第04讲 二次根式（复习讲义，3考点12题型4重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“二次根式”专题，覆盖概念（识别、有意义条件等）、性质（非负性、化简等）、运算（乘除、混合等）三大核心考点，按“基础概念-性质应用-综合运算”递进架构知识网络，通过考情剖析、知识导航、考点解析、真题训练等环节，帮助学生系统突破易错点。 亮点在于融合抽象能力、运算能力、推理意识培养，如利用数轴化简二次根式培养几何直观，设计“找规律”题型提升推理意识。分层练习配合真题精讲，确保不同学生高效提升，教师可借助考情数据把控节奏，助力学生短时间内强化应考能力。

第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 二次根式的有关概念 题型01二次根式的识别 题型02二次根式有意义的条件 题型03最简二次根式 题型04 同类二次根式 命题点二 二次根式的性质 题型01 二次根式的非负性 题型02利用二次根式的性质化简 题型03二次根式的估算 命题点三 二次根式的运算 题型01 二次根式的乘除运算 题型02二次根式的加减运算 题型03 二次根式的混合运算 题型04二次根式的化简求值 题型05二次根式的应用 05·重难突破·思维进阶难 38 突破一 二次根式的大小比较 突破二 复合二次根式的化简 突破三 利用二次根式的性质找规律 突破四 分母有理化 06·优题精选·练能提分 52 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式有关概念 北京卷 T9 北京卷 T9 / 了解二次根式的有关概念；能熟练掌握二次根式有意义的条件：“被开方数为非负数”即 二次根式化简 北京卷 T17 北京卷 T17 北京卷 T17 知道什么是最简二次根式，如何化成最简二次根式及同类二次根式的合并方法。 命题预测 针对二次根式的基础概念及运算进行考查，题型一般以填空题和解答题为主。在二次根式概念的考察中，常见为二次根式有意义的条件，只需熟练地掌握有意义的条件：被开方数为非负数。二次根式的化简中，考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程和准确性。 考点一 二次根式的有关概念 1.二次根式 二次根式的定义：形如的式子叫作二次根式.符号“”叫作二次根号. 二次根式的特征： （1） 必含“”，“”的根指数为2，一般2省略； （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子； （3） 双重非负性：（4） ； 2. 二次根式有意义的条件 3. 最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 二次根式化简成最简二次根式的步骤： （1）"一分"，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子，分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式； （2）"二移"，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因数(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上； （3）"三化"，即化去被开方数中的分母。 4. 同类二次根式 （1） 同类二次根式 把二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，那么这样的二次根式称为同类二次根式。 （2） 合并同类二次根式 合并同类二次根式与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变。合并的依据是乘法分配律的逆向运用。即： 1．（2025·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（2024·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 3．（2025·北京·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得：； 故答案为： 考点二 二次根式的性质 1. 二次根式的性质 二次根式的性质 性质1：.即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 性质2： 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值. 1．（25-26八年级上·北京顺义·期中）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ∴， 解得． 故选：D． 2．（2025·四川） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了化简二次根式． 根据二次根式的性质，，然后计算绝对值即可． 【详解】解：因为， 所以， 因此． 故答案为：． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，分母有理化，特殊角三角函数，0指数幂等知识．分别根据二次根式的性质，分母有理化，特殊角三角函数，0指数幂等知识进行化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 考点三 二次根式的运算 1. 二次根式的乘法 （1） 如果那么有. 即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数的积的平方根. （2） 【补充】那么有. 2.二次根式的除法 （1） 如果那么有. 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. （2） 3.二次根式的加减 （1）二次根式的加减法法则：二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并， 在二次根式的运算中,实数的运算性质和运算法则同样适用 （2）二次根式加减运算的步骤 ①“化”:将每个二次根式都化为最简二次根式; ②“找”:找出同类二次根式: ③“并”:将同类二次根式合并 4.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算种类 ：二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算. （2）二次根式的混合运算顺序 ：先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号就先算括号里面的；与整式的混合运算顺序相同同. （3）二次根式混合运算中的运算律 ：实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. （4）二次根式混合运算的几种常见的类型及计算方法 1．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （3）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （4）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 （3）解：原式； （4）解：原式 ． 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．先算二次根式的除法，再化简即可． 【详解】解： ． 3．（24-25八年级下·天津河西·期中）已知：，，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代数式求值、二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握运算法则及乘法公式． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 命题点一 二次根式的有关概念 ►题型01 二次根式的识别 / 【典例】1．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，若被开方数为负数，则不属于二次根式，据此依次判断即可. 【详解】解：选项A：，被开方数，不符合题意； 选项B：，无论取何值，，故， 不符合题意； 选项C：，被开方数为（，故），符合题意； 选项D：，被开方数， 不符合题意. 故选：C. 2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式． ②：被开方数，无意义，不是二次根式． ③：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． ④：被开方数为，当，即时才有意义．但题目未限定的范围，无法保证被开方数非负，故不是二次根式． ⑤：无论取何值，，被开方数恒正，是二次根式． ⑥：分母，被开方数恒正，是二次根式． 综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个， 故选B． 【变式】1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键，根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式，据此判断即可求解． 【详解】解：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，该选项不符合题意； 、是二次根式，该选项符合题意； 、根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，该选项不符合题意； 、当时，是二次根式；当时，无意义，不是二次根式，故不一定是二次根式，该选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D．a 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，理解并掌握其定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A. 中被开方数小于零，无意义，故该选项错误，不符合题意； B. 是二次根式，故该选项正确，符合题意； C. 中根指数是3，不是二次根式，故该选项错误，不符合题意； D. a不符合二次根式的形式，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． ►题型02 二次根式有意义的条件 / 【典例】1．（2022·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】x≥8 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x的取值范围． 【详解】解：要使式子有意义， 即， ∴． 故答案为：． 【变式】1．（2025·江苏盐城·中考真题）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式，进而求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得， 故答案为：． 2．（2025·河南·中考真题）请写出一个使在实数范围内有意义的的值： ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴使在实数范围内有意义的的值可以为； 故答案为：3（答案不唯一）． ►题型03最简二次根式 / 【典例】1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若是最简二次根式，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵时，，根号下有分母，不是最简二次根式； ∵时，，可化简为整数，不是最简二次根式； ∵时，，可化简，不是最简二次根式； ∵时，，被开方数2不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式． 故选：B． 【变式】1．（24-25八年级下·吉林延边·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 可以此来判断哪个选项是正确的． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求出剪下一个最大的正方形的边长为，则可得到剩余阴影部分长方形的宽为，长为，即可求解． 【详解】解：长方形的宽为，长为， ∴剪下一个最大的正方形的边长为， ∴剩余阴影部分长方形的宽为，长为， ∴剩余阴影部分（仍为长方形）的周长为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的加减运算和最简二次根式，掌握二次根式的计算方法是解题的关键． ►题型04 同类二次根式 / 【典例】1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断二次根式是否为同类，需将它们化为最简二次根式，比较被开方数是否相同，据此逐项判断即可． 【详解】解：同类二次根式需化简后被开方数相同， 选项A：与，被开方数分别为和7，不同，故不是同类二次根式； 选项B：与（其中），可化为，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 选项C：，，两者最简形式被开方数均为6，故是同类二次根式； 选项D：，，其中，，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出方程组是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义，可得关于、的二元一次方程组，根据解方程组，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式得： ， 解得：． 故选：D． 【变式】1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）最简二次根式与是同类二次根式，则 ， ． 【答案】 1 【分析】根据同类二次根式的定义，得，解答即可． 本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式与最简二次根式的定义，掌握定义是解题的关键． 根据两个二次根式是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于a的方程，进而可求出a的值，再判断是否是最简二次根式即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 当时，，，它们是最简二次根式． 因此,最简二次根式 与 是同类二次根式． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与都是最简二次根式、并且是同类二次根式， ∴，， 解得：，， 此时被开方数，，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。 ∴， 故答案为：5； 命题点二 二次根式的性质 ►题型01 二次根式的非负性 / 【典例】1．（2025·河北邯郸·模拟预测）若，则a的值可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值可以是． 故选：D． 2．（2025·黑龙江大庆·三模）下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件和二次根式的性质即可判断． 【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意； B.当时，该选项不成立，不符合题意； C. 当时，该选项不成立，不符合题意； D. 当时，取，此时成立，但在实数范围内无意义，故该选项不成立，不符合题意； 故选：A． 【变式】1．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 2．（2024·河南洛阳·一模）下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，分母有理化，正确计算是解本题的关键．根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的性质化简对B进行判断；根据二次根式的加法对C进行判断；根据分母有理化对D进行判断． 【详解】解：A、，原计算正确，故不符合题意； B、，原计算错误，故符合题意； C、，原计算正确，故不符合题意； D、，原计算正确，故不符合题意． 故选：B． 3．（2025·全国·一模）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的非负性可得，解不等式即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 利用二次根式的性质化简 / 【典例】1．（2025·贵州毕节·三模）将化为最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（2025·江苏南京·一模）计算的结果是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式化简的法则． 利用二次根式化简的法则进行化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式】1．（24-25八年级下·天津和平·阶段练习）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，先结合二次根式的性质得，再整理原式为，根据完全平方公式进行变形化简得，再求出x的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把整理得， 则， ∴， ∴， 解得， 即， ∴， 故答案为： 3．（2025·河南安阳·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 ． 【答案】0 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，再根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 题型03 二次根式的估值 / 【典例】1．（25-26八年级上·重庆·期中）估算的结果在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先估算，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 即估算的结果在8和9之间． 故选：D． 2．（24-25八年级下·四川南充·期末）估算的值在（      ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先计算得，估算出，再进一步计算出结果即可． 【详解】解：， ， ， ， 的值在1和2之间， 故选：A． 【变式】1．（24-25八年级上·重庆·期中）估算的值在（   ） A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）估算的值为 ．（保留小数点后两位，其中，） 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据，，求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）估算的值 ．（保留小数点后一位） 【答案】7.9 【分析】本题考查了无理数的估算，根据“夹逼法”求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7.9． 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除运算 / 【典例】1．（25-26·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式乘除法，根据二次根式乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式】1．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法，乘方，混合运算解答即可． 本题考查了二次根式的乘法，乘方，混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 2．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可； （2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可． 【详解】（1）解： （2） 题型02 二次根式的加减运算 / 【典例】1．（24-25八年级上·北京通州·期末）计算． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；先化简，然后再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（23-24八年级下·北京东城·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解： ． 【变式】1．（2025·吉林白山·期末）计算：． 【答案】 【分析】先将二次根式化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式化简的方法． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据合并同类二次根式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，先根据算术平方根，立方根进行化简，再做加减运算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． ►题型03 二次根式的混合运算 / 【典例】1．（25-26八年级上·上海·期中）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 【答案】（1）4（2）（3）（4） 【详解】本题考查二次根式的混合运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先计算零次幂，负指数幂，绝对值，再进行计算即可； （2）先分母有理化，运用二次根式性质化简，再进行加减计算即可； （3）先化为最简二次根式，把除法转化为乘法，再进行乘法运算； （4）先算括号里面的加减运算，再计算除法即可． 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 【变式】1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算、算术平方根、立方根等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用算术平方根、立方根化简，然后再计算即可； （2）根据绝对值以及二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（24-25八年级下·宁夏·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式混合运算、平方差公式、完全平方公式、乘方运算等知识点，熟练掌握二次根式运算法则和顺序是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质以及乘方运算法则化简，然后再按照二次根式的混合运算法则化简即可； （2）先用完全平方公式、平方差公式计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则、零指数幂和乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的乘法法则、零指数幂和绝对值的意义计算，然后化简二次根式后合并即可； （2）先根据二次根式的除法法则和平方差公式计算，然后化简二次根式后进行有理数的加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 题型04 二次根式的化简求值 / 【典例】1．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）已知，求代数式的值． 【答案】7． 【分析】根据二次根式的运算解答即可． 本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 【详解】解：； 当时， 原式． 2．（24-25八年级下·北京大兴·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用因式分解进行简便运算成为解题的关键． 先因式分解，然后将代入并运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式】1．（2025·北京）已知，求代数式的值． 【答案】4 【分析】将变形后，再将a的值代入计算可得结果． 【详解】解：． 当时，， ∴ 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式． 2．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，将的值代入计算即可得； （2）根据，将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，利用二次根式混合运算的法则将所求式子化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． ►题型05 二次根式的应用 / 【典例】1．（24-25八年级上·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键． （1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，，得到最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当且仅当时，， 解得， ∴当时，的最小值为4，此时， 故答案为：4，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，的最小值为， ∴y的最小值为． 2．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽（结果化为最简二次根式）； (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的中央建造一个边长为米的正方形升降台，舞台的剩余部分（图中阴影部分）铺设地板，已知地板的价格为每平方米200元，求铺设地板需花费的总费用． 【答案】(1)这个舞台的宽是米 (2)铺设地板需花费的总费用为14400元 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）先算出阴影部分面积，再计算铺设地板需花费的总费用即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米）， 答：这个舞台的宽为米； （2）解：阴影部分的面积平方米， 铺设地板需花费元． 【变式】1．（24-25八年级下·陕西延安·期末）光伏产业作为可再生能源领域的重要组成部分，近年来在全球范围内实现了快速发展．某大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和．求屋顶未利用区域（阴影部分）的面积． 【答案】屋顶未利用区域（阴影部分）的面积为 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用，数形结合表示出阴影部分矩形的长和宽，并运用二次根式乘法运算求解是解决问题的关键．先由题中两个正方形面积分别为和，直接开平方得到边长，进而表示出阴影部分矩形长和宽，再由矩形面积公式代值求解，由二次根式乘法运算计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，正方形的面积为，则边长为； 正方形的面积为，则边长为； 阴影部分矩形长为，宽为，则屋顶未利用区域（阴影部分）的面积为， 答：屋顶未利用区域（阴影部分）的面积为． 2．（24-25八年级下·河北·期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求剩余木料的面积． (2)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出______块这样的木条． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和范围，根据题意解答． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 剩余木料的面积为； （2）解：剩余木料的长为，宽为， ，， 从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出2块这样的木条， 故答案为： 3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． 【详解】（1）解：若， 则有， ∴， 故答案为：，； （2）若， 则有， ∴，即， ∵a，m，n为依次减小的正整数， ∴或 当时，；满足a，m，n为依次减小的正整数，符合题意； 当时，；a，m，n为依次减小的正整数，符合题意． ∴或 突破一 二次根式的大小比较 【典例】1．（2025·陕西榆林·模拟预测）比较大小： 3．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，解题关键是将数都放到根号内，再作比较． 先将两个数都化为一个根号下的二次根式，再通过比较补开方数，然后得出原数的大小． 【详解】解：∵，， ， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 【变式】1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）比较大小： （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握二次根式的性质是解题关键．由二次根式的性质可得，再根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)9 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：的有理化因式是． ． 故答案为：， （3）解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． （4）解： ， ， ， ． 3．（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 【答案】(1) (2)> (3) 【分析】（1）分母有理化即可； （2）先分母有理化，再比较大小； （3）先分母有理化，再算加减． 本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）， ， ， ； 故答案为：>； （3） 突破二 复合二次根式的化简 【典例】1．（2024·江西景德镇）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ； 故选D． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测） ． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可．本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【变式】1．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式把式子化简，再进行计算． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 突破三 利用二次根式的性质找规律 【典例】1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律及二次根式的化简，解题的关键是从符号变化和根号内数字的规律两方面分析数据的排列特征． 观察数据的符号，奇数项为负、偶数项为正，可确定符号规律；将各项化为统一的二次根式形式，分析根号内数字与项数的关系，进而得出第n项的表达式． 【详解】将数据统一化为二次根式形式： 第1项：； 第2项：； 第3项：； 第4项：； 由此可见，符号规律为，根号内的数字为2n， ∴这组数据的第n项是． 故选：C． 2．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用． 根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律，将式子算：改写为，运用规律进行求解． 【详解】∵， ， ， …… ， ， 故选：C． 【变式】1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）观察下列等式，如果为大于的正整数，请用含的等式表示这个运算规律： ． ；；； 【答案】（，且为整数）． 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，掌握算术平方根的定义是关键． 根据算术平方根的定义和数字的变化规律进行计算． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ∴． 故答案为：（，且为整数）． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期末）将一组数，按以下方式进行排列： 则第七行左起第5个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，观察可知，第行共个数，最后一个数字为，且每一个数的被开方数均为的倍数，进行求解即可． 【详解】解：， ∴第行共个数，最后一个数字为， ∴第七行的最后一个数为：， ∴第七行左起第5个数是：； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）观察下列一组数：1、1、、、、、 按规律在横线上填上合适的数． 【答案】 【分析】本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力． 由数据可发现从第三项起每一项都等于根号下前两项的根号下的数字之和，由此规律即可求出横线上的数． 【详解】解：由题意得，一组数1，1，，，，=， 则，即从第三项起每一项都等于根号下前两项的根号下的数字之和，所以横线上的数是， 故答案为：． 突破四 分母有理化 【典例】1．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）计算： ． 【答案】45 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：45． 【变式】1．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 2．（25-26八年级上·广东深圳·月考）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 3．（24-25八年级下·广东江门·期末）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴． 请你观察小明的解答过程后，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程． （1）把分子分母同乘，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化得到，再移项平方得到，接着把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ， ， ． 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；根据最简二次根式的定义，被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵最简二次根式需满足被开方数为整数且无开得尽方的因数， 对于A：，被开方数6为整数，且无平方因数，∴为最简二次根式； 对于B：，被开方数含分母，不是整数，∴不是最简二次根式； 对于C：，被开方数含平方因数4，∴不是最简二次根式； 对于D：，被开方数9为平方数，可开尽，∴不是最简二次根式； 故选A． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得且，解得，再代入求出的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得， 当时，， 所以， 故答案为：． 4．（2025·北京海淀·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 本题可设，将原式转化为关于的表达式，然后通过因式分解化简式子，最后再将代入求解即可． 【详解】解：设， 原式 ， 设， 原式 ， 当时，原式． 6．（2025·全国·一模）计算： （要求：分步书写，体现分母有理化过程） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、负整数指数幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、分母有理化、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 1．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据将被开方数变形，再根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a为正整数，b在0和1之间， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，判断出字母的符号是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义判断出a和b的符号，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴a和b同号， ∴， ∵要使和有意义， ∴，， ∴，， ∴ ． 3．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 5．（24-25八年级下·云南大理·期末）在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：． (2)矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，二次根式的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据题目中的例子进行分母有理化解答本题； （2）根据题意，可以求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵矩形的面积为，一边长为， ∴其邻边长为， ∴该矩形的周长为． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）平面直角坐标系内，若点和点关于直线对称，则的计算结果是 ． 【答案】 【分析】先根据点和点关于直线对称，得到方程组，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵点和点关于直线对称， ∴， 解得 ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解二元一次方程组，轴对称的性质，利用二次根式的性质化简等知识点，正确求出是解题的关键． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于实数，，规定一种新运算：，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次根式的运算，二次根式的性质，根据新定义把转化为二次根式的运算计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． 先将进行化简得到，再根据是整数即可解答． 【详解】解：根据题意，化简得：， 又∵是整数， ∴满足条件的最小正整数x为3． 故答案为3． 4．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． （1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解． 【详解】（1）长方形的周长 ， 答：长方形的周长是； （2）蔬菜地的面积 ， （元）， 答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为元． 5．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）已知实数、满足， (1)求的值； (2)试比较的值与3的大小． 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的运用，实数比较大小． （1）利用完全平方公式将变形为，再代值计算即可； （2）先求出，，再通分化简得，再代值计算，再比较与3的大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即． 6．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）【阅读】古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式，这一公式称为海伦公式．即：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为：． 【问题解决】在中，，，，请用海伦公式求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，先求出p的值，再利用海伦公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 二次根式的有关概念 题型01二次根式的识别 题型02二次根式有意义的条件 题型03最简二次根式 题型04 同类二次根式 命题点二 二次根式的性质 题型01 二次根式的非负性 题型02利用二次根式的性质化简 题型03二次根式的估算 命题点三 二次根式的运算 题型01 二次根式的乘除运算 题型02二次根式的加减运算 题型03 二次根式的混合运算 题型04二次根式的化简求值 题型05二次根式的应用 05·重难突破·思维进阶难 17 突破一 二次根式的大小比较 突破二 复合二次根式的化简 突破三 利用二次根式的性质找规律 突破四 分母有理化 06·优题精选·练能提分 23 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式有关概念 北京卷 T9 北京卷 T9 / 了解二次根式的有关概念；能熟练掌握二次根式有意义的条件：“被开方数为非负数”即 二次根式化简 北京卷 T17 北京卷 T17 北京卷 T17 知道什么是最简二次根式，如何化成最简二次根式及同类二次根式的合并方法。 命题预测 针对二次根式的基础概念及运算进行考查，题型一般以填空题和解答题为主。在二次根式概念的考察中，常见为二次根式有意义的条件，只需熟练地掌握有意义的条件：被开方数为非负数。二次根式的化简中，考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程和准确性。 考点一 二次根式的有关概念 1.二次根式 二次根式的定义：形如的式子叫作二次根式.符号“”叫作二次根号. 二次根式的特征： （1） 必含“”，“”的根指数为2，一般2省略； （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子； （3） 双重非负性：； 2. 二次根式有意义的条件 3. 最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 二次根式化简成最简二次根式的步骤： （1）"一分"，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子，分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式； （2）"二移"，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因数(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上； （3）"三化"，即化去被开方数中的分母。 4. 同类二次根式 （1） 同类二次根式 把二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，那么这样的二次根式称为同类二次根式。 （2） 合并同类二次根式 合并同类二次根式与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变。合并的依据是乘法分配律的逆向运用。即： 1．（2025·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 2．（2024·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 3．（2025·北京·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 考点二 二次根式的性质 1. 二次根式的性质 二次根式的性质 性质1：.即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 性质2： 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值. 1．（25-26八年级上·北京顺义·期中）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川） ． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值： 考点三 二次根式的运算 1. 二次根式的乘法 （1） 如果那么有. 即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数的积的平方根. （2） 【补充】那么有. 2.二次根式的除法 （1） 如果那么有. 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. （2） 3.二次根式的加减 （1）二次根式的加减法法则：二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并， 在二次根式的运算中,实数的运算性质和运算法则同样适用 （2）二次根式加减运算的步骤 ①“化”:将每个二次根式都化为最简二次根式; ②“找”:找出同类二次根式: ③“并”:将同类二次根式合并 4.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算种类 ：二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算. （2）二次根式的混合运算顺序 ：先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号就先算括号里面的；与整式的混合运算顺序相同同. （3）二次根式混合运算中的运算律 ：实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. （4）二次根式混合运算的几种常见的类型及计算方法 1．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）计算： 3．（24-25八年级下·天津河西·期中）已知：，，分别求下列代数式的值： (1) (2) 命题点一 二次根式的有关概念 ►题型01 二次根式的识别 / 【典例】1．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式】1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D．a 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 二次根式有意义的条件 / 【典例】1．（2022·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·江苏盐城·中考真题）若有意义，则的取值范围是 ． 2．（2025·河南·中考真题）请写出一个使在实数范围内有意义的的值： ． ►题型03最简二次根式 / 【典例】1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若是最简二次根式，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．8 【变式】1．（24-25八年级下·吉林延边·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（   ） A． B． C． D． ►题型04 同类二次根式 / 【典例】1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，那么（  ） A． B． C． D． 【变式】1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）最简二次根式与是同类二次根式，则 ， ． 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ． 3．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 命题点二 二次根式的性质 ►题型01 二次根式的非负性 / 【典例】1．（2025·河北邯郸·模拟预测）若，则a的值可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2025·黑龙江大庆·三模）下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 【变式】1．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南洛阳·一模）下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·一模）若，则实数的取值范围是 ． 题型02 利用二次根式的性质化简 / 【典例】1．（2025·贵州毕节·三模）将化为最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·一模）计算的结果是（    ） A．3 B． C． D． 【变式】1．（24-25八年级下·天津和平·阶段练习）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知，则x的值为 ． 3．（2025·河南安阳·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 ． 题型03 二次根式的估值 / 【典例】1．（25-26八年级上·重庆·期中）估算的结果在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 2．（24-25八年级下·四川南充·期末）估算的值在（      ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【变式】1．（24-25八年级上·重庆·期中）估算的值在（   ） A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）估算的值为 ．（保留小数点后两位，其中，） 3．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）估算的值 ．（保留小数点后一位） 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除运算 / 【典例】1．（25-26·上海松江·期中）计算：． 【变式】1．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）计算：． 2．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型02 二次根式的加减运算 / 【典例】1．（24-25八年级上·北京通州·期末）计算． 2．（23-24八年级下·北京东城·月考）计算： 【变式】1．（2025·吉林白山·期末）计算：． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）计算： ►题型03 二次根式的混合运算 / 【典例】1．（25-26八年级上·上海·期中）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 【变式】1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·宁夏·期末）计算： (1)． (2)． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 题型04 二次根式的化简求值 / 【典例】1．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）已知，求代数式的值． 2．（24-25八年级下·北京大兴·期末）已知，求代数式的值． 【变式】1．（2025·北京）已知，求代数式的值． 2．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． ►题型05 二次根式的应用 / 【典例】1．（24-25八年级上·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 2．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽（结果化为最简二次根式）； (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的中央建造一个边长为米的正方形升降台，舞台的剩余部分（图中阴影部分）铺设地板，已知地板的价格为每平方米200元，求铺设地板需花费的总费用． 【变式】1．（24-25八年级下·陕西延安·期末）光伏产业作为可再生能源领域的重要组成部分，近年来在全球范围内实现了快速发展．某大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和．求屋顶未利用区域（阴影部分）的面积． 2．（24-25八年级下·河北·期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求剩余木料的面积． (2)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出______块这样的木条． 3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 突破一 二次根式的大小比较 【典例】1．（2025·陕西榆林·模拟预测）比较大小： 3．（填“>”“<”或“=”） 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【变式】1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）比较大小： （填“”或“”或“”） 2．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 3．（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 突破二 复合二次根式的化简 【典例】1．（2024·江西景德镇）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 2．（2025·浙江宁波·模拟预测） ． 【变式】1．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 突破三 利用二次根式的性质找规律 【典例】1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）观察下列等式，如果为大于的正整数，请用含的等式表示这个运算规律： ． ；；； 2．（24-25八年级下·山东临沂·期末）将一组数，按以下方式进行排列： 则第七行左起第5个数是 ． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）观察下列一组数：1、1、、、、、 按规律在横线上填上合适的数． 突破四 分母有理化 【典例】1．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 2．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）计算： ． 【变式】1．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 2．（25-26八年级上·广东深圳·月考）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 3．（24-25八年级下·广东江门·期末）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴． 请你观察小明的解答过程后，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列各二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若，则 ． 4．（2025·北京海淀·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）计算：． 6．（2025·全国·一模）计算： （要求：分步书写，体现分母有理化过程） 1．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）化简： 3．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 5．（24-25八年级下·云南大理·期末）在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：． (2)矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）平面直角坐标系内，若点和点关于直线对称，则的计算结果是 ． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于实数，，规定一种新运算：，例如，则 ． 3．（24-25八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 4．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 5．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）已知实数、满足， (1)求的值； (2)试比较的值与3的大小． 6．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）【阅读】古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式，这一公式称为海伦公式．即：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为：． 【问题解决】在中，，，，请用海伦公式求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $