此可归纳出一般形式． 【详解】解：根据等式， ， ， 可推知 ． 故答案为： ． 18．观察下列各式及其展开式： ； ； 请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究，根据给出的等式，得到的展开式的第2项为，进而得到展开式的第二项为，进行求解即可． 【详解】解：观察可知：的展开式的第2项为， ∴展开式的第二项为，即； 故答案为：． 19．宋代数学家贾宪发明了“贾宪三角”，“贾宪三角”可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【答案】64 【分析】本题考查了“贾宪三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．由“贾宪三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， ••• 当时，展开式的项系数和为， 故答案为：． 20．已知，，根据前面各式的规律，可得： ． 【答案】63 【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题． 根据已知等式规律，直接应用多项式乘法公式求解． 【详解】解：由已知等式，可得一般规律：． 中对应， 因此． 故答案为：63． 21．如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数，根据数表中前四行的数字所反映的规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算规律的探究，以及“杨辉三角”的认识，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式逆用“杨辉三角”系数规律变形，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 22．计算：①； ②； ③； ④； 那么 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，根据所给的四个式子可得规律，据此可得答案． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ……， 以此类推可知，， ∴， 故答案为：． 23．根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为 ． （2）的个位数字是 ． 【答案】 63 3 【分析】此题考查整式的乘法规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． （1）根据规律题中的已知条件得到规律，进行分析，即可作答； （2）先计算该代数式的值得到结果为，再探究得到个位数字的规律即可得到答案． 【详解】解：（1）观察题干式子，得， 故答案为：63； （2） ， ∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……， ∵ ∴的个位数是3． 故答案为：3 24．小明同学在计算时发现一次项可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算时一次项为．仿照小明的方法，计算展开式中项的系数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】（写作亦可） 【分析】本题主要考查与多项式乘多项式有关的规律探究，先根据题意得出展开式中项为：，然后再进行运算即可得出答案． 【详解】解：展开式中项为： ， ∴展开式中项的系数为． 故答案为：（写作亦可）． 25．定义一种新运算：．例如：，则的结果是 ．地 城 类型04 整式的乘法相关定义新运算 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 26．定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，单项式的乘法、合并同类项，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算即可求解． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 27．定义一种新运算：若，则．例如，若，则．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，同底数幂的乘法运算，由题意可得：，，可得，再结合新定义可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ∴， 故答案为：． 28．规定一种新运算，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，平方差公式，单项式与多项式的乘法． 根据新运算的定义，分别计算 和 ，然后求和． 【详解】解：由新运算定义，． ． 因此，． 故答案为：． 29．（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是 ． 【答案】65 【分析】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， m，n为正整数， ∴， ， 当时，由产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…… 当时，由产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，…… 当时，由产生的智慧优数为：48，60，72，84，…… 当时，由产生的智慧优数为：63，77，91，…… 当时，由产生的智慧优数为：80，96，…… 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，…… ∴第27个智慧优数是65， 故答案为：65． 30．定义一种新的运算，如．则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，完全平方公式的应用，先利用多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 31．若x，y为任意实数，定义运算：，得到下列五个结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，完全平方公式； 根据定义的新运算求出和，进而可判断①；根据定义的新运算列式，利用多项式乘以多项式的法则展开，求出和，进而可判断②；根据定义的新运算列式，利用多项式乘以多项式的法则展开，求出和，进而可判断③；根据定义的新运算求出，进而可判断④；根据定义的新运算列式，利用多项式乘以多项式的法则和完全平方公式展开，求出和，进而可判断⑤． 【详解】解：∵， ， ∴，故①正确； ∵， ， ∴，故②错误； ∵． ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； ∵， ． ∴，故⑤错误． 综上，正确的结论序号是①③． 故答案为：①③． 32．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，请根据这种新运算填空： （1）若，则 ； （2）若，那么 ．（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）． 【答案】 / 【分析】（1）将变形为，再根据定义新运算进行计算便可； （2）根据，及定义新运算将原式变形为，再根据同底数幂乘法法则计算求解即可． 【详解】解：（1），， ； （2），， ． 【点睛】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算． 33．已知，，求下列各式的值．地 城 类型05 完全平方公式变形应用 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题关键是将所求式子转化为含和的形式． （1）将结合完全平方公式转化为，代入，计算． （2）将变形为，代入已知值求出，再对其平方得到结果． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． 34．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． （1）根据，代入已知条件，进行计算即可求解； （2）根据，代入已知条件，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．已知，，求 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：． 又∵ ，， ． ． （2）解：∵ ，， ． ． 36．已知：，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形公式的运用，掌握公式形式是解题关键． （1）根据，整体代入，即可求解； （2）根据即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴ 37．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1)22 (2)8 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）利用完全平方公式及其变形进行计算即可得出答案； （2）利用完全平方公式及其变形进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 38．若，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题考查完全平方公式应用，已知式子的值求代数式的值． （1）利用完全平方公式得，代入式子的值即可得到本题答案； （2）利用完全平方公式得，代入式子的值即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴． 39．已知，． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值： （1）把原式变形为，再代入计算即可； （2）根据完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：， 把，代入，得： ， ∵， ∴． 40．已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 41．已知计算：地 城 类型06 幂运算相关公式逆用 (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)216 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握计算公式． （1）根据逆用同底数幂的乘法得到，再代入即可求解； （2）根据逆用幂的乘方得到，再代入即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：． 42．（1）若，求n的值； （2）已知， ，求 的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法的逆用． （1）利用幂的乘方将化为，根据同底数幂的乘法得到，根据计算即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：； （2）解：． 43．若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 44．已知，． (1)求代数式的值． (2)求的值． 【答案】(1)10 (2)200 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和运用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：，， ． 45．(1)已知，，求的值． (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，（1）观察已知式子的指数之间的关系，做乘法再乘以即可得到要求式子的值；（2）观察已知式子的指数之间的关系，做除法即可得到要求式子的值． 【详解】解：（1），， ； （2），； ． 46．计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)512； 【分析】（1）根据同底数幂相乘的逆用求解， （2）根据同底数幂相乘的逆用求解， 【详解】（1）， ． （2）， ． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆用，解题的关键是熟练运用运算法则. 47．已知． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的乘法法则：同底数幂乘法法则，同底数幂除法的法则及幂的乘方法则，熟记各计算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂除法法则的逆运算解答； （2）根据同底数幂乘法运算法则及同底数幂乘法的逆运算法则，幂的乘方逆运算解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵ ∴原式． 48．已知：，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)9 (2)27 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是：熟练掌握运算法则； （1）逆用幂的乘方法则计算即可； （2）逆用同底数幂相除、同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，， ． 49．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． 地 城 类型07 多项式乘多项式与图形面积 (1)用含有a，b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】(1)， ； (2)． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将，代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当，时， ． 50．如图，一块长方形土地的长为米，宽为米，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的花坛，剩余部分修建成休息区域． (1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积（结果要化简）； (2)若恒成立，求休息区域的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算（多项式乘多项式、整式的加减）及等式恒成立的条件，解题关键是通过 “长方形面积减去花坛面积” 表示休息区面积，再利用等式恒成立求出参数值代入计算． （1）先分别计算长方形土地的面积和花坛的面积，再用土地面积减去花坛面积，化简得到休息区面积的代数式． （2）将等式右边化简，根据“等式恒成立则对应项系数相等”求出的值，代入（1）中化简后的休息区面积代数式计算结果． 【详解】（1）解：休息区域的面积为， 平方米． （2）解：， ， ， ∴，， 解得，， ∴， 休息区域的面积平方米． 51．如图，某江滩公园有一块长为米、宽为米的长方形地块，角上有两个边长均为米的小正方形，现要将阴影部分绿化． (1)用含有，的代数式表示需要绿化部分的总面积（结果需要化简）． (2)若，，求需要绿化部分的总面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，求代数式的值，理解题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据“需要绿化部分的总面积长方形的面积个小正方形的面积”列式，然后利用多项式乘以多项式以及完全平方公式化简，然后合并同类项即可得解； （2）将、值代入（1）中所求式子即可得出需要绿化部分的总面积． 【详解】（1）解：由图可知，需要绿化部分的总面积： 平方米， 答：需要绿化部分的总面积为平方米． （2）解：当，时， 原式 （平方米）． 答：需要绿化部分的总面积为平方米． 52．近年来，三门峡市以“口袋公园”为纽带，不断连接城区之间的绿化面积，让市民“推窗见绿、出门入园”．如图，在一块区域中，某部门准备用60米长的护栏围成一个一面靠墙且长为米、宽为米的长方形花园，然后在中间地块做一个边长为米的正方形水池（阴影部分），其余空白部分绿化． (1)求空白部分的面积；（需化简） (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式乘法的应用，一元一次不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据长方形面积减去正方形面积，然后通过运算法则即可求解； （2）由题意可知，，得到，然后根据，解得b的范围即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解得， ， ， 解得． 53．如图，某学校设计在长为，宽为的大长方形场地中，并排新建三个大小一样的篮球场，三个篮球场之间及篮球场与长方形场地边缘的距离均为，篮球场的宽为． (1)用含a，b的代数式表示一个篮球场的周长； (2)当，时，求整个场地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求代数式的值和列代数式，能正确根据题意列出代数式是解此题的关键． （1）根据题意找到篮球场的长即可求得周长； （2）找到整个场地的长，结合面积公式把a和b的值代入，求解即可． 【详解】（1）解：一个篮球场的周长为 （2）由图可知，， 整个场地的面积为， 当，时，， 答：整个场地的面积为 54．现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别和，小长方形的相邻两边长分别为和． (1)如图1，若，，求和的值； (2)如图2， ①若小长方形的周长为，求大长方形的周长； ②若比大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？ 【答案】(1)和的值分别为10和25 (2)①；② 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列代数式、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据大长方形的相邻两边长分别为、，再结合图形列出关于x、y的方程组求解即可； （2）①由小长方形的周长为，求得，再列式求大长方形的周长，然后整体代入计算即可求解；②依题意得、，去括号整理得，再将整体代入即可求解． 【详解】（1）解：依据题意得，，解得， 答：和的值分别为10和25． （2）解：①由题意得，，所以， 所以大长方形的周长为． ②因为， 所以 ． 55．如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)请用代数式表示图中两块空白地块的面积为_____平方米（结果写成最简形式）； (2)求文化广场的总面积（结果用含，的最简形式表示）； (3)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1)； (2)文化广场的总面积平方米； (3)修建文化广场所需要的费用元． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式与图形面积，合并同类项，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用正方形面积即可求解； （）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （）把，代入求出面积，然后乘以即可求解． 【详解】（1）解：图中两块空白地块的面积为（平方米）， 故答案为：； （2）解： （平方米）， 答：文化广场的总面积平方米； （3）解：当，时， （平方米）， ∴修建文化广场所需要的费用（元）， 答：修建文化广场所需要的费用元． 56．计算图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法与图形面积，熟练掌握整式的乘法是解题的关键；根据图形可利用大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，然后问题可求解． 【详解】解：由图形得阴影部分的面积为： ． 57．如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分面积为．地 城 类型08 乘法公式与图形面积 (1)用含有字母和的式子分别表示与的面积：______，______ (2)根据图与图的面积相等关系得到等式，运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． 运用上述方法计算． 【答案】(1)， (2)39999 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形． （1）图1阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图2阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积； （2）根据（1）中两部分阴影面积相等即可得到对应的公式；将原式变形为，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得；， 故答案为：；； （2）解：∵图1和图2中阴影部分面积相同， ∴； ∴ ． 58．如图，四边形与四边形都是正方形，设，． (1)写出的长度（用含字母、的代数式表示）； (2)观察图形，试用不同的方法表示图形中阴影部分的面积，你能获得相应的一个因式分解公式吗？请将这个公式写出来； (3)如果正方形的边长比正方形的边长多，它们的面积相差．试利用（2）中的公式，求、的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，平方差公式的证明以及应用，掌握平方差公式的性质以及应用是解题的关键． （1）根据即可求出的长度； （2）用两种不同的方法表示图形中阴影部分的面积：①延长交于点，通过；②通过，可得； （3）根据题意可得，代入原式并联立方程即可求出a、b的值． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形都是正方形， 设，， ∴， ∴； （2）解：①延长交于点， 则 ； ②， ∴； （3）解：根据题意可得， 由（2）知， 则，即， 联立得， 解得． 59．如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． 【答案】(1) (2)28平方分米 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，解题的关键是： （1）图①中阴影部分的面积可以表示为大正方形的面积与小正方形面积的差；图②中平行四边形的底为，高为，面积等于；由此可解． （2）把a、b 的值代入计算即可， 【详解】（1）解：∵图1中阴影部分的面积为；图②的面积可以表示为， ∴； （2）解：当，时， ， 即该物料的面积为28平方分米． 60．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的．当然，没有敏锐的观察力是做不到的．我们往往是这样来研究问题的：观察—猜想—验证—应用．下面我们也来这样探索一个问题．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的小正方形之后，剩余部分（即阴影部分）又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）． (1)图①中阴影部分的面积是 （用含、的代数式表示）；图②中阴影部分长方形的长是 ，宽是 ，面积是 （用含、的代数式表示）． (2)根据图①和图②的面积关系，请你用含、的等式表示出你发现的结论： ． (3)当，时，请你验证你的结论是否成立． (4)利用你发现的结论，完成下列问题：若，且，则 ． 【答案】(1)；；； (2) (3)结论成立，验证见解析 (4) 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）图①中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积；图②的阴影部分是一个长方形，其长为两个正方形的边长之和，其宽为两个正方形的边长之差，据此可得面积； （2）根据图①和图②的阴影部分面积相等，即可得到答案； （3）根据（1）所求分别计算出两个图形的面积即可得到结论； （4）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分长方形的长是，宽是，则面积为； （2）解：∵图①和图②中的阴影部分面积相等， ∴； （3）解：当，时，， ， ∴此时； （4）解：∵，且，， ∴， ∴． 61．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式 ． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则 ． 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求的长度． 【答案】（1）（2）32（3）80（4）6 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 可以验证公式． 故答案为：． （2）由条件可知， 当，时，． 故答案为：32． （3）由条件可知 ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． 62．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)如图-1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状拼成一个正方形．请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式，，之间的等量关系式：___________； (2)已知，，求下列各式的值： ①；    ②； (3)如图-3，边长为5的正方形中放置两个长为、宽为的长方形（其中，），且每个长方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积___________． 【答案】(1) (2)28，20 (3)11 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用正方形的面积公式和分割法求面积，两种方法表示出阴影部分的面积即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）由题意可知，，则，结合已知条件求解即可． 【详解】（1）阴影部分是边长为的正方形，面积为． 阴影部分的面积也可表示为大正方形面积四个小长方形面积， 即， ∴等量关系为； 故答案为：； （2）∵， ∴①， ②； （3）解：一个长方形的周长为，面积为8， ，， ， ． 故答案为：11． 63．利用完全平方公式解答下列各题． (1)若，，求的值； (2)如图，正方形，的边长分别为，，若，，求图中阴影部分（梯形）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形推导是解此题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）由题意可知，根据，代入即可求得，再根据，代入可得，由，可得，最后根据直角梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：，且，， ， 解得． 故的值为； （2）由题意可知，，，且四边形为直角梯形， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ． 故阴影部分的面积为． 64．现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 【答案】(1)；； (2)22 (3)1744 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、列代数式、代数式求值等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，据此列出代数式即可解答； （2）根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，再结合完全平方公式代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知，， 由题意得，，即； 图2中，由图可知，，， 由题图可知，，即． 故答案为：；； （2）解： 由图1可得： ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $