第10讲 等可能事件的概率-2025-2026学年北师大版数学七年级下册寒假预习

第10讲 等可能事件的概率 一、核心知识点 （一）等可能事件的定义（古典概型核心）  1. 基本概念 基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果（如掷骰子时“点数为1” “点数为2”都是基本事件）。 等可能事件：若试验中所有基本事件的发生机会均等（即每个基本事件出现的可能性相同），且基本事件总数有限，则称这类事件为等可能事件（也叫古典概型事件）。   2. 等可能事件的两个核心条件 条件1：有限性 试验的所有可能结果（基本事件）是有限个（可一一列举） 示例：掷骰子的基本事件只有6个（点数1-6），有限；“明天降雨的量”结果无限，非等可能事件 条件2：等可能性 每个基本事件发生的可能性大小完全相同 示例：均匀骰子的每个点数出现概率相同（等可能）；质地不均匀的骰子非等可能 3. 常见等可能事件模型 掷均匀硬币（基本事件：正面、反面，2个，等可能）； 掷均匀骰子（基本事件：点数1-6，6个，等可能）； 从摇匀的不透明袋子中摸球（每个球被摸到的机会均等）； 均匀转盘抽奖（每个区域被指针指向的机会均等）。 （二）等可能事件的概率计算公式（核心考点） 1. 公式推导 若试验共有个等可能的基本事件，事件包含其中个基本事件，则事件发生的概率为： 事件包含的基本事件数试验的基本事件总数 取值范围：（与频率、概率的统计定义一致）： 当是必然事件时，，； 当是不可能事件时，，； 当是随机事件时，。 2. 公式应用示例 试验场景 基本事件总数 事件 事件包含的基本事件数 掷均匀硬币 2（正、反） 正面朝上 1 掷均匀骰子 6（1-6点） 点数为偶数 3（2、4、6） 从含3红2白的袋子摸1球 5（3红+2白） 摸出红球 3 均匀转盘（8等分区域） 8 指针指向奇数区域 4（1、3、5、7） （三）“放回”与“不放回”试验的概率差异（高频易错点） 1. 放回试验（有重复） 定义：每次试验后，将取出的对象放回，保证下一次试验的基本事件总数不变，各次试验相互独立。 示例：袋子有2红1白，放回摸两次，第一次摸红球的概率，第二次摸红球的概率仍为（总数保持3个）。 2. 不放回试验（无重复） 定义：每次试验后，取出的对象不放回，下一次试验的基本事件总数减少，各次试验相互影响。 示例：袋子有2红1白，不放回摸两次，第一次摸红球的概率，第二次若第一次摸红球，剩余1红1白，摸红球的概率变为（总数变为2个）。 （四）等可能事件概率的计算步骤 1. 列举基本事件：明确试验的所有基本事件（确保有限、等可能），不重复、不遗漏； 1. 数清总数与个数：统计基本事件总数，以及事件包含的基本事件数； 1. 代入公式计算：，结果化为最简分数（或小数、百分数）； 1. 验证合理性：检查结果是否在到之间，是否符合实际逻辑。 （五）几何型等可能事件（拓展） 适用场景：试验结果是平面或线段上的点（无限个），但每个点出现的概率与“长度/面积/角度”成正比（均匀分布）。 概率公式：事件对应的几何度量（长度面积角度）试验总几何度量（长度面积角度）。 示例：均匀转盘被分成面积比为2:3的两个区域，指针指向较小区域的概率为。 二、常见易错知识 1. 误判等可能事件（忽略“等可能性”条件） 错误表现： 认为所有随机事件都是等可能的，如“质地不均匀的骰子，点数1-6是等可能事件” “从装5红1白的袋子摸球，摸出红球和白球是等可能的”； 忽略“有限性”，如“求明天气温为25℃的概率”（结果无限，非等可能事件，无法用古典概型公式）。 正确分析： 等可能事件必须同时满足“有限性”和“等可能性”，缺一不可； 判断“等可能性”的关键：试验对象是否均匀（如均匀骰子、摇匀的袋子）、每个结果的机会是否均等。 正确示例：质地均匀的骰子是等可能事件，不均匀的不是；5红1白的袋子中，红球和白球被摸到的概率不同（非等可能）。 2. 基本事件数统计错误（漏数、多数、混淆有序/无序） 错误表现： 漏数：掷两枚均匀骰子，认为基本事件数是11（点数和2-12），实际是36（(1,1)、(1,2)…(6,6)，有序组合）； 多数：从3个球（A、B、C）中不放回摸2个，认为基本事件数是6（AB、BA、AC、CA、BC、CB），实际若不计顺序，是3个（AB、AC、BC）； 混淆有序无序：计算“掷两枚骰子点数和为5”的基本事件数，漏数(1,4)和(4,1)、(2,3)和(3,2)，只算2个（实际4个）。 正确分析： 统计基本事件数时，先明确“有序”还是“无序”：掷骰子、抽奖等试验通常有序，摸球不放回且不计顺序时无序； 用“列举法”（列表、树状图）统计，确保不重复、不遗漏（如两枚骰子用列表法列出36个基本事件）。 3. 混淆“放回”与“不放回”试验 错误表现： 不放回试验按放回计算，如“袋子有2红1白，不放回摸两次，求两次都摸红球的概率”，错算为（正确应为）； 放回试验按不放回计算，如“放回摸两次，求两次都摸红球的概率”，错算为（正确应为）。 正确分析： 放回试验：每次基本事件总数不变，概率独立；不放回试验：总数减少，概率受前一次结果影响； 用树状图区分：放回试验的树状图每一层分支数相同，不放回则减少。 4. 概率公式应用错误（分子分母颠倒/计算错误） 错误表现： 分子分母颠倒：“从3红2白中摸白球”，错算白球（正确应为）； 约分错误：“掷骰子点数为奇数”，错算（正确应为）； 单位混淆：几何概型中，转盘角度比与面积比混淆（如转盘面积比3:5，错按角度比计算）。 正确分析： 牢记公式：事件的基本事件数总基本事件数，先确认分子（符合条件）、分母（总数）； 几何概型中，概率与“长度/面积/角度”成正比（均匀转盘的面积比=角度比），统一度量单位后计算。 5. 误解等可能事件概率的实际意义 错误表现： 认为“概率为的事件，两次试验必有一次发生”（如掷硬币两次，认为必有一次正面）； 认为“概率小的事件一定不发生”（如中奖概率0.01，认为买100张一定中奖）； 用概率预测单次试验结果（如“摸红球概率，所以这次一定摸红球”）。 正确分析： 等可能事件的概率是“大量重复试验的频率稳定值”，仅反映事件发生的可能性大小，不能预测单次试验结果； 概率为不代表两次试验必有一次发生，只是长期来看，频率趋近于。 6. 忽略“试验对象的同一性” 错误表现： 混合不同类型的基本事件，如“掷骰子+掷硬币”，认为总基本事件数是6+2=8（实际是6×2=12，分步试验的基本事件数相乘）； 从不同袋子摸球，错将两个袋子的球数相加（如袋子A有2红，袋子B有3白，摸一个球的基本事件数是2+3=5，而非相乘）。 正确分析： 分步试验（如先掷骰子再掷硬币）：基本事件数=各步基本事件数相乘（6×2=12）； 分类试验（如从A或B袋子摸球）：基本事件数=各类基本事件数相加（2+3=5）。 三、核心概念速记与易错警示 1. 核心概念速记 等可能事件：“有限结果，机会均等”； 概率公式：“符合条件数÷总事件数，最简分数表结果”； 放回vs不放回：“放回总数不变，不放回总数减少”； 几何概型：“长度/面积/角度比，均匀分布才适用”。 2. 易错警示 三不混淆：不混淆“等可能”与“非等可能”，不混淆“放回”与“不放回”，不混淆“有序”与“无序”； 三不误解：不误解概率的单次预测意义，不误解分子分母的位置，不误解分步/分类试验的基本事件数； 关键方法：“列举法（列表/树状图）统计基本事件，公式代入前先验证等可能条件”。 【知识点结合练】 一、单选题 1．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，根据题意知小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意知，小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块， ∴最终停留在花形方砖上的概率为， 故选：． 2．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球，1个黄球， ∴从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为． 故选：A． 3．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的求法：用符合条件的部分线段的长度（或部分区域的面积）和整条线段的长度（或整个区域的面积）的比叫做几何概率．首先确定在图中白色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在白色区域的概率． 【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，其中白色区域有两个扇形， ∴任意转动这个转盘次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是． 故选：C． 4．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出针扎到小正方形（阴影）区域的概率． 【详解】解：根据题意分析可得：正方形ABCD边长为，故面积为5； 阴影部分边长为，面积为1； 则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是即两部分面积的比值为． 故选：A． 5．在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A．一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C．从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 【答案】D 【分析】此题考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率， A、一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球的概率为，故此选项不符合题意； B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3的概率为，故此选项不符合题意； C、从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率的概率为，故此选项不符合题意； D、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率为，故此选项符合题意． 故选：D． 6．在一个不透明的布袋中装有蓝色、 白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相 同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（    ） A．10个 B．20个 C．30个 D．40个 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在其概率附近．已知摸到蓝色球的频率稳定在左右，因此蓝色球的数量等于总球数乘以概率． 【详解】解：由题意，总球数为50个，摸到蓝色球的概率约为． 因此，蓝色球的数量为：（个）， 故选：B 7．如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机闭合开关中的两个的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机闭合开关中的两个共有6种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有4种， 则灯泡发光的概率为， 故选：B． 8．书法是中国及深受中国文化影响过的周边国家和地区特有的一种文字美的艺术表现形式．“中国书法”是中国汉字特有的一种传统艺术，有篆书、隶书、楷书、行书、草书五种书体（如图所示）．小明和小红都是书法爱好者，他们准备从这几种书体中分别随机选择一种练习写“春”字．小明和小红都选择“楷书”练习“春”字的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所以有可能得结果，概率等于所求情况数与总情况数之比，据此即可得出答案． 【详解】解：设篆书、隶书、楷书、行书、草书五种书体分别用A、B、C、D、E表示， 根据题意，列出表格，如下： A B C D E A A，A B，A C，A D，A E，A B A，B B，B C，B D，B E，B C A，C B，C C，C D，C E，C D A，D B，D C，D D，D E，D E A，E B，E C，E D，E E，E 由表格可知，共有25种等可能的结果，其中小明和小红都选择“楷书”练习“春”字的情况有1种， 小明和小红都选择“楷书”练习“春”字的概率为， 故选：D． 二、填空题 9．一个袋中装有个红球，个黄球，个白球，每个球除颜色外没有任何区别，任意摸出一球，摸到 （填“红”、“黄”或“白”）球的可能性最大． 【答案】白 【分析】本题主要考查可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记清各自的数目．先求出总球的个数，再分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性最大． 【详解】解：袋中装有个红球，个黄球，个白球， 总球数是：个， 摸到红球的概率是：， 摸到黄球的概率是：， 摸到白球的概率是：， ， 摸到白球的概率最大， 故答案为：白． 10．如图是铺有黑白两色地砖的地面，小明向地面上随意抛一块小石子，小石子落在 色地砖上的可能性大．（填“黑”或“白”，砖缝忽略不计） 【答案】白 【分析】本题考查了可能性大小的判断．由图可知，总共有块方砖，且白色方砖有块，黑色方砖有块，即可判断． 【详解】解：总共有块方砖，且白色方砖有块，黑色方砖有块， 小石子落在黑色地砖上的可能性为，小石子落在白色地砖上的可能性为， ， 小石子落在白色地砖上的可能性大， 故答案为：白． 11．在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球最可能为 个． 【答案】8 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 根据摸到黑球的频率得出球的总数，然后减去黑球个数即可． 【详解】解：根据题意得：， 则纸箱中白球个数很可能是8个． 故答案为：8． 12．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“光”、“景”、“博”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“景博”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查求解概率，常用的方法有3种：树状图法、列表法和穷举法，本题即为穷举法． 列举出所有的可能，从而得出符合题意的概率． 【详解】解：根据题意，所有的可能有：阳光、阳景、阳博、光阳、光景、光博、景阳、景光、景博、博阳、博光、博景 共计12种可能 其中，可以组成景博的有2种可能 ∴概率为： 故答案为：． 13．如图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并连续停留天．则此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 先求出天中空气质量指数的所有情况，再求出有一天空气质量优良的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知，当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量均为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率为． 故答案为：． 14．“五一”劳动节某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个相同的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向数字3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）．经统计，当天发放一、二等奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为 人． 【答案】1600 【分析】本题主要考查了概率的基本计算，由图中转盘可知，获得一等奖的概率为，获得二等奖的概率为，即获得一、二等奖的概率为，当天共发放奖品600份，让600除以获奖的概率即可解答． 【详解】解：P（获一等奖）， P（获二等奖）， 则当天参与此项活动的顾客为（人）． 故答案为：1600 15．一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查画树状图或列表法求概率，解题的关键是画出所有的情况，再用概率公式进行求解． 根据题意画出树状图，再利用概率公式进行求解． 【详解】解：画树状图为 由此可得，一共有9种等可能的情况，两次摸出的球都是“红球”的有4种， ∴两次摸出的球都是“红球”的概率为． 故答案为： 16．甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出他们任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的所有等可能的结果，再分别找出掷出的点数是奇数、掷出的点数是偶数的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意可知，甲、乙两人任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数共有6种等可能的结果，其中，掷出的点数是奇数的结果有三种，掷出的点数是偶数的结果有三种， 则甲赢的概率为，乙赢的概率为， 所以甲赢的概率和乙赢的概率相等， 所以这个游戏对甲、乙来说是公平的， 故答案为：公平． 三、解答题 17．如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止． (1)当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？ (2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为且． （1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，根据概率公式求解即可． （2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果， 所以指针指向奇数区域的概率是； （2）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果， 所以指针指向的数小于或等于5的概率是． 18．（跨英语学科）英文字母中，元音字母有a，e，i，o，u．现用25张标有英文字母的卡片拼出“Work hard，and you will succeed”．从这25张卡片中任意抽1张，比较下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大的顺序排列． 事件①：卡片上面的字母属于元音字母； 事件②：卡片上面的字母不属于元音字母； 事件③：卡片上面的字母是“l”． 【答案】事件③事件①事件② 【分析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法． 根据可能性大小的概念分别求出三个事件的可能性大小，从而得出答案． 【详解】解：由题意，得事件①发生的可能结果有种，可能性大小为：； 事件②发生的可能结果有种，可能性大小为：； 事件③发生的可能结果有种，可能性大小为：； ∵， 事件③事件①事件②． 19．一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． (1)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． (2)在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】(1)4 (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查了根据概率公式求解，游戏的公平性的判断，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）根据概率判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 所以； 故答案为：4； （2）公平，（小颖获胜），（小英获胜） ， 公平． 20．在一个不透明的袋子里装有除颜色外，其他都相同的5个红球和2个蓝球． (1)先从袋子里取出个蓝球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值为________． ②如果事件A是随机事件，则m的值为________． (2)先从袋子中取出n个红球，再放入个一样的蓝球并摇匀，若摸出一个球是蓝球的概率是，求n的值． 【答案】(1)①2；②1 (2)3 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 且． （1）①如果先从袋子里取出个蓝球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球是必然事件，则袋子里面装的都是红球，即可求出取出的蓝球个数； ②如果先从袋子里取出个蓝球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球是随机事件，则袋子里面装的既有红球又有蓝球，即可求出取出的蓝球个数； （2）先求出球的总个数为：（个），再求出现在蓝球的总个数为：（个），然后求出放入蓝球的个数为：，最后求出n的值即可． 【详解】（1）解：先从袋子里取出个蓝球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A， ①如果事件A是必然事件，则袋子中只有红球，则拿出了2个蓝球，则m的值为2； ②如果事件A是随机事件，则袋子中既有红球又有篮球，则取出的蓝球个数为1个，则m的值为1． 故答案为：①2；②1． （2）解：先从袋子中取出n个红球，再放入个一样的蓝球，则球的总个数为： （个）， ∵摸出一个球是蓝球的概率是， ∴现在蓝球的总个数为：（个）， ∴放入蓝球的个数为：（个）， ∴， 解得：． 21．下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【答案】(1) (2) (3)60件 【分析】本题考查用频率估计算概率，频率计算公式，求出合格品的频率是解题的关键． （1）根据合格率，计算即可； （2）求出合格品的频率 ，由此估计出合格品的概率； （3）根据次品数，计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：抽查总体件数：， 合格品数：， ∴抽合格品的频率为：， ∴估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率约为， 故答案为：． （3）解：（件）， 答：从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有60件． 22．2025年3月1日是中国民间传统节日“龙抬头”，这一天寓意着万物复苏、生机勃发．在这个特殊的日子，“学好中国字  做好中国人”文化行动北京研讨会在北京吴东魁艺术馆隆重举行．如图，一个转盘被平均分成10等份，分别标有“学”“好”“中”“国”“字”“做”“好”“中”“国”“人”这10个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是______，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是______； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于6画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)， (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是， 指针指向汉字的笔画数是偶数的有：“学”“好”“中”“国”“字” “好”“中”“国”“人”，有9个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是； （2）解：游戏不公平，理由如下： 10个汉字中笔画多于6画的有：“学” ，“国” ，“国”， “做”， 10个汉字中笔画不多于6画的有： “好”“中” “字” “好”“中” “人”， 所以小明获胜的概率为， 小华获胜的概率为， 小明获胜的概率小华获胜的概率， 所以游戏不公平． 23．小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 24．三张卡片正面分别写有，，，除正面的数字不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽到的数字是偶数的概率为_____________； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，记正面数字为点的横坐标，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，记正面数字为点的纵坐标，请在表格中补全两次取出的卡片上数字所形成的点坐标所有可能的结果，并求出点在反比例函数的图象上的概率． 【答案】(1)； (2)补全表格见解析；点在反比例函数的图象上的概率为． 【分析】本题主要考查了随机事件的概率．先求出所有等可能出现的情况的数量，再求出要求出现的事件的数量，根据概率公计算即可． 从，，三个数中随机抽一个数，共有三种等可能的情况，因为只有是偶数，所以抽到偶数的可能性只有一种，所以抽到偶数的概率为； 列表把所有等可能出现的情况都列出来，共有种情况，其中在反比例函数上的情况只有种，所以点在反比例函数的图象上的概率为． 【详解】（1）解：，，中只有是偶数， 抽到的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：补充表格如下 共有种结果，只有和在反比例函数上， 点在反比例函数的图象上的概率为． 试卷第2页，共21页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 等可能事件的概率 一、核心知识点 （一）等可能事件的定义（古典概型核心）  1. 基本概念 基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果（如掷骰子时“点数为1” “点数为2”都是基本事件）。 等可能事件：若试验中所有基本事件的发生机会均等（即每个基本事件出现的可能性相同），且基本事件总数有限，则称这类事件为等可能事件（也叫古典概型事件）。   2. 等可能事件的两个核心条件 条件1：有限性 试验的所有可能结果（基本事件）是有限个（可一一列举） 示例：掷骰子的基本事件只有6个（点数1-6），有限；“明天降雨的量”结果无限，非等可能事件 条件2：等可能性 每个基本事件发生的可能性大小完全相同 示例：均匀骰子的每个点数出现概率相同（等可能）；质地不均匀的骰子非等可能 3. 常见等可能事件模型 掷均匀硬币（基本事件：正面、反面，2个，等可能）； 掷均匀骰子（基本事件：点数1-6，6个，等可能）； 从摇匀的不透明袋子中摸球（每个球被摸到的机会均等）； 均匀转盘抽奖（每个区域被指针指向的机会均等）。 （二）等可能事件的概率计算公式（核心考点） 1. 公式推导 若试验共有个等可能的基本事件，事件包含其中个基本事件，则事件发生的概率为： 事件包含的基本事件数试验的基本事件总数 取值范围：（与频率、概率的统计定义一致）： 当是必然事件时，，； 当是不可能事件时，，； 当是随机事件时，。 2. 公式应用示例 试验场景 基本事件总数 事件 事件包含的基本事件数 掷均匀硬币 2（正、反） 正面朝上 1 掷均匀骰子 6（1-6点） 点数为偶数 3（2、4、6） 从含3红2白的袋子摸1球 5（3红+2白） 摸出红球 3 均匀转盘（8等分区域） 8 指针指向奇数区域 4（1、3、5、7） （三）“放回”与“不放回”试验的概率差异（高频易错点） 1. 放回试验（有重复） 定义：每次试验后，将取出的对象放回，保证下一次试验的基本事件总数不变，各次试验相互独立。 示例：袋子有2红1白，放回摸两次，第一次摸红球的概率，第二次摸红球的概率仍为（总数保持3个）。 2. 不放回试验（无重复） 定义：每次试验后，取出的对象不放回，下一次试验的基本事件总数减少，各次试验相互影响。 示例：袋子有2红1白，不放回摸两次，第一次摸红球的概率，第二次若第一次摸红球，剩余1红1白，摸红球的概率变为（总数变为2个）。 （四）等可能事件概率的计算步骤 1. 列举基本事件：明确试验的所有基本事件（确保有限、等可能），不重复、不遗漏； 1. 数清总数与个数：统计基本事件总数，以及事件包含的基本事件数； 1. 代入公式计算：，结果化为最简分数（或小数、百分数）； 1. 验证合理性：检查结果是否在到之间，是否符合实际逻辑。 （五）几何型等可能事件（拓展） 适用场景：试验结果是平面或线段上的点（无限个），但每个点出现的概率与“长度/面积/角度”成正比（均匀分布）。 概率公式：事件对应的几何度量（长度面积角度）试验总几何度量（长度面积角度）。 示例：均匀转盘被分成面积比为2:3的两个区域，指针指向较小区域的概率为。 二、常见易错知识 1. 误判等可能事件（忽略“等可能性”条件） 错误表现： 认为所有随机事件都是等可能的，如“质地不均匀的骰子，点数1-6是等可能事件” “从装5红1白的袋子摸球，摸出红球和白球是等可能的”； 忽略“有限性”，如“求明天气温为25℃的概率”（结果无限，非等可能事件，无法用古典概型公式）。 正确分析： 等可能事件必须同时满足“有限性”和“等可能性”，缺一不可； 判断“等可能性”的关键：试验对象是否均匀（如均匀骰子、摇匀的袋子）、每个结果的机会是否均等。 正确示例：质地均匀的骰子是等可能事件，不均匀的不是；5红1白的袋子中，红球和白球被摸到的概率不同（非等可能）。 2. 基本事件数统计错误（漏数、多数、混淆有序/无序） 错误表现： 漏数：掷两枚均匀骰子，认为基本事件数是11（点数和2-12），实际是36（(1,1)、(1,2)…(6,6)，有序组合）； 多数：从3个球（A、B、C）中不放回摸2个，认为基本事件数是6（AB、BA、AC、CA、BC、CB），实际若不计顺序，是3个（AB、AC、BC）； 混淆有序无序：计算“掷两枚骰子点数和为5”的基本事件数，漏数(1,4)和(4,1)、(2,3)和(3,2)，只算2个（实际4个）。 正确分析： 统计基本事件数时，先明确“有序”还是“无序”：掷骰子、抽奖等试验通常有序，摸球不放回且不计顺序时无序； 用“列举法”（列表、树状图）统计，确保不重复、不遗漏（如两枚骰子用列表法列出36个基本事件）。 3. 混淆“放回”与“不放回”试验 错误表现： 不放回试验按放回计算，如“袋子有2红1白，不放回摸两次，求两次都摸红球的概率”，错算为（正确应为）； 放回试验按不放回计算，如“放回摸两次，求两次都摸红球的概率”，错算为（正确应为）。 正确分析： 放回试验：每次基本事件总数不变，概率独立；不放回试验：总数减少，概率受前一次结果影响； 用树状图区分：放回试验的树状图每一层分支数相同，不放回则减少。 4. 概率公式应用错误（分子分母颠倒/计算错误） 错误表现： 分子分母颠倒：“从3红2白中摸白球”，错算白球（正确应为）； 约分错误：“掷骰子点数为奇数”，错算（正确应为）； 单位混淆：几何概型中，转盘角度比与面积比混淆（如转盘面积比3:5，错按角度比计算）。 正确分析： 牢记公式：事件的基本事件数总基本事件数，先确认分子（符合条件）、分母（总数）； 几何概型中，概率与“长度/面积/角度”成正比（均匀转盘的面积比=角度比），统一度量单位后计算。 5. 误解等可能事件概率的实际意义 错误表现： 认为“概率为的事件，两次试验必有一次发生”（如掷硬币两次，认为必有一次正面）； 认为“概率小的事件一定不发生”（如中奖概率0.01，认为买100张一定中奖）； 用概率预测单次试验结果（如“摸红球概率，所以这次一定摸红球”）。 正确分析： 等可能事件的概率是“大量重复试验的频率稳定值”，仅反映事件发生的可能性大小，不能预测单次试验结果； 概率为不代表两次试验必有一次发生，只是长期来看，频率趋近于。 6. 忽略“试验对象的同一性” 错误表现： 混合不同类型的基本事件，如“掷骰子+掷硬币”，认为总基本事件数是6+2=8（实际是6×2=12，分步试验的基本事件数相乘）； 从不同袋子摸球，错将两个袋子的球数相加（如袋子A有2红，袋子B有3白，摸一个球的基本事件数是2+3=5，而非相乘）。 正确分析： 分步试验（如先掷骰子再掷硬币）：基本事件数=各步基本事件数相乘（6×2=12）； 分类试验（如从A或B袋子摸球）：基本事件数=各类基本事件数相加（2+3=5）。 三、核心概念速记与易错警示 1. 核心概念速记 等可能事件：“有限结果，机会均等”； 概率公式：“符合条件数÷总事件数，最简分数表结果”； 放回vs不放回：“放回总数不变，不放回总数减少”； 几何概型：“长度/面积/角度比，均匀分布才适用”。 2. 易错警示 三不混淆：不混淆“等可能”与“非等可能”，不混淆“放回”与“不放回”，不混淆“有序”与“无序”； 三不误解：不误解概率的单次预测意义，不误解分子分母的位置，不误解分步/分类试验的基本事件数； 关键方法：“列举法（列表/树状图）统计基本事件，公式代入前先验证等可能条件”。 【知识点结合练】 一、单选题 1．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 3．如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是（ ） A． B． C． D． 4．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是（   ） A． B． C． D． 5．在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　） A．一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 C．从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 6．在一个不透明的布袋中装有蓝色、 白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相 同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（    ） A．10个 B．20个 C．30个 D．40个 7．如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 8．书法是中国及深受中国文化影响过的周边国家和地区特有的一种文字美的艺术表现形式．“中国书法”是中国汉字特有的一种传统艺术，有篆书、隶书、楷书、行书、草书五种书体（如图所示）．小明和小红都是书法爱好者，他们准备从这几种书体中分别随机选择一种练习写“春”字．小明和小红都选择“楷书”练习“春”字的概率为（   ） A． B． C． D． A B C D E A A，A B，A C，A D，A E，A B A，B B，B C，B D，B E，B C A，C B，C C，C D，C E，C D A，D B，D C，D D，D E，D E A，E B，E C，E D，E E，E 二、填空题 9．一个袋中装有个红球，个黄球，个白球，每个球除颜色外没有任何区别，任意摸出一球，摸到 （填“红”、“黄”或“白”）球的可能性最大． 10．如图是铺有黑白两色地砖的地面，小明向地面上随意抛一块小石子，小石子落在 色地砖上的可能性大．（填“黑”或“白”，砖缝忽略不计） 11．在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球最可能为 个． 12．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“光”、“景”、“博”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“景博”的概率是 ． 13．如图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并连续停留天．则此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率是 ． 14．“五一”劳动节某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个相同的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向数字3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）．经统计，当天发放一、二等奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为 人． 15．一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 ． 16．甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 三、解答题 17．如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止． (1)当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？ (2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？ 18．（跨英语学科）英文字母中，元音字母有a，e，i，o，u．现用25张标有英文字母的卡片拼出“Work hard，and you will succeed”．从这25张卡片中任意抽1张，比较下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大的顺序排列． 事件①：卡片上面的字母属于元音字母； 事件②：卡片上面的字母不属于元音字母； 事件③：卡片上面的字母是“l”． 19．一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． (1)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． (2)在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 20．在一个不透明的袋子里装有除颜色外，其他都相同的5个红球和2个蓝球． (1)先从袋子里取出个蓝球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值为________． ②如果事件A是随机事件，则m的值为________． (2)先从袋子中取出n个红球，再放入个一样的蓝球并摇匀，若摸出一个球是蓝球的概率是，求n的值． 21．下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 22．2025年3月1日是中国民间传统节日“龙抬头”，这一天寓意着万物复苏、生机勃发．在这个特殊的日子，“学好中国字  做好中国人”文化行动北京研讨会在北京吴东魁艺术馆隆重举行．如图，一个转盘被平均分成10等份，分别标有“学”“好”“中”“国”“字”“做”“好”“中”“国”“人”这10个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是______，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是______； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于6画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 23．小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 24．三张卡片正面分别写有，，，除正面的数字不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽到的数字是偶数的概率为_____________； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，记正面数字为点的横坐标，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，记正面数字为点的纵坐标，请在表格中补全两次取出的卡片上数字所形成的点坐标所有可能的结果，并求出点在反比例函数的图象上的概率． 试卷第2页，共21页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $