第03讲 分式（复习讲义，3考点9题型4重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学分式专题复习讲义，覆盖分式概念、性质、运算及化简求值等中考核心考点，按“考情剖析-知识导航-考点解析-题型预测-重难突破”架构梳理，通过考点通关、典例变式、分层训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破分式有意义条件、混合运算等难点。 亮点在于“重难突破”模块创新设计，如用整体思想求分式值、倒数法解题等策略，结合规律探究、新定义问题培养数学思维，精选2023-2025年北京中考真题及三级分层练习，保障复习效果，助力学生提升运算能力与应试技巧，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第一章 数与式 第03讲 分式 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 分式的有关概念 题型01识别分式 题型02分式有意义和无意义的条件 题型03分式的值（为正、负或0） 命题点二 分式的基本性质 题型01 分式的基本性质 题型02识别最简分式与最简公分母 题型03约分与通分 命题点三 分式的运算 题型01 分式的混合运算 题型02分式的化简求值 题型03零指数幂与负整数指数幂 05·重难突破·思维进阶难 15 突破一 利用整体思想求分式值 突破二 利用倒数法求分式值 突破三 与分式有关的规律探究 突破四 与分式有关的新定义问题 06·优题精选·练能提分 19 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式的运算 北京卷 T17 北京卷 T17 北京卷 T17 了解分式的基本性质，熟悉零指数幂与负整数指数幂的运算公式。 分式的化简求值 北京卷 T19 北京卷 T19 北京卷 T19 熟练掌握分式的相关概念，会运用分式的约分和通分来化简分式，知道什么形式是最简分式。 命题预测 围绕分式的基本概念、性质、运算法则及分式的化简求值等基本知识进行考查。长以计算题和解答题出现。零指数幂与负整数指数幂常出现在实数的混合运算中，所以必须掌握二次根式的性质、特殊角的三角函数值及绝对值的意义。在分式的化简中，不但要吃透分式的通分与约分的性质，还需熟练掌握 整式运算与因式分解，这样的题型中，首先需找到未知量或式子的值，再代入求值，常用直接代入法或整体代入法。 考点一 分式的有关概念 1.分式的概念 定义：一般地，如果a,b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式，其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。 分式“三要素”： （1） 形如的式子； （2） a，b为整式； （3） 分母b中含有分母. 【补充】分式与分数、整式的关系 （1）分式中分母含有字母。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值时的特殊情况。 （2）分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母。 （3）整式和分式统称为有理式。 2. 分式有意义和无意义的条件 分式有意义的条件： 分式的分母表示除数，所以分式的分母不为0，所以当时，分式才有意义. 分式无意义的条件： 分式的分母为0，即当b=0时，分式无意义. 3. 分式的值为0的条件 分式的值为0的条件： 当分式 的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.（当a=0,b≠0时，） 几种特殊分式值的情况讨论： （1） 若的值为正数，则，或 （2） 若的值为负数，则，或 （3） 若的值为1，则，且 （4） 若的值为-1，则，且 1．（2025·北京·三模）若代数式的值为0，则满足要求的所有x的值为（   ） A．1 B．0 C．0或 D．0或1 2．（2023·北京·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 3．（2025·北京大兴·二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 考点二 分式的基本性质 1. 分式的基本性质 由字母表示为，（a、b、m都是整式，且m≠0） 【补充】分式的符号法则（分子、分母与分式本身的符号，同时变两个，分式值不变） （1） ； （2） 2. 分式的约分 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分。 找公因式的方法： （1） 当分子，分母都是单项式时，先找分子，分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； （2） 当分子，分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再按(1)中的方法找公因式。 约分的方法： （1） 若分式的分子，分母都是单项式，就直接约去分子，分母的公因式； （2） 若分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去。 最简分式：分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式。 3. 分式的通分 分式的通分： 化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分。 最简公分母：通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 通分的一般步骤： (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子，分母得出同分母分式。 1．（2025·北京）分式和的最简公分母是 ． 2．（2025·北京东城）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏）下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 考点三 分式的运算 1. 分式的乘法 分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。 用字母表示为 法则的运用方法： (1) 若分子，分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分； (2)若分子，分母中有多项式，可先对分子，分母因式分解，约分后，再进行乘法运算； (3)若分式乘整式，可把整式看成分母为1的"分式"参与运算。 (4)运算的结果应为最简分式或整式。 2. 分式的除法 分式的除法法则：两个分式相除，将除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用字母表示为 法则的运用方法： (1)分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法法则计算； (2)当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的"分式"进行运算。 3. 分式的乘方 分式的乘方法则：分式乘方就是把分子，分母分别乘方。 用字母表示为 (n为正整数). 分式乘方的方法： (1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同； (2)分式乘方时，一定要将分子，分母分别乘方，不能将 错写成 (3)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子，分母分别看成一个整体乘方，避免出现 的错误. 4. 分式的乘方、乘除混合运算 分式的乘除混合运算： 在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等),则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的。一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算。 分式的乘除，乘方混合运算： 分式的乘除，乘方混合运算顺序与分数的乘除，乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的。 5. 分式的加减法 同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。 即：用字母表示为 同分母分式相加减的一般步骤： (1)分母不变，把分子相加减。 (2)分子相加减时，应先去括号，再合并同类项； (3)结果应化成最简分式或整式。 异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减。 即：用字母表示为. 异分母分式相加减的一般步骤： (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算。 【注意】异分母分式加减运算的关键是通分。 1．（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 2．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 3．（2023·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 命题点一 分式的有关概念 ►题型01 识别分式 / 【典例】1．（25-26八年级上·北京·期中）下列代数式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京延庆·期中）在代数式中，其中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】1．（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·北京延庆·期中）在，，，，中，分式的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京顺义·一模）在，，，，，，，中，分式有（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 ►题型02 分式有意义和无意义的条件 / 【典例】1．（2025·贵州遵义·二模）当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（    ） A． B． C．x D． 2．（2025·河南南阳·二模）当实数 时分式无意义． 【变式】1．（2025·北京·模拟预测）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 2．（2025·北京·一模）如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是 ． 3．（2025·北京房山·二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． ►题型03分式的值（为正、负或0） / 【典例】1．（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 2．（25-26八年级上·北京房山·期中）若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 【变式】1．（25-26八年级上·广西北海·月考）若分式的值为0，则的值为 ． 2．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 3．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如果分式的值为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 命题点二 分式的基本性质 ►题型01 分式的基本性质 / 【典例】1．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大为原来的4倍 【变式】1．（24-25八年级上·北京海淀·期末）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．不变 题型02 识别最简分式与最简公分母 / 【典例】1．（2025·北京）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·湖南永州·一模）若分式是最简分式，则△表示的是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林长春·一模）分式和的最简公分母为 ． 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）分式 ，的最简公分母是 ． 题型03 约分与通分 / 【典例】1．（2025·山西朔州·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）若，下列分式化简后等于的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 3．（25-26·湖南怀化·期中）已知分式 (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的混合运算 / 【典例】1．（2025·北京海淀·二模）计算： ． 2．（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 【变式】1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 2．（2025·内蒙古·一模）计算：． 3．（2025·辽宁·一模）化简： 题型02 分式的化简求值 / 【典例】1．（2025·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 2．（2025·北京·三模）已知，求代数式的值． 【变式】1．（2025·北京大兴·二模）已知，求代数式的值． 2．（2025·北京丰台·二模）已知，求代数式的值． 3．（2025·北京密云·一模）已知，求代数式的值． 题型03 零指数幂与负整数指数幂 / 【典例】1．（2025·北京海淀·模拟预测）计算：． 2．（2025·北京石景山·一模）计算：． 【变式】1．（2025·北京·中考真题）计算：． 2．（2025·北京·模拟预测）计算：． 3．（2025·北京房山·二模）计算：． 突破一 利用整体思想求分式的值 【典例】1．（2025·北京门头沟·二模）已知，求代数式的值． 2．（2025·北京房山·二模）已知，求代数式的值． 【变式】1．（2025·北京西城·一模）已知，求代数式的值． 2．（2025·北京通州·一模）已知，求代数式的值． 3．（2025·北京·一模）已知，求代数式的值． 突破二 利用倒数法求分式的值 【典例】1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知：，则 ． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． (1)已知，则 (2)类比探究：已知，求的值 (3)拓展延伸：已知，求的值 【变式】1．（2025·全国·专题练习）设=a（a≠0），求的值． 2．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）已知，求的值． 突破三 与分式有关的规律探究 【典例】1．（2025·浙江宁波·模拟预测）观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 2．（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【变式】1．（2024·安徽安庆·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 2．（2024·河北·模拟预测）【观察】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： 【类比】（1）写出第5个等式． 【猜想、验证】（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 3．（2025·安徽芜湖·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 突破四 与分式有关的新定义问题 【典例】1．（25-26八年级上·山东青岛·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数下，．若，则的值为 ． 2．（24-25八年级上·辽宁·期末）定义新运算：，若，则的值是 ． 【变式】1．（2025·湖南湘潭·模拟预测）设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·河南·阶段练习）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算： ； 【探究运算律】经过运算发现：运算“”满足交换律和结合律 【应用新运算】 （2）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，求的值． 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）下列各式从左到右变形正确的是（　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京石景山·期末）若分式的值为0，则的值为（　　　） A． B．2 C． D． 3．（2024·北京海淀·二模）如果，那么代数式的值是（    ） A． B．1 C． D．2 4．（2024·北京·三模）已知，求的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（2024·安徽·中考真题）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 6．（2025·北京海淀·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 7．（2025·北京东城·一模）计算：． 8．（2025·北京石景山·一模）已知，求代数式的值． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 2．（2025·河北邢台·三模）已知，下列结论正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为负数 D．若为正整数，则可能为3 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值： 4．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 5．（2025·四川·一模）先化简，再求值：，其中满足． 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 2．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 4．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 5．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 6．（2025·全国·一模）已知分式： (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； (3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第03讲 分式 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 分式的有关概念 题型01识别分式 题型02分式有意义和无意义的条件 题型03分式的值（为正、负或0） 命题点二 分式的基本性质 题型01 分式的基本性质 题型02识别最简分式与最简公分母 题型03约分与通分 命题点三 分式的运算 题型01 分式的混合运算 题型02分式的化简求值 题型03零指数幂与负整数指数幂 05·重难突破·思维进阶难 30 突破一 利用整体思想求分式值 突破二 利用倒数法求分式值 突破三 与分式有关的规律探究 突破四 与分式有关的新定义问题 06·优题精选·练能提分 44 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式的运算 北京卷 T17 北京卷 T17 北京卷 T17 了解分式的基本性质，熟悉零指数幂与负整数指数幂的运算公式。 分式的化简求值 北京卷 T19 北京卷 T19 北京卷 T19 熟练掌握分式的相关概念，会运用分式的约分和通分来化简分式，知道什么形式是最简分式。 命题预测 围绕分式的基本概念、性质、运算法则及分式的化简求值等基本知识进行考查。长以计算题和解答题出现。零指数幂与负整数指数幂常出现在实数的混合运算中，所以必须掌握二次根式的性质、特殊角的三角函数值及绝对值的意义。在分式的化简中，不但要吃透分式的通分与约分的性质，还需熟练掌握 整式运算与因式分解，这样的题型中，首先需找到未知量或式子的值，再代入求值，常用直接代入法或整体代入法。 考点一 分式的有关概念 1.分式的概念 定义：一般地，如果a,b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式，其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。 分式“三要素”： （1） 形如的式子； （2） a，b为整式； （3） 分母b中含有分母. 【补充】分式与分数、整式的关系 （1）分式中分母含有字母。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值时的特殊情况。 （2）分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母。 （3）整式和分式统称为有理式。 2. 分式有意义和无意义的条件 分式有意义的条件： 分式的分母表示除数，所以分式的分母不为0，所以当时，分式才有意义. 分式无意义的条件： 分式的分母为0，即当b=0时，分式无意义. 3. 分式的值为0的条件 分式的值为0的条件： 当分式 的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.（当a=0,b≠0时，） 几种特殊分式值的情况讨论： （1） 若的值为正数，则，或 （2） 若的值为负数，则，或 （3） 若的值为1，则，且 （4） 若的值为-1，则，且 1．（2025·北京·三模）若代数式的值为0，则满足要求的所有x的值为（   ） A．1 B．0 C．0或 D．0或1 【答案】B 【分析】此题考查分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零，据此列得等式或不等式，求出答案． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，且， 解得：或，且， ∴， 故选：B． 2．（2023·北京·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若代数式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键． 3．（2025·北京大兴·二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零；据此得，即可求解． 【详解】解：由于代数式有意义，则， 得：； 故答案为：． 考点二 分式的基本性质 1. 分式的基本性质 由字母表示为，（a、b、m都是整式，且m≠0） 【补充】分式的符号法则（分子、分母与分式本身的符号，同时变两个，分式值不变） （1） （2） ； （3） 2. 分式的约分 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分。 找公因式的方法： （1） 当分子，分母都是单项式时，先找分子，分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； （2） 当分子，分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再按(1)中的方法找公因式。 约分的方法： （1） 若分式的分子，分母都是单项式，就直接约去分子，分母的公因式； （2） 若分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去。 最简分式：分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式。 3. 分式的通分 分式的通分： 化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分。 最简公分母：通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 通分的一般步骤： (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子，分母得出同分母分式。 1．（2025·北京）分式和的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母，先整理，，得出分式和的最简公分母是，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∴分式和的最简公分母是， 故答案为：． 2．（2025·北京东城）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：，则A不符合题意； 无法进行约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 3．（2025·江苏）下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简分式，分式的基本性质．根据分式的基本性质进行约分，化出最简分式即可进行判断． 【详解】解：A、，不是最简分式，本选项不符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、不能约分，是最简分式，本选项不符合题意； D、，不是最简分式，本选项不符合题意； 故选：C． 考点三 分式的运算 1. 分式的乘法 分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。 用字母表示为 法则的运用方法： (1) 若分子，分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分； (2)若分子，分母中有多项式，可先对分子，分母因式分解，约分后，再进行乘法运算； (3)若分式乘整式，可把整式看成分母为1的"分式"参与运算。 (4)运算的结果应为最简分式或整式。 2. 分式的除法 分式的除法法则：两个分式相除，将除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用字母表示为 法则的运用方法： (1)分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法法则计算； (2)当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的"分式"进行运算。 3. 分式的乘方 分式的乘方法则：分式乘方就是把分子，分母分别乘方。 用字母表示为 (n为正整数). 分式乘方的方法： (1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同； (2)分式乘方时，一定要将分子，分母分别乘方，不能将 错写成 (3)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子，分母分别看成一个整体乘方，避免出现 的错误. 4. 分式的乘方、乘除混合运算 分式的乘除混合运算： 在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等),则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的。一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算。 分式的乘除，乘方混合运算： 分式的乘除，乘方混合运算顺序与分数的乘除，乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的。 5. 分式的加减法 同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。 即：用字母表示为 同分母分式相加减的一般步骤： (1)分母不变，把分子相加减。 (2)分子相加减时，应先去括号，再合并同类项； (3)结果应化成最简分式或整式。 异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减。 即：用字母表示为. 异分母分式相加减的一般步骤： (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算。 【注意】异分母分式加减运算的关键是通分。 1．（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 2．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 3．（2023·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【答案】2 【分析】先将分式进行化简，再将变形整体代入化简好的分式计算即可． 【详解】解：原式， 由可得， 将代入原式可得，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用． 命题点一 分式的有关概念 ►题型01 识别分式 / 【典例】1．（25-26八年级上·北京·期中）下列代数式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，掌握分式需要满足“分子分母是整式且分母含有字母”是解题关键． 根据分式的定义，依次判断代数式是否符合条件． 【详解】解：选项A分母为2025，不含字母， 选项B分母为2，不含字母， 选项C分母为，含有字母， 选项D是整式，不是分式， 故选项C是分式． 故选：C． 2．（25-26八年级上·北京延庆·期中）在代数式中，其中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，形如，中含有字母，这样的式子叫作分式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式中，其中分式有，共4个； 故选D． 【变式】1．（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 2．（23-24八年级上·北京延庆·期中）在，，，，中，分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的概念进行判断即可． 【详解】解：由，，，，可知， 分式有：，共个， 故选：． 【点睛】此题考查了分式的定义，解题的关键是正确理解：一般地，如果，表示两个整式，且中含有字母（），那么式子就叫分式． 3．（2025·北京顺义·一模）在，，，，，，，中，分式有（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据分式的概念求解即可． 【详解】分式有∶，，，，，共5个， 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的概念，解题的关键是熟练掌握分式的概念． ►题型02 分式有意义和无意义的条件 / 【典例】1．（2025·贵州遵义·二模）当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（    ） A． B． C．x D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分母为零分式无意义可得结论． 【详解】解：当，，， ∴括号里的代数式可能是． 故选：B． 2．（2025·河南南阳·二模）当实数 时分式无意义． 【答案】5 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件：分母为0解答即可． 【详解】解：因为分式无意义， 所以， 解得； 故答案为：5． 【变式】1．（2025·北京·模拟预测）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 直接根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， 即且， ∴． 故答案为：． 2．（2025·北京·一模）如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是关键． 根据分式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：根据题意，， 解得， 故答案为： ． 3．（2025·北京房山·二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是牢记分母不等于0．根据分母不等于0解答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ 即 故答案为：． ►题型03分式的值（为正、负或0） / 【典例】1．（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 2．（25-26八年级上·北京房山·期中）若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 【变式】1．（25-26八年级上·广西北海·月考）若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，准确理解题意是正确解答此题的关键． 根据分式的意义和性质，由分式值为0的条件知，分式，当时的值为0，若分式的值为0，需要且即可求解． 【详解】解：若分式的值为0，得且， 故， 故答案为：． 2．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如果分式的值为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为零，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分式的分母不为零且分子为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：． 故选：B． 命题点二 分式的基本性质 ►题型01 分式的基本性质 / 【典例】1．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的性质，根据分式的性质逐项计算即可得出正确的选项 【详解】解：A. ，正确，符合题意； B. ，原选项错误，不符合题意； C. ，原选项错误，不符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如果把分式中的，同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的同时扩大为原来的2倍可得，即该分式的值不变， 故选：A． 【变式】1．（24-25八年级上·北京海淀·期末）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，此选项错误，不符合题意；     B. ，此选项正确，符合题意；     C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、不一定等于，即A项不合题意， B、无法再约分，不一定等于，即B项不合题意， C、分式的分子和分母同时加上一个数，与原分式不相等，即C项不合题意， D、，即D项符合题意， 故选：D． 3．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据已知条件将都扩大3倍后化简是解题的关键． 根据已知条件将都扩大3倍后化简，化简的结论与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：把分式中和都扩大3倍， 即：， ∴分式的值不变． 故选：D． 题型02 识别最简分式与最简公分母 / 【典例】1．（2025·北京）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果． 【详解】A选项，故不是最简分式； B选项不能再化简，故是最简分式； C选项，故不是最简分式； D选项，故不是最简分式． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较容易忽视的问题．在解题中一定要引起注意，根据最简分式的定义解答即可． 【详解】解：A． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； B． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； C． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； D． ，是最分式，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式】1．（2025·湖南永州·一模）若分式是最简分式，则△表示的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可． 先将各选项因式分解，利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答． 【详解】解：因为，且分式是最简分式， ∴中不含或， A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 2．（2025·吉林长春·一模）分式和的最简公分母为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1， ∴分式与的最简公分母为． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）分式 ，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的最简公分母，掌握最简公分母的确定方法是解题的关键． 最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 【详解】解：， ∴最简公分母为：， 故答案为：． 题型03 约分与通分 / 【典例】1．（2025·山西朔州·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的约分化简，将分子分解因式，约去相同因式即可化简，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 【变式】1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）若，下列分式化简后等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是明确分式的分子分母需同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值才不变． 【详解】解：A、分式的分子分母同时加2，不符合分式基本性质，此选项不符合题意； B、分式的分子分母同时减3，不符合分式基本性质，此选项不符合题意； C、当、时，（因），此选项不符合题意； D、分式的分子分母同时除以（），得，此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26·全国·课后作业）将，先约分，再通分，并求两分式之和． 【答案】，， 【分析】根据约分的定义，先将，的分子分母分别分解因式，再约去它们的公因式，将两个分式化成最简分式，再根据通分的定义，将两个分式化成同分母的分式，最后根据同分母分式相加减的法则，将两个分式相加，把最后结果化成最简分式即可；本题考查了分式的约分、通分以及同分母分式相加减，熟练掌握约分、通分的概念以及同分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以这两个分式的最简公分母是， 所以， 所以． 3．（25-26·湖南怀化·期中）已知分式 (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查分式的约分与化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键． （1）根据平方差公式，十字相乘法进行因式分解，再约分即可； （2）先推导出且的值为整数，化简，得到，则或或，求出x的值，再根据且，即可解答． 【详解】（1）解： 且． （2）∵的值为整数， ∴且的值为整数， ∵ ， ∴或或， 解得， ∵且， ∴． 答：x的值为． 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的混合运算 / 【典例】1．（2025·北京海淀·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题关键是将异分分母分式通分． 先将小括号内的通分，再计算乘法． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式】1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 2．（2025·内蒙古·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可． 【详解】解：原式 ． 3．（2025·辽宁·一模）化简： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据分式的加法和除法法则化简即可得答案． 【详解】解： ． 题型02 分式的化简求值 / 【典例】1．（2025·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式化简求值，先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，再由，得，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 2．（2025·北京·三模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，先将分式的分子、分母分别因式分解，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 【变式】1．（2025·北京大兴·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的化简与求值，解题的关键在于利用已知条件进行整体代入．先把代数式化简为，再把整理为，整体代入即可求出． 【详解】解： 原式 2．（2025·北京丰台·二模）已知，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及代数式求值，正确把所求式子化简成是解题的关键． 先把所求式子化简得到，再得出，由此即可得到答案． 【详解】解：原式 ∵， ∴． ∴原式． 3．（2025·北京密云·一模）已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练进行分式化简是解题关键．首先将括号内部分通分，并将除法转化为乘法，再进行括号内的运算，之后约分即可完成化简，根据题意可得，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 题型03 零指数幂与负整数指数幂 / 【典例】1．（2025·北京海淀·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，负整数指数幂，特殊角三角函数值，零次幂，掌握相关的运算法则是解题的关键． 先计算绝对值，负整数指数幂，特殊角三角函数值，零次幂，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 2．（2025·北京石景山·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的性质，二次根式的加减，绝对值．先化简负整数指数幂，特殊角的三角函数，绝对值，以及运用二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 【变式】1．（2025·北京·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 2．（2025·北京·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ． 3．（2025·北京房山·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算；特殊角的三角函数值．首先代入特殊角的三角函数值，应用幂的运算性质完成零指数幂、负整数指数幂的运算，二次根式化为最简二次根式，然后进行合并即可． 【详解】解： 突破一 利用整体思想求分式的值 【典例】1．（2025·北京门头沟·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键． 根据分式的性质化简，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 2．（2025·北京房山·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值，求分式的值，运用整体思想变形解答是解题的关键．先根据分式的性质化简，然后根据已知等式得出，整体代入，即可求解． 【详解】解：原式= ∵， ∴， ∴原式 【变式】1．（2025·北京西城·一模）已知，求代数式的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了已知式子的值，求分式的值．由已知得到，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整体代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 2．（2025·北京通州·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先把分式进行化简，再利用整体代入求值即可． 【详解】解： ∵ ， 原式 3．（2025·北京·一模）已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，关键是熟练掌握分式的运算法则．先将分式进行化简，再将变形后，代入进行求解． 【详解】解： ， ， ， ， 原式． 突破二 利用倒数法求分式的值 【典例】1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通过倒数法将分式变形； 先对已知条件取倒数，求出的值；再对所求分式取倒数，将其变形为含的形式，代入求值后再取倒数得到最终结果． 【详解】解：∵，且 整理得： 分式取倒数： 变形得：   将代入上式： ∴， ∴． 故答案为． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． (1)已知，则 (2)类比探究：已知，求的值 (3)拓展延伸：已知，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）模仿题干过程，进行化简计算，即可作答． （2）已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； （3）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴， 即， ∴； ∴， （2）解：由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． （3）解：∵ ∴x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， 则， ∴． 【变式】1．（2025·全国·专题练习）设=a（a≠0），求的值． 【答案】． 【分析】由于a≠0，根据两个数相等，它们的倒数也相等，可利用倒数关系用含a的代数式表示出x+．同样的办法，利用完全平方公式用含a的代数式表示出，再计算它们的倒数即可． 【详解】∵a≠0，=a， ∴=，即x+=， ∵=x2+1+=（x+）2﹣1=（﹣1）2﹣1=﹣= ∴= 【点睛】本题考查了求分式的值，直接计算难度较大，利用倒数关系是解决本题的关键． 2．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 的值为． 突破三 与分式有关的规律探究 【典例】1．（2025·浙江宁波·模拟预测）观察下面的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接作答即可； （2）认真理解题干的式子过程，总结得第n个等式为，再把进行通分化简，得出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式： …… ∴第n个等式为 证明过程如下： 故． 2．（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，分式的加法计算，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据题目中等式的特点，可以写出第6个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 第6个等式：． （2）解：猜想第n个等式为，证明如下： 等式左边 ， ∴此时等式左右两边相等，即等式成立． 【变式】1．（2024·安徽安庆·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键． （1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论； （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确． 【详解】（1）解：观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数． 即：． 故答案为：． （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子为：． 证明：∵左边， 右边， ∴左边边右边． ∴等式成立． 故答案为：． 2．（2024·河北·模拟预测）【观察】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： 【类比】（1）写出第5个等式． 【猜想、验证】（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）（2），证明见解析 【分析】本题考查数字规律探究、列代数式，整式的运算． （1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边展开，看是否相等即可证明猜想． 【详解】解：（1）． （2）第n个等式为． 证明：∵， ∴猜想成立． 3．（2025·安徽芜湖·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，从给定的等式中抽象出相应的规律，是解题的关键： （1）根据给定的等式，进行作答即可； （2）根据给出的等式，猜想出第个等式，根据分式的加法运算，进行证明即可． 【详解】（1）解：第5个等式为． （2）第n个等式为：． 证明：左式右式， 猜想成立． 突破四 与分式有关的新定义问题 【典例】1．（25-26八年级上·山东青岛·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数下，．若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了求分式的值；根据新运算的定义，将已知条件代入，求出关系式，然后代入所求表达式进行计算. 【详解】解：由定义， 则 故答案为：6. 2．（24-25八年级上·辽宁·期末）定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 【变式】1．（2025·湖南湘潭·模拟预测）设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了分式的化简，各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可． 【详解】解：①根据新定义得，，， ∵， ∴， 即， 故①不成立； ②，， ∵， ∴， 故②不成立； ③，， ∴， 故③成立； ④，， ∵， ∴． 综上，成立的有③． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河南·阶段练习）【定义新运算】对正实数a，b，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算： ； 【探究运算律】经过运算发现：运算“”满足交换律和结合律 【应用新运算】 （2）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了新定义运算、完全平方公式变形求值、勾股定理、分式的混合运算等知识点，理解新运算法则是解题的关键． （1）先按照新定义化简，然后将代入求值即可； （2）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， ∴当时，； （2）由题意得，， ∴， ∵，且，正方形的面积为26， ∴，     ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴． 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）下列各式从左到右变形正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数（非零），分式的值不变． 据此即可求解． 【详解】解：A、，原式变形正确，符合题意； B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·北京石景山·期末）若分式的值为0，则的值为（　　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·北京海淀·二模）如果，那么代数式的值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，再根据分式的乘法以及分式的性质化简，最后将式子的值代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 4．（2024·北京·三模）已知，求的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将所求式子化简为，再把变形为，然后整体代入计算即可 【详解】解： ； ∵， ∴ ∴原式， 故选：B 5．（2024·安徽·中考真题）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分式的分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． 故答案为． 6．（2025·北京海淀·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的化简求值，根据，得到，将代数式化简后，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ； 故答案为：1． 7．（2025·北京东城·一模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值和熟练掌握运算法则是解题的关键．先化简二次根式、计算负数的绝对值、负指数幂、代入特殊角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 8．（2025·北京石景山·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把第一个分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，再求出，据此把代入化简结果中计算求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，，，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：由，得，，． ∴原式． ∵， ∴原式； 故选B． 2．（2025·河北邢台·三模）已知，下列结论正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为负数 D．若为正整数，则可能为3 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件、分式的化简、通过分式计算即可判断A；根据分式有意义的条件可判断B；通过不等式的性质可判断C，通过分式求值可判断D． 【详解】解：，故A选项错误，不符合题意； 当时，，分式无意义，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； 当时，，不是正整数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，分母有理化，特殊角三角函数，0指数幂等知识．分别根据二次根式的性质，分母有理化，特殊角三角函数，0指数幂等知识进行化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 4．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 5．（2025·四川·一模）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，2． 【分析】本题考查分式的化简求值，幂的乘方逆运算法则，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的减法和除法进行运算，再利用完全平方公式进行因式分解，再化简式子，利用幂的乘方逆运算法则求出，然后将代入化简后的式子后，即可解答． 【详解】解：， ， ； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 将，代入上式得：原式． 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 2．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 3．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 4．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 【答案】（1）；（2）；当时，值为；当时，值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解； （2）先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到，再选择合适的整数代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：； （2）解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴或； 当时，原式； 当时，原式． 5．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【答案】(1)的值为； (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，代入函数得， ， ∴的值为； （2）解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 6．（2025·全国·一模）已知分式： (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； (3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 【答案】(1) (2) (3)，思路见解析 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）将分子和分母进行因式分解后，约分即可； （2）根据分式的值为整数，利用分离常数法，进行求解即可； （3）逆用分式的基本性质，将化简后的分式的分子和分母同时乘以，即可． 【详解】（1）解：； （2）由（1）可知：， ∵该分式的值为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）根据分式的基本性质，将分式的分子和分母同时乘以，得， 即：分式可以化简为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $