第05讲 一次方程（组）及应用（复习讲义，4考点14题型4重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦一次方程（组）及应用专题，覆盖方程定义、等式性质、解法及工程、销售等八大应用题型，构建“概念-解法-应用”递进知识网络。通过考情剖析明确中考方向，知识导航梳理联系，考点解析通关基础，命题洞悉预测题型，助力学生系统突破。 亮点在于“重难突破”模块设计，如通过新定义问题培养抽象能力，结合北京中考真题“风筝骨架总高”训练模型意识，分层练习适配不同学生。教师可依托资料把控复习节奏，提升学生运算能力与应用意识，高效备战中考。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一次方程（组）及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 方程及等式的基本性质 题型01方程有关概念 题型02等式的基本性质 命题点二 一元一次方程及其解法 题型01 一元一次方程的定义 题型02解一元一次方程 命题点三 二元一次方程组及其解法 题型01 二元一次方程组的定义 题型02解二元一次方程组 命题点四 一次方程（组）的应用 题型01 工程问题 题型02销售盈亏 题型03方案选择 题型04数字问题 题型05几何问题 题型06和差倍分问题 题型07行程问题 题型08其他问题 05·重难突破·思维进阶难 24 突破一 与一次方程（组）有关的错解问题 突破二 与一次方程（组）有关的新定义问题 突破三 与一次方程（组）有关的新情景问题 突破四 与一次方程（组）有关的项目探究问题 06·优题精选·练能提分 33 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程的应用 北京卷 T22 北京卷 T21 北京卷 T21 能把实际问题抽象成数学问题，找出等量关系并列出方程，掌握解一元一次方程的方法。 命题预测 本节的考点主要是列方程解应用题，考查利用一元一次方程解决生产生活中的热点问题，主要有几何问题，利润问题、方案设计问题等，主要以解答题的形式考查，难度适中。解题时，恰当地设未知数可以简化运算，且单位要统一；题目中的等量关系不止一个，要根据具体情况选择. 考点一 方程及等式的基本性质 1.方程的定义 方程的定义：含有未知数的等式叫作方程. 方程必须具备的两个条件 （1）是等式，等式的标志是含有"="; （2）含有未知数,但未知数的个数不限. 2. 方程的解和解方程 方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解 解方程：求方程的解的过程叫作解方程 方程的解与解方程的关系 （1） 方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程; （2） 方程的解是通过解方程求得的. 3. 等式的基本性质 等式的基本性质： 性质1 等式的两边都加上(或减去)同一个整式，所得结果仍是等式，即如果a=b,那么a+c=b+c，a-c=b-c性质2 等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式，即如果a=b，那么ac=bc，a/c=b/c(c≠0) 性质3(对称性)如果 a=b,那么 b=a. 性质4(传递性)如果a=b,b=c,那么a=c. 等量代换的定义：将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换 利用等式的基本性质解简单方程的一般步骤 第一步：利用等式的基本性质1,将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项、另一边只有常数项的形式; 第二步：利用等式的基本性质2,将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，即将未知数的系数化为1，从而求出方程的解 1．（2025·北京·模拟预测）关于的方程有实数根，那么的可能值是（    ） A．4 B．2 C．0或2 D．0或1 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知是方程的解，则a = 3．（2024·北京西城·模拟预测）已知，求代数式的值． 考点二 一元一次方程及其解法 1. 一元一次方程的定义 整式方程的定义 方程的两边都是整式，这样的方程称为整式方程. 一元一次方程的定义 只含有一个未知数(元)，未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程 一元一次方程具有如下特点: （1）只含有一个未知数; （2）所含未知数的项的最高次数为1; （3）是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 2. 解一元一次方程 移项：把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项（移项要变号）. 去括号：解含有括号的一元一次方程时，先利用去括号法则去括号，然后通过移项、合并同类项解方程. 去分母：解含有分母的一元一次方程时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，从而约去分母.（依据等式的基本性质2） 1．（2024·北京·期末）下列方程中，一元一次方程共有（　　）个 ①；②；③； ④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级上·北京东城·期末）解下列方程： (1)； (2)． 3．（2023九年级·全国·专题练习）当m取何值时，关于x的方程的解是非负数？ 考点三 二元一次方程组及其解法 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程。 二元一次方程的必备条件 原方程：(1)整式方程； (2)只含有两个未知数。 化简后的方程：(1)两个未知数的系数都不为0; (2) 含有未知数的项的次数都是1. 关于x,y的二元一次方程的一般形式： ax+by=c(a≠0,b≠0). 2.二元一次方程组 定义：由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组。 二元一次方程组应满足的条件 （1）两个方程都是整式方程； （2）共含有两个未知数； （3）一共有两个方程，每个方程都是一次方程。 3.解二元一次方程组 二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解。 判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这对数值就不是这个方程组的解。 1．（2025七年级下·全国·专题练习）《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有个人，物品价格为钱，则下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京顺义·二模）已知方程组的解为，写出一个满足条件的二元一次方程组 ． 考点四 一次方程（组）的应用 1. 建立一元一次方程模型解决实际问题 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 (1)弄清题意和题中的数量关系，用字母(如x,y)表示问题涉及的未知数； (2)分析题意，找出等量关系(可借助示意图，表格等); (3)根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程； (4)解这个方程，求出未知数的值； (5)检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位). 分析题意常用的两种方法 (1)读题分析法：多用于"和，差，倍，分"问题。仔细读题，根据题意设出未知数，找出表示相等关系的关键字，例如："大，小，多，少，是，共，合，完成，增加，减少，配套......"，将题目中量与量的关系转为代数式，进而列出方程。 (2)画图分析法：多用于"行程问题"，利用图形分析问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出示意图，弄清图形各部分的含义，借助图形找等量关系，从而建立方程。 设未知数的常见方法 (1)设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么。 (2)设间接未知数：特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量。 2. 近似数列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审 通过审题，把实际问题抽象成数学问题； （2）设 分析已知量和未知量，并用字母表示其中两个未知量； （3）找 找出题中的两个等量关系； （4）列 根据等量关系列出方程组； （5）解 解这个方程组； （6）答 检验所求解，写出答案. 1．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 2．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 3．（2023·北京·中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）    命题点一 方程及等式的基本性质 ►题型01 方程有关概念 / 【典例】1．（24-25七年级上·北京房山·期末）下列说法中正确的有（   ） ①3是一个整式；②方程是关于x的一元一次方程；③单项式的系数是，次数是7；④一个有理数不是整数就是分数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·北京大兴·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是（   ） A．1 B．6 C． D．0 【变式】1．（25-26七年级上·北京·期中）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·北京石景山·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． ►题型02 等式的基本性质 / 【典例】1．（24-25七年级下·北京·期末）有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式】1．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）如果，那么下列等式一定成立的是（      ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·北京顺义·期末）下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 命题点二 一元一次方程及其解法 ►题型01 一元一次方程的定义 / 【典例】1．（24-25七年级上·北京昌平·期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 2．（22-23七年级下·北京·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】1．（2025·贵州遵义·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 2．（24-25七年级上·天津河西·期末）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 题型02 解一元一次方程 / 【典例】1．（24-25七年级下·北京·期末）解方程： (1) (2) 2．（24-25七年级上·北京东城·期末）已知关于的方程，其中． (1)当时，求该方程的解； (2)写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解． 【变式】1．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）解方程： (1)； (2)． 2．（22-23七年级上·北京海淀·期末）已知关于的方程． (1)当，时，方程的解为_______； (2)若是方程的解，用等式表示与满足的数量关系：_______； (3)若这个方程的解与关于的方程的解相同，则的值为_______． 命题点三 二元一次方程组及其解法 ►题型01 二元一次方程组的定义 / 【典例】1．（22-23七年级下·北京东城·期末）下列各式中，是关于和的二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【变式】1．（2025·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 2．（24-25七年级下·吉林白山·期末）若二元一次方程组和有公共解，求m的值． 题型02 解与一次方程组 / 【典例】1．（24-25七年级下·北京·期中）已知，满足方程组，则的值为 ． 2．（22-23七年级下·北京通州·期末）解答题： 解方程组时，由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ①②得，所以③， ③①得， 解得，从而， 所以原方程组的解是． 请你运用上述方法解方程组：． 【变式】1．（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京海淀·期末）解下列方程组： (1) (2) 命题点四 一次方程（组）的应用 ►题型01 工程问题 / 【典例】1．（23-24七年级上·北京海淀·期末）故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、的现代科学理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物．需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？    2．（2025·北京通州·一模）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【变式】1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 2．（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 题型02 销售盈亏 / 【典例】1．（2025·北京大兴·二模）列方程（组）解应用题： 五一期间，在“国家补贴+商场直降”双重优惠推动下，消费者家电换新需求得到充分激活．国家补贴政策是购买两款空调均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买空调的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买空调原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知款空调原价（高于4000元）比款空调原价（低于4000元）的2倍少300元．若按此销售规则购买一台款空调比一台款空调多花1500元，购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省多少元？ 2．（2025·北京西城·一模）为设计一类推理型模型，某公司计划投入2200万元购进A、B两种型号的芯片共1000片，其中A型芯片至少800片．已知购进2片A型芯片和1片B型芯片共需6万元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需6.5万元．为了满足基本需求，请判断该公司计划投入的资金是否够用，并说明理由． 【变式】1．（2025·北京·模拟预测）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元． 已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？ 2．（2025·北京海淀·模拟预测）某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元． (1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？ (2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明． ►题型03 方案选择 / 【典例】1．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 2．（2025·北京朝阳·二模）根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于，旧小区改造的绿地率不得低于，一般地，绿地率可以看做是绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的以上，覆土绿地是在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于时，不算绿地面积；当覆土高度在至时，覆土面积的计入绿地面积；只有当覆土高度超过时，覆土面积才全部计入绿地面积． 某旧小区总面积为，绿地率只有，且其中覆土绿地的覆土高度都约为．现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到以上，并增加实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的．请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由． 【变式】1．（2025·北京平谷·一模）清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为了鼓励孩子们阅读，推出两种打卡领取听书时长的奖励方式： 方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长； 方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%． 明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领取的时长分别为多少分钟？ 2．（2023·河南·中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价． (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． ►题型04 数字问题 / 【典例】1．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 【变式】1．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 2．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 题型05 几何问题 / 【典例】1．（2024·北京东城·二模）列方程或方程组解应用题． 如图1，正方形是一块边长为的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积． 2．（2024·北京海淀·一模）下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．    【变式】1．（2024·北京房山·一模）在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 2．（2024·北京门头沟·二模）如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    ►题型06 和差倍分问题 / 【典例】1．（2024·北京通州·一模）2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量． 2．（2025·陕西咸阳·一模）月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵． 【变式】1．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 2．（2025·重庆·一模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本． (1)求、两种书籍分别购进多少本？ (2)该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？ ►题型07 行程问题 / 【典例】1．（2025·北京丰台·二模）2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由． 2．（2025·北京大兴·一模）列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 【变式】1．（2024·北京·二模）京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 2．（2024·北京平谷·一模）我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步．今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题． 题型08 其他问题 / 【典例】1．（2025·北京东城·二模）某地区防风林工程种植乔木和灌木，要求乔木种植面积占比不超过．今年已种植乔木、灌木的面积共1000公顷；计划明年种植乔木和灌木的面积共1450公顷；其中乔木的面积比今年减少，灌木的面积比今年增加．判断经过今明两年种植后该地区乔木面积占比是否符合防风林工程要求，并说明理由． 2．（2025·北京海淀·二模）为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功． 【变式】1．（2025·北京房山·二模）为增强学生的劳动意识，养成良好的劳动习惯和品质，某校组织学生到劳动基地参加“耕读累德”实践活动，计划组织学生种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植4亩甲作物和1亩乙作物需要26名学生．问：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要多少名学生． 2．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 突破一 与一次方程（组）有关的纠错问题 【典例】1．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 2．（2024·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【变式】1．（2022·河北保定·一模）对于题目：“若方程组的解为，且整式，求：整式A的值．” 小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0； 小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6． (1)小明将系数□看成的数是多少？ (2)化简整式A． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 突破二 与一次方程（组）有关的所新定义问题 【典例】1．（2024·江西）将4个数a，b，c，d排成两行两列，两边各加一条竖线记成，定义，若，则 ． 2．（24-25七年级上·北京·期末）规定一种新运算：，例如：．若，则的值为 ． 【变式】1．（2024四川）我们定义一种新的运算“”，并且规定：．例如：，．若，则的值为 ． 2．（2024·天津）对于两个不相等的有理数、，我们规定符号表示、的较大值，如，按照这个规定解决下列问题： （1） . （2）方程的解为 . 突破三 与一次方程（组）有关的新情景问题 【典例】1．（2025·陕西·模拟预测）化学是初中学业中重要的一门学科．其中有一种概念：溶解度（符号S），指某固态物质在溶剂中（温度为）达到饱和状态时所溶解的质量．如温度为时，100克水最多能溶解36克固体，则说明固体的溶解度为，且通过计算可得温度为的水最多能溶解固体．本次记录共选取了8种化学物质样本，请你根据图表中的信息回答下列问题： 物质名称 溶解度/ 温度为时 32 0.0013 0.002 0.0019 0.165 0.26 0.033 3.6 溶解度 在水中 一般称为 难溶物质 低溶物质 可溶物质 易溶物质 附：当温度为时，水中最多能溶解固体． (1)根据表中信息补全条形统计图； (2)根据信息回答：这8种样本的平均溶解度为 ；中位数为 ． (3)某工厂需要配制饱和溶液，现在已经准备好了计划需要的100千克水，温度始终保持在．则为了使溶液达到饱和状态，要固体多少千克？若改使用为的水，则可以节省固体多少千克？ 2．（2025·吉林四平·一模）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下，求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？ 投入壶内 投入壶耳 落在地上 总分 小龙 3支 4支 3支 27分 小华 3支 3支 4支 24分 【变式】1．（2025·湖南·模拟预测）中国正从人形机器人参与者向引领者迈进．全球唯一全工业门类基底支撑核心部件国产化，2025春晚《秧》缔造现象级场景——16台宇树机器人以每秒5次动态平衡校准的极致控制，完成东北秧歌32式传统动作，手绢转速与人体演员误差小于0．02秒，在非遗活化领域树立人机协同新范式．已知该机器人初始电量为个单位以下都是初始状态开始，跳舞每移动米，消耗个单位电量，每完成一个动作如转动手绢，跳跃，旋转等消耗个单位电量其它电量消耗忽略不计． (1)如果机器人先移动了米，然后完成了个动作，求此时的剩余电量； (2)在一次任务中机器人需要完成一段路程为米为整数的移动任务，并执行一些动作． 如果执行个动作后，机器人的剩余电量恰好为个单位，求的值； 如果完成动作电量消耗是移动电量消耗的倍时为最佳动作设计，则最佳动作设计最多可完成几个动作？ 2．（2025·广西南宁·模拟预测）2024年5月20日是第35个中国学生营养日，主题是“奶豆添营养，少油更健康”．初中生小丽的妈妈为她购买了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分如表所示．某天，小丽从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小丽这天喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小丽这天已经从其他食品中摄入脂肪，在她喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 食品种类 营养成分 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 突破四 与一次方程（组）有关的项目探究问题 【典例】1．（2025·广西桂林·二模）根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 2．（25-26七年级上·全国·期末）综合与探究 问题情境：迎泽大桥位于汾河之上，被誉为“华北第一桥”，年迎泽大桥维修加固，于月份正式通车，谱写了新太原汾河建桥史上光辉的乐章．周末，小晋、小阳和小韵相约打卡迎泽大桥． 已知迎泽大桥全长．如图，小晋从迎泽大桥的东端（记为点）出发向迎泽大桥西端（记为点）方向匀速行走，速度为，同时小阳从点出发向点方向匀速行走，速度为，设小阳行走的时间为． 数学思考： （1）在上述行走过程中，小晋距点的距离为 ，小阳距点的距离为 （均用含的式子表示）； 解决问题： （2）求小晋与小阳相遇时的值； （3）小韵在小阳出发时，骑自行车以的速度从点出发向点骑行，到达点后立即停止． ①小韵能否在小晋和小阳相遇前追上小阳？如果能，请求出相应的的值；如果不能，请说明理由； ②在小韵骑行的整个过程中，当小韵与小阳之间的距离为时，的值为________． 【变式】1．（25-26八年级上·全国·期末）综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②原始水面高度是的高为的圆柱形烧杯． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 2．（25-26八年级上·山西运城·月考）综合与实践 如何设计购买方案？ 素材1 AI教学的引进能提升学习效率，培养创新思维，适应未来社会需求．某中学准备引入AI教学设备辅助教学，预计采购，两种型号的设备共20台． 素材2 购买3台A型号设备和4台B型号设备共需11万元，购买5台A型号设备和2台B型号设备共需9万元． 问题解决 任务1 确定价格 求两种型号设备的单价． 任务2 探究函数关系 若该校准备采购型号设备台，总费用为万元，请你求出与的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 该校负责人考虑到预算等问题，得出的取值范围为（为整数），则该校应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少万元？ 1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺，若设竿长为尺，则可列方程为（　　） A． B． C．2 D． 2．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列各式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）方程的解为（　　） A．2 B． C．4 D． 4．（24-25七年级上·江苏南通·月考）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 5．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 6．（2025·上海静安·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有 人． 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（   ）个． A．3 B．4 C．6 D．8 2．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 3．（2025·广东东莞·一模）如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为 ． 4．（2025·北京丰台·一模）鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积． 5．（2025·宁夏银川·二模）据以下素材，探索完成任务． 如何设计销售方案？ 素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元． 素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． 素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元． 问题解决 任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题： （用含的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价． 任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润． 1．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是． (1)用含的代数式表示： ①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ； ②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ． (2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求的值． 3．（2025·河南·模拟预测）如图，是隐形第五代战斗机的模型．国庆节前夕，某商场购进A，B两种材质的模型共120架．已知购进2架A种模型和3架B种模型共需花费690元；购进4架A种模型和2架B种模型共需花费780元． (1)求A，B两种材质的模型每架的进价． (2)已知A，B两种材质的模型每架的售价分别为150元和200元．采购信息记录如下： 采购要求 A种模型数量m的范围为 采购优惠 购进A种模型超过60架时，超过部分打六折；B种模型不打折 请设计出商场最佳的购进方案，使所有模型售完后能获取最大利润，并求出最大利润． 4．（2025·吉林松原·模拟预测）安全无小事，校园安全是师生正常学习和生活的保障．孙老师带领数学兴趣小组成员对教学楼进行安全检查，并将检查结果和建议以策划书的形式反馈给校领导． 课题 教学楼逃生安全检测策划书 调查方式 实地测量，走访调查 测量工具 秒表，计数器 测量过程及计算 测量过程及图示 相关数据及说明： ①两个正门大小相同，两个侧门大小相同，当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280人；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800人； ②楼内共有教师200人，教学楼共4层，每层10个教室． 安全要求 紧急情况时，全大楼人员应在5分钟内通过这4道门安全撤离． 求每个侧门和正门每分钟各通过的人员数量． 5．（2024·安徽合肥·一模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一次方程（组）及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 方程及等式的基本性质 题型01方程有关概念 题型02等式的基本性质 命题点二 一元一次方程及其解法 题型01 一元一次方程的定义 题型02解一元一次方程 命题点三 二元一次方程组及其解法 题型01 二元一次方程组的定义 题型02解二元一次方程组 命题点四 一次方程（组）的应用 题型01 工程问题 题型02销售盈亏 题型03方案选择 题型04数字问题 题型05几何问题 题型06和差倍分问题 题型07行程问题 题型08其他问题 05·重难突破·思维进阶难 48 突破一 与一次方程（组）有关的错解问题 突破二 与一次方程（组）有关的新定义问题 突破三 与一次方程（组）有关的新情景问题 突破四 与一次方程（组）有关的项目探究问题 06·优题精选·练能提分 65 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程的应用 北京卷 T22 北京卷 T21 北京卷 T21 能把实际问题抽象成数学问题，找出等量关系并列出方程，掌握解一元一次方程的方法。 命题预测 本节的考点主要是列方程解应用题，考查利用一元一次方程解决生产生活中的热点问题，主要有几何问题，利润问题、方案设计问题等，主要以解答题的形式考查，难度适中。解题时，恰当地设未知数可以简化运算，且单位要统一；题目中的等量关系不止一个，要根据具体情况选择. 考点一 方程及等式的基本性质 1.方程的定义 方程的定义：含有未知数的等式叫作方程. 方程必须具备的两个条件 （1）是等式，等式的标志是含有"="; （2）含有未知数,但未知数的个数不限. 2. 方程的解和解方程 方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解 解方程：求方程的解的过程叫作解方程 方程的解与解方程的关系 （1） 方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程; （2） 方程的解是通过解方程求得的. 3. 等式的基本性质 等式的基本性质： 性质1 等式的两边都加上(或减去)同一个整式，所得结果仍是等式，即如果a=b,那么a+c=b+c，a-c=b-c性质2 等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式，即如果a=b，那么ac=bc，a/c=b/c(c≠0) 性质3(对称性)如果 a=b,那么 b=a. 性质4(传递性)如果a=b,b=c,那么a=c. 等量代换的定义：将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换 利用等式的基本性质解简单方程的一般步骤 第一步：利用等式的基本性质1,将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项、另一边只有常数项的形式; 第二步：利用等式的基本性质2,将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，即将未知数的系数化为1，从而求出方程的解 1．（2025·北京·模拟预测）关于的方程有实数根，那么的可能值是（    ） A．4 B．2 C．0或2 D．0或1 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．分当，时分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，关于的方程是有实数根， 当时，∵关于的方程是一元二次方程，有两个实数根， ∴，且， 解得：且， 综上所述：整数的值可能是或． 故选：D． 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知是方程的解，则a = 【答案】1 【分析】本题考查方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将已知解代入方程求解未知数即可． 【详解】解：将 代入方程 ， 得， 解得：． 故答案为：1． 3．（2024·北京西城·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算，即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，代数式求值，等式的性质，完全平方公式等知识点，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键． 考点二 一元一次方程及其解法 1. 一元一次方程的定义 整式方程的定义 方程的两边都是整式，这样的方程称为整式方程. 一元一次方程的定义 只含有一个未知数(元)，未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程 一元一次方程具有如下特点: （1）只含有一个未知数; （2）所含未知数的项的最高次数为1; （3）是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 2. 解一元一次方程 移项：把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项（移项要变号）. 去括号：解含有括号的一元一次方程时，先利用去括号法则去括号，然后通过移项、合并同类项解方程. 去分母：解含有分母的一元一次方程时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，从而约去分母.（依据等式的基本性质2） 1．（2024·北京·期末）下列方程中，一元一次方程共有（　　）个 ①；②；③； ④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：①，是一元一次方程，符合题意； ②，含有2个未知数，不是一元一次方程，不合题意； ③，分母含有字母，不是一元一次方程，不合题意； ④，是一元一次方程，符合题意； ⑤，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意； ⑥，是一元一次方程，符合题意． 综合上分析可得，是一元一次方程的是：①④⑥， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键． 2．（22-23七年级上·北京东城·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． （2）解： 去分母，两边同乘6，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 3．（2023九年级·全国·专题练习）当m取何值时，关于x的方程的解是非负数？ 【答案】 【分析】根据解的定义直接计算，非负即大于等于0． 【详解】， ， ， 解得， 由题意得， 解得． 【点睛】此题考查含参数的一元一次方程，以及一元一次不等式，解题关键是先求出解，然后对解进行运算． 考点三 二元一次方程组及其解法 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程。 二元一次方程的必备条件 原方程：(1)整式方程； (2)只含有两个未知数。 化简后的方程：(1)两个未知数的系数都不为0; (2) 含有未知数的项的次数都是1. 关于x,y的二元一次方程的一般形式： ax+by=c(a≠0,b≠0). 2.二元一次方程组 定义：由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组。 二元一次方程组应满足的条件 （1）两个方程都是整式方程； （2）共含有两个未知数； （3）一共有两个方程，每个方程都是一次方程。 3.解二元一次方程组 二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解。 判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这对数值就不是这个方程组的解。 1．（2025七年级下·全国·专题练习）《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有个人，物品价格为钱，则下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据每人出8钱，则多出3钱，可得，根据每人出7钱，则还差4钱，可得，从而可以列出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组，后字母的系数为，的字母的系数为，两者相减可消去字母．掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：得：， 故选：C． 3．（2024·北京顺义·二模）已知方程组的解为，写出一个满足条件的二元一次方程组 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解的定义．此题属于开放题，要理解方程组的解的定义，围绕解列不同的算式即可列不同的方程组． 所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕列一组算式，如，，然后用，代换，得等． 【详解】解：先围绕列一组算式， 如，， 然后用、代换， 得等， 答案不唯一，符合题意即可． 故答案为：(答案不唯一)． 考点四 一次方程（组）的应用 1. 建立一元一次方程模型解决实际问题 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 (1)弄清题意和题中的数量关系，用字母(如x,y)表示问题涉及的未知数； (2)分析题意，找出等量关系(可借助示意图，表格等); (3)根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程； (4)解这个方程，求出未知数的值； (5)检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位). 分析题意常用的两种方法 (1)读题分析法：多用于"和，差，倍，分"问题。仔细读题，根据题意设出未知数，找出表示相等关系的关键字，例如："大，小，多，少，是，共，合，完成，增加，减少，配套......"，将题目中量与量的关系转为代数式，进而列出方程。 (2)画图分析法：多用于"行程问题"，利用图形分析问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出示意图，弄清图形各部分的含义，借助图形找等量关系，从而建立方程。 设未知数的常见方法 (1)设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么。 (2)设间接未知数：特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量。 2. 近似数列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审 通过审题，把实际问题抽象成数学问题； （2）设 分析已知量和未知量，并用字母表示其中两个未知量； （3）找 找出题中的两个等量关系； （4）列 根据等量关系列出方程组； （5）解 解这个方程组； （6）答 检验所求解，写出答案. 1．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 2．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 【答案】符合，理由见详解 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，根据汽车的，两类物质排放量之和原为建立方程求解即可． 【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 3．（2023·北京·中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）    【答案】边的宽为，天头长为 【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可． 【详解】解：设天头长为， 由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为， 边的宽为， 装裱后的长为， 装裱后的宽为， 由题意可得： 解得， ∴， 答：边的宽为，天头长为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系． 命题点一 方程及等式的基本性质 ►题型01 方程有关概念 / 【典例】1．（24-25七年级上·北京房山·期末）下列说法中正确的有（   ） ①3是一个整式；②方程是关于x的一元一次方程；③单项式的系数是，次数是7；④一个有理数不是整数就是分数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，单项式，多项式，有理数．根据单项式和多项式统称为整式可判断①；根据一元一次方程的定义可判断②；根据单项式的系数、次数的定义可判断③；根据有理数的定义可判断④． 【详解】解：①3是一个整式，说法正确； ②方程整理得，未知数x的最高次数是2，不是关于x的一元一次方程，原说法错误； ③单项式的系数是，次数是5，原说法错误； ④一个有理数不是整数就是分数，说法正确； 所以正确的有2个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·北京大兴·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是（   ） A．1 B．6 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， 解得， 故选：A． 【变式】1．（25-26七年级上·北京·期中）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程是含有未知数的等式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A． ，无等号，不是方程； B． ，含不等号，不是方程； C． ，有等号且含未知数，是方程； D． ，无未知数，不是方程． 故选：C． 2．（23-24七年级上·北京石景山·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． ►题型02 等式的基本性质 / 【典例】1．（24-25七年级下·北京·期末）有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，由图（a）和图（b）可得，，进而根据，求出取值范围即可解题． 【详解】解：设种物体□，△，○的重量分别为x克，y克，z克， 由图（a）和图（b）可得：①，， 即， 代入①得，即， ∴， 即， 故选：B． 2．（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：A、由可得出或，所以A选项不符合题意． B、当时恒成立，而不一定成立，所以B选项不符合题意． C、由可得出，故C选项符合题意． D、由可得出，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【变式】1．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）如果，那么下列等式一定成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，等式的基本性质是：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个数（除数不能为），等式仍然成立． 根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.等式左边加，右边减，等式不一定成立，故该选项不符合题意； B.等式两边同时除以，等式仍然成立，故该选项符合题意； C. 等式左边加，右边减，等式不一定成立，故该选项不符合题意； D. 等式左边乘，右边乘，等式不一定成立，故该选项不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25七年级上·北京顺义·期末）下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、若，则，故此选项变形不正确，不符合题意； B、若，则，故此选项变形不正确，不符合题意； C、若，当时，和无意义，故此选项变形不正确，不符合题意； D、若，则，故此选项变形正确，符合题意； 故选：D． 命题点二 一元一次方程及其解法 ►题型01 一元一次方程的定义 / 【典例】1．（24-25七年级上·北京昌平·期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得，由此即可求解，理解一元一次方程的定义，确定未知数的系数，次数是解题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 2．（22-23七年级下·北京·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0．根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程，故①不符合题意； ②，符合一元一次方程的定义．故②符合题意； ③，符合一元一次方程的定义．故③符合题意； ④的未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故④不符合题意； ⑤，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意； ⑥中含有2个未知数，不是一元一次方程，故⑥不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：B． 【变式】1．（2025·贵州遵义·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数最高次为1的整式方程，是一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴k的值不可能是， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·天津河西·期末）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．将代入各项逐项判断即可． 【详解】解：当时， A．，符合题意；     B．，不符合题意； C．，不符合题意；     D．，不符合题意． 故选：A． 题型02 解一元一次方程 / 【典例】1．（24-25七年级下·北京·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级上·北京东城·期末）已知关于的方程，其中． (1)当时，求该方程的解； (2)写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解． 【答案】(1) (2)当时，方程的解为（或当时，方程的解为） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）将代入原方程得，求解即可； （2）先求得原方程的解为：，再利用要使为正整数，且该方程的解也为正整数，得出或，求得，再取值求解即可． 【详解】（1）解：当时， 原方程为：， 解得：， 所以该方程的解为； （2）解：方程， 解得：， 要使为正整数，且该方程的解也为正整数， 则或， 则或， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，方程的解为，符合题意； 综上所述，当时，方程的解为（或当时，方程的解为）． 【变式】1．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）按照移项，合并，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得： （2） 去分母得：    去括号得， 移项合并同类项得， 化系数为1得： 2．（22-23七年级上·北京海淀·期末）已知关于的方程． (1)当，时，方程的解为_______； (2)若是方程的解，用等式表示与满足的数量关系：_______； (3)若这个方程的解与关于的方程的解相同，则的值为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的解法即可求解； （2）把代入方程即可得出； （3）根据两个方程的解相同，列出方程，再根据解出即可． 【详解】（1）解：当，时，方程为，解得； 故答案为； （2）解： 故答案为； （3）解：若这个方程的解与关于的方程的解相同 故答案为； 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及同解方程的定义，解题关键是掌握一元一次方程的解法及同解方程的定义． 命题点三 二元一次方程组及其解法 ►题型01 二元一次方程组的定义 / 【典例】1．（22-23七年级下·北京东城·期末）下列各式中，是关于和的二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程）逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是方程，则此项不符合题意； B、是二元一次方程，则此项符合题意； C、中的不是整式，不是二元一次方程，则此项不符合题意； D、中的的次数为2，不是二元一次方程，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程，熟记定义是解题关键． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 将代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴，， ∴，， 故答案为：3；1． 2．（24-25七年级下·吉林白山·期末）若二元一次方程组和有公共解，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及根据二元一次方程的解求参数，解题的关键在于正确掌握消元法． 先解二元一次方程组得到公共解，再将公共解代入含m的方程求解，即可解题． 【详解】解：， 由得， ， 将代入②得， ， ∴方程组的解为， 二元一次方程组和有公共解， 公共解为， ， 解得． 题型02 解与一次方程组 / 【典例】1．（24-25七年级下·北京·期中）已知，满足方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．将方程组中的第一个方程减去第二个方程即可得． 【详解】解：， 将①②得：， 故答案为：． 2．（22-23七年级下·北京通州·期末）解答题： 解方程组时，由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ①②得，所以③， ③①得， 解得，从而， 所以原方程组的解是． 请你运用上述方法解方程组：． 【答案】 【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解． 【详解】解：， 得：， ∴③， ③①得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法． 【变式】1．（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选D． 2．（24-25七年级下·北京海淀·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）由①得，再利用代入法解方程组即可． （2）由①②，得，再求解即可. 【详解】（1）解： 由①，得． 将代入②，解得 所以． 所以原方程组的解为 . （2）解： 由①②，得， 将代入①，得． 所以原方程组的解为. 命题点四 一次方程（组）的应用 ►题型01 工程问题 / 【典例】1．（23-24七年级上·北京海淀·期末）故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、的现代科学理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物．需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？    【答案】还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作，根据工作总量工作时间工作效率列出方程求解即可． 【详解】解：设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作． 依题意列方程，得． 解得． 答：还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作． 2．（2025·北京通州·一模）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 【变式】1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 【答案】公司的工作时间为4天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天，利用工作总量工作效率工作时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天， 根据题意得：， 解得：． 答：公司的工作时间为4天． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 题型02 销售盈亏 / 【典例】1．（2025·北京大兴·二模）列方程（组）解应用题： 五一期间，在“国家补贴+商场直降”双重优惠推动下，消费者家电换新需求得到充分激活．国家补贴政策是购买两款空调均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买空调的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买空调原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知款空调原价（高于4000元）比款空调原价（低于4000元）的2倍少300元．若按此销售规则购买一台款空调比一台款空调多花1500元，购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省多少元？ 【答案】购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省2120元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设一台款空调的原价为元，则一台款空调的原价为元，再根据题意建立方程求出，再计算节省的费用． 【详解】解：设一台款空调的原价为元，则一台款空调的原价为元， 由题意可知， ． 解得：， ， 所以， 答：购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省2120元． 2．（2025·北京西城·一模）为设计一类推理型模型，某公司计划投入2200万元购进A、B两种型号的芯片共1000片，其中A型芯片至少800片．已知购进2片A型芯片和1片B型芯片共需6万元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需6.5万元．为了满足基本需求，请判断该公司计划投入的资金是否够用，并说明理由． 【答案】该公司计划投入的资金够用，理由见解析． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．设该公司购进1片A型芯片需x万元，购进1片B型芯片需y万元，根据“购进2片A型芯片和1片B型芯片共需6万元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需6.5万元”，可得二元一次方程组，即可解得A型芯片单价为2.3万元，B型芯片单价为1.4万元，设购进A型芯片m片，则购进B型芯片片，知，可解得投入的资金最多购进A型芯片888片，故该公司计划投入的资金够用． 【详解】解：该公司计划投入的资金够用，理由如下： 设该公司购进1片A型芯片需x万元，购进1片B型芯片需y万元． 由题意可知，， 解得， 设购进A型芯片m片，则购进B型芯片片， ∴， 解得， ∴投入的资金最多购进A型芯片888片， ∵， ∴该公司计划投入的资金够用． 【变式】1．（2025·北京·模拟预测）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元． 已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？ 【答案】若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元， 根据题意得， 解得：， ∴（元）， 答：若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元． 2．（2025·北京海淀·模拟预测）某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元． (1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？ (2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明． 【答案】(1)售出精装草莓200盒，则简装草莓100盒 (2)分装精装草莓1盒，则简包草莓23盒 【分析】（1）设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得，解答即可； （2）设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，，且m是正整数，求得正整数解判定解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组，不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得， 解得， 答：售出精装草莓200盒，则简装草莓盒． （2）解：设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，得 ， 解得， ∵m是正整数， ∴， ∴取最大整数为， 故存在符合要求的分装方案，分装精装草莓1盒，简装草莓23盒． ►题型03 方案选择 / 【典例】1．（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)共需要元 (2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键． （1）根据题意列出算式得，即可求解； （2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 元． 答：共需要元； （2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 该商店的进货方案有种， 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔； 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 2．（2025·北京朝阳·二模）根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于，旧小区改造的绿地率不得低于，一般地，绿地率可以看做是绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的以上，覆土绿地是在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于时，不算绿地面积；当覆土高度在至时，覆土面积的计入绿地面积；只有当覆土高度超过时，覆土面积才全部计入绿地面积． 某旧小区总面积为，绿地率只有，且其中覆土绿地的覆土高度都约为．现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到以上，并增加实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的．请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由． 【答案】绿地率可以合格，理由见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目数量关系正确列式求解是关键． 设该小区改造前覆土绿地的面积为，实土绿地的面积为，由此列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设该小区改造前覆土绿地的面积为，实土绿地的面积为， 由题意可知，， 解得， 按照该方案改造后的绿地面积为， 根据规定，该小区的绿地面积不得低于， ∵， ∴按照该方案改造后，该小区的绿地率可以合格． 【变式】1．（2025·北京平谷·一模）清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为了鼓励孩子们阅读，推出两种打卡领取听书时长的奖励方式： 方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长； 方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%． 明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领取的时长分别为多少分钟？ 【答案】第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟，打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，据此列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟， 则， 即， 解得， 答：第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟． 2．（2023·河南·中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价． (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)活动一更合算 (2)400元 (3)当或时，活动二更合算 【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可； （2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）由题意得活动一所需付款为元，活动二当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时， 活动一需付款：元，活动二需付款：元， ∴活动一更合算； （2）设这种健身器材的原价是元， 则， 解得， 答：这种健身器材的原价是400元， （3）这种健身器材的原价为a元， 则活动一所需付款为：元， 活动二当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， ①当时，，此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意， ②当时，，解得， 即：当时，活动二更合算， ③当时，，解得， 即：当时，活动二更合算， 综上：当或时，活动二更合算． 【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用． ►题型04 数字问题 / 【典例】1．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 【答案】648 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b，根据算盘可知这个三位数的百位数字为6，则这个三位数为，十位数字与个位数字互换后的三位数为，再根据新的三位数比原三位数大36，个位数字是十位数字的2倍建立方程组求解即可． 【详解】解：设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b， 由题意得，， 解得， 答：这个三位数为648． 【变式】1．（2025·安徽亳州·三模）“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 2．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，整理出代数式进行分析即可； （2）根据题意，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 得到的新的两位数为， ，且为整数， 这个新的两位数能被9整除； （2）解：由题意， 得， 解得． 题型05 几何问题 / 【典例】1．（2024·北京东城·二模）列方程或方程组解应用题． 如图1，正方形是一块边长为的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积． 【答案】一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖的面积为 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，可设等腰直角三角形直角边长为，则斜边度为，根据4个正八边形面积黑色正方形的面积列出方程，求出和，即可得出结论 【详解】解：设等腰直角三角形直角边长为，则斜边度为，根据题意得， ， 解得，， ∵ ∴ ∴黑色正方形地砖的面积； 则一块八边形地砖的面积， 答：一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖的面积为． 2．（2024·北京海淀·一模）下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板与瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．    【答案】每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可． 【详解】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元． 厨房面积：， 卫生间面积：， 客厅面积：， 卧室面积：， 由题意可得，， 解得， ，． 答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 【变式】1．（2024·北京房山·一模）在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 【答案】预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设矩形菜园的宽为米，则长为，根据预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，可列一元一次方程，解得的值即为矩形菜园的宽，可求得预留通道的宽度． 【详解】解：设矩形菜园的宽为米，则矩形菜园的长为米． 由题意可得， ． 解得． ∴． 答：预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米． 2．（2024·北京门头沟·二模）如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    【答案】每个小长方形的长为10，宽为6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长和宽，根据1个长加上2个宽等于22，2个宽减去1个长等于2列出方程组，再求出解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可得 ， 解得：， ∴每个小长方形的长为10，宽为6． ►题型06 和差倍分问题 / 【典例】1．（2024·北京通州·一模）2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量． 【答案】非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找出等量关系列方程是解题关键，设非遗文献馆的坐席数为个，则少年儿童馆坐席数为个，山体阅览区的坐席数为个，根据坐席总数为1900个列方程解决即可． 【详解】解：设非遗文献馆的坐席数为个，则少年儿童馆坐席数为个，山体阅览区的坐席数为个， 根据题意得：， 解得，， 答：非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个． 2．（2025·陕西咸阳·一模）月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵． 【答案】甲、乙两组家庭共植树棵． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵， 根据题意得：， 解得． ∴． 答：甲、乙两组家庭共植树棵． 【变式】1．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 2．（2025·重庆·一模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本． (1)求、两种书籍分别购进多少本？ (2)该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？ 【答案】(1)种书籍购进本，两种书籍购进本 (2)48元 【分析】本题考查一元一次方程、分式方程的应用，理解题目间的数量关系是解题的关键． （1）设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，根据“购进、两种畅销书籍，共花费3700元”列方程求解； （2）设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，根据“当天售出、两种书籍共63本”列分式方程计算求解． 【详解】（1）解：设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，由题意可得： ，解得， （本）， 答：种书籍购进本，两种书籍购进本； （2）解：设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，由题意可得： ，解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：每本种书籍的售价是48元． ►题型07 行程问题 / 【典例】1．（2025·北京丰台·二模）2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由． 【答案】“”动车可以在当日12:00前到达，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，掌握速度路程时间是解题关键．设相遇前“复兴号”动车的速度为，根据题意列方程求出，进而求出“”动车的速度，得到“”动车的行驶时间，即可求解． 【详解】解：“”动车可以在当日12:00前到达，理由如下： 设相遇前“复兴号”动车的速度为． 由题意可知，．解得． 所以“”动车的速度为． 所以“”动车的行驶时间为． 所以“”动车到达上海虹桥站的时间为当日11:15，可以在当日12:00前到达． 2．（2025·北京大兴·一模）列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 【答案】所走高速公路的路程为550公里 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键 设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里，根据题意列出方程求解即可，注意单位换算． 【详解】解：设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里， 根据题意得：， 解得， ∴所走高速公路的路程为550公里． 【变式】1．（2024·北京·二模）京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 【答案】通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东起爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，根据平均车速比原来每小时多走17千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米， 由题意得：， 解得：， ， 答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时． 2．（2024·北京平谷·一模）我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步．今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题． 【答案】250步 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设走路快的人走了x步追上走路慢的人，根据走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，可知相同时间内走路慢的人所走路程为步，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设走路快的人走了x步追上走路慢的人． 由题意得， 解得：，     答：走路快的人250步追上走路慢的人 题型08 其他问题 / 【典例】1．（2025·北京东城·二模）某地区防风林工程种植乔木和灌木，要求乔木种植面积占比不超过．今年已种植乔木、灌木的面积共1000公顷；计划明年种植乔木和灌木的面积共1450公顷；其中乔木的面积比今年减少，灌木的面积比今年增加．判断经过今明两年种植后该地区乔木面积占比是否符合防风林工程要求，并说明理由． 【答案】符合要求，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意得到等量关系式解题的关键．设今年种植乔木的面积为公顷，根据“计划明年种植乔木和灌木的面积共1450公顷”列方程求出今年种植乔木的面积，进而求出今明两年种植乔木的面积，即可求解． 【详解】解：符合要求，理由如下： 设今年种植乔木的面积为公顷，则今年种植灌木的面积为公顷， 由题意可得：， 解得：， 则今明两年种植乔木的面积为：， 按照防风林工程要求种植面积不超过：， ， 今明两年终止后该地区乔木面积占比符合防风林工程要求． 2．（2025·北京海淀·二模）为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功． 【答案】该车能挑战成功，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设本次测试道路高速道路长度为百公里，市区道路长度为百公里，根据题意，列出方程，可得本次测试的总道路长度为2百公里，即可求解． 【详解】解：设本次测试道路高速道路长度为百公里，市区道路长度为百公里． 依题意，得． 解得． ． 即本次测试的总道路长度为2百公里． 本次测试的总能耗为． 本次测试的百公里平均能耗为． 本次测试的百公里平均能耗不高于． 该车能挑战成功． 【变式】1．（2025·北京房山·二模）为增强学生的劳动意识，养成良好的劳动习惯和品质，某校组织学生到劳动基地参加“耕读累德”实践活动，计划组织学生种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植4亩甲作物和1亩乙作物需要26名学生．问：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要多少名学生． 【答案】11名 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出二元一次方程组成为解题的关键． 设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生．然后列二元一次方程组求得x、y的值，进而完成解答． 【详解】解：设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生． 依题意得： ，解得， ∴． 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要11名学生． 2．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 突破一 与一次方程（组）有关的纠错问题 【典例】1．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 【答案】最早出现错误的步骤是，正确的解法见解析． 【分析】此题主要考查了解一元一次方程，第1步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键． 【详解】解：最早出现错误的步骤是，正确的解法如下： 对于方程， 将系数化为整数，得， 合并同类项，得， 系数化，得． 2．（2024·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析． 【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元； 但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 正确的解答过程：由①得 ③ 将③代入②得 解得，代入③，解得 ∴原方程组的解为： 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． 【变式】1．（2022·河北保定·一模）对于题目：“若方程组的解为，且整式，求：整式A的值．” 小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0； 小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6． (1)小明将系数□看成的数是多少？ (2)化简整式A． 【答案】(1)小明将系数□看成的数是 (2) 【分析】（1）先求出，设小明将系数□看成了m，则，根据小明求的A的值，得到关于m的方程，解方程即可得到； （2）设正确的□为n，则，根据小宇求的A的值为6得到，解得：，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵方程组的解为 ∴，解得． 设小明将系数□看成了m，则， ∵小明求的A的值为0， ∴， 解得：，即小明将系数□看成的数是； （2）设正确的□为n， 则， ∵小宇求的A的值为6 ∴，解得：， ∴． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，熟练掌握一元一次方程的解法和整式的加减法则是解题的关键 2．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法；加减消元法 (2)浩浩；，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）由加减消元法和代入消元法的步骤判断即可； （2）浩浩的做法中，由①2得③，错了．由加减消元法和代入消元法的步骤分别求解即可． 【详解】（1）解：芊芊的消元方法是代入消元法；浩浩的消元方法是加减消元法． 故答案为：代入消元法，加减消元法． （2）解：浩浩. 正确解答如下： 由①2得③． 由②③得． 解得． 把代入①得． 方程组的解为． 突破二 与一次方程（组）有关的所新定义问题 【典例】1．（2024·江西）将4个数a，b，c，d排成两行两列，两边各加一条竖线记成，定义，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了整式的混合运算，解答本题的关键是弄清楚题目给出的计算程序．由于，若，则，根据这个方程求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 化简后得，解得． 故答案为：2． 2．（24-25七年级上·北京·期末）规定一种新运算：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是新定义下的实数运算及解一元一次方程，解题关键是理解新运算的计算方法，求出所求式子的值． 先根据题目中的新运算，建立一个关于的方程，再解方程即可求解． 【详解】解：， 即， ， ． 故答案为：． 【变式】1．（2024四川）我们定义一种新的运算“”，并且规定：．例如：，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据新定义的公式列出方程，解方程即可求出x的值． 【详解】由，可得， 整理，得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是定义新运算问题，理解并运用新定义的公式和掌握一元一次方程的解法是解决此题的关键． 2．（2024·天津）对于两个不相等的有理数、，我们规定符号表示、的较大值，如，按照这个规定解决下列问题： （1） . （2）方程的解为 . 【答案】 －2 －1 【分析】（1）判断−3与−2的大小即可； （2）分x大于−x，x小于−x两种情况化简方程，求出解即可． 【详解】解：（1）∵−3＜−2， ∴Max{−3，−2}＝−2； （2）当x＞−x，即x＞0时，Max{x，−x}＝x，方程化为x＝3x＋4，即x＝−2，不合题意，舍去； 当x＜−x，即x＜0时，Max{x，−x}＝−x，方程化为−x＝3x＋4，即x＝−1． 故答案为（1）−2；（2）−1. 【点睛】此题考查了新定义下实数的运算，解一元一次方程，解题的关键是弄清题中的新定义． 突破三 与一次方程（组）有关的新情景问题 【典例】1．（2025·陕西·模拟预测）化学是初中学业中重要的一门学科．其中有一种概念：溶解度（符号S），指某固态物质在溶剂中（温度为）达到饱和状态时所溶解的质量．如温度为时，100克水最多能溶解36克固体，则说明固体的溶解度为，且通过计算可得温度为的水最多能溶解固体．本次记录共选取了8种化学物质样本，请你根据图表中的信息回答下列问题： 物质名称 溶解度/ 温度为时 32 0.0013 0.002 0.0019 0.165 0.26 0.033 3.6 溶解度 在水中 一般称为 难溶物质 低溶物质 可溶物质 易溶物质 附：当温度为时，水中最多能溶解固体． (1)根据表中信息补全条形统计图； (2)根据信息回答：这8种样本的平均溶解度为 ；中位数为 ． (3)某工厂需要配制饱和溶液，现在已经准备好了计划需要的100千克水，温度始终保持在．则为了使溶液达到饱和状态，要固体多少千克？若改使用为的水，则可以节省固体多少千克？ 【答案】(1)见详解 (2)；． (3)32千克；千克 【分析】本题是主要考查了画条形统计图，平均数和中位数的定义等知识．读懂题意是解题的关键． （1）根据微溶物质的定义可得出微溶物质有3种，即可补全条形统计图． （2）根据平均数和中位数的定义求解即可． （3）分别求出和时，所需要的量，然后相减即可得出答案． 【详解】（1）解：微溶物质有，，3种， 故补全条形统计图如下所示： （2）解：这8种样本的平均溶解度为：， 将溶解度按照从小到大排列可知，位于第4位和第5位的分别为：0.033和0.165， 则中位数为： （3）解：温度为时，溶解度为， 100千克克， 设100千克水要固体x克可达到饱和状态， 则， 解得， 即100千克水要固体32千克可达到饱和状态． 根据化学知识可知，温度为时，溶解度为， 同理可求出：100千克水要固体86千克可达到饱和状态． 故可节省固体质量为：千克． 2．（2025·吉林四平·一模）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下，求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？ 投入壶内 投入壶耳 落在地上 总分 小龙 3支 4支 3支 27分 小华 3支 3支 4支 24分 【答案】一支弓箭投入壶内、壶耳分别得5分，3分 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系正确列式是关键． 设一支弓箭投入壶内、壶耳分别得分，分，由此列方程组求解即可． 【详解】解：设一支弓箭投入壶内、壶耳分别得分，分， 根据题意，得， 解得， 答：一支弓箭投入壶内、壶耳分别得5分，3分． 【变式】1．（2025·湖南·模拟预测）中国正从人形机器人参与者向引领者迈进．全球唯一全工业门类基底支撑核心部件国产化，2025春晚《秧》缔造现象级场景——16台宇树机器人以每秒5次动态平衡校准的极致控制，完成东北秧歌32式传统动作，手绢转速与人体演员误差小于0．02秒，在非遗活化领域树立人机协同新范式．已知该机器人初始电量为个单位以下都是初始状态开始，跳舞每移动米，消耗个单位电量，每完成一个动作如转动手绢，跳跃，旋转等消耗个单位电量其它电量消耗忽略不计． (1)如果机器人先移动了米，然后完成了个动作，求此时的剩余电量； (2)在一次任务中机器人需要完成一段路程为米为整数的移动任务，并执行一些动作． 如果执行个动作后，机器人的剩余电量恰好为个单位，求的值； 如果完成动作电量消耗是移动电量消耗的倍时为最佳动作设计，则最佳动作设计最多可完成几个动作？ 【答案】(1)剩余个电量 (2)①的值为9；②最佳动作设计最多可完成个动作 【分析】本题考查有理数的计算应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式． （1）根据题意列式计算可得剩余电量； （2）①根据剩余电量恰好为个单位得：，即可解得的值； ②设最佳动作设计可完成个动作，根据完成动作电量消耗是移动电量消耗的3倍时为最佳动作设计得：，解出不等式取最大整数解即可． 【详解】（1）解：（个）， 机器人先移动了米，然后完成了个动作，此时剩余个电量； （2）解：根据题意得：， 解得， 的值为9； 设最佳动作设计可完成个动作， 根据题意得：， 解得，因为取整数，所以的最大值为12 答：最佳动作设计最多可完成个动作． 2．（2025·广西南宁·模拟预测）2024年5月20日是第35个中国学生营养日，主题是“奶豆添营养，少油更健康”．初中生小丽的妈妈为她购买了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分如表所示．某天，小丽从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小丽这天喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小丽这天已经从其他食品中摄入脂肪，在她喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 食品种类 营养成分 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 【答案】(1)小丽这天喝了牛奶2盒，豆浆1盒 (2)不超标，见解析 【分析】本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）设牛奶x盒，豆浆y盒，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意，她喝完牛奶和豆浆，吸收的脂肪量为，总脂肪量为，符合标准，解答即可． 【详解】（1）解：设牛奶x盒，豆浆y盒， 根据题意，得， 解方程，得， 答：小丽这天喝了牛奶2盒，豆浆1盒． （2）解：根据题意，她喝完牛奶和豆浆，吸收的脂肪量为，总脂肪量为，符合标准， 故不超标． 突破四 与一次方程（组）有关的项目探究问题 【典例】1．（2025·广西桂林·二模）根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 【答案】任务：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：每张元纸币的质量是克； 任务：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、求一个二元一次方程的正整数解． 任务：设枚元硬币克，枚角硬币克，根据小明和小聪使天平平衡的放置方法，列二元一次方程组求解即可； 任务：设每张元纸币克，根据素材中使天平平衡的放置方法，列一元一次方程求解即可； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币，可列二元一次方程，又因为、均为正整数，求出、的正整数解即可． 【详解】任务：解：设枚元硬币克，枚角硬币克， 由素材可得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解方程组可得：， 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：设每张元纸币克， 由素材可得：， 解得：， 答：每张元纸币的质量是克； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币， 根据题意可得：， 整理得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 2．（25-26七年级上·全国·期末）综合与探究 问题情境：迎泽大桥位于汾河之上，被誉为“华北第一桥”，年迎泽大桥维修加固，于月份正式通车，谱写了新太原汾河建桥史上光辉的乐章．周末，小晋、小阳和小韵相约打卡迎泽大桥． 已知迎泽大桥全长．如图，小晋从迎泽大桥的东端（记为点）出发向迎泽大桥西端（记为点）方向匀速行走，速度为，同时小阳从点出发向点方向匀速行走，速度为，设小阳行走的时间为． 数学思考： （1）在上述行走过程中，小晋距点的距离为 ，小阳距点的距离为 （均用含的式子表示）； 解决问题： （2）求小晋与小阳相遇时的值； （3）小韵在小阳出发时，骑自行车以的速度从点出发向点骑行，到达点后立即停止． ①小韵能否在小晋和小阳相遇前追上小阳？如果能，请求出相应的的值；如果不能，请说明理由； ②在小韵骑行的整个过程中，当小韵与小阳之间的距离为时，的值为________． 【答案】（1），；（2）；（3）①小韵能在小晋和小阳相遇前追上小阳，理由见解析；②或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间列出代数式即可； （2）根据小晋与小阳相遇时共走了米列方程求解即可； （3）①求出小韵追上小阳所用的时间，结合（2）的结论即可解答； ②分两种情况：小韵在未追上小阳时，小韵与小阳距离为；小韵在追上小阳后，小韵与小阳距离为，分别列方程，求解即可． 【详解】解：（1）小晋距点的距离为米，小阳距点的距离为米． 故答案为：；； （2）当小晋与小阳相遇时，， 解得； （3）①小韵能在小晋和小阳相遇前追上小阳，理由如下： 小韵在小阳出发时，才从点出发，此时小阳已经走了， 设小韵出发后追上小阳，此时小阳行走的时间为， ∵小韵的速度为，小阳速度为， 由题意，得， 解得， 故小阳行走的总时间， ∵小晋与小阳相遇时， ， 所以小韵能在小晋和小阳相遇前追上小阳，此时； ②∵小韵在小阳出发时，才从点出发， 故在小韵出发时，小阳已经走了， 小韵在未追上小阳时，存在小韵与小阳距离为的情况， 此时设小韵出发后与小阳距离为， 则， 解得， 则． 小韵在追上小阳后，存在小韵与小阳距离为的情况， 此时设小韵出发后与小阳距离为， 则， 解得， 则， 故答案为：或． 【变式】1．（25-26八年级上·全国·期末）综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②原始水面高度是的高为的圆柱形烧杯． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 【答案】(1)2 (2)放入4个大球，6个小球 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题时要能读懂题意，找到相等关系是关键． （1）根据“3个小球使水面上升”列式计算； （2）设放入x个大球，y个小球，根据放入大球、小球共10个，使水面上升到，进而可列方程组求解． 【详解】（1）解：由题意，根据图中数据可得，． 故答案为：2； （2）解：由步骤二可知，放入一个大球水面升高， 设放入x个大球，y个小球， 根据题意，得， 解得， 答：放入4个大球，6个小球． 2．（25-26八年级上·山西运城·月考）综合与实践 如何设计购买方案？ 素材1 AI教学的引进能提升学习效率，培养创新思维，适应未来社会需求．某中学准备引入AI教学设备辅助教学，预计采购，两种型号的设备共20台． 素材2 购买3台A型号设备和4台B型号设备共需11万元，购买5台A型号设备和2台B型号设备共需9万元． 问题解决 任务1 确定价格 求两种型号设备的单价． 任务2 探究函数关系 若该校准备采购型号设备台，总费用为万元，请你求出与的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 该校负责人考虑到预算等问题，得出的取值范围为（为整数），则该校应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少万元？ 【答案】任务1：A型号为1万元，B型号为2万元 ；任务2：；任务3：当采购型号设备7台，型号设备13台时，才能使总费用最低，总费用最低为33万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． 任务1：设型号设备的单价为万元，型号设备的单价为万元，根据题意列方程组求解即可； 任务2：采购型号设备台，则采购型号设备台，根据题意列函数关系式即可； 任务3：根据一次函数的性质作答即可． 【详解】任务1：解：设型号设备的单价为万元，型号设备的单价为万元． 根据题意，得 解得 答：A型号设备的单价为1万元，B型号设备的单价为2万元． 任务2：解：采购型号设备台，则采购型号设备台． 所以． 所以与的函数关系式为． 任务3：解：在中，因为，所以随的增大而减小． 又因为，且为整数，所以当取最大值7时，的值最小． ． 此时（台）． 答：当采购型号设备7台，型号设备13台时，才能使总费用最低，总费用最低为33万元． 1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺，若设竿长为尺，则可列方程为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设竿长为尺，根据绳索比竿长5尺可得绳索长尺，再根据将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列各式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质及其运算是解题的关键． 等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍成立；由此即可求解． 【详解】解：A、若，等式两边同时加上2得，，正确，不符合题意； B、若，等式两边同时减去3得，，正确，不符合题意； C、若，等式两边同时除以6得，，正确，不符合题意； D、若，等式两边同时乘以3得，，原选项错误，符合题意； 故选：D ． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）方程的解为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可；根据解一元一次方程的基本步骤进行解答即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 故选：D． 4．（24-25七年级上·江苏南通·月考）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据两个方程的关系，第二个方程中的相当于第一个方程中的，据此即可求解，理解两个方程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程中的， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的定义，平方根定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意，可联立新的方程组：，利用加减消元法解方程组可得：，然后再把代入方程组，可得：，解得，把a，b的值代入，最后求平方根即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 把代入方程组，可得， 解得， 把代入，得， 的平方根为， 故答案为：． 6．（2025·上海静安·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有 人． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 根据总竿数相等列出方程，求出解即可. 【详解】解：设有牧童人，根据题意，得 ， 解得， 答：牧童有人． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（   ）个． A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先解原方程得到，根据原方程的解为正整数得到是正整数，则或或或，据此求出a的值即可得到答案． 【详解】解： 去括号得： 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的一元一次方程解为正整数， ∴是正整数， ∴或或或， ∴或或或， 故选：B． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 通过将方程组的两个方程相减，得到与m的关系式，再代入已知条件求解m的值． 【详解】解：方程组， ，得： ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 故选：C． 3．（2025·广东东莞·一模）如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了俯视图，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题的关键在于根据题意得出为等腰直角三角形．根据题意得到为等腰直角三角形， 设，进而得到，再结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， 即为等腰直角三角形，且， 设，则， ， 解得， 则图中线段的长度为， 故答案为：． 4．（2025·北京丰台·一模）鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式混合运算的实际应用，由已知可设，，，进而根据得，即得，即可得，，，再根据图形列式计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， 可设，，， 由图可得，， ∴， 解得， ∴，，， ∴这个面的面积． 5．（2025·宁夏银川·二模）据以下素材，探索完成任务． 如何设计销售方案？ 素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元． 素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． 素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元． 问题解决 任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题： （用含的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价． 任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润． 【答案】任务1： ；任务2：每千克茶叶50元，每千克花生10元；任务3：当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的实际应用． 任务1：根据每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，用x表示出y值即可． 任务2：根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 任务3 设花生销售千克，茶叶销售千克获利最大，利润元，根据题意列出关于的一元一次不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数，根据函数的性质即可得出答案． 【详解】解：任务 1：假设每千克茶叶的售价为元／千克， 每千克花生的售价为元／千克， 任务 2：根据题意得：， 解得：， 则（元）， 答：每千克茶叶 50 元，每千克花生 10 元； 任务3：设花生销售千克，茶叶销售千克获利最大，利润元， 由题意得： ， 解得：， ， ， ∴ w随的增大而减小， ∴当时，利润最大， 此时花生销售30千克，茶叶销售（千克）， ∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大． 1．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，计算平均数即可得； （2）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，然后求出“”所代表的数，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 所以运算结果“”所代表的数为． （2） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 则运算结果“”所代表的数为， ∵运算结果“”所代表的数为2， ∴， 解得． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是． (1)用含的代数式表示： ①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ； ②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ． (2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了平均速度、代数式以及方程的求解： （1）根据题意列代数式； （2）根据题意列方程请求解． 【详解】（1）从岳麓书院到观光长廊的总路程： 从观光长廊返回岳麓书院的平均速度： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总路程： 从岳麓书院到观光长廊的时间为： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总时间： 从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度： 答案为：①；②． （2）根据题意，得，解得． 答：的值为． 3．（2025·河南·模拟预测）如图，是隐形第五代战斗机的模型．国庆节前夕，某商场购进A，B两种材质的模型共120架．已知购进2架A种模型和3架B种模型共需花费690元；购进4架A种模型和2架B种模型共需花费780元． (1)求A，B两种材质的模型每架的进价． (2)已知A，B两种材质的模型每架的售价分别为150元和200元．采购信息记录如下： 采购要求 A种模型数量m的范围为 采购优惠 购进A种模型超过60架时，超过部分打六折；B种模型不打折 请设计出商场最佳的购进方案，使所有模型售完后能获取最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)A种材质的模型每架的进价为120元，B种材质的模型每架的进价为150元 (2)当购进A种材质的模型80架，B种材质的模型40架时可获得最大利润，最大利润为5360元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用和一次函数的实际应用，理解题意列出二元一次方程组和一次函数表达式是解题的关键． （1）设A种材质的模型每架的进价为x元，B种材质的模型每架的进价为y元，根据题意列方程即可； （2）设总利润为w元．根据m的取值范围分别列出w关于m的表达式，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种材质的模型每架的进价为x元，B种材质的模型每架的进价为y元． 根据题意，得， 解得 答：A种材质的模型每架的进价为120元，B种材质的模型每架的进价为150元． （2）解：设总利润为w元． 当时，， ， ∴w随着m的增大而减小． ∴当时，w最大，获得最大利润（元）． 当时，， ，w随着m的增大而增大． ∴当时， ∴w最大，获得最大利润（元）． ∵， ∴w的最大值为5360，此时（架）． 即当购进A种材质的模型80架，B种材质的模型40架时可获得最大利润，最大利润为5360元． 4．（2025·吉林松原·模拟预测）安全无小事，校园安全是师生正常学习和生活的保障．孙老师带领数学兴趣小组成员对教学楼进行安全检查，并将检查结果和建议以策划书的形式反馈给校领导． 课题 教学楼逃生安全检测策划书 调查方式 实地测量，走访调查 测量工具 秒表，计数器 测量过程及计算 测量过程及图示 相关数据及说明： ①两个正门大小相同，两个侧门大小相同，当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280人；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800人； ②楼内共有教师200人，教学楼共4层，每层10个教室． 安全要求 紧急情况时，全大楼人员应在5分钟内通过这4道门安全撤离． 求每个侧门和正门每分钟各通过的人员数量． 【答案】每个侧门每分钟通过80人，每个正门每分钟通过120人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个侧门每分钟通过x人，每个正门每分钟通过y人，根据题意可得方程组，然后进行计算即可解答； 【详解】解：设每个侧门每分钟通过x人， 每个正门每分钟通过y人． 由题意，得 解得 ∴每个侧门每分钟通过80人，每个正门每分钟通过120人． 5．（2024·安徽合肥·一模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 【答案】大船有3只，小船有5只 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设大船有只，则小船有只，根据38人刚好坐满8只船，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出大船的只数，再将其代入中，即可求出小船的只数． 【详解】解：设大船有只，则小船有只， 根据题意得：， 解得：， （只）， 答：大船有3只，小船有5只． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $