专题04 全册几何综合性问题分类训练（6种类型48道）（期末复习压轴题专项训练，重庆专用）八年级数学上学期新教材人教版

丽学科网·上好课 专题04全册 (6 全册几何相关综合 性问题分类训练 目目 类型01 1.在ABC中，∠ABC,∠ACB的平分 交于点D,与∠ABC的外角平分线相交 ①∠E+∠DCF=90°+∠ABD;②∠E=90 A.1 B.2 2.如图，∠ABC=LACB,AD,BD, www.zxxk.com 上好每一堂课 几何综合性问题分类训练 种类型48道) 类型]三角形相关综合性问题 类型2全等三角形中动点相关综合性问题 类型3全等三角形中角平方线相关综 合性问题 类型4三线合一相关综合性问题 类型5 等腰三角形相关综合性问题 类型6等边三角形相关综合性问题 角形相关综合性问题 线交于点O,∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相 点E,则下列结论一定正确的个数有()个. n-4:8∠80C=0+A:@D4 C.3 D.4 CD分别平分ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF,以 1/16 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 下结论：①AD∥BC;②ACB 4DB:③L4DC+LABD=90°，④∠ADB=45°∠CD8.其中正确 的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB=∠BAD,AE平分∠CAD,交BC于点E,过点 E作EFAC,分别交AB、AD于点F、G.则下列结论：①∠BAC=9O°；②∠AEF=∠BEF;③∠BAE =∠BEA;④∠B=2∠AEF,其中正确的有（) D B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.如图，AC平分∠BAD,过C点作CE⊥AB于E,并且2AE=AB+AD,则下列结论： ①AB=AD+2BE;②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB;④SAABC-=S△4CD+SABCE,其中不正确的结论个数有 () B A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图，在△ABC,BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G,交BC于 A,下列结论：①∠DBE=∠P1②2LBEF=LBAF+∠C:图∠F=)BAC-∠9：④ ∠BGH=∠ABE+∠C,正确的序号是() 2/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H A.②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 6.如图，在ABC中，点D是BC边上一点，BD:CD=1:2,连接AD,点E是线段AD的中点，连接CE ,点F是线段CE的中点，连接BF交线段AD于点G,过点E作EH∥BF交AB于点H,连接HG.则下列 ①S=S;②SAG=SA4Bc；③Sa6=SAGBH·④SE6+SDsG=Ss边形cFGD·其中正 数是() E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，∠ABC=LACB,BD,CD,AD分别平分ABC的内角∠ABC,外角∠ACF,外角∠EAC,以 下结论：①AD∥BC;②∠ACB=2LADB;③∠BDC=∠BAC;④∠ADC=90-∠ABD;⑤ 2 《ADB=45°-)∠CDB,其中正确的结论有() E A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.如图，∠ABC=∠ACB,BD、CD、BE分别平分∠ABC,外角LACP,外角∠MBC,以下结论：① AD∥BC,②BD⊥BE,③LBDC+∠ABC=90°，④LBAC+2LBEC=180°，其中正确的结论有() 3/16 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 目目 类型02 全等三角形中动点相关综合性问题 9.如图，已知AB=10,AC=6,BD=8,其中∠CAB=∠DBA=Q,点P以每秒2个单位长度的速度沿着 C→A→B路径运动，同时，点Q以每秒x个单位长度的速度沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点 后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为t秒 ①若x=1,则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②若P,Q两点同时到达A点，则x=5; ③若u=90°，t=5,x=1,则PC与P2垂直； 4 4 ④若△ACP与BPQ全等，则x=或 511 以上说法正确的个数为() D C P B A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm,BC=8cm,点P从点D出发，以1cm/s的速 度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点 同时停止运动，设点P的运动时间为t(单位：s),下列结论①当t=4s时，四边形ABMP为矩形；②当 t=5s时，四边形CDPM为平行四边形；③当CD=PM时，t=4或5s;④当CD=PM时，t=4或6s。其中 结论正确的个数有() 4/16 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE, 连接DE、DF、EF,在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能 为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论有()个， D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.如图，在直角坐标系中，点A、B分别是x轴、y轴上的两个动点，分别以OB、AB为直角边在第一、 第二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC,连接CD交y轴于点P,连接CO、AD·下列说法：① △BC0≌△BAD;②C0⊥AD;③PC=PD;④若A-8,0),则BP=4.其中正确的有() VA A A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 13.如图，∠MON=120°，点P为∠MON的平分线上的一个定点，点A,B分别为边OM,ON上的动点， 且∠APB=60°，则以下结论中：①PA=PB;②OA+OB为定值；③四边形OAPB的面积为定值；④四边形 OAPB的周长为定值.正确的个数为() 5/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 IN M A.4 B.3 C.2 D.1 14.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE, AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交干点Q,连接PQ.以下六个结论：①AD=BE;② PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°；⑥0C平分∠AOE.其中不正确的个数为() B C E A.0 B.1 C.2 D.3 15.如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点B同 时出发，且速度都为1cm/s,连接AQ、CP交于点M,下面四个结论：①△ABQ≌△CAP;;②∠CMQ的度数不 变，始终等于60③BP=CM;正确的有几个() A.0 B.1 C.2 D.3 16.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足是点D,BE平分∠ABC交AC于E,交AD于F,点 G,点H分别为线段BE,AB上动点，下面四个结论：①LCAD=2LABE;②∠AEF=∠AFE;③ AC,AB=AD·BC;④AG+GH>AD.其中正确的有 (写出所有正确结论的序号). C D G H 6/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 目目 类型03 全等三角形中角平方线相关综合性问题 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过点P作PF⊥AD交 BC的延长线于点F,交AC于H,则下列结论：①SAACD:SA ABD=AC:AB;②LAPB=135°；③PF=PA; ④BD+AH=AB,其中正确的结论的个数是() E H B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 18.如图，ABC中，∠ABC、LACN的角平分线BD、CD交于点D,延长BA、BC,作DE⊥AB于E, DF⊥BC于F,点P在BN上，LADP+∠ABC=I80°，则下列结论中正确的个数为() ①AD平分∠MAC;②S.DAB:SDBc=AB:BC;③若LBDC=31°，则LDAM=59°，④BP-2AE=AB. M E D B PN A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 19.如图，ABC中，∠ABC,∠EAC的角平分线BP.AP交于点P,延长BA.BC,PM⊥BE, PN⊥BF,则下列结论中正确的个数是() ①CP平分∠ACF;②LABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2LAPB;④S.PAc=S.MAP+S.NCP; E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20.如图，BD是ABC的角平分线，AE⊥BD,垂足为F,交BC于点E,有下列结论：①BE=BA;② DE=DA;③LDEC=90°；④△ADF的面积=△EDF的面积，其中正确的有() 7/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 21.如图，AD是ABC的角平分线，DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好 平分∠ABF,AE=2BF,给出下列五个结论： ①DE=DF;②BC=2DB;③AD⊥BC;④AB=3BF;⑤SADB=2SBDF; D B 其中正确的结论共有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 22.如图，BD为ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上一点，BE=BA,过点E作EF⊥AB 于点F,则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD=180°；③ ∠ABE=∠DAE;④BA+BC=2BF;正确的为() D A.①②③ B.①②③④ C.①②④ D.①③④ 23.如图，任意画一个∠A=60°的ABC,再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD,BE和CD相交于点 P,连接AP,有以下结论：①LBPC=I20°；②AP平分∠BAC;③AP=PC;④BD+CE=BC;⑤ SPBH:SCA=AB:AC,正确的有() 8/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 24.如图，AD是ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,连结EF,EF与AD交 于点G.以下结论①EG=GF;②AD⊥EF;③AG=GD;④∠EDA=∠ADF;⑤DE=BE正确的有() 个 E B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 目目 类型04 三线合一相关综合性问题 25,如图，AB=AC,E为BC的中点，D为AE上任意一点，以下结论正确的有() ①△ABD≌△ACD,②AD=DE,③LBDE=∠CDE,④AE⊥BC,⑤AE是ABC的角平分线. B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 26.如图；在ABC中，AB=AC,AD是ABC的角平分线，下列结论正确的有() ①AD⊥BC;②BD=CD;③AC=2CD;④∠B=∠C;⑤△ABD≌△ACD. D 9/16 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 27.如图，ABC中，AB=AC,AD1BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是D,E,F,下列结论： ①AD平分∠BAC;②DA平分∠EDF;③AE=AF;④AD上的点到AB,AC两边距离相等.其中正确的 有() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 28.如图，在ABC中，AB=AC,BC=32,AD⊥BC,∠ABC的平分线交AD于点E,且DE=8.将 ∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合，①BD=16;②点E到AC的距离为8；③LAGE+LEMD=2LC; ④AB=2AE,，以上结论正确的个数是() D M A.4 B.3 C.2 D.1 29.如图：△ABC,CD⊥AD于D,AE⊥BC交BC延长线于点E,∠B=LBAC,AE,DC的延长线交于 点0，下列结论：①LACD=∠BCD;②LACB=2LBAE;③LEOC=∠BAC;④LECA=2LB.其中正确 的个数() A.1 B.2 C.3 D.4 30.如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条线上， CM平分∠DCE,连接BE,下列结论：①AD=-CE;②CM∥BE;③AE=BE+2CM;④S.cOE=SOE, 其中正确的有() 10/16 专题04 全册几何综合性问题分类训练 （6种类型48道） 1．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个．地 城 类型01 三角形相关综合性问题 ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 2．如图，，，，分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定与性质．根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②不正确； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故正确的结论有①③④． 故选：C． 3．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（    ）    A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】B 【分析】利用高线和同角的余角相等,三角形内角和定理即可证明①,再利用等量代换即可得到③ ④均是正确的,②缺少条件无法证明. 【详解】解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°, ∵∠ACB＝∠BAD ∴90°-∠ACB=90°-∠BAD,即∠CAD=∠B, ∵三角形ABC的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°, ∴∠CAB=90°,①正确, ∵AE平分∠CAD,EF∥AC， ∴∠CAE=∠EAD=∠AEF,∠C=∠FEB=∠BAD,②错误, ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠BEF+∠AEF, ∴∠BAE＝∠BEA,③正确, ∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF,④正确, 综上正确的一共有3个,故选B. 【点睛】本题考查了三角形的综合性质,高线的性质,平行线的性质,综合性强,难度较大,利用角平分线和平行线的性质得到相等的角,再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键. 4．如图，AC 平分∠BAD，过 C 点作 CE⊥AB 于 E，并且 2AE＝AB+AD，则下列结论: ①AB＝AD+2BE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ABC＝S△ACD+S△BCE，其中不正确的结论个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】过C作CF⊥AD于F．先判定Rt△ACF≌Rt△ACE，即可得出BE＝DF，再判定△CDF≌△CBE，即可得到CD＝CB；再根据四边形内角和以及三角形的面积计算公式，即可得到正确结论． 【详解】如图，过C作CF⊥AD于F． ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CF＝CE，∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），∴AF＝AE，∴AB+AD＝（AE+BE）+（AF﹣DF）＝2AE+BE﹣DF． 又∵AB+AD＝2AE，∴BE＝DF，∴AB﹣AD＝（AE+BE）﹣（AF﹣DF）＝BE+DF＝2BE，即AB＝AD+2BE，故①正确； ∵BE＝DF，∠CEB＝∠F＝90°，CF＝CE，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠CDF，CD＝CB，故③正确； 又∵∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°，∴四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD＝360°﹣180°＝180°，故②正确； ∵AB＝AD+2BE，CE＝CF，∴由等式性质可得：AB×CEAD×CF+2BE×CE，即S△ABC＝S△ACD+2S△BCE，故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，四边形的内角和定理以及邻补角定义等知识点的综合运用，正确作辅助线，构造全等三角形是解答此题的关键． 5．如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明，再结合①的结论可证明结论③；证明，再由，，可以证明结论④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号是①②③④， 故选：． 6．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段的中点，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，过点作交于点，连接．则下列结论：①；②；③：④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了中线与面积，平行线间的距离．熟练掌握中线的性质，平行线间的距离是解题的关键． 由，可得，设，则，，如图1，连接，，由点是线段的中点，可得，，可判断①的正误；，由点是线段的中点，可得，，则，可判断②的正误；，设到的距离为，到的距离为，则，即，由，，可得，则，由，可得，可判断③的正误；由，，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴， 设，则，， 如图1，连接，， ∵点是线段的中点， ∴，，①正确，故符合要求； ∴， ∵点是线段的中点， ∴，， ∴，即，②正确，故符合要求； ∴， 设到的距离为，到的距离为， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，， ∴，④错误，故不符合要求； 故选：C． 7．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质对选项逐个判断即可． 【详解】∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴， ∵平分， ∴，②正确； ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，③正确； ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴，⑤正确； ∵ ∴ ∵， ∴即，④正确； 正确的个数为5 故选：D 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，主要考查了学生的推理能力，有一定难度． 8．如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可． 【详解】解：①设点A、B在直线上， ∵、分别平分的内角，外角， ∴平分的外角， ∴， ∵，且， ∴， ∴，故①正确． ②∵、分别平分的内角、外角， ∴， ∴，故②正确． ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确． ④∵ ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉各个概念的内容是解题的关键． 9．如图，已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为秒．地 城 类型02 全等三角形中动点相关综合性问题 ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②若P，Q两点同时到达点，则； ③若，则与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形动点问题、全等三角形的性质和判定等知识点，弄清运动过程、找出符合条件的点的位置是解题的关键． ①根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断Q；首先求出P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，、，，然后得到与不全等，进而证明出，即可判断③；根据题意分两种情况∶ 和，然后根据全等三角形的性质列出方程求解即可判断④． 【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为t秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为t， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②错误； ③如图所示， 当时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴和不全等 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴与不垂直，故③错误； ④当时， ∴，即；，即， ∴； 当时， ∴，即；，即， ∴， ∴若与全等，则或．故④正确， 综上所述，正确的选项为①④． 故选B． 10．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，表示出，，和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，可得，， ∵，， ∴，， 当四边形为矩形时，， 即，解得，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即，解得，故②不正确； 当时，分两种情况： 当四边形是平行四边形时，则， 即，解得， 当四边形是等腰梯形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示，    则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有个． 故选： 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 11．在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论有（ ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据全等三角形的性质判断③，求出△DEF的最小值判断④． 【详解】连接CF. ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB， 在△ADF和△CEF中， , ∴△ADF≌△CEF， ∴EF=DF，∠CFE=∠AFD， ∵∠AFD+∠CFD=90°， ∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°， ∴△EDF是等腰直角三角形，①正确； 当D. E分别为AC，BC的中点时，四边形CDEF是正方形，②错误； ∵△ADF≌△CEF， ∴， ∴四边形CDFE的面积， ∴四边形CDFE的面积保持不变，③正确； ∵△DEF是等腰直角三角形， ∴当DE最小时，DF也最小， 即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF= AC=4， ∴DE= DF=， 当△CDE面积最大时，此时△DEF的面积最小， ∴，④正确， 故选C. 【点睛】本题主要考查三角形综合题，灵活运用是关键. 12．如图，在直角坐标系中，点、分别是轴、轴上的两个动点，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，连接、．下列说法：①≌；②；③；④若，则．其中正确的有（      ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． ①：根据即可证明；②：由①推出，再用八字形模型即可；③④：过点作轴于点，证明≌以及≌，即可得出结论． 【详解】解：①：由题意知，，，且，， ∴， 在与中， ∴≌； 故①正确； ②：由①知，， 设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴； 故②正确； ③和④：如图， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ∴≌， ∴，故③正确； ∴，故④正确； 故选： D． 13．如图，，点为的平分线上的一个定点，点A，B分别为边，上的动点，且，则以下结论中：①；②为定值；③四边形的面积为定值；④四边形的周长为定值．正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】作于E，于F．只要证明，，即可一一判断． 【详解】解：如图作于E，于F． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于E，于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确， ∵定值，故②正确， ∵， ∴， ∴定值，故③正确， 在移动过程中，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，且同时增大或减小，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交干点Q，连接PQ.以下六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分.其中不正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE； ③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正确； ②根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误； ⑤、⑥利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤、⑥正确． 【详解】①∵等边△ABC和等边△DCE， ∴BC=AC,DE=DC=CE,∠DEC=∠BCA=∠DCE=60∘， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中, AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD=BE； 故①正确； ③∵△ACD≌△BCE(已证)， ∴∠CAD=∠CBE， ∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)， ∴∠BCQ=180°-60°×2=60°， ∴∠ACB=∠BCQ=60°， 在△ACP与△BCQ中, ∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°， ∴△ACP≌△BCQ(ASA)， ∴AP=BQ； 故③正确； ②∵△ACP≌△BCQ， ∴PC=QC， ∴△PCQ是等边三角形， ∴∠CPQ=60∘， ∴∠ACB=∠CPQ， ∴PQ∥AE； 故②正确； ④∵AD=BE，AP=BQ， ∴AD−AP=BE−BQ， 即DP=QE， ∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°， ∴∠DQE≠∠CDE， ∴DE≠QE， 则DP≠DE，故④错误； ⑤∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∵等边△DCE， ∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE=∠DEO， ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°. 故⑤正确； ⑥同理可得出∠AOE=120°，∠OAC=∠OCD， ∴∠DCE=∠AOC=60°， ∴OC平分∠AOE，故⑥正确. 综上所述，正确的结论有：①②③⑤⑥，错误的结论只有④， 故选B. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键. 15．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①△ABQ≌△CAP；；②∠CMQ的度数不变，始终等于60°③BP＝CM；正确的有几个(         ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】易证△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ=∠ACP，即可求得∠AMP=∠BAC=60°，易证∠CQM≠60°，可得CQ≠CM，即可解题． 【详解】①∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°， 根据题意得：AP=BQ， 在△ABQ和△CAP中， ∵AB=AC，∠B=∠CAP，BQ=AP， ∴△ABQ≌△CAP（SAS），①正确； ②∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ=∠ACP， ∴∠AMP=∠ACP+∠CAQ=∠BAQ+∠CAQ =∠BAC=60°， ∴∠QMC=60°，②正确； ③∵∠QMC=60°，∠QCM≠60°， ∴∠CQM≠60°， ∴CQ≠CM， ∵BP=CQ， ∴CM≠BP，③错误. 故选C. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 16．如图，在中，，垂足是点平分交于E，交于F，点G，点H分别为线段上动点，下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的有 （写出所有正确结论的序号）．    【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了直角三角形和角平分线．熟练掌握直角三角形角性质和角平分线性质，全等三角形的判断和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 由垂直的定义可得，由，得到，由角平分线的定义可得，判断①；由，可得， ；判断②；由，判断③；在上取点，使，连接，，证明，得到，得到，判断④． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意；    在上取点，使，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②③． 17．如图，在中，，的角平分线相交于点P，过点P作交的延长线于点F，交于H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（    ）地 城 类型03 全等三角形中角平方线相关综合性问题 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和定理，角平分线的性质定理等知识．过点作于点，根据角平分线得到，则用面积公式可证明，即可判断①；根据三角形内角和定理判断②；然后证明，即可判断③；最后证明即可判断④． 【详解】解：过点作于点， 是的角平分线， ， ∴， ． ，故①正确． ， ． 、是的角平分线， ∴， ，故②正确． ， ， ． ． 是的角平分线， ， ． ，故③正确． ， ． 是的角平分线， ． ， ． ， ． ． ． ， ． ，故④正确． ∴正确的有4个， 故选：D． 18．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，作于，于，点在上，，则下列结论中正确的个数为（    ） ①平分；②；③若，则，④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，由角平分线的性质可得，可得平分；故①正确；由面积公式可判断②，由“”可证，可得，由“”可证，可得，由线段的和差关系可得，故④正确，由角平分线的性质可求；故③正确． 【详解】解：过D作于H， ∵、的角平分线、交于点D，于E，于F， ∴，， ∴， ∴平分；故①正确； ∵，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴正确的结论是①②③④，共4个， 故选：D． 19．如图，中，，的角平分线．交于点，延长．，，，则下列结论中正确的个数是（    ） ①平分；②；③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选D． 20．如图，是的角平分线，，垂足为F，交于点E．有下列结论：①；②；③；④的面积的面积，其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题需要根据角平分线的性质、垂直的定义以及全等三角形的判定与性质，对每个结论进行分析判断． 【详解】解：结论①：∵是的角平分线 ∴ ∵，所以 在和中： ∴ ∴，结论①正确； 结论②：由可得 ∵ ∴是的垂直平分线 ∴，结论②正确； 结论③：仅根据已知条件，无法得出，结论③错误； 结论④：∵，和以为底时，高相同 根据三角形面积公式（a为底，h为高） ∴的面积=的面积，结论④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，掌握“利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段相等和面积相等的关系”是解题的关键． 21．如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列五个结论： ①；②；③；④；⑤； 其中正确的结论共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，由角平分线的性质和平行线的性质可证，可得，由等腰三角形的性质可得，，由可证，可得，，，即可求解． 【详解】解：∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且是的角平分线， ∴，， 故②，③正确，符合题意； 在和中，， ∴， ∴，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 故④正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故⑤错误，不符合题意； 故选：A． 22．如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的为（    ）    A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．可证，所以可由绕点旋转而得到；由可得，，因为，等量代换；因为，所以，因为，，，所以，即，因为，可得；过作，可证，，所以，，据此可证明． 【详解】解：为的角平分线， ， ，， ， 可由绕点旋转而得到，故①符合题意， ， ， ， ， ， ， ，故②符合题意， ， ， ，， ， ， ， ， ，故③符合题意， 过作，交延长线于点，   ，为的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，故④符合题意， 故选：B． 23．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；由可知，过点作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；若，则，则，则为等边三角形，这与题干任意画一个 的不符，故③错误．，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出；由三角形全等的判定定理可得出，，故可得出，，再由可得出，④正确；利用角平分线的性质定理以及三角形的面积公式，可得⑤正确．正确作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 【详解】解：、分别是与的角平分线，， ， ， 故①正确； ， ， 过点作，，，， 、分别是与的角平分线， 是的平分线， 故②正确； 若，则，则，则为等边三角形， 这与题干任意画一个 的不符， 故③错误． ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， 同理，， ，， 两式相加得，， ， ， 故④正确； 是角平分线， 到、的距离相等， ， 故⑤正确． 故选：． 24．如图，是的角平分线，，，垂足分别为、，连结，与交于点.以下结论①；②；③；④；⑤正确的有（    ）个. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线性质的应用，根据角平分线性质求出，证，推出，再逐个判断即可． 【详解】是的角平分线，，分别是和的高， ，， 在和中， ， ， ， 又， 垂直平分， ，；①②正确； ，不一定等于， 不一定等于；③错误； ， ，④正确； 没有条件可以证明，故⑤不正确 综上，①②④正确，共3个． 故选：C． 25．如图，，E为的中点，D为上任意一点，以下结论正确的有（　）地 城 类型04 三线合一相关综合性问题 ①，②，③，④，⑤是的角平分线． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的“三线合一”即可证明④⑤，然后由证明，即可证明①，再由全等三角形的性质即可判断③． 【详解】解：，E为的中点， ∴，是的角平分线，即，故④⑤正确； ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，故③正确， 而与不一定相等，错误， 故正确的有个， 故选：C． 26．如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定，等腰三角形的角平分线，底边上的中线，底边的高相互重合． 由于，利用等边对等角，等腰三角形三线合一定理，可知，，，从而，无法证明，进而求解即可． 【详解】∵在中，是的角平分线， ∴ ∴，，，故①②④正确； ∴，故⑤正确； 无法证明，故③错误． 综上所述，正确的有4个． 故选：C． 27．如图，中，，， ，，垂足分别是下列结论：①平分；②平分；③；④上的点到两边距离相等．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由，推出平分；得到上的点到两边距离相等；由，可推出，得到，，即可得到答案． 【详解】解：，， 平分， 故结论①正确； 上的点到两边距离相等， 故结论④正确； ，， ， 在和中， ， ，， 平分 故结论②③正确； 综上所述，结论正确的有个， 故选：D． 28．如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质可判断①；根据角平分线的性质可判断②；由折叠的性质及和角关系、三角形内角和可判断③；由，得，即可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴； 故①正确； 如图，过点E作，垂足分别为F，H， ∵平分， ∴； ∵，， ∴平分， ∴, 即点E到AC的距离为8； 故②正确； 由折叠知，； ∵， 同理，， ∴ ； 故③正确； ∵， 即， ∴， ∴； 故④正确； 综上，正确的有4个； 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，折叠的性质，三角形内角和，高相等的两个三角形面积的比等于底边的比，掌握以上知识是解题的关键． 29．如图：，于，交延长线于点，，的延长线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据等角对等边得出，根据三线合一得出，即可判断①，根据等角的余角相等得出，进而得出，即可判断②，根据等角的余角相等得出，即可判断③，根据三角形外角的性质即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴ ∴，故③正确 ； ∵， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 30．如图，和均为等腰直角三角形，且，点、、在同一条线上，平分，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由“”可证，可得，可判断①；由等腰之间三角形的性质可得，，结合全等三角形的性质可求得，可判断②；结合线段的和差关系可判断③；根据三角形的面积公式可判断④；即可求解． 【详解】解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①错误； ∵为等腰直角三角形，平分， ∴，， ∵和均为等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵为等腰直角三角形，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∵和不一定相等， ∴不一定等于，故④错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明是解本题的关键． 31．如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的性质可判断（1）（2）（3），根据角平分线的性质定理可判断（4）． 【详解】解：∵平分， ∴，，， 故（1）（2）（3）正确， ∵平分， ∴， ∴ 故（4）正确， 综上，一共有4个正确， 故选：D 32．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④若，，则四边形的面积等于48，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质．先证明与全等，再证明与全等即可判断． 【详解】解：在与中， ， ∴，故③正确； ∴， ∴， ∴，故①正确 在与中， ， ∴， ∴， 故②正确； 四边形的面积， ∵，， ∴四边形的面积，故④错误； 故选C． 33．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ）地 城 类型05 等腰三角形相关综合性问题 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③． 故选：A． 34．如图，是等腰三角形，且顶角，是的垂直平分线，则有：①平分；②；③；④的周长，其中正确的有（　　）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的周长，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质，可判断①，根据等腰三角形的判定，即等角对等边，可判断②，根据，可判断③，先根据线段垂直平分线的性质得与的关系，再等量代换即可判断④，最后对各个选项逐项分析即可． 【详解】解：是等腰三角形，且顶角， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 平分，故正确； ，， ， ，故正确； ， ，故错误； ， ， 的周长，故正确． 正确的结论有个． 故选C． 35．如图，在中，（），角平分线交于点于点有下列结论： ①；②；③是等腰三角形；④． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． ①利用角平分线的性质及三角形内角和定理进行求解即可； ②根据垂直得出直角，利用直角三角形的性质以及角的和差即可求解； ③过点作于点，过点作于点，利用角平分线的性质得出相等线段，证明即可得出结论； ④结合③的结论，证明，然后再利用面积的和差即可得出结论． 【详解】解：①∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 故②正确，符合题意； ③如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故③正确，符合题意； ④由③得，，且， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④，共4个， 故选：D． 36．如图，在中，与的平分线交于点M，过点M作交于点D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可得，，由等角对等边得出，，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，与的平分线交于点M， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和都是等腰三角形，故①正确； 的周长，故②正确； 和不一定相等，故不一定等于，故③错误； ，故④错误； 综上所述，正确的有①②，共个， 故选：C． 37．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时点不与，重合，给出以下个结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤四边形的面积的面积．其中正确的结论有几个(    ) A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形和全等三角形的性质与判定，观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等(，)，根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断． 【详解】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ，， 、都是的余角， ， 在与中， ， )， 同理可证， ①由得到，故①②正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故③正确； 由得到， 则， 故⑤正确； 无法证明，故④不正确， 故选：B． 38．如图，在中，是的平分线，点E是边上一点，且，交于点F．下列结论正确的有（    ） ①；②和互相垂直平分；③是等腰三角形；④平分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合角平分线的定义得，再证明，故，再根据，则是的垂直平分线，又因为，所以是等腰三角形，再结合等边对等角以及平行线的性质，得，即可作答． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴； 故①是符合题意的； ∵， ∴ ∵， ∴是的垂直平分线， 故②是不符合题意的； ∵， ∴是等腰三角形， 故③是符合题意的； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故④是符合题意的； 故选：C 39．如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③是等腰三角形；④；⑤； A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由“”可证，可得，故 ① 正确．由等腰三角形的性质可得 ，故②正确，由角的数量关系可求，可得，即是等腰直角三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得，则可得，故④正确；由角平分线的性质可得点F到的距离等于点F到的距离，由三角形的面积公式可求 ，故⑤正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，故①正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故③正确． ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵平分， ∴点F到的距离等于点F到的距离， ∴ ，故⑤正确， 所以，正确的结论是①②③④⑤，共5个 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键． 40．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E，下列四个结论：①；②点D在的垂直平分线上；③图中共有5个等腰三角形；④；其中正确的结论有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得到，再根据角平分线的定义，得到，然后利用平行线的性质，即可判断①结论；根据垂直平分线的性质定理的逆定理，即可判断②结论；根据等腰三角形的判定定理，即可判断③结论；根据全等三角形的判定定理，即可判断④结论． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ，①结论正确； ， ， 点D在的垂直平分线上，②结论正确； ，，， 、、是等腰三角形， ， ， 是等腰三角形， ， ，， ， ， 是等腰三角形， 图中共有5个等腰三角形，③结论正确； 和是等腰三角形， ，， ， 在和中， ， ，④结论正确， 正确的结论有：①②③④，共4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直平分线的判定，全等三角形的判定等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 41．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（   ）地 城 类型06 等边三角形相关综合性问题 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 证明≌，可得①正确；即可求得，可得③正确；再证明≌，可得②④正确和，即可证明⑤正确；结合全等三角形的判断与性质及角平分线的判定定理即可求出⑥正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故②④正确，符合题意； ∵， ∴是等边三角形， 故⑤正确，符合题意； 作于，于，如图所示： 则， 在和中， ， ∴≌， ∴， 又∵于，于， ∴是的平分线， 故⑥正确，符合题意； 正确的有6个． 故选：D． 42．如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法： 其中一定正确的个数有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，因为，所以，可判断①正确；由，推导出，可根据“”证明，得，则，可判断②正确；由于点，得，若成立，则，因为点为边上一个动点，所以不一定等于，可判断③错误；由，，求得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形，点在边上，点在边上， ，， ， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； 于点， ， 若成立，则， 点为边上一个动点， 不一定等于， 与不一定相等，故③错误； ，， ， ，故④正确． 综上，正确的有3个． 故选：B． 43．如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①若，则是等边三角形； ②的周长等于线段的长； ③平分； ④．正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】 解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形． 故①正确． 由轴对称可知，，， ． 故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ，． ． 平分． 故③正确． ，， ． ， ． ． 故④正确． 故选：D． 44．如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则． 其中结论正确的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，以及直角三角形的性质．由在中，，，证得，继而可得，再由，可得D为中点，由于无法得到，，的关系，故不能证得是等边三角形，由若，求得，则可证得，继而证得，在此条件下，利用即可证明，从而判断结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，； ∴，故①正确； ∵， ∴，即D为中点，故②正确； 但不能判定是等边三角形；故③错误； ∵若， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．故④正确． ∵若，是等边三角形， 在和中， ， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 45．如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点．有以下结论：①；②；③，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形三线合一，即可一一判断． 【详解】解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∵是角平分线， ∴，，故①正确， ∴ ∴，故②正确 ∴，故③正确， 故选：D． 46．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为．其中正确的结论为（   ） A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键． 首先证明，得到，得到是等边三角形，②正确；根据与都是等腰直角三角形，得到得到①③正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，得出的度数为④正确． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴②是等边三角形正确， ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ， ，， 为的角平分线， 为等腰三角形， ①垂直平分正确， ， ③平分正确， 为等腰三角形，顶角， ， 同理， ∴④的度数为正确． 故选D． 47．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②当时，的周长最小；③当时，，其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 过点作于点，作于点，根据角平分线的定义，角平分线的性质定理得到，可判定①；根据点到直线垂线段最短可判定②；根据等边三角形的性质，平行线的性质可判定③；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点，， ∴， ∴， ∴，且， ∴是等边三角形，故①正确； 根据点到直线垂线段最短可知当时，的值最小， ∵是等边三角形， ∴的周长为，此时周长最小，故②正确； 当时， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，即点重合， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：D ． 48．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，．下面的结论：①；②是等边三角形；③；④；其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】过点O作，垂足分别为M，N，过点O作于点H，利用等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形性质等知识解答即可． 【详解】解：过点O作，垂足分别为M，N，过点O作于点H， ∵，，于点D， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴． ∴， ∵ ∴, ∴①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 故②正确； ∵ ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵,， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴, 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $