专题05 角平分线相关压轴题（5种类型40道）（期末复习压轴题专项训练，重庆专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题05 角平分线相关压轴题 （5种类型40道） 1．请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题．地 城 类型01 角平分线相关探究角的数量关系 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，外角的性质等相关知识，解题关键在于熟练掌握其知识点.                                                                                                         （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （3）①根据四边形的内角和定理表示出，然后同理（2）解答即可；②根据为锐角三角形，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点是的内角与内角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）∵点是的外角与外角的平分线和的交点 ∴    ∵   ∴ ∴ ∴； （3）①点是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：； ②∵为锐角三角形， ∴； ∴； ∴ . 2．如图1，的两个外角的平分线相交于点． (1)与的数量关系是________．（直接写出答案） (2)如图2，连接．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据内外角关系得到，，结合内角和定理得到，再根据角平分线得到，最后根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）过点分别作于，于，于，根据角平分线性质得到， 【详解】（1）解：，理由如下， ∵、是的外角， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是外角的平分线， ∴ ， ∵， ； （2）证明：过点分别作于，于，于，     ，分别是外角的平分线，，，， ，，     ，     ∵，， 在的平分线上， 平分． 【点睛】本题考查了三角形内外角关系，三角形内角和定理，角平分线性质定理及判定，解题的关键是熟练掌握各知识点及作出辅助线． 3．【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 （1）如图1，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是 ； ②请用无刻度的直尺和圆规作，的平分线，相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题再探】 （2）如图2，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是 ； ②如图3，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是 °； 【迁移拓展】 （3）如图4，平分，平分，当与满足怎样的数量关系时，直线．请说明理由． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）①；②；（3）当时，，见解析 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，作角平分线，角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键； （1）①根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理可得，即可得出； ②根据题意作出，的平分线，相交于点，根据角平分线的定义得出，，结合①的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）①连接，根据三角形的外角的性质可得，，进而可得 ②根据①的结论得出，，即可求解． （3）延长交于点，根据角平分线的定义得出，，根据②的结论得出，即可得出，进而根据得出，根据内错角相等，即可得证 【详解】解：（1）①解：∵，是的两个外角． ∴ ∴； 故答案为：． ②. 证明如下： ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴. （2）①如图，连接， ∵，是，的外角 ∴， ∴； 故答案为：． ②∵，， ∴ ∵，的平分线，相交于点， ∴ 由①可得， ∴ 故答案为：； （3）当时，.理由如下： 延长交于点， ∵，分别平分，， ∴，， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 4．如图所示的四边形． (1)写出之间的数量关系是_______； (2)若，平分，平分，利用（1）的结论证明：． 【答案】(1)，理由见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的判定混合角平分线的性质， （1）连接，根据三角形外角性质得和，结合和，即可得； （2）由角平分线得和，结合（1）知，进一步得，则有，即可判定平行． 【详解】（1）解：连接，如图， 则，， ∵ ， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， 由（1）知，则， 那么，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则． 5．如图，已知平分，，，则图中与的数量关系是什么？请证明你的猜想． 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理， 先作，根据角平分线的性质定理得，再根据“斜边、直角边”证明，可得，然后根据平角定义解答即可． 【详解】解：，理由如下， 过点D作，分别交于点E，F， ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， 即． 6．如图，是的角平分线，，过点C作，垂足为点E． (1)若，则的度数是 ； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，见解析． 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和． （1）根据三角形内角和得到，根据角平分线的求出，根据垂直的定义得到，则，求出，将代入计算即可； （2）同（1）计算即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （2）解：． 理由：在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 7．已知点在内部，为射线上一点，连接． (1)如图1，点在线段上，． ①求的度数； ②过点作，则___________； (2)如图2，点在线段的延长线上，过点作，请问与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，点在线段上，延长到点，与的角平分线所在的直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②或 (2)或，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理以及分类讨论思想是解决问题的关键． （1）①先由平行线的判定定理可得，再由平行线的性质可得与，由此可求； ②分两种情况进行讨论，即当射线与射线的方向相同时，与射线与射线的方向相同时，两种情况进行讨论即可求解． （2）添加辅助线构造平行线，分两种情况进行讨论，即当射线与射线的方向相同时，与当射线与射线的方向相同时，两种情况进行讨论，由此可解； （3）添加辅助线构造平行，根据角平分线定义可设，，再根据平行线的性质可得，，，由此可得数量关系． 【详解】（1）①过点作，如图1所示： ， ， ， ， 又，， ，， ； ②过点作，有以下两种情况： （ⅰ）当射线与射线的方向相同时，过点作交于， 如图1①所示： 由①可知：，， ， ， ， ； （ⅱ）当射线与射线的方向相同时，过点作交的延长线于， 如图1②所示： 由②（ⅰ）可知：， ， 综上所述：或， 故答案为：或． （2）解：与的数量关系是：或，理由如下： 过点作，有以下两种情况： （ⅰ）当射线与射线的方向相同时，设于交于点， 如图2①所示： ， ， ， ， ， ； （ⅱ）当射线与射线的方向相同时，设与交于点， 如图2②所示： ， ， ， ， ， ， 综上所述：与的数量关系是：或； （3）解：与的数量关系是：，理由如下： 延长交于，过点作交于，如图所示： 平分，平分， 设，， 则，，， ，， ， ， 又， ， ，，， ， ， ， ． 8．如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，；；，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （）①根据“字型”的定义判断即可； 由（）结论可得和中，，和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； 根据，，得，，，，然后可得，，最后进行等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：中，，中，， ∵， ∴； （2）解：以线段为边的“字型”有：和，和，和，共个； 以点为交点的“字型”有：和，和，和，和，共个； 故答案为：，； 和中，，和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ，理由如下： ∵，， ∴，，，， 在和中，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．地 城 类型02 角平分线相关探究线段的数量关系 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 【答案】【方法初探】见解析；【方法应用】见解析；【实际应用】 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．根据截长补短法，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解： 【方法初探】证明过程如下， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即． 【方法应用】证明：如图， 在上取一点，使得， 又， 是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， 即． 【实际应用】解：， 理由：如图， 在的延长线上取一点，，连接， 为的补角的角平分线， 即平分， ． 在和中， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． 又， ． 10．如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出． 【详解】（1）证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； （2）解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ． 11．已知点为平分线上一点，于，于，点、分别是、上的点． (1)如图1，当点在线段上，点在线段的延长线上，且．求证：； (2)在（1）的条件下，，，求的长． (3)如图2，当点在射线的反向延长线上，点在射线上时，满足，直接写出、与之间的数量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）证明，可得，再利用线段的和差关系证明，即可求解； （3）根据题意可知，由，可得，进而可证明，可得，再证明，可得，从而得到． 【详解】（1）证明：∵点为平分线上一点，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，则， ∵，， ∴； （3）∵点为平分线上一点，，， ∴，， 则， 又∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴， 即， 故答案为：． 12．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)请说明与，之间的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）由求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴． 13．如图，在中，角平分线、相交于点O，过点O作于点D． (1)若，，求的面积（用含a，b的代数式表示）． (2)当时，探究，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形． （1）连接，作于N，于M，根据即可得解； （2）在上取一点H，使．先求出，再依次证明，，可得，即可得解． 【详解】（1）解：连接，作于N，于M， 的角平分线、相交于点O，，， ． ， （2）解∶，理由见解析， ， ． 的角平分线、相交于点O， ． ． ． ． 在上取一点H，使， 是的平分线， ． 在和中 ． ． ． 是的平分线， ． 在和中 ． ． ． 14．已知：如图中，O是的中点，D是的角平分线上一点，且，过D作于E点，于F点． (1)连接，求证：所在直线是的垂直平分线； (2)求证：； (3)判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题关键， （1）根据证明，进而解答即可； （2）根据证明，进而利用全等三角形的性质与等式的性质解答即可； （3）根据证明，进而利用全等三角形的性质与线段的关系解答即可． 【详解】（1）证明：O是的中点， ， ， ， ， ， ， 所在直线是的垂直平分线； （2）证明：D是的角平分线上一点，，， ， ， ， ， ， ； （3）证明：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 15．课本再现：①角平分线上点到角两边距离相等；②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． (1)如图1，，，，若为，则为________． (2)如图2，在四边形中，平分，，，求证：． (3)在（2）的条件下，如图3，过点作于点，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，求得，即可得解； （2）作于，于，由角平分线的性质定理可得，再证明，即可得证； （3）连接，作于，同（2）小题可得，，再证明，得出，即可得解． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵为， ∴， ∴； （2）解：如图2中，作于，于， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：结论：． 理由：如图3中，连接，作于， 同（2）小题可得，， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴． 16．如图1，在四边形中，已知，，连接．    (1)求证：平分； (2)点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)①②，理由见详解 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质等；掌握角平分线的判定定理，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质，添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． （1）由角平分线的判定定理，即可得证； （2）①由直角三角形的特征得，，由角的和差得，即可求解； ②延长到E，使，连接，由判定，（），结合全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 是的平分线， 平分； （2）解：①，， ， ， ， ， ， 解得：， ； ②， 理由如下： 延长到，使，连接， ， ，， （）， ，， ，， ， ， 即， ， （）， ， ， ． 17．如图，是的角平分线，且．地 城 类型03 角平方线相关最值问题 (1)求的度数． (2)若，点F是上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识． （1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出，再利用外角的性质求解； （2）根据垂线段最短得到当时，最小，再利用角平分线的性质求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵点F是上的动点， ∴当时，最小， ∵平分， ∴． 18．在中，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； (2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示） 【答案】(1)8 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点G，于点H，根据角平分线的性质及三角形面积法求解即可； （2）过点D作，交于点N，利用全等三角形的判定和性质证明即可； （3）延长交于点K，则，再倍长至点，过点作于点Q，交于点P，利用轴对称的性质及图形求解即可． 【详解】（1）解：过点D作于点G，于点H，如图所示： ∵， ∴，即 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴； （2）过点D作，交于点N，如图所示：    ∴， ∵，即 ∴ 在和中 ∴ ∴     ∵， ∴ 即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴     在和中 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴； （3），理由如下：    由（2）可知 延长交于点K，则 再倍长至点，过点作于点Q，交于点P 由轴对称性得 ∴最小，即 在中， ∴ 又在中， ∴． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，理解题意，作出相应辅助线综合运用这些知识点是解题关键． 19．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动． (1)求线段DP的最小值； (2)当DP最小时，求CDP的面积． 【答案】(1)DP的最小值是3； (2)当DP最小时，△CDP的面积为12． 【分析】（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论； （2）由勾股定理得BD=5，当DP最小时，DP⊥BC，再由勾股定理得PB=4，则CP=BC-PB=8，然后由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：当DP⊥BC时，线段DP的值最小， ∵BD平分∠ABC，∠A=90°， 当DP⊥BC时，DP=AD， ∵AD=3， ∴DP的最小值是3； （2）解：∵∠A=90°， ∴BD==5， 当DP最小时，DP=3，DP⊥BC， 则∠DPB=∠DPC=90°， ∴PB==4， ∴CP=BC-PB=12-4=8， ∴△CDP的面积=CP×DP=×8×3=12， 即当DP最小时，△CDP的面积为12． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的在是解题的关键． 20．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC，点P、Q分别是AD、AC上的动点（点P不与A、D重合，点Q不与A、C重合），求PC＋PQ的最小值 【答案】 【分析】过点C作CH⊥AB于H，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，则PC+PQ的最小值就是线段CH的长，根据•AB•CH=•AC•BC即可求出的长． 【详解】解：如解图，过点C作CH⊥AB于H，交AD于点P， 过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD平分∠BAC，CH⊥AB，PQ⊥AC， ∴PQ=PH， ∴PC+PQ=PC+PH=CH， ∴PC+PQ的最小值就是线段CH的长， ∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴AB2=AC2+BC2， ∴∠ACB=90°， ∴•AB•CH=•AC•BC， ∴CH=， 即PC+PQ的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路径问题，解题的关键是学会理由垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型． 21．如图，在中，，，，点是中点，点分别是边上的动点，且不与端点重合，作和的角平分线交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，过作交延长线于点，作，于点，连接，则，证明点在平分线上，所以，再证明，得，又，则当三点共线时有最小值，即有最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交延长线于点，作，于点，连接，则， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴点在平分线上， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时有最小值，即有最小值，为， 如图， 故答案为：． 22．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ． 【答案】18 【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可． 【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC， ∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定， ∵△PMB周长=PM+PB+BM， ∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小， ∵PM=PC， ∴满足PC+PB最小即可， 显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示， 此时，P点与D点重合，PC+PB=BC， ∴△PMB周长最小值即为BC+BM， 此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点， 由题意，AD为∠BAC的角平分线， ∴DS=DT， ∵，， ∴， 即：， ∴， 解得：AB=14， ∵AM=AC=6， ∴BM=14-6=8， ∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，AD＝5，BC＝6，CD＝3．若M，N分别为线段BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 ． 【答案】4.8 【分析】先作CE垂直AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM＋MN的最小值． 【详解】解：如图所示： 过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，此时CM＋MN的值最小， ∵BD平分∠ABC， ∴ME＝MN， ∴CM＋MN＝CM＋ME＝CE， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5＋3＝8，BC＝6， ∴， ∵CE⊥AB， ∴， ∴10CE＝6×8， ∴CE＝4.8， 即CM＋MN的最小值是4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使CM＋MN最小时的动点M和N． 24．如图，在中，，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边上截取；然后分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为边上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，熟记垂线段最短是解题的关键．根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：过点G作于点， 由尺规作图步骤可得，平分， ∵，，， ∴， ∵P为边上一动点， ∴， ∴的最小值为4． 故答案为：4． 25．如图，在中，，平分交于点D，于点E，点F在上，点G在上，，平分，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（       ）地 城 类型04 角平方线相关综合问题 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质等知识点，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． ①根据角平分线的性质即可对结论①进行判断；②如图：过点D作于点H，根据角平分线性质得，，则，由此可对结论②进行判断； ③根据角平分线的性质得到，根据得到；④证明和全等得，同理证明和全等得，由此得，进而可对结论④进行判断． 【详解】解：①平分，，， ，故结论①正确； ②如图：过点D作于点H， 平分，，， ， 又， ， 点D在的平分线上， ∴平分，故结论②正确； ③由②可知， 在与中， ， ，故③正确； ④在和中， ， ， ， 同理证明：， ， ，即，故结论④正确， 故选：D． 26．如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识点．证明，，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴，， ∴的面积≠面积的2倍，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 27．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 由证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，结合对顶角相等及三角形内角和定理得出，②错误；作于于，如图所示，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，③正确；由，得出当时，平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，④错误；即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ，①正确； 由可知，， 如图所示： 在和中，，则由三角形内角和定理可得， ，， ，②错误； 作于于，如图所示： 则， 在和中， ， ， ， ∴平分，③正确； ， ∴当时，平分， 假设， ， ， ∵平分， ， 在和中， ， ， ， ， ，与矛盾， ∴④错误； 综上所述，正确的有①③； 故选：A． 28．如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键． （1）如图作于，于，由于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，故（）正确； （2）因为，故（）正确； （3）由三角形全等可知，所以定值，故（）正确； （4），的位置变化，所以的长度是变化的，故（4）错误． 【详解】解：如图，作于E，于F．   ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，，故（）正确， ， =定值，故（）正确， 为定值，故（2）正确， ，的位置变化， 的长度是变化的，故（4）错误． 正确的有（1）（2）（3），共3个 故选：B． 29．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点；在线段上取一点，作，，垂足分别为，．则下列说法：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 由作法得平分，①平分，不一定是的中点，即可判断； ③由平分，即可判断； ④由角平分线的判定定理即可判断；②由可判定，即可判断． 【详解】解：由作法得平分， ①平分，不一定是的中点， 不一定成立， 故①错误； ③平分， 故③正确； ④平分，，， ， 故④正确； ②，， （）， ， 故②正确； ②③④正确，有个， 故选：C． 30．如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①将绕点逆时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断；②将绕点顺时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断； ③由全等三角形的性质得，即可判断；④过点作交于，作交于，结合等腰三角形的性质，由判定，由全等三角形的性质及角平分线的判定定理，即可判断． 【详解】解：①，， 将绕点逆时针旋转得对应三角形为， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， 故①正确； ②，， 将绕点顺时针旋转得对应三角形为， 由①同理可证：，（）， ， ， ， 故②正确； ③：由②得， ， 平分， 故③正确； ④过点作交于，作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， 平分， 故④正确； ①②③④都正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，角平分线的判定定理；能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键． 31．如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分．其中一定正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定方法解答． 根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质得出，即可判断①，结合三角形内角和定理即可判断②，过点作，垂足分别为，证明，根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用角平分线的性质解答即可判断④． 【详解】解：∵， ， 即， 在与中 ， ， ，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 过点作，垂足分别为， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 平分，故④正确； 不能证明平分，故③错误； 故选：C． 32．如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．根据角平分线的性质，得到，进而证明，得到，，判断①④；同角的余角相等，判断②，条件不足，无法判断③．掌握角平分线的性质，证明，是解题的关键． 【详解】解：∵，平分， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴平分，；故①，④正确； ∵， ∴；故②正确； 条件不足，无法得到，即无法得到平分，故③错误； 综上：正确的有3个； 故选C． 33．已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点．地 城 类型05 角平方线相关动点问题 (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）过点作于于，利用角平分线性质得到相等线段，再结合角的关系证明三角形全等，从而得出； （2）过点作于于，利用角平分线性质和角的关系证明三角形全等，进而得到； （3）利用角平分线的性质，通过线段的转化求出的值． 【详解】（1）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ． ， ． 在和中： ， ； （2）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ， ， ． 在和中， ， ， ； （3）解：如图，过点作于，过点作于， 是的角平分线，， ， 又平分， ， ， 平分， 在和中， ， 同理可证，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 34．如图，在中，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．记的面积为，的面积为． (1)求； (2)当与全等时，请求出t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据角平分线的性质，得到，根据等高三角形的面积比等于底边比，即可得出结果； （2）根据全等三角形的性质，得到，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）可知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由题意，可知：， 当与全等时，则， 当点在线段上时，即时，，解得； 当点在线段上时，即时，，解得； 综上：或． 35．如图，已知在中，为直角，，为上一点，于E． (1)若平分，求证：； (2)若D为上一动点，如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)不变，，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作出辅助线是解本题的关键. （1）利用等角的余角相等判断出，证明，判断出，再证明，进而判断出，即可得出结论； （2）作出辅助线，利用全等三角形的面积相等，进而判断出，即可得出是的角平分线． 【详解】（1）证明：连接，延长，交的延长线于 是直角，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）不变化， 理由：如图，过点作于，作于， 是直角，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，而， ， ，， 平分， ， 即：不变化． 36．如图，已知中，，动点P从点C出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到C点，速度为，设运动时间为t秒． (1)t为何值时，平分？ (2)求当t为何值时，为等腰三角形？ (3)若P出发时，同时另有一点Q，从点C开始，按顺时针方向运动一圈回到点C，且速度为每秒．当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线将的周长分成相等的两部分？若存在，求t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)存在，或 【分析】本题主要考查了三角形综合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的周长和几何动点问题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质，具有分类讨论的思想． （1）过点作于点，根据勾股定理逆定理得出，根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，根据，则，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）根据题意进行分类讨论①当点在上时；②当点在上时：Ⅰ、当时；Ⅱ、当时，过点作于点；Ⅲ、当时，过点作于点；即可解答； （3）根据题意进行分类讨论①当时，②当时，③当时，点和点都在上，不符合题意；④当时，即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点，如图1， ， ， 平分，，， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：； （2）解：①当点在上时，，如图2， ， , ； ②当点在上时，如图3， Ⅰ、当时， ，， ， ， ， , ； Ⅱ、当时， 过点作于点，如图4， ， ，即， 解得：， 根据勾股定理可得：， ，， ， ， ， ； Ⅲ、当时， 过点作于点，图5， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， , ； 综上：或或或； （3）解：点运动到点需要时间， 点运动到点需要时间， 点运动到点需要时间， 点运动到点需要时间， 点运动到点需要时间， ①如图6，当时，，，，，， 直线将的周长分成相等的两部分， ，即， 解得：； ②如图7，当时，，，，， 直线将的周长分成相等的两部分， ，即， 解得：（舍去）， ③如图8，当时，点和点都在上，不符合题意；      ④如图9，当时，，，，，， 直线将的周长分成相等的两部分， ，即， 解得：； 综上：或． 37．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的点，点A（0，5），连接AB，． (1)如图1，求点B的坐标； (2)如图2，点C为AB中点，点P为线段BC上一动点，点P的纵坐标为m，连接OC，若△POC的面积为S，用含m的式子表示S（不要求写出m的取值范围）； (3)如图3，在（2）条件下，点E为y轴点A上方一点，点F为y轴负半轴上一点，AE＝OF，连接BE，若射线OP⊥BE于D，连接PF，，求点E的坐标． 【答案】(1)B（5，0）； (2)S△POC＝－m； (3)E（0，7）． 【分析】（1）根据三角形面积，即可求出B（5，0）； （2）证明△AOC≌△BOC（SSS），根据S△AOC+S△BOC＝S△AOB＝，可得S△BOC＝，过点P作PH⊥OB于点H，表示出yP＝m，PH＝m．所以S△OPB＝OB·PH＝×5m＝m，进一步可求出S△POC＝S△BOC－S△BOP＝－m； （3）延长OC交BE于点G，过点C作CK⊥OA于点K．证明△CAK≌△COK（AAS），△BCG≌△OCP（ASA），△PAF≌△GOE（SAS），可得：BG：GE＝OP：PF＝5：7．过点G分别作GM⊥OA于点M，GN⊥OB于点N．证明GM＝GN．根据S△EOG＝OE·GM＝GE·OD，S△BOG＝OB·GN＝BG·OD，可得OE：OB＝GE：GB＝7：5，进一步可求出OE＝7，即E（0，7）． 【详解】（1）解：∵A（0，5）， ∴OA＝5． ∵S△AOB＝OA·OB＝OB＝， ∴OB＝5， ∴B（5，0）， （2）解：∵点C为AB中点， ∴AC＝BC． 在△AOC和△BOC中， ∴△AOC≌△BOC（SSS）， ∴S△AOC＝S△BOC， 又∵S△AOC+S△BOC＝S△AOB＝， ∴S△BOC＝． 过点P作PH⊥OB于点H，如图2， ∵yP＝m， ∴PH＝m． ∴S△OPB＝OB·PH＝×5m＝m， ∴S△POC＝S△BOC－S△BOP＝－m． （3）解：如图3，延长OC交BE于点G，过点C作CK⊥OA于点K． ∴∠AKC＝∠BKC＝90°， ∵△AOC≌△BOC， ∴∠AOC＝∠BOC， 又∵∠AOC+∠BOC＝90°， ∴∠COK＝45°． 同理，∠CAK＝45°， ∴∠CAK＝∠COK， 在△CAK和△COK中， ∴△CAK≌△COK（AAS）， ∴CA＝CO， 又∵CA＝CB， ∴CO＝CB． ∵△AOC≌△BOC， ∴∠ACO＝∠BCO， 又∵∠ACO+∠BCO＝180°， ∴∠OCP＝90°， ∴∠BCG＝180°－∠OCP＝180°－90°＝90°． ∴∠BCG＝∠OCP． ∵OP⊥BE于点D， ∴∠BDP＝90°． 在Rt△OCP中，∠COP＝90°－∠OPC； 在Rt△BDP中，∠CBG＝90°－∠BPD， 又∵∠OPC＝∠BPD， ∴∠COP＝∠CBG． 在△BCG和△OCP中， ∴△BCG≌△OCP（ASA）， ∴CG＝CP，BG＝OP ∴AP＝AC+CP＝OC+CG＝OG， ∵AE＝OF ， ∴AE+OA＝OF+OA，即OE＝AF， 在△PAF和△GOE中， ∴△PAF≌△GOE（SAS）， ∴PF＝GE． ∴BG：GE＝OP：PF＝5：7． 过点G分别作GM⊥OA于点M，GN⊥OB于点N． ∵∠AOG＝∠BOG， ∴OG平分∠AOB， 又∵GM⊥OE，GN⊥OB， ∴GM＝GN． ∵S△EOG＝OE·GM＝GE·OD，S△BOG＝OB·GN＝BG·OD， ∴OE：OB＝GE：GB＝7：5 又∵OB＝5， ∴OE＝7， ∴E（0，7） 【点睛】本题考查直角坐标系与三角形的综合，难度较大，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，并能够熟练运用． 38．如图，△ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），连接AD． (1)如图1，若BD＝CD，则S△ABD∶S△ACD＝ ； (2)如图2，若AD平分∠BAC，求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC； (3)如图3，若AD平分∠BAC，延长AD到E，使DE＝2AD，连接BE，如果AB∶AC＝3∶2，S△BDE ＝m，直接写出△ABC的面积（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用“等高三角形面积比等于底边长度之比”即可求解； （2）利用角平分线的性质可得S△ABD中AB边上的高等于S△ACD中AC边上的高，再利用三角形面积公式即可证明； （3）利用（1）（2）的结论，结合已知条件可知，S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝3∶2，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点E． ∵BD＝CD， ∴S△ABD∶S△ACD， 故答案为：； （2）证明：如图，作于点M，于点N． ∵AD平分∠BAC，，， ∴， ∴S△ABD∶S△ACD； （3）解：∵DE＝2AD， ∴， ∴． ∵AD平分∠BAC，AB∶AC＝3∶2， ∴由（2）的结论可知S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝3∶2， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形面积公式以及角平分线的性质，掌握“等高三角形面积比等于底边长度之比”以及“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键． 39．如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）为定值， 【分析】（1）利用证得，则由“全等三角形的对应边相等”可得，由角平分线的判定定理可得结论； （2）由等积法可求解即可． 【详解】证明：（1）∵为的中点， ∴． 又∵，， ∴ ∴在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线； （2）如图②，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 40．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积． 【答案】△PGE的面积为12． 【分析】根据角平分线的性质和直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，PF的最小值为4cm， ∴PE=4cm ∵OE=12cm ∴△POE的面积= cm2 又点G是线段OP的中点 ∴cm2 【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出PE=4． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 角平分线相关压轴题 （5种类型40道） 1．请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题．地 城 类型01 角平分线相关探究角的数量关系 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 2．如图1，的两个外角的平分线相交于点． (1)与的数量关系是________．（直接写出答案） (2)如图2，连接．求证：平分． 3．【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 （1）如图1，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是 ； ②请用无刻度的直尺和圆规作，的平分线，相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题再探】 （2）如图2，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是 ； ②如图3，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是 °； 【迁移拓展】 （3）如图4，平分，平分，当与满足怎样的数量关系时，直线．请说明理由． 4．如图所示的四边形． (1)写出之间的数量关系是_______； (2)若，平分，平分，利用（1）的结论证明：． 5．如图，已知平分，，，则图中与的数量关系是什么？请证明你的猜想． 6．如图，是的角平分线，，过点C作，垂足为点E． (1)若，则的度数是 ； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 7．已知点在内部，为射线上一点，连接． (1)如图1，点在线段上，． ①求的度数； ②过点作，则___________； (2)如图2，点在线段的延长线上，过点作，请问与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，点在线段上，延长到点，与的角平分线所在的直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 8．如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 9．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．地 城 类型02 角平分线相关探究线段的数量关系 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 10．如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 11．已知点为平分线上一点，于，于，点、分别是、上的点． (1)如图1，当点在线段上，点在线段的延长线上，且．求证：； (2)在（1）的条件下，，，求的长． (3)如图2，当点在射线的反向延长线上，点在射线上时，满足，直接写出、与之间的数量关系是______． 12．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)请说明与，之间的数量关系．并说明理由． 13．如图，在中，角平分线、相交于点O，过点O作于点D． (1)若，，求的面积（用含a，b的代数式表示）． (2)当时，探究，与之间的数量关系，并说明理由． 14．已知：如图中，O是的中点，D是的角平分线上一点，且，过D作于E点，于F点． (1)连接，求证：所在直线是的垂直平分线； (2)求证：； (3)判断之间的数量关系，并说明理由． 15．课本再现：①角平分线上点到角两边距离相等；②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． (1)如图1，，，，若为，则为________． (2)如图2，在四边形中，平分，，，求证：． (3)在（2）的条件下，如图3，过点作于点，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 16．如图1，在四边形中，已知，，连接．    (1)求证：平分； (2)点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 17．如图，是的角平分线，且．地 城 类型03 角平方线相关最值问题 (1)求的度数． (2)若，点F是上的动点，求的最小值． 18．在中，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； (2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示） 19．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动． (1)求线段DP的最小值； (2)当DP最小时，求CDP的面积． 20．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC，点P、Q分别是AD、AC上的动点（点P不与A、D重合，点Q不与A、C重合），求PC＋PQ的最小值 21．如图，在中，，，，点是中点，点分别是边上的动点，且不与端点重合，作和的角平分线交于点，则的最小值为 ． 22．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，AD＝5，BC＝6，CD＝3．若M，N分别为线段BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 ． 24．如图，在中，，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边上截取；然后分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为边上一动点，则的最小值为 ． 25．如图，在中，，平分交于点D，于点E，点F在上，点G在上，，平分，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（       ）地 城 类型04 角平方线相关综合问题 A．1 B．2 C．3 D．4 26．如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 28．如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1． 29．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点；在线段上取一点，作，，垂足分别为，．则下列说法：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分．其中一定正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 32．如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点．地 城 类型05 角平方线相关动点问题 (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 34．如图，在中，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．记的面积为，的面积为． (1)求； (2)当与全等时，请求出t的值． 35．如图，已知在中，为直角，，为上一点，于E． (1)若平分，求证：； (2)若D为上一动点，如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由． 36．如图，已知中，，动点P从点C出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到C点，速度为，设运动时间为t秒． (1)t为何值时，平分？ (2)求当t为何值时，为等腰三角形？ (3)若P出发时，同时另有一点Q，从点C开始，按顺时针方向运动一圈回到点C，且速度为每秒．当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线将的周长分成相等的两部分？若存在，求t的值，若不存在，说明理由．      37．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的点，点A（0，5），连接AB，． (1)如图1，求点B的坐标； (2)如图2，点C为AB中点，点P为线段BC上一动点，点P的纵坐标为m，连接OC，若△POC的面积为S，用含m的式子表示S（不要求写出m的取值范围）； (3)如图3，在（2）条件下，点E为y轴点A上方一点，点F为y轴负半轴上一点，AE＝OF，连接BE，若射线OP⊥BE于D，连接PF，，求点E的坐标． 38．如图，△ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），连接AD． (1)如图1，若BD＝CD，则S△ABD∶S△ACD＝ ； (2)如图2，若AD平分∠BAC，求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC； (3)如图3，若AD平分∠BAC，延长AD到E，使DE＝2AD，连接BE，如果AB∶AC＝3∶2，S△BDE ＝m，直接写出△ABC的面积（用含m的式子表示）． 39．如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 40．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $